www.etude-generale.com TCSI Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Correction de la série sur les transformations dans le plan
Exercice 1 Soit ABC un triangle et I est le milieu du segment [BC]: 1. Montrons que : !
B0C0 = 23BC:! On a : !
AB0 = 23AB, ceci signi…e que! : h(B) = B0: De même on a : !
AC0 = 23AC;! ceci signi…e que : h(C) =C0: D’après la propriété caractéristique on obtient :
B0!C0 = 2 3
BC!
Méthode N2
En utilisant la relation de chasles, on a : B0C!0 = !
B0A+ ! AC0
= 2
3
AB!+2 3
AC!
= 2 3
BA!+AC!
= 2 3
BC:!
2. L’image du point A par h est A0 et l’image du point B par h est B0; donc l’image du segment [BC] par h est le segment [B0C0], et comme I est le milieu du segment [BC] alors h(I) est le milieu de [B0C0]; et comme J est le milieu de [B0C0]; donc : h(I) =J: Car l’homothétie conserve les milieux. Ceci signi…e que les points J; A et I sont alignés.
Exercice 2 SoitIAB un triangle et C; Ddeux points tels que :IC!= 13IA! et2IB!+ 3BD!=
!0:
1. On a : 2IB!+ 3BD!=!0, donc : BD!= 23BI:!
B A
I
C D
2. Montrons que : h(A) =C
On a: IC!= 13IA, ceci signi…e que l’image de! A par l’homothétie h est C: C’est- à-dire : h(A) = C:
Montrons que : h(B) =D:
Il su¢ t de montrer que:ID!= 13IB:! On a: 2IB+3! BD!=!0;donc: 2 ID!+DB! + 3BD!=!0:
Ensuite: 2 !
ID+ 2 !
DB+ 3 ! BD=!0:
Par ailleurs : 2ID!+ 2 DI!+IB! + 3 BI!+ID! = !0, donc : 5ID!+ 2DI!+ 2IB!+ 3BI!=!0:
Donc : 3ID!=IB:! Ceci signi…e que : ID!= 13IB:! D’ou : h(B) =D:
3. Montrons que : AB= 3CD:
On a : h(A) =C et h(B) =D: Donc, d’après la propriété caractéristique on obtient : CD!= 13AB:! Par passage à la norme on obtient : CD= 13AB: Alors : AB= 3CD:
Exercice 3 ABC est un triangle et I est un point du segment [BC].
1.
B C
A
I G
C'
2. On considère l’homothétieh de centre I et de rapport k, tel que : h(A) =G:
a) On a : h(A) = G; donc : IG! = kIA:! D’autre part, on a : AG! = 34AI, de plus! : AI!+ !
IG = 34 !
IA: Par ailleurs : !
IG= 43 ! IA+ !
IA= 14 !
IA: Ce qui signi…e que
1
4 est le rapport de l’homothétie de centre I:
b) Déterminons l’image de la droite (BC) par h: On a: I 2(BC), donc : h((BC)) = (BC): c) On cherche l’image de la droite (AC) par h:
On a : h(C) = C0 et h(A) = G; donc : h((AC)) = (GC0): Donc, l’image de la droite(AC)par l’homothétie h est la droite qui passe parG est paralléle à(AC):
Exercice 4 Soit ABCD un parallélogramme et I est le point tel que : AI!= 14AB:!
D C
B
A I
E
1. Montrons que : k = 3:
On a : h(A) = B, donc : !
IB = k!
IA. D’autre part, on a : !
AI = 14 !
AB; de plus : AI! = 14 AI!+IB :! Par ailleurs : AI! = 14AI!+ 14IB, donc! : 34AI! = 14IB:! Ce qui signi…e que : IB!= 3AI, donc! : IB!= 3IA:! C’est-à-dire : k = 3:
2. Soit E le point d’inetrsection des droites : (AD) et (IC): a) Montrons que : h(E) = C:
On a : (AD)\(IC) = fEg: Donc, il su¢ t de trouver l’image des droites (AD) et (IC) par l’himothétieh:
On sait que I 2(IC), donc : h((IC)) = (IC):
D’autre part, on a : h(A) = B, donc l’image de (AD) est la droite qui passe par le point D et parallèle à la droite (AD): Donc : h((AD)) = (BC):
On obtient: (BC)\(IC) =fCg: Ce qui signi…e que : h(E) = C:
b) On déduit que : BC = 3AE:
On a: h(A) =B et h(E) =C, donc d’après la propriété caratéristique on obtient : BC! = 3AE;! par passage à la norme, on a : BC = j 3jAE: C’est-à-dire : BC = 3AE:
3. On a : h(D) = D0, h(A) = B et h(E) = C et les points A; E et D sont alignés et puisque l’homothétie conserve l’alignement alors les points B; C et D0 sont alignés.
Exercice 5 1. La …gure.
D C
B A
I J
2. Montrons que : t !
AB((AI)) = (BJ) :
On a ABCD est un parallèlogramme donc : DC!=AB;! et comme : DC!=IJ ;! donc : IJ!=AB:! C’est-à-dire: t !
AB(I) = J:
D’autre part, on a AB!=AB, donc! : tAB!(A) = B: ¨ Par suite, on obtient:tAB!(I) = J et tAB!(A) =B: Donc : tAB!((AI)) = (BJ):
On sait que l’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle donc : (AI) est parallèle à (BJ):
3. On considère l’homothétieh de centre I et transforme B en C:
a) On a : h(B) = C, donc l’image de la droite (AB) par l’homothétie h est la droite qui passe par C et parallèle à la droite (AB): Donc : h((AB)) = (CD):
b) Montrons que : k = 2:
On a : h(B) =C, donc : IC!=kIB.! D’autre part, on a : CI!= 23CB! . Donc :
CI! = 2 3
CB! () 3CI!= 2CB!
() 3CI!= 2 CI!+IB! () 3!
CI = 2!
CI+ 2 ! IB () CI!= 2IB!
Donc; on obtient :IC!= 2IB! . Ce qui signi…e que : k = 2:
! !
Donc :
IK! = KI!
= 2AB!
= 2 |{z}DC!
AB=! DC!
= 2IJ! Donc, K est l’image du point J par h:
b) Montrons que : AI = 12CK:
On a : h(J) = K et h(B) = C; donc d’apère la propriété caractéristique, on obtient :CK!= 2BJ :!
Donc :
CK! = 2 BI!+IJ!
= 2 !
BA+ ! AI+ !
DC
= 2 DC!+AI!+DC!
= 2AI!
D’où : CK!= 2AI;! et par passage à la norme on obtient : CK! =j 2j AI ;! c’est- à-dire : CK = 2AI. D’où
AI = 1 2CK FIN
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Pr : Yahya MATIOUI
