Module d’Electrotechnique ET2 Circuits magn´etiques

Module d’Electrotechnique ET2 Circuits magn´ etiques

A.De Carvalho

IUT Cergy Pontoise D´ep G´enie Electrique Informatique Industrielle de Neuville

Septembre 2010

Loi d’Hopkinson

Description

Soit un circuit magn´etique de type ferromagn´etique de section S enm² consid´er´e comme parfait :

S

S

S fer

Loi d’Hopkinson

Description

Sur ce circuit on place un bobinage de fil de cuivre deN spires.

Ce dernier est parcouru par un courant continu not´eI. fer

I

N

Loi d’Hopkinson

Description

Ce courant est `a l’origine de ligne de champ magn´etique.

Leur orientation est donn´ee par la r`egle de lamain droite.

I N

H→

H→

d→.L

Ligne de champ

Loi d’Hopkinson

Appliquons le th´eor`eme d’Amp`ere sur le contour moyen.

I →

H •d^→.L=N×I

Supposons qu’en tout point les vecteurs^→H et d^→.Lsont colin´eaires

donc : I

H×d.L=N×I

Loi d’Hopkinson

Il existe une relation entre l’induction magn´etique not´eeB^→en Tesla et le champ magn´etique^→H enA/m.

B =µ0×µR ×H

















µ0 = Perm´eabilit´e du vide µ0 = 4×π×10⁻⁷

µR = Perm´eabilit´e relative du circuit ferromagn´etique µR = 1 pour l’air

Loi d’Hopkinson

Le th´eor`eme d’Amp`ere peut alors s’exprimer : I B

µ0×µ_R ×d.L=N×I

Loi d’Hopkinson

Flux magn´etique

Les lignes de champ `a travers la sectionS, sont `a l’origine d’un flux magn´etique not´e Φ en Weber (Wb) :

Φ =B×S Le th´eor`eme d’Amp`ere peut alors s’exprimer :

I Φ

µ₀×µ_R ×S ×d.L=N×I

Loi d’Hopkinson

Propri´et´e du flux

Dans un circuit magn´etique on montre que le flux magn´etique est conservatif (6= constant).

Le th´eor`eme d’Amp`ere peut alors s’exprimer : Φ

I d.L

µ0×µR ×S =N×I

R´ eluctance

Posons :

ℜ=

I d.L µ0×µR×S D´efinition

ℜest appel´eer´eluctance du circuit magn´etique.

Son unit´e estA/Wb ouH⁻¹

Force magn´ eto motrice

Posons :

ǫ=N×I D´efinition

ǫest appel´eeforce magn´eto motrice.

Son unit´e est l’ Amp`ere tour (A×t)

Loi d’Hopkinson

D´efinition

On obtient la loi d’Hopkinson :

ǫ=N×I =ℜ ×Φ D´efinition

On appelleperm´eancenot´eeA_L (en H) : AL= 1

ℜ

Mod` ele magn´ etique ´ equivalent

Description

Le circuit magn´etique peut ˆetre mod´elis´e par le sch´ema ´equivalent :

Φ

ǫ

ℜ_AB

ℜ_BC

ℜCD

ℜ_DA Mod´ele

I N

Φ Φ Φ

B

C A

D

A B

C D

Mod` ele magn´ etique ´ equivalent

ℜAB = L_AB( enm) µ0×µ_R ×S( enm²) ℜ_BC = L_BC

µ0×µR ×S ℜ_CD = L_CD

µ0×µR ×S ℜ_DA = L_DA

µ0×µR ×S

Mod` ele magn´ etique ´ equivalent

On montre que les r´eluctances en s´eries s’ajoutent.

Le sch´ema peut se simplifier de la fa¸con suivante : Φ

ǫ

ℜ_AB

ℜBC

ℜ_CD ℜ_DA

ℜequ

Φ

ǫ

ℜ_equ=ℜ_AB+ℜ_BC+ℜ_CD +ℜ_DA

Potentiel magn´ etique

Description

Soit une portion de circuit magn´etique, comportant un bobinage deN spires, parcouru par un courant continuI.

I

A Φ B

N

Potentiel magn´ etique

Le sch´ema magn´etique ´equivalent d’une telle structure est :

I

A Φ B

N

A B

ℜAB

ǫ Φ

Potentiel magn´ etique

D´efinition

On peut d´efinir aux pointsAet B une diff´erence de potentiel magn´etique not´eeǫAB

I

A Φ B

N

A ℜ_AB B

Φ

Diff´ erence de potentiel magn´ etique

I

A Φ B

N

A ℜ_AB B

ǫ Φ

ǫAB

ǫAB =ǫ− ℜ_AB×Φ L’unit´e deǫAB est l’Amp`ere tour (A.t).

Inductances

Description

Le circuit magn´etique n’est plus consid´er´e comme parfait.

I N

Ligne de fuite

Inductances

I N

Ligne de fuite

Description

Sur le sch´ema il apparaˆıt :

Des lignes de champ de fuites. Ces derni`eres sont `a l’origine d’un flux de fuite not´e Φ_f.

Des lignes de champ pr´esentes totalement dans le circuit

Inductances

Mod´elisation Posons

ℜ_f la r´eluctance de fuite.

ℜp la r´eluctance principale.

Le mod`ele d’Hopkinson d’un tel circuit est :

Φ

ǫ ℜ_f ℜ_p

Mod´ele Φf Φp

I N

Ligne de fuite

Inductances

Inductance propre

On appelle inductance principale ou propre (self en anglais) not´ee Lp le rapport :

L_p= N×Φp

I D’apr`es le mod`ele d’Hopkinson :

N×I =ℜp×Φp

Lp= N²

ℜ_p =N²×A_L

Inductances

Inductance de fuite

On appelle inductance de fuite not´eeL_f le rapport : Lf = N×Φf

I D’apr`es le mod`ele d’Hopkinson :

N×I =ℜ_f ×Φf

L_f = N² ℜf

Un circuit magn´etique avec son bobinage sera dit parfait si :

Circuit magn´ etique en sinusoidal

i(t) N

v(t) Φf Φp

Inductance de fuite

Le bobinage est aliment´e par un courant de type sinusoidal. La

Circuit magn´ etique en sinusoidal

v(t) =r×i(t) +N×d.Φ(t) d.t







r = R´esistance ´electrique du bobinage.

N = Nombre de spire.

Φ = Φ_f + Φ_p

Circuit magn´ etique en sinuso¨ıdal

Soit l’inductance de fuiteL_f = N² ℜ_f

v(t) = r×i(t) +L_f ×d.i(t)

d.t +N× d.Φp(t) d.t e(t) = N×d.Φp(t)

d.t

e(t) est la f.e.m induite dans le bobinage due `a la variation du flux en fonction du temps.

Circuit magn´ etique en sinuso¨ıdal : Vecteurs de Fresnel

Vecteurs de Fresnel

Tra¸cons les vecteurs de Fresnel du syst`eme, avecE^→en r´ef´erence des phases.

E

I

r.I

L_f.ω.I V

Φ I_R

I_a

Circuit magn´ etique en sinuso¨ıdal : Vecteurs de Fresnel

On peut introduire 2 courants fictifs : ( →

I_a : En phase avec E^→.

I→_R : En quadrature arri`ere avec E^→.

Circuit magn´ etique en sinuso¨ıdal : Mod` ele ´ el´ ectrique

Mod`ele











→I_a : Peut ˆetre mod´elis´e par une r´esistance not´eeR_p. I→R : Peut ˆetre mod´elis´e par l’inductance propre

du circuit (inductance magn´etisante).

Le mod`ele ´electrique est alors :

Circuit magn´ etique en sinuso¨ıdal : Mod` ele ´ el´ ectrique

I r

E L_f

V

L_p R_p

I_a I_R

Que mod´ elise R

?

R´esistanceR_p

La r´esistanceR_p mod´elise les pertes ferromagn´etiques ayant deux origines :

Perte par courant de Foucault.

Perte par hyst´er´esis.