Exercice 1 - Compléter le tableau

GMP - Maths S2- Séance 1. Généralités, ED du 1^er ordre linéaires homogènes à coefficients constants.

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Exercice 1 - Compléter le tableau

Exercice 2 -

a. linéaire, coefficients non constants. (EH) : 2xy′ − =y 0.

b. non linéaire. ² . ² 1 ²

2 0 0

Y=y ⇒Y′= yy′ yy′− = ⇔x 2Y′− =x , qui est linéaire.

c. linéaire, coefficients constants, homogène.

d. non linéaire. e. non linéaire.

Exercice 3 - QCM

1) L’équation différentielle y’ – xy= 5 est :

linéaire homogène à coefficient constant du second ordre

2) Parmi ces équations différentielles, laquelle est linéaire ?

x−yy′=0 y′ − =xy x² 2y′ = y² y ^x

′ + =y 0 3) L’équation différentielle y′′−x y² ′+ + =y 1 0 est :

homogène du premier

ordre

à variables

séparables linéaire

4) Parmi les fonctions proposées, laquelle est une solution de xy′ + =y 1 ^? 1

y= +x y= −1 x 1

y 1

= + x 1

y 1

= −x

Exercice 4 -

Trouver la solution des équations différentielles qui vérifie les conditions données : . y′ + y=

a 3 0 et f (0) = 2

Solution générale : y=Ce^−3x. f (0) = 2 ^{⇔Ce0 = ⇔ =2 C 2. f x}

( )

^=2e−3x.

. 1y′ + y=

b 3 0

2 et f (0) = 1

Solution générale : y=Ce^−6x. f (0) = 1 ^{⇔Ce0 = ⇔ =1 C 1. f x}

( )

^=e−6x.

ordre linéaire linéaire ho- mogène

coefs cons- tants

yy′ − =x² 0 1 NON

xy '

′′ + y1 =

0 _{2 NON}

xy′ − =y

2 4 1 OUI NON NON

y ′ − = y sin x

2

1 OUI NON OUI

y ′′ − + y ′ 2 y + = x 0

2 OUI NON OUI

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Exercice 5 -

Population microbienne. La vitesse d’augmentation d’une population microbienne est à chaque instant proportionnelle – d’un facteur k – à la quantité de microbes vivants. Combien de temps faut-il pour dou- bler cette population ?

Soit ^{Q t}

( )

la quantité de microbes à l’instant t. La vitesse d’augmentation de cette population micro- bienne est donc ^{Q t′}

( )

et l’énoncé signifie : ^{Q t′}

( )

^{= ×k Q t}

( )

, équation différentielle dont la solution gé- nérale est ^{Q t}

( )

^=Cekt.

Notons t₁ et t₂ deux instants séparant le doublement de la population : ^{Q t}

( )

^{2 =2Q t}

( )

^{1 . Ainsi :}

(^{2 1})

( )

^{ln ln}

2 1

2 1 2 1

e^kt 2 e^kt e^{k t t} 2 2 2

C C k t t t t

k

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = .

La durée de doublement de la population est fixe, indépendante de l’instant initial considéré, ce qui est caractéristique des fonctions exponentielles.

Exercice 6 -

Dans cet exercice, les températures sont exprimées en degrés celcius et le temps en heures.

La vitesse de refroidissement de la surface d’un matériau est proportionnelle à sa différence de tempéra- ture avec l’air ambiant (maintenu ici à 20°C). Si on note T(t) la température de la surface au bout d’un temps t, alors on a :

(E) : T’(t) = –a(T(t) – 20) : ED linéaire non homogène où a est une constante réelle positive.

1) En notant y(t) = T(t) – 20, montrer que la fonction y vérifie : y’ = –ay.

( ) ( )

²⁰

( ) ( )

^.

y t =T t − ⇒y t′ =T t′ Donc (E) ^{⇒y t′}

( )

^{= −ay t}

( )

^.

2) Donner la solution générale y(t) et en déduire l’expression de T(t).

( )

^{e at et}

( )

^{e at 20}

y t =C ⁻ T t =C ⁻ + .

3) On constate que T(0) = 100 et T(0,25) = 60. Trouver les valeurs des constantes présentes dans l’ex- pression trouvée en question 3 puis écrire l’expression définitive T(t).

( ( ) )

( )

^ln

ln ln

ln

0,25 0 ,25 0,25

4 2

0 100 20 100 80 80 80

0,25 60 e 20 60 80e 40 e 0,5 0,25 0,5 2

80 80e 20

4 2

a a a

t

T C C C C

T C a

C T t

a

− − −

−

 =  + =  =  =  =

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    

= + = = = − = = −

    



=

⇔ ⇔ = +

=



Exercice 7 -

La vitesse ( ) d’un objet relié à un parachute suit l’équation différentielle :

’( ) + ( ) =

où est la masse totale du système et est le coefficient d’accélération de la pesanteur.

1) Montrer qu’il existe une fonction constante solution particulière de cette équation différentielle.

Posons ^{v t}

( )

^=v0. L’équation donne : _{0 0} mg kv mg v

= ⇔ = k ^.

2) Déterminer l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.

Solution générale de l’équation homogène mv′ + =kv 0 ^: H

( )

e

kt

v t =C ⁻m ^.

Solution générale de mv′ + =kv mg ^{: v t}

( )

^{Ce mkt mg}

k

= − + .

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3) Donner la solution de l’équation différentielle si on suppose la vitesse initiale nulle : (0) = 0.

( )

^{0 0 e0 mg 0 mg}

( )

^{mg 1 e mkt}

v C C v t

k k k

 − 

= ⇒ + = ⇔ = − ⇔ =  − 

 ^.

4) Calculer la vitesse limite du système, c’est-à-dire lim

→ ( ).

( )

lim e 0, donc lim

kt m

t t

v t mg k

−

→+∞ →+∞

 

= =

 

 

5) Au bout de temps le système atteindra-t-il 90% de sa vitesse limite ?

% % ln ln ln

1 e 90 1 e 90 0,9 e 0,1 0,1 10 10

k k k

t t t

m m m

mg mg k m

t t

k k m k

− − −

 

− = × ⇔ − = = ⇔ = ⇔ − = = − ⇔ =

 

 