________ Calcul et mise en équation ________

Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION

MATHEMATIQUES

Semestre 1

________ Calcul et mise en équation ________

COURS

Document en ligne : sur http://jff-dut-tc.weebly.com section BUT TC.

%

SOMMAIRE

1 TAUX ET ELASTICITE 5

1.1 PROPORTIONNALITE 5

1.2 TAUX SIMPLES 7

1.3 INDICES 10

1.4 TAUX DE VARIATION 12

1.5 ELASTICITE 14

2 ELEMENTS DE CALCUL 16

2.1 PUISSANCES DE 10, ARRONDIS ET CHIFFRES SIGNIFICATIFS 16

2.2 CALCULS DE TETE 18

2.3 SIMPLIFIER UNE FRACTION 19

2.4 CONVERSION D’UNITES DE TEMPS 20

2.5 CALCUL APPROCHE 20

3 METHODES DU 1^ER DEGRE 21

3.1 PRESENTATION ET RESULTATS 21

3.2 INTERPOLATION LINEAIRE 22

3.3 SYSTEMES D’EQUATIONS 23

3.4 MISE EN EQUATION D’UN PROBLEME 24

3.5 INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION LINEAIRE 25

1 Taux et élasticité

1.1 Proportionnalité

1.1.1 Listes, grandeurs, proportionnelles

Une liste est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis. On souhaite comparer deux listes

(

^{, , , ,...}

)

l= a b c d et ^L=

(

^{A B C D, , , ,...}

)

formées du même nombre de termes, tous non nuls.

Dire que les deux listes l et L sont proportionnelles, c’est dire que tous les rapports calculables entre les deux listes sont égaux : A B C D ...

a = = =b c d = =t.

Ce rapport unique t est appelé coefficient de proportionnalité de l vers L.

Exemple 1 : Soit les listes l = (2, 4, 7, 10, 20) et L = (6, 12, 21, 30, 60). Sont-elles proportionnelles ? Calculons les rapports : 6

2=3 ; 12

4 =3 ; 21=

7 3 ; 30=

10 3 ; 60= 20 3. La liste L est « trois fois plus grande » que la liste l ; rapport constant : 3.

Elles sont donc proportionnelles et le coefficient de proportionnalité de l vers L est 3.

On peut écrire L= ×3 l.

Remarque : on peut aussi raisonner sur les rapports inverses (en divisant les valeurs de la liste l par celles de la liste L) : 2=1

6 3 ; 4 =1

12 3 ; 7 =1

21 3 ; 10 =1

30 3 ; 20 =1 60 3

Une grandeur est une donnée variable qui peut se mesurer. Deux grandeurs peuvent être proportionnelles.

Exemple 2 : Une automobile roule à 80 km/h. La distance parcourue et le temps passé sont-ils proportionnels ?

Ici, distance et temps sont deux grandeurs pour lesquelles nous n’avons pas de valeurs.

Nous pouvons :

* soit créer quelques exemples et les représenter :

En une heure, la distance parcourue est 80 km, en deux heures 160 km, en trois heures 240 km, etc. Tableau :

temps de trajet (t, en h) 1 2 3

distance parcourue (d, en km) 80 160 240

Résultat général : il semble bien que, pour n’importe quelle durée t, la distance parcourue se calcule en multipliant t par 80. d et t sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité de t vers d est 80 : d =80×t .

* soit connaître la formule générale qui relie distance, vitesse et temps : d = ×v t.

On remarque que cette formule traduit immédiatement une situation de proportionnalité entre la distance et le temps, avec un coefficient de proportionnalité égal à v.

1.

2.

1.1.2 Produits en croix et formules rectangulaires

* Lorsqu’on a l’égalité de deux fractions : ^{a c}

b =d , on a l’égalité des produits en croix : ad = bc.

Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportionnalité et considérer de façon mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction : ,

qui entraîne les égalités : a b, c d, b d, a c c =d a=b a=c b=d. Exemple : ⁵ ₌²

20 8 équivaut à 5 × 8 = 20 × 2, ⁵₌²⁰

2 8 , ²₌ ⁸

5 20, ²⁰ ₌⁸ 5 2.

* L’égalité des produits en croix permet de trouver la quatrième proportionnelle :

Si, dans un tableau de proportionnalité , les trois valeurs a, b et c sont connues, alors d ^{b c} a

= × .

1.1.3 Tableau de proportionnalité

Lorsque les valeurs de deux grandeurs (ou de deux listes) proportionnelles sont positionnées dans un tableau, ce dernier est appelé tableau de proportionnalité.

Un tel tableau possède des propriétés remarquables :

* la multiplication/division d’une colonne par un nombre de notre choix donne une autre colonne proportionnelle aux autres,

* l’addition/soustraction de deux colonnes donne une troisième colonne proportionnelle aux autres,

* dans un groupe de deux colonnes, les produits en croix sont égaux.

2 4 6 10 20 1 2 3

7 14 21 35 70 80 160 240

2 × 14 = 7 × 4 (= 28) 1 × 240 = 80 × 3 (= 240)

col.2 + col.3 = col.4 col.3 – col.2 = col.1 col.1 + col.2 = col.3

5 × col.2 = col.5 3 × col.1 = col.3

1.1.4 Représentation graphique Enfin, la représentation graphique d’un tableau de proportionnalité est une droite contenant l’origine.

Exemple : prenons le tableau

2 4 6 10 20

7 14 21 35 70

× 5

× 5

× 3

× 3

3.

1.2 Taux simples

1.2.1 Définitions

* Le taux d’une grandeur v par rapport à une grandeur V est le coefficient de proportionnalité de la première vers la seconde.

Le taux de v par rapport à V est le rapport v t=V

Exemple : le taux de 24 par rapport à 30 est 24 % 0,8 80 t=30= = .

Autrement dit : 24 représente 0,8 fois 30 ; ou encore : 24 représente 80% de 30.

* Le "symbole" % :

« % » signifie « /100 » ; c’est une opération.

La conversion d’un rapport en une fraction sur 100, par exemple : 20/25 = 0,8 = 80/100, est extrêmement courante depuis longtemps, et l’écriture manuelle souvent rapide de cette division par 100 s’est

déformée au fil des siècles jusqu’à ce que l’un des zéros de 100 se retrouve du mauvais côté du trait de fraction et que le 1 de 100 disparaisse.

Dire 80%, c’est donc dire 80/100, c’est-à-dire : 80% = 0,8.

80% n’est pas un pourcentage, c’est un taux.

* Le pourcentage de v par rapport à V est le nombre v 100 p= ×V Avec l’exemple précédent : p = 80.

Le pourcentage rapporte à 100 la comparaison de v par rapport à V.

1.2.2 Taux simple et proportion :

Calculer une valeur v égale à un pourcentage p d'une valeur V, c'est : calculer une valeur v qui a le même rapport à V que le rapport de p à 100.

Les listes (v , V) et (p , 100) sont proportionnelles.

Exemples :

valeur pourcentage

testée 20 80

référence 25 100

" 20 représente 80 % de 25 ".

valeur pourcentage

testée 50 104,2

référence 48 100

" 50 représente 104,2 % de 48 ".

valeur pourcentage

testée 8 25

référence 32 100

" 25 % de 32 valent 8 ".

valeur pourcentage

testée 56 200

référence 28 100

" 200 % de 28 valent 56 ".

4.

5.

6.

1.2.3 Exemples issus du domaine commercial Prospection et conquête de clients

Le taux de conversion

Il s’agit du taux de transformation de prospects en clients.

Lorsqu’un commercial cherche à conquérir de nouveaux clients, on compare le nombre de ces derniers au nombre de prospects contactés.

Exemple : 68 prospects ont fait l’objet d’une visite, et parmi eux, 17 ont passé commande. Le taux de conversion est donc 17/68 = 0,25 = 25%.

Le taux de fidélisation

Il s’agit du rapport entre les clients non nouveaux d’une année et le nombre total de clients.

Exemple : L’année dernière, parmi les 140 clients, 35 étaient nouveaux. On en déduit que 105 clients ont une ancienneté de commandes de plus d’un an et que le taux de fidélisation est 105/140 = 0,75 = 75%.

Le taux de pénétration

Il s’agit du rapport nombre de clients / nombre de personnes dans la zone de chalandise.

Le taux de clic

Sur un média social ou un site web : rapport entre le nombre de personnes qui ont vu une publicité et le nombre de personnes qui ont cliqué dessus. On note CTR ce taux.

Exemple : si 2000 personnes ont vu la publicité, dont 60 ont cliqué sur le lien, le CTR vaut 3%.

Le taux de rebond

Il s’agit du rapport nombre de ventes non prévues / nombre de clients ayant consommé.

On comptabilise donc les ventes supplémentaires, non prévues par le client a priori, mais réalisées à l’initiative du commercial.

Exemple : Dans ce magasin, en une semaine, 125 clients ont acheté quelque chose, dont 25 ont acheté en plus des articles qu’ils n’avaient pas prévu, mais qui ont été conseillés par les vendeurs. Le taux de rebond est donc 25/125 = 20%.

Coûts et recettes commerciales taux sur le chiffre d’affaires

Il s’agit du rapport CA (chiffre d’affaires) réalisé / CA prévisionnel.

Des objectifs de vente sont donnés (CA prévisionnel) pour une période. A la fin de celle-ci, le CA réalisé est connu et la comparaison peut être faite.

nb : ce taux peut être calculé sur la marge plutôt que sur le CA.

Exemple : le CA prévisionnel était 44000 € et le CA réel se monte à 42500 €. Taux : 42,5/44 = 96,59%.

Le taux de marge

Il s’agit du taux de la marge comparée au coût d’achat.

Exemple : un magasin achète des articles 120 € / pièce à un fabricant et les revend 150 € / pièce. Sa marge est donc égale à 30 € et son taux de marge se monte à 30/120 = 25%.

Le taux de marque

Il s’agit du taux de la marge comparée au chiffre d’affaires.

Exemple : un magasin achète des articles 120 € / pièce à un fabricant et les revend 150 € / pièce. Sa marge est donc égale à 30 € et son taux de marque se monte à 30/150 = 20%.

Le ratio de profitabilité

Il s’agit du rapport Résultat net / chiffre d’affaires.

Exemple : un magasin achète des articles 120 € / pièce à un fabricant et les revend 150 € / pièce. Sa marge est donc égale à 30 € et son taux de marque se monte à 30/150 = 20%.

Marché et concurrence La part de marché en volume

Il s’agit du rapport Volume des ventes de l’unité commerciale / Volume total des ventes.

Exemple : La chaîne de magasins KISAP a vendu 12 000 jeans d’un modèle donné ; ce modèle a été vendu à 72 000 exemplaires en France sur la même période. La part de marché en volume de KISAP sur ce produit est 12/72 = 16,7%.

La part de marché en valeur

Il s’agit du rapport CA de l’unité commerciale / CA total.

Exemple : La chaîne de magasins KISAP a vendu pour 600 k€ de jeans d’un modèle donné ; ce modèle a représenté un CA de 4,2 M€ en France sur la même période. La part de marché en valeur de KISAP sur ce produit est 600/4200 = 14,3%.

La part de marché relative

Il s’agit du rapport part de marché de l’unité commerciale / part de marché du principal concurrent.

Exemple : La chaîne de magasins KISAP a une part de marché de 10% sur un produit alors que son principal concurrent, KIFRING, a une part de marché de 16%. La part de marché relative de KISAP par rapport à KIFRING est 10/16 = 62,5%.

1.3 Indices

1.3.1 Indice simple ou élémentaire

Lorsqu'on veut suivre dans le temps l'évolution d'une valeur à intervalles réguliers, tout en gardant la possibilité d'une comparaison simple avec ce qu'elle était au départ, on peut utiliser un indice. La valeur initiale sert de référence ; pour cela, elle est mise en correspondance avec une valeur « ronde », indice initial de référence, au choix : 1, 10, 100, 1000, 10000, … Puis les valeurs suivantes sont converties proportionnellement à ce choix, pour devenir des indices.

Ex :

Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg année N, 2,12 €/kg année N+1, 1,53 €/kg année N+2. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 à l’année N, calculer les indices du cours aux années suivantes.

N N+1 N+2

1,84 2,12 1,53

1000 1152,17 831,52

indice N+1 = 2,12×1000/1,84 ≈ 1152,17 indice N+2 : 1,53×1000/1,84 ≈ 831,52 Par rapport à l’année N, l’indice a gagné Par rapport à l’année N, l’indice a perdu 152 points pour 1000, soit 15,2 pour 100. 168,5 points pour 1000, soit 16,85 pour 100.

Indice simple ou indice élémentaire

Un indice est dit élémentaire lorsqu’il ne concerne qu’un seul phénomène.

Soient Pi et P0 deux valeurs prises aux époques i et 0, Ii/0 = Pi

P0.

Ii/0 est l’indice de la valeur P à l’époque i par rapport à l’époque 0 (base).

La définition ci-dessus est donc celle d’un indice de base 1

Il arrive qu’on exprime ce ratio en pourcentage, il suffit donc de le multiplier par 100. Dans ce cas, on dit que la base 100 est à l’époque 0 et les indices suivants seront appelés « pourcentages ».

Un pourcentage est donc un indice de base 100 Propriétés

- La transférabilité : Elle permet de changer de base très facilement : I2/0 = I2/1× I1/0

- La réversibilité : Elle permet de transférer l’indice sous une autre forme : I1/0 = 1 I0/1

- La circularité : Elle découle des deux propriétés précédentes : I2/0× I0/1× I1/2 = 1

7.

1.3.2 Indice synthétique

Un indice est un rapport entre deux valeurs Pi et P0 prises aux époques i et 0 afin de mesurer l’évolution d’un phénomène dans le temps. Les indices synthétiques permettent de combiner l’évolution simultanée de plusieurs phénomènes.

Indice synthétique

Un indice synthétique permet de mesurer l’évolution de plusieurs grandeurs simultanément. Cela revient à calculer la moyenne des différents indices simples des différentes grandeurs.

L’élaboration d’un indice synthétique pose deux problèmes :

- Le choix d’une moyenne : la moyenne arithmétique est la plus utilisée

- Le choix de la pondération : pour tenir compte de l’importance du poids de chaque composante dans l’ensemble des grandeurs, on pondère les indices élémentaires par un coefficient (quantités pour calculer un indice de prix…). En définitive, il existe un grand nombre de pondérations et de façons de pondérer. On n’en présentera que deux de chaque ici :

* Méthode de Laspeyres : les poids sont choisis à l’époque 0

* Méthode de Paasche : les poids sont choisis à l’époque 1

Indices Laspeyres Paasche

Des prix

(pondérés par les quantités)

LP(1/0) = ^{1 0}

0 0

P Q P Q

∑

∑

^{PP(1/0) = 1}0 ¹1

P Q P Q

∑

∑

Des quantités

(pondérés par les prix)

LQ(1/0) = ^{1 0}

0 0

Q P Q P

∑

∑

^{PQ(1/0) = 1 1}0 1

Q P Q P

∑

∑

Exemple : on donne dans le tableau ci-dessous les prix de deux aliments sur deux périodes différentes, ainsi que les quantités achetées en un mois, dans une boulangerie :

prix au kg quantité en kg

période 0 période 1 période 0 période 1

pain 3,5 3 60 50

croissants 12 10 20 25

L’indice simple du prix du pain est : 1 0^/

( )

pain 3 0,8571

P 3,5

I = ≈

Si on souhaite un indice global des prix, on doit pondérer l’évolution des prix par celle des quantités (pour relativiser les effets des prix du pain et des croissants). On est alors amené à calculer l’indice synthétique des prix :

Exemple avec Laspeyres : 1 0^/

( )

3 60 10 20 380

pain+croissants 0,8444

3,5 60 12 20 450

LP = × + × = ≈

× + × Exemple avec Paasche : 1 0^/

( )

3 50 10 25 400

pain+croissants 0,8421

3,5 50 12 25 475

PP = × + × = ≈

× + ×

Exprimés en pourcentages, ces indices sont situés entre 84 et 85. De la période 0 à la période 1, l’indice des prix des deux produits a chuté de 15 à 16 points.

Indices usuels :

- indice de hausse des prix (à qualité égale)

- indice du coût de la vie : prix minimum, même avec une modification de la qualité - indice de consommation

- indice des prix des matières premières

8.

9.

1.4 Taux de variation

1.4.1 Définition

Soit une quantité qui évolue d’une valeur initiale v₁ vers une valeur finale v₂.

On appelle taux de variation la variation relative de cette quantité, soit le taux que représente la variation absolue, v₂−v₁, par rapport à la valeur de référence, qui est dans tous les cas v₁. Le taux de variation de v₁ vers v₂ est le nombre ^{2 1}

1

v v

t v

= − .

Le pourcentage de variation de v₁ vers v₂ est le nombre ^{2 1}

1

v v 100

p v

= − × .

1.4.2 Taux de variation et proportion

tableau de proportion mettant en rapport : * la valeur initiale, * la variation, * la valeur finale Exemple : Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". A combien se vend-il, soldé ?

valeur pourcentage

valeur initiale (référence) 35 100

variation -14 -40

valeur finale 21 60

"La remise vaut 14€ et le prix soldé est 21€. Le prix soldé représente 60% du prix initial."

1.4.3 Coefficient multiplicateur

Il en découle l’existence d’un indice de variation, noté c ici : v1

si on veut augmenter une valeur de p _c=^_{ +} ^{p }_

1 

100 %, alors on peut la multiplier par ,

v1

si on veut diminuer une valeur de p c  ^p 

= − 

1 

%, alors on peut la multiplier par 100 . En une seule formule, que le pourcentage p soit positif ou négatif :

On voit donc qu'appliquer un taux de variation t à une valeur, pour la diminuer ou pour l'augmenter, revient à la multiplier par un coefficient c = 1 + t. Ce coefficient s’appelle indice de variation.

Exemples :

1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 5,5%. Quel sera le montant TTC de la facture ?

2 1 €

1 1 5,5 248,5 1,055 248,5 262,17

100 100

v  p  v  

= + × = + × = × ≈

    .

2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la remise ?

2 1 1 1

1 1 15 0,85

100 100

v  p  v   v v

= − × = − × = ×

    , donc ₁ ² 71,25 €

83,82 0,85 0,85

v = v = ≈ .

Exemple : variation de 30 à 24 : 24 30 6 24 30 6

100 100 20 et 0,2 20 %

30 30 30 30

p= − × =− × = − t= − =− = − = −

Exemple : diminuons la valeur 30 de 20 % : ^{v2=30× −}_¹ ₁₀₀^{20 }_^{=30× −}

(

^{1 0,2}

)

^{=30 0,8× =24}

( )

2 1 1 1 1 1

100

v v  p  v t v c

= × + = × + = ×

 

10.

11.

12.

13.

14.

1.4.4 Variations successives et taux moyen

Lorsqu’une grandeur est affectée successivement par n variations aux taux t t₁, , , ₂ ... t_n, sa valeur initiale est tour à tour multipliée par les divers coefficients/indices correspondants c c₁, , , ₂ ... c_n.

Taux global

L’indice global reliant la valeur initiale v₀ à la valeur finale v_n est : C= × × ×c₁ c₂ ... c_n On a donc v_n= × = × +v0 C v0

(

1 T

)

et le taux global de variation est : T= −C 1. Taux moyen

Si on souhaite faire évoluer la valeur initiale v₀ vers la valeur finale v_n en n étapes identiques – chacune représentant le même taux – , alors ce taux est appelé taux moyen.

L’indice moyen vaut : M ¹

(

1 2 ^...

)

¹

n n

c =C = c × × ×c cn . En effet :

1

0 M 0 0

n

n n

vn v c v C  v C

= × = ×  = ×

  ^.

Le taux moyen vaut alors

1

M M 1 ⁿ 1

t =c − =C − .

Exemple : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.

1. Donner le détail des taux de variation, et des indices de variation, entre chaque couple de dates.

%

%

%

1 0 1

1 1 1 1

0 0

2 1 2

2 2 2 2

1 1

3 2

3 3 3

2

96 32 64

2 200 , 1 3 ou 3

32 32

140 96 44

0,4583 45,83 , 1 1,4583 ou 1,4583

96 96

40 140 100

0,7143 71,43 , 1 0,2857 ou

140 140

v v v

t c t c

v v

v v v

t c t c

v v

v v

t c t

v

− −

= = = = = + = + = = =

− −

= = = ≈ = + = + = = =

− − −

= = = ≈ − = − = + = ₃ ³

2

0,2857 c v

=v = 2. Donner le taux global de variation, et l’indice global, entre les dates 1 et 4.

40 32 8 %

0,25 25

32 32

T = − = = = + ou : C= × × =c₁ c₂ c₃ 1,25 ^{et T}= − =^{C 1 0,25}=^25% 3. Quel a été le taux moyen de variation d'une date à l'autre ?

* Sans connaître les formules du haut de la page : on recherche un taux tM qui, appliqué trois fois de suite à partir de 32, nous fasse obtenir 40 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

M M M M M

M

t t t t t

t

× + × + × + = ⇔ × + = ⇔ + =

⇔ + = = ≈

3 3

1

3 3

32 1 1 1 40 32 1 40 1 1,25

1 1,25 1,25 1,07722

Donc tM = 0,07722 = 7,722%. Trois augmentations de 7,722% donnent une augmentation de 25%

* Approche par l’indice global, puis moyen :

1 1 1

3 3 3

M

40 1,25 1,07722 c C 32

= =  = ≈

  ^{et donc} t_M=c_M− =1 0,07722=7,722%^.15.

1.5 Elasticité

Considérons ici deux variables liées : la variation de l’une entraîne celle de l’autre.

On souhaite mesurer l’influence de la première sur la seconde.

1.5.1 Exemple d’approche :

L’entreprise CKC produit des jouets en plastique en grandes quantités. Pour son nouveau modèle, CPT, elle a fait une étude de marché qui montre que la demande Q, exprimée en milliers d’unités, diminue lorsque le prix proposé p, en euros, augmente. Plus précisément, on peut estimer que Q = 500 – 20p.

1. Elle envisage de fixer un prix de vente de 8 €. Quelle quantité peut-elle espérer vendre ? 2. Elle envisage ensuite une augmentation de 5% de son prix de vente.

a. Quelle nouvelle quantité peut-elle espérer vendre ?

b. De quel taux cette quantité a-t-elle évolué par rapport à sa valeur initiale ?

c. Que représente la variation relative de la quantité par rapport à la variation relative du prix ? 3. L’entreprise veut raisonner ici en termes de chiffre d’affaires.

a. Calculer les chiffres d’affaires prévus dans les deux cas précédents.

b. Que représente la variation relative du chiffre d’affaires par rapport à la variation relative du prix ? 1. Q = 500 – 20×8 = 500 – 160 = 340.

2. a. Le nouveau prix unitaire est 8×1,05 = 8,4 €.

La nouvelle quantité est alors Q = 500 – 20×8,4 = 500 – 168 = 332.

b. La variation absolue de la quantité est –8 et sa variation relative est alors –8/340 = –2,35%.

c. Le rapport des variations relatives est alors –2,35 / 5 = –0,47.

Il s’agit de l’élasticité des ventes relativement au prix, pour un prix de 8 € : augmenter le prix de 1%, c’est faire baisser les ventes de 0,47%.

3. a. 1er chiffre d’affaires : 8×340 = 2720 k€. 2e chiffre d’affaires : 8,4×332 = 2788,8 k€.

b. Variation relative du CA : 68,8 / 2720 = 0,0253 = 2,53%

Le rapport des variations relatives est alors 2,53 / 5 = 0,506.

Il s’agit de l’élasticité du CA relativement au prix, pour un prix de 8 € : augmenter le prix de 1%, c’est faire augmenter le CA de 0,506%.

1.5.2 Définitions

On calcule généralement des élasticités aux coûts ou aux revenus.

Elasticité-prix

L’élasticité-prix de la demande mesure la sensibilité de la demande d’un bien à la variation de son prix :

2 1

1

2 1

1

taux de variation de la demande taux de variation du prix

D D

e D

p p

p

−

= = −

Exemple : le prix d’un article est passé de 12,50 € à 11 €, ce qui a provoqué une augmentation de la demande de 3000 à 3500 unités.

Taux de variation : du prix : 11 12,5

0,1364 11

− ≈ − ; de la demande : 3500 3000

0,1667 3000

− ≈ ^.

La demande a augmenté de 16,67% lorsque le prix a baissé de 13,64%.

L’élasticité-prix de la demande vaut donc 0,1667 0,1364 ≈ −1,22

− ^.

Une baisse de prix de 1% provoquerait une augmentation de la demande de 1,22%.

16.

Domaines de valeurs

* une élasticité égale à 1 ou -1 représente une variation de la demande proportionnelle à la variation du prix.

* supérieure à 1 ou inférieure à -1 : la demande réagit de manière plus forte comparée à la variation du prix.

* égale à 0 : le prix n’a aucune influence sur la demande

* positive : si le prix augmente, la demande augmente, et inversement ; concerne deux catégories opposées de biens ou produits :

- biens Veblen (produits de luxe),

- biens Giffen (produits de première nécessité)

* négative : si le prix augmente, la demande diminue (et inversement) ; c’est la situation de la plupart des produits intermédiaires.

Elasticité-revenu

L’élasticité-revenu de la demande est la sensibilité de la demande d’un bien à la variation du revenu :

2 1

1

2 1

1

taux de variation de la demande taux de variation du revenu

D D

e D

r r r

−

= = −

Exemple : le revenu moyen par personne est passé de 2250 € à 2300 €, ce qui a provoqué une augmentation de la demande de 16000 à 17000 unités.

Taux de variation : du revenu : 2300 2250

0,02222 2250

− ≈ ; de la demande : 17 16

0,0625 16

− = ^.

La demande a augmenté de 6,25% lorsque le revenu a augmenté de 2,222%.

L’élasticité-prix de la demande vaut donc

...

6,25 2,8125

2,222 = ^.

Une augmentation de revenu de 1% provoquerait une augmentation de la demande de 2,8125%.

Domaines de valeurs

* une élasticité négative correspond à un bien dit inférieur. Quand le revenu augmente, la demande baisse : caractéristique des produits de première nécessité.

* une élasticité comprise entre 0 et 1 correspond à un bien dit normal.

* une élasticité supérieure à 1 correspond à un bien dit supérieur. Quand le revenu augmente, la demande plus rapidement (plus que proportionnellement).

17.

2 Eléments de calcul

Objectifs : acquérir les bons réflexes de calcul, donner une valeur sous diverses formes (fraction, décimale arrondie, taux), consolider des méthodes de calcul sous des formes diverses, être capable de calculer de tête, de déterminer l’ordre de grandeur d’un résultat

Calcul de tête ?

La calculatrice est un excellent outil, mais qui ne fait que… calculer ce que vous lui demandez. Il faut, en parallèle, être capable de formuler un calcul, de prévoir l’ordre de grandeur d’un résultat, d’en donner un encadrement, un arrondi d’une valeur, de la situer dans un intervalle, …

2.1 Puissances de 10, arrondis et chiffres significatifs

2.1.1 Multiplier/diviser par 10

Commençons par une constatation désolante : certains étudiants, le bac en poche, prennent une calculette pour obtenir le résultat de calculs élémentaires (CE1/CE2) tels que 32 × 10…

Nous allons donc rappeler cela en premier lieu :

multiplier un nombre par 10, c’est décaler sa virgule d’un cran à droite 32 × 10 = 320 4,152 × 10 = 41,52 diviser un nombre par 10, c’est décaler sa virgule d’un cran à gauche 32 ÷ 10 = 3,2

4,152 ÷ 10 = 0,4152 2.1.2 Puissances de 10

Un nombre n placé en exposant à droite d’un autre s’appelle une puissance.

Définition :

Lorsque n est un entier naturel,

a

ⁿ

= × × × a a ⋯ a

(n facteurs) et _n

1 1 a

n

a a a a

−

= =

× × × ⋯

a⁻n est donc l’inverse de aⁿ

2 3

5 9

10 10 10 100 ; 10 10 10 10 1 000 ; 10 10 10 10 10 10 100 000 ;

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 000 000 000

= × = = × × =

= × × × × =

= × × × × × × × × =

10ⁿ possède n zéros.

2 1 3 1 6 1

10 0,01 ; 10 0,001 ; 10 0,000001

100 1 000 1 000 000

− = = − = = − = = 10^–n possède n zéros.

Puissances communes de 10 et préfixes associés : Puissances

de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10

10⁹ Giga milliard G 1,2 GW : 1,2 gigawatts 1 200 000 000 watts

10⁶ Méga million M 53 Mo : 53 mégaoctets 53 000 000 octets*

10³ Kilo millier k 25 km : 25 kilomètres 25 000 mètres

10² Hecto centaine h 12,5 hL : 12,5 hectolitres 1 250 L

10¹ Déca dizaine da 6 dam : 6 décamètres 60 m

10⁰ = 1 : unité

10^–1 Déci dixième d 5,4 dg : 5,4 décigrammes 0,54 gramme

10^–2 Centi centième c 35 cm : 35 centimètres 0,35 mètre

10^–3 Milli millième m 12 mA : 12 milliampères 0,012 ampère

10^–6 Micro millionième µ 64 g : 64 microgrammes 0,000 064 gramme 10^–9 Nano milliardième n 4 nm : 4 nanomètres 0,000 000 004 mètre

*en fait, 1 ko = 1024 o et 1 Mo = 1024 ko

1.

2.1.3 Arrondis à 10^–n près

Approcher ou arrondir un nombre suppose qu’on le cite d’une manière approximative, après avoir choisi une précision à respecter (« à l’entier », « au dixième », « au centième », …).

Arrondir signifie donner la valeur approchée la plus proche. (si demi-entier : entier supérieur)

Comme 10^–n = 0,00..01 (n zéros), « arrondir à 10^–n près » signifie « arrondir à la n-ième décimale ».

2.1.4 Ecriture scientifique et notation calculatrice

Comme on l’a vu au point 2.1.1, opérer une multiplication ou une division par 10 décale la virgule du nombre initial. Si on fait cette opération n fois de suite, les résultats ci-dessous sont immédiats :

multiplier un nombre par 10ⁿ, c’est décaler sa virgule de n crans à droite 32 × 10³ = 32000 4,152 × 10² = 415,2 diviser un nombre par 10ⁿ, c’est décaler sa virgule de n crans à gauche 32 ÷ 10² = 0,32

4,152 ÷ 10³ = 0,004152 Les règles ci-dessus sont valables si l’exposant est positif ! Dans le cas contraire, on change de sens, car :

diviser un décimal par 10ⁿ, c’est le multiplier par 10^–n multiplier un décimal par 10ⁿ, c’est le diviser par 10^–n Ecriture scientifique d’un nombre :

Prenons une quantité quelconque : N = 250 m. Cette même quantité peut être exprimée dans diverses unités. Quelques exemples : N = 250 000 mm = 250 m = 2,5 hm = 0,25 km = etc.

En utilisant des puissances de 10 et en se basant sur l’unité « mètre », ces exemples s’écrivent : N = 250 000 × 10^–3m = 250 m = 2,5 × 10²m = 0,25 × 10³m = etc.

Définition : Exprimer un nombre N en notation scientifique, c’est l’écrire sous la forme : N= ×a 10ⁿ où 1≤ <a 10 et n est un entier relatif

Exemples : 250 = 2,5 × 10² 6 000 = 6 × 10³ 22 600 = 2,26 × 10⁴

2,5 centaines 6 milliers 2,26 dizaines de milliers

0,2 = 2 × 10^–1 0,0035 = 3,5 × 10^–3 0,00004 = 4 × 10^–5

2 dixièmes 3,5 millièmes 4 cent-millièmes

On peut remarquer que déterminer le nombre a tel que 1≤ <a 10 revient à déplacer n fois la virgule du nombre N. Si ce décalage se fait vers la gauche, la puissance sera positive, et s’il est vers la droite, la puissance sera négative.

Attention : la calculatrice (pour la plupart des modèles) n’utilise pas la notation 10ⁿ, mais la remplace par « En » (lorsqu’elle emploie le mode scientifique d’écriture d’un nombre).

Par exemple, le nombre 3 000 000, soit 3×10⁶, sera écrit (en mode scientifique) 3E06.

Piège : cela ne signifie pas « 3 exposant 6 » (nombre qui vaudrait 3⁶ = 729), mais bien 3×10⁶ ! Les grands nombres (ceux qui ne rentrent pas dans l’écran) seront automatiquement écrits en notation scientifique par une calculatrice :

ex : 5 000 000 × 3 000 000 donnera 1.5E13 (1 puis 5 puis douze zéro)

ex : 0,000 000 3 × 0,000 4 donnera 1.2E–10 (0 virgule neuf zéro puis 1 puis 2)

2.

3.

4.

Ordre de grandeur

Définition : l’ordre de grandeur d’un nombre est la valeur 10ⁿ employée dans son écriture scientifique.

Ex : l’ordre de grandeur de 23000 est 10000, soit 10⁴ ; l’ordre de grandeur de 0,08 est 0,1, soit 10^–1 Dans le langage courant, on pourra sortir de ce cadre strict pour rechercher un arrondi grossier d’un nombre et nommer « ordre de grandeur du nombre » le résultat (et on retombe sur la définition de l’arrondi).

2.1.5 Les chiffres significatifs

Terminons par un point important : le degré de précision à choisir pour effectuer un calcul ou présenter un résultat. Pour la précision d’un calcul, le nombre de décimales à employer ne doit pas être figé ; seul compte le nombre de chiffres significatifs.

Exemple : parlons d’un montant de 33850 €. Le nommer en citant 34 k€, c’est perdre de la précision.

En milliers d’euros, il faudrait écrire : 33,85 k€. Et pour le citer en millions d’euros : 0,03385 M€.

On voit que conserver la précision d’un nombre n’implique pas s’en tenir au même nombre de décimales, mais bien citer un nombre minimal de chiffres à partir de la gauche et sans tenir compte des zéro de gauche.

Ex 1 : Le plein d’essence a coûté 71,44 € pour 53 litres. Donner le prix au litre avec 4 chiffres significatifs.

71,44 / 53 = 1,348 €

Ex 2 : Le coût de fabrication d’un nombre n de billes plastique est la somme de frais fixes mensuels (5500 €) et d’un coût unitaire multiplié par le nombre de billes. Pour fabriquer 255400 billes ce mois-ci, le coût total a été de 8475 €. Donner le prix de revient d’une bille avec quatre chiffres significatifs.

8475 = 5500 + p×255400, donc p = 2975 / 255400 = 0,01165 €

Si le prix de revient d’une bille avait été arrondi à 10^–4 près (quatre décimales), quelle aurait été l’erreur sur le coût total ?

5500 + 0,0116×255400 = 8462,64 au lieu de 8475. On aurait commis une erreur de 12,36 € (en négligeant les décimales à partir de la 5e, on commet une erreur de l’ordre de la dizaine d’euros).

2.2 Calculs de tête

2.2.1 Multiplication/division par 5 et variantes multiplier par 50 : diviser par 2 puis multiplier par 100 multiplier par 5 : diviser par 2 puis multiplier par 10 multiplier par 0,5 : diviser par 2

multiplier par 0,05 : diviser par 2 puis par 10

…

diviser par 50 : multiplier par 2 puis diviser par 100 diviser par 5 : multiplier par 2 puis diviser par 10 diviser par 0,5 : multiplier par 2

diviser par 0,05 : multiplier par 2 puis par 10

… 2.2.2 Multiplication/division par 2,5 et variantes multiplier par 25 : diviser par 4 puis multiplier par 100

multiplier par 2,5 : diviser par 4 puis multiplier par 10 multiplier par 0,25 : diviser par 4

multiplier par 0,025 : diviser par 4 puis par 10

…

diviser par 25 : multiplier par 4 puis diviser par 100 diviser par 2,5 : multiplier par 4 puis diviser par 10 diviser par 0,25 : multiplier par 4

diviser par 0,025 : multiplier par 4 puis par 10

…

Ex : 68 × 2,5 = 68 / 4 × 10 = 17 × 10 = 170 30 / 0,25 = 30 × 4 = 120 5.

6.

7.

8. 9.

2.2.3 Fractions de l’unité

Il est utile de retenir quelques fractions simples de l’unité.

Ce sera facilité par le fait que l’écriture décimale d’une fraction de nombres entiers contient une périodicité à partir d’une certaine décimale, dans le cas d’un nombre infini de décimales.

... ...

... ... ...

1 1 1 1 1

0,5 ; 0,3333 ; 0,25 ; 0,2 ; 0,1666 ;

2 3 4 5 6

1 1 1 1 1

0,142857 142857 ; 0,125 ; 0,1111 ; 0,1 ; 0,090909

7 8 9 10 11

= = = = =

= = = = =

Le cas de 1

7 se démarque des autres, mais on observe dès la première décimale une périodicité sur un groupe de six chiffres, qui peuvent se lire deux par deux, construits sur la base de multiples de 7.

Les fractions dont le dénominateur est 7 sont également remarquables :

... ... ...

... ... ...

1 2 3

0,142857 142857 ; 0,285714 285714 ; 0,428571 428571 ;

7 7 7

4 5 6 7

0,571428 571428 ; 0,714285 714285 ; 0,857142 857142 ; 1

7 7 7 7

= = =

= = = =

2.3 Simplifier une fraction

2.3.1 Nombres premiers

Un nombre entier positif est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Exemples : 2 est un nombre premier : il n’est divisible que par 1 et 2

7 est un nombre premier : il n’est divisible que par 1 et 7 (et pas par 2, 3, 4, 5 ou 6) 13 est un nombre premier : il n’est divisible que par 1 et 13 (et pas par 2, 3, 4, … ou 12) Contre-exemples : 4 n’est pas un nombre premier, car divisible par 1, 2 et 4

6 n’est pas un nombre premier, car divisible par 1, 2, 3 et 6 1 n’est pas un nombre premier, car divisible uniquement par 1

Finalement, les nombres premiers sont ceux qui ne figurent dans aucune table de multiplication, en tant que résultats (hormis dans la table de 1…)

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Tout nombre entier n supérieur à 1 peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers pi.

... ...

1 2

1 2

i k

a a

a a

i k

n= p ×p × ×p × ×p

Cette décomposition du nombre entier n en facteurs premiers est unique.

Exemples : 6 = 2 × 3 12 = 2² × 3 25 = 5² 30 = 2 × 3 × 5 45 = 3² × 5 147 = 3 × 7²

Ce résultat est efficace pour trouver un procédé de réduction des fractions :

Une fois numérateur et dénominateur décomposés en produits de facteurs premiers, puis les simplifications effectuées, nous arrivons à une fraction irréductible.

10.

2.3.2 Divisibilité

Critères de divisibilité : quelques exemples divisible

par critère exemple

2 chiffre des unités = 0, 2, 4, 6 ou 8 536 car 6

3 [somme des chiffres] divisible par 3 285 car 2+8+5 = 15 4 nombre [dizaines,unités] (2 chiffres) divisible par 4 3516 car 16

5 chiffre des unités = 0 ou 5 735 car 5

7 [nombre de dizaines – 2 × chiffre unités] divisible par 7 833 car 83 – 6 = 77 9 somme des chiffres divisible par 9 288 car 2+8+8 = 18 Exemples de simplifications de fractions :

× × × × × × × × × ×

= = = = =

× × × × × × × × × ×

630 3 210 3 3 70 3 3 5 14 3 3 5 7 2 2

3465 3 1155 3 3 385 3 3 5 77 3 3 5 7 11 11

× × × × × ×

= = = =

× × × × × ×

650 2 325 2 5 65 2 5 5 13 26

375 3 125 3 5 25 3 5 5 5 15

2.4 Conversion d’unités de temps

Nous avons parfois affaire à des calculs incluant une durée, qui doit alors être convertie en une unité.

Par exemple, 1h15min doit être exprimée en heures, ou en minutes.

1h15 minutes = 1 heure et quart = 1 heure + 0,25 heure = 1,25 heure Dans tous les cas, convertir des minutes en heures impose de les diviser par 60 :

1h15 minutes = 1 heure + 15/60 heure = 1 heure + 0,25 heure = 1,25 heure

Dans l’autre sens, convertir des heures en minutes imposera donc de les multiplier par 60 : 1h15 minutes = 1×60 min + 15 min = (60 + 15) min = 75 minutes

2.5 Calcul approché

L’objectif de ce paragraphe est de vous permettre d’obtenir une valeur approximative, suffisamment juste pour raisonner, et ce, le plus rapidement possible pour pouvoir, sur le vif, sans machine, avoir un ordre de grandeur suffisant pour prendre une décision.

Il s’agit donc d’arrondir les valeurs issues d’un calcul à une précision « raisonnable » (d’ailleurs l’ordre de grandeur mathématique – voir définition – est rarement un arrondi de la valeur concernée).

Lorsqu’on veut multiplier deux valeurs, on peut imaginer prendre une valeur approchée inférieure de l’une et une valeur approchée supérieure de l’autre, le tout dans des proportions similaires.

Ex : Le taux horaire de la machine est 412,10 € ; vous allez devoir arrêter la machine pendant 2h25min pour mettre en œuvre une amélioration. Quel est le coût de l’arrêt ?

Le premier facteur dépasse légèrement (en proportion de sa valeur) 400 et le second est légèrement inférieur à 2,5 heures. On peut donc se permettre d’écrire :

412,10 × 2h25 ≈ 400 × 2,5 = 1000€. Le calcul exact donne : 995,91 €…

Lorsqu’on veut diviser deux valeurs, on s’attachera à les augmenter, ou bien à les diminuer, toutes les deux dans des proportions similaires, de façon que le quotient ne soit pas trop modifié et que les nouvelles valeurs permettent un calcul rapide.

Ex2 : Diviser 2327 par 579.

On calculera le rapport 2400/600, qui vaut 4.

Une valeur plus précise de 2327/579 est 4,019…

11.

12.

13.

3 Méthodes du 1

^er

degré

3.1 Présentation et résultats

3.1.1 Une variable/inconnue

On traite ici des expressions affines, de type P(x) = ax + b, où a et b sont deux coefficients réels fixés (si a est nul, l’expression est de degré zéro, cas que nous engloberons également), et x une variable réelle pouvant a priori parcourir ℝ tout entier.

Il est clair que lorsqu’on fait varier x, le nombre P(x) varie à son tour.

Nous avons ici pour objectifs :

* de déterminer quelles sont les valeurs de x qui rendent P(x) négatif, nul, ou positif, ou encore inférieur, égal ou supérieur à un certain nombre ;

* d’établir le sens de variation de P(x) – si x croît, P(x) fait-il de même ? Nous admettrons les résultats présentés ci-dessous :

: b

a ax b x

≠0 + =0 ⇔ = −a

: :

a ax b x b

a

a ax b x b

a

> + > ⇔ > −

< + > ⇔ < −

0 0

0 0

: k b

a ax b k x

a

≠0 + = ⇔ = −

: :

k b

a ax b k x

a k b

a ax b k x

a

> + > ⇔ > −

< + > ⇔ < − 0

0

ax b a

ax b a

+ ⇔ >

+ ⇔ <

strictement croissant 0 strictement décroissant 0

Les formes du premier degré présentent des « variations proportionnelles » : Si x varie de 1 unité, ax + b varie de a unités ;

Si x varie de 10 unités, ax + b varie de 10×a unités ; etc.

3.1.2 Représentation graphique

Travaillons dans un plan que l’on munit d’un repère

(

^{O, ,i j}

)

. Tout point de ce plan peut être décrit de manière unique par le couple de ses coordonnées (par projection sur un axe parallèlement à l’autre), couple que nous noterons

( )

^{x y, .}

Dans ce cadre, choisissons deux réels a et b. Les points du plan dont les coordonnées ont la particularité de vérifier l’égalité y = ax + b sont tous les points d’une même droite, ni plus, ni moins.

Appelons (D) cette droite.

Le nombre a est la pente, ou coefficient directeur, de (D) ;

le nombre b est l’ordonnée à l’origine de (D) (à l’intersection de la droite avec l’axe Oy) ; la relation y = ax + b est l’équation (réduite) de (D).

Les autres points du plan dont les coordonnées vérifient y > ax + b (resp. y < ax + b) sont tous les points du demi-plan qui se trouvent « au-dessus » (resp. « au-dessous ») de (D).

3.2 Interpolation/extrapolation linéaire

Le thème de la proportionnalité – et son pendant graphique, le théorème de Thalès – nous permet de déterminer la position d’un point M aligné avec deux autres points repérés E et F.

Prenons par exemple E(2 ; 2) et F(5 ; 3,5), puis plaçons un point M(a ; b) sur le segment [EF].

La connaissance de l’une des coordonnées de M nous donnera l’autre ; il suffit pour cela d’appliquer le théorème de Thalès !

Ce théorème nous affirme en particulier que : ^{M E F E}

M E F E

y y y y

x x x x

− = −

− − . (en d’autres termes : les pentes des droites (EM) et (EF) sont égales)

Ici : 2 1,5

2 3

b a− =

− . Il vient : ^{a− =2 2}

(

^{b− ⇔ =2}

)

^{a 2b−2}, pour déterminer a à partir de b, ou encore : ^{b− =2 0,5}

(

^{a− ⇔ =2}

)

^{b 0,5a+1}, pour déterminer b à partir de a.

On notera que cette dernière expression n’est autre que l’équation de la droite (EF) : y = 0,5x + 1.

Cette remarque entraîne la possibilité tout aussi directe de pratiquer une extrapolation linéaire : il n’est pas nécessaire que M se trouve entre E et F pour que le théorème de Thalès soit valable ! Récapitulons :

Soit deux points E(x1 ; y1) et F(x2 ; y2) et un point M(a ; b) aligné avec E et F.

Alors : ^{1 2 1}

1 2 1

b y y y

a x x x

− = −

− − , relation qui permet de déterminer b une fois a connu (ou le contraire).

a b

x y

1.

3.3 Systèmes d’équations

On cherche ici à répondre à la question posée de l’existence d’une liste (x0, y0, z0, …) de valeurs inconnues (au départ) d’un certain nombre de variables x, y, z, … , existence soumise à conditions par le biais d’équations qui les lient.

Le nombre de variables/inconnues, le nombre d’équations les mettant en relation et la forme de ces relations sont parfaitement arbitraires et dépendent du cas concret considéré.

Nous nous cantonnerons ici à des systèmes de deux équations à deux inconnues « 2,2 », ou trois équations à trois inconnues « 3,3 », et qui plus est des systèmes linéaires, donc de la forme :

( ) ( )

a x b y c E a x b y c E

 + =



+ =



1 1 1 1

2 2 2 2

ou

( ) ( ) ( )

a x b y c z d E a x b y c z d E a x b y c z d E

 + + =

 + + =

 + + =



1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

On peut savoir d’emblée si tel ou tel système linéaire possède une solution unique – un couple

(

^{x y0, 0}

)

^{, un}

triplet

(

^{x y z0, 0, 0}

)

- ou alors si le système en possède une infinité, ou pas du tout.

Dans le cas de la solution unique, rappelons ici simplement les techniques « manuelles » de résolution : L’identification

Se pratique plus facilement sur les systèmes « 2,2 » ; consiste à choisir une des deux inconnues, l’écrire dans chaque équation en fonction de l’autre, puis dire que les deux expressions sont identiques.

La substitution

Consiste, dans une équation, à exprimer une inconnue en fonction des autres, puis d’en faire le remplacement dans les autres équations.

La combinaison linéaire

Consiste à remplacer une des équations,

( )

Ei , par une combinaison linéaire d’elle-même avec une, deux ou plusieurs autres, donc par une équation de type ^a×

( )

^{Ei + ×b}

( )

^{Ej + ×c}

^{( )}

^{Ek +...} dans le but d’y éliminer l’une des inconnues.

Le pivot de Gauss (pour les férus de calcul)

Consiste à utiliser des combinaisons linéaires bien choisies qui rendent le système triangulaire.

3.4 Mise en équation d’un problème

3.4.1 Exemple d’approche

Considérons des quadrillages carrés : conjecturer le nombre de carreaux qui ceinturent le carré, en fonction des dimensions du quadrillage. Faire de même pour le nombre de carreaux intérieurs.

On peut commencer par dénombrer les carrés gris et blancs dans les figures ci-dessus : figure 1 (n = 3) : 8 carrés gris, 1 carré blanc

figure 2 (n = 4) : 12 carrés gris, 4 carrés blancs figure 3 (n = 5) : 16 carrés gris, 9 carrés blancs

Dans tous les cas, les carrés gris peuvent être vus comme couvrant quatre côtés de longueur n – 1 : il y a donc 4(n – 1) carrés gris (à vérifier avec les trois exemples ci-dessus).

Dans tous les cas, les carrés blancs peuvent être vus comme couvrant l’intérieur du carré, lui-même un carré de côté n – 2 : il y a donc (n – 2)² carrés blancs (à vérifier avec les trois exemples ci-dessus).

On peut aussi se poser d’autres questions, comme : comparer, en fonction de n, le nombre de carrés gris et celui de carrés blancs. Pour résoudre cette question, on peut étudier le signe de la différence des deux : nb carrés blancs – nb carrés gris = (n – 2)² – 4(n – 1) = n² – 4n + 4 – 4n + 4 = n² – 8n + 8. Ce polynôme du second degré a un premier coefficient positif et un discriminant strictement positif (∆ = 32). Il est donc négatif lorsque n se trouve entre ses racines et positif ailleurs. Ses racines valent environ 1,17 et 6,83.

Les valeurs de n intéressantes (existence des carrés blancs) sont supérieures à 2.

Conclusion : le nombre de carrés blancs dépasse le nombre de carrés gris à partir de n = 7.

3.4.2 Mise en équation

En amont de la réalisation de calculs, de la résolution d’équations, ou encore de l’étude d’une fonction, on peut avoir à traduire dans un premier temps un cas posé concret en langage mathématique, afin de le résoudre.

Démarche à adopter :

Repérer la (ou les) variable / l’inconnue, dans la question finale posée ;

Traduire les informations de l’énoncé en relations ou contraintes, en utilisant la variable / l’inconnue ;

S’il y a lieu, écrire sous forme d’expression la « fonction objectif » de l’exercice (si une grandeur est à optimiser, par exemple) ;

Résoudre mathématiquement le cas.

2.

3.5 Introduction à la programmation linéaire

Programmation linéaire :

Recherche du maximum ou du minimum d'une fonction (économique le plus souvent) compte tenu de certaines contraintes représentées par des équations ou des inéquations du premier degré.

Nous travaillerons ici exclusivement sur des problèmes linéaires et à deux variables (cas plus complexes traités en deuxième année et – heureusement - sur tableur). Malgré la simplicité (non apparente) de ce que nous traiterons au-dessous, la méthodologie que nous allons suivre est très générale : c’est celle de la mise en équation d’un problème, quel qu’il soit.

Progressons par étapes, en suivant un exemple "fil rouge".

Exemple fil rouge :

Une société met en bouteille de l'eau minérale, suivant deux conditionnements :

* par bouteilles d'un litre et demi, vendues 80 € le lot de cent bouteilles,

* par bouteilles d'un demi litre, vendues 30 € le lot de cent bouteilles.

Pour être produite, chaque bouteille doit passer par 3 ateliers :

atelier 1 : remplissage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 68 h,

atelier 2 : sertissage, étiquetage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 88 h, atelier 3 : emballage, conditionnement ; durée maximale de travail hebdomadaire : 76 h.

Le tableau ci-dessous indique les temps nécessaires, en heures, à prévoir dans chaque atelier pour chaque lot de 100 bouteilles à produire (les données sont volontairement simplistes, voire irréalistes, pour faciliter les calculs dans le cadre de cet exemple) :

atelier 1 atelier 2 atelier 3

1,5 L 3 h 3 h 1 h

0,5 L 1 h 2 h 2 h

Combien doit-on produire (et vendre) de chaque type de lot pour optimiser le chiffre d'affaires ?

Pour la résolution de ce problème, voir les corrigés des exercices 3.5.1, 3.5.2 et 3.5.3 dont on reprend les énoncés ci-dessous.

3.5.1 Mise en équation des contraintes

Les temps maximum passés dans chaque atelier ne permettent pas de produire à l'infini…

a. Que sont ici les variables ?

b. Sur quelles grandeurs l’énoncé pose-t-il des contraintes ?

c. Pour ces quantités produites variables x et y, comment exprimer le temps passé dans l'atelier 1 ? d. Faire de même pour les ateliers 2 et 3

e. Récapituler l'ensemble des contraintes imposées aux quantités x et y dans un système unique, où chaque inéquation sera écrite sous sa forme réduite.

3.5.2 Représentation graphique - polygone des contraintes

Une inéquation linéaire du premier degré à deux inconnues a pour forme cartésienne : Ax + By + C < 0 , et pour forme réduite : y < ax + b ou y > ax + b ou x < c ou x > c.

Ses solutions sont les couples (x, y) correspondant aux points d'un demi-plan délimité par la droite d'équation y = ax + b ou d'équation x = c.

Les solutions d'un système composé de telles inéquations sont les couples (x, y) correspondant aux points communs aux demi-plans solutions de chaque équation.

On pratique là un régionnement du plan.

a. Représenter, dans un repère orthogonal, les droites issues des inéquations du système de

contraintes obtenu au TD1 : on légendera correctement les axes du repère ainsi que les droites tracées Mettre en évidence la région du plan solution du système.

Marquer en gras le polygone des contraintes, frontière de cette région.

b. Donner les coordonnées des sommets de ce polygone.

c. L'entreprise peut-elle produire 5 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 15 lots de 0,5 L ? d. L'entreprise peut-elle produire 20 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 20 lots de 0,5 L ?

3.5.3 Droites d'iso-profit (ou iso-coût), optimisation

Une équation du type C = ax + by reliant deux variables x et y se traduit par une droite du plan.

Si b est différent de 0, son équation réduite s'exprime ainsi : y = -(a/b)x + C/b.

-(a/b) est son coefficient directeur, ou pente ;

C/b est son ordonnée à l'origine, ordonnée du point d'intersection entre la droite et l'axe (Oy).

Supposons a et b fixés, et gardons la possibilité de faire varier C.

A chaque valeur de C correspond une droite ; on peut donc créer une famille de droites.

Les droites de cette famille ont toutes la même pente (-a/b) : elles sont parallèles entre elles.

Leurs ordonnées à l'origine, C/b, sont proportionnelles à C.

On appelle C(x, y) le chiffre d'affaires réalisé par la vente de x lots de 100 bouteilles de 1,5 L et de y lots de 100 bouteilles de 0,5 L.

C sera à optimiser : c'est notre fonction objectif.

a. Calculer C(5, 15) puis C(20, 20).

b. Pour en simplifier l'écriture, on notera C le chiffre d'affaires défini ci-dessus.

Exprimer C en fonction de x et y.

Mettre cette expression sous la forme de l'équation réduite d'une droite DC. c. Tracer sur le graphique du TD4.2, les droites D1200 et D2400.

d. Répondre graphiquement aux questions suivantes :

Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 1200 € ? Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 2400 € ? e. La droite d'iso-profit maximisant le chiffre d'affaires est celle qui, tout en possédant au moins un

point commun avec l'intérieur du polygone des contraintes ou avec le polygone lui-même, possède la plus grande ordonnée à l'origine possible. Trouver cette droite, graphiquement.

f. Récapituler :

Le chiffre d'affaires maximum possible correspond à la production (…… ; ……) et vaut …………€.