Tnaveux Jollall

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UNTvpRsITE CHoUAIB DouNxalI FaculrB ^{DES ScIENCtrs}

Er Jnoron

Groupe de Physique Th6orique

Laboratoire de Physique de la MatiEre Condens6e

Filidre

Sciences de !a MatiEre Physique

-sMP5-

Module M6canique Quantique

Auuno Jollall

Tnaveux DrRrc6s AvBc Sot urIoNS

[email protected]

Urvrvpnsrtp CHouate

DouNNRr-r

Faculrp Dps

ScrrNcps Dppanrl,tsN:r

Dp Puvsrquo

trl

^J.q.orna

Arvupp UNrvpesrrarna

: 2015

2016 Frr,rpRp

:

Sup

Puvstquo :

M31

Monur,p : MocnNrqun Quaurrquu

SERIE

¹

Exercice 1 :

Les op6rateurs ^,41, avec (z

- ^1,.

^.

^,6),

^sont dOfinis comrne suit 414,1"1

: lrl,(r)l',

^4n4,1*1

-

^r24,@)

" du(r\

Arrlr@)

- T,

^Arr!@)

^-

^sin(y'(r))

. f, , i ,,

^dzl,(.r)

At,b@)

:

J.

11,(r')dr'

, ^Aarl'k) : 'b

(1) (2) (3) 1- Lesquels sont lin6aires?

2- Lesquels sont herrnitiques (auto-adjoints)?

Exercice 2 , A,Ar,Az

6tant des op6rateurs lin6aires, d6montrer les relations suivantes ^: (At1t

- O, ^{(ArA)t :} AIrAI, ^(,{, + A)t : _{AI +}

aL

(4"')t:(At)', n€N

(4) (5)

Exercice 3 : A

f

instantt:0,

on considdre un paquet d'onde

/(",0)

d une dimension, de position moyenne 16 et d'impulsion moyenre ^ps, d6fini par

,lr@,0)

- "'"# f@ - ro), _f(r) : c, *

La transforrn6e de Fourier de

f

a pour expression ^:

, 1 f'* ^

_-d-?1

[- ' I ci\ii

511'14a_

6'l'"-ffi

1- Dourer l'expression ae

/,(p.0)

^{eL Lracer l'allure} de l/'(r,0)12

er

u,(p,Otl'

I

2- Le paquet d'onde 6volue librement donc

il

est d6crit par le Hamiltonien

ir-"

2nt'

Delerminer l'expression ae

$g,t1.

3- Faire l'approxirnation

i

^{l'ordre 7}

^et

^{p de}

^H

(6)

(7)

H(p)= H(po) , @-^, (#)

\ t / .p:po

(B)

(e)

pour en d6cluire l'expressiotr

cle'tl(:r,f)

et tracer Ia courbe de

l/(r,l)12.

4- N[6r1e question que pr6r:6clernrnent err poussant le d6veloppernent jusqu'd,

l'ordre

²

et

^p.

5-

Applicatiol i

^{un 6lectron (nr}

-

^10-30kg)

^et

^{A un grain cle poussi6re}

^(m - ^tO-1'kg).

^On

prcrrrlra

o:70

^6'nt,.

Exercice 4 :

Pour. cl6crire urre particule confin6e sur un cercle ^,S1 (par exernple. trn 6lectron

dals

u1

petit fil

colducteur circulaire ^appel6

fil

quantique), 1'espace de Hilbert est I'espace des

frrlctions 4e r:arr6 sornrnable p6riodiclues

I'(Sr)

^{Si le}

^fil

est de lonclueur

I,

c'cst ^{I'espace des} fonctions r,6rifiant:

$(r ⁺ r) :'{(r)

\,{orrtrer que les foltctions Vp d6finies par

(10)

W,(r): keZ

^{(1 1)}

fonnert

une base ortltonorm6e de ^{clet espace.}

Exercice b :

N{ontrer ^que la clistriLrution ^de Dirac d peut 6tre repr6sent6e cornrne Ia lirnite cl'une loretrtzielute ^:

'u(t:,e)-!;-. e>o

⁽¹²⁾

7f 'r' t a'

II

existe d'autres t'epr6sentations possibles ^:

h"*o('r'#),

l*,!.tdorolr)o*

Exercice 6 :

Soit ,4 un op6rateur hennitique dont Ia Valeur moyenne (A)

:

plisqpe

l'op6rateur et Ia fbnc;tion d'onde peuvent d6pendre du tetnps, la valeur rnoyenne (A) sera g6n6raletnent d6pendante du ^ternps.

1- Nfontrer ^clue

d\A)

- ^P4s +lrra.a1

⁽¹⁶⁾

dt ^'0t ' ih"

oir

H

':2

: fi ^+V1.r1cst

^Ie Harniltonien du ^systdrne.

2- Applicatiou aux observables

i

^et,

p

dans le cas cl'une particule ^sans spin plolrger dans un poterrtiel scalair.s

et statiorrnaire.

Comparer

le

r6sultat obterru aux 6quations classique ^cle

Harrriltc,r-Jacol'ii d,r., dt -;'"'

¹

-.

^dp.,

(Jt - -clv(r.r)

d,,,

^(17\

lrrdication

:

utiliser la relat,ion ^suivante

rlV ⁽

r\

ln.l/(r)l : (-ih)----

v ' _d.T

1

^-r.

d(r) :

lim

-e .

. e -+o'2t

I sin({) rt(r) :lim-r,

E-+0 ,T I

12_IJ

d(r) : Iim _-e z

€+0 € \/ ^7T

r

sin2(a ⁾ d(.r')

:Iim:#

E-+0 7f r'

(13) (14)

est d6finie par

(1 5)

(18)

que l'on ddmontrera lorsque 1/ est un polyndrne.

Exercice 7 :

Le but de I'exercice est de d6rnontrer le lemrne suivante. Si le corrurrutateur de cleux op6rateurs A et

il

cornrnute avec chacun d'eux

lA,lA,sll :

_{[8, ;,4,} r11

: o

⁽¹⁹⁾

on trouve I'identit6 de Glauber

".a+b

_ r,t,.e"-|l.t.al

^(ZO)

Pour cela, nous allons proc6der par les 6tapes suivants ^: 1- Montrer que

lB, A"')

: naA-tlB, A).

⁽²¹⁾

En d6duire

Itl,

c-A') -- -*"-A"yil, i1

_Q2)

of r

est un param6tre.

2- Consid6rons l'op6rateur d6pendant du param6tre

r

i@: rAt"Bt

⁽²³⁾

D6terminer l'expression

d" qP

_en fonction de .4,

B,|A,B) et i@).

^{On integre 1'6quation}

diff6rentielle ainsi obtenue, en d6duire l'identitd (20).

Exercice 8 :

Soit deux quantit6s physiques d6crites par les op6rateurs hermitiques A et B.

1- En 6crivarrt le cornrnutateur de ^,4 et .B

.or.

la forme

7A,

s) : t0

Q4)

montrer

qu" C

est un op6rateur hermitique.

2- Ddmontrer la relation d'incertitude de Heisenberg sur ces deux obsenables

^A

.

^B ^> - 21" ' "l I lltr, ulll eb)

lr^-

'ZA\4ol Zot\

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UxrvpRsrrE CHoUAIB DouNNali

Faculrp Dtrs ScmNCtrs

Er ^Jaotoa

Groupe de Physique Th6orique

Laboratoire de Physique de la Matidre Condens6e

Filidre

Sciences de la Matidre Physique

-sMP5-

Module

M6canique Quantique

AHH,rso .Jpllall

Tnlvlrrx DrRrcfs Avnc SolurroNs

[email protected]

UNrvnnsttBCuoultsDouxxlt,IArrEEL-ltr.rnsIt.\Ii]lE:-.-

Flculrp

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ScrpNcBs Frrrene :

^Srip

DnptnmtBNr DB Puvsrquo PHvsrqur :

\131

El Jaotoa ^\Ioourp : \lEc rrti-rL'E OL'.rrricrrr

SERIE

2

Exercice 1 :

On considire un oscillateur harrnortique

A

cleux ilirncrrsiotrs

dont

le Hanril- tonien est

donn6

par la fornre suivante ^:

fi:!+!+*,'+!y' 2trt 2m 2

^{2' (1)}

rlrri peut se s6parer en rleux

parties

it: ir,,+ ir,

⁽²⁾

1- Nlcrntrer que

1i, et il,

sont

derx

op6rateurs qui corntnutent.

2-

D6finir

les op(rrateurs des annihilations et cr6ations relativentent

i

chaque Hamiltonien.

3- Calculer les relations de cornmutations entre les operatettrs obtenus.

4- D6terminer le spectre d'enerrgie pour chaque Harniltonicn.

5- En d6duire le spectre d'6nergie pour le Harniltonien (1).

6-

Etudier

la d6g6n6rescerlce du systdme.

Exercice 2 :

Refaire

la

m6me analyse que celle der l'erxercice 1 mais cette fois

ci pour

un oscillateur harrnonique ^A

trois

dimensions dCcrit par le Hamiltonien ^:

tt !'!,.!?'*!;:')-rl,'n\: 2nr 2nt 2ttt 2 2"

^{'2 (3)}

Exercice 3 :

^Le moddle d'Einstein pour

la

capacit6 calorifique des solides est bas6 sttr Ia

notion de l'oscillateur harmoniquc A trois dimerrsions. Ce rnoddle traite donc un solide constitu(:

de ^,A[ ions comrnc

un

ensemble de 3-N oscillateurs unidimcnsionrtels, iclcntiques (nreure nlasse

rn et

constantc

k),

ind6pendarrts. Un

6tat

stationnaire de ce systdme est

utt produit

tcnsoricl (exercii:e 2) cl'6tats stationnaires ^des oscillateurs 6l6mentaires, iderrtifi6 donc par leurs nombres rl'excitatiorr respectifs r17,r12,...??,3r,r. Le r6sultat du moddlc est prerscnt(: dans la Figure 1.

On veut rctrouver le r6sultat ^pr6sernt6 ci-dessus. Pour cela on uiilise I'approcltc de l'<-rscillateur harmonique rlont

lc

Hamiltonien est donn6 par l'6cluation (3), qui a pour 6nergies propros

Tout systdme en 6quilibre

i

Ia temp6rature

7

fluctue.

A

Ia temp6raturc nulle, l'atorni: est tlans le niveau l0) ^d'6nergie

lc

plus bas. N{ais d une temp6rature

7

^plus 6lev6e,

il

peut etrc clans le niveau

ln),

^d'6nergie

E,

avec la probabilit6 est donn6e par la loi de Boltzmann

P,,

- l;n-3F'

,,2 (;)

/3\

(4)

8,, - ^hu [, * ,/ . n: tu,1n,,l n,:

^{0. 1,}

^2,'

^{' '}

ft,

I t],1

f),3

0.q

s.5

fi,6

^{1,?

*,fi

$,'s ^}.fl

Figure 1: Les valeurs de lzr chaleur sp6cifique mcllaire, en calories pilr mole par deg6

K

(1 calorie

=

^{4,18 Joule) sont} repr(rserrt6es en fonction de

hpTlh^,:: lllhr.

Les ronds repr6sentent les valeurs exp6riment:rles de la chaleur sp6cifique du diamant. En

trait

interrompu, ^Ies valeurs de I'expressiorr th6oriquc obtenue

i

travers le moddle d'Einstein.

oi il : _;fu

^avec

^kr

^est

^la

constante de

Boltzmann. La

constante de normalisation

Z

^{est la}

fonction der

partition

*m

z _-Dg-aE,,

n-0

1- N'Iontrer que l'6nergie moyenne du systdme est donn6e par

(E) _D',',

n)0

,ny,",n(+)

2- D6duire la capacit6 calorifique molaire

(:(r) ^_31vku (+)';Jig)

trturlier

les limites

f < _H

^et

⁷ ) _fr

ae ta capacit6 calorifique

CQ).

Tracer

C(7)

cn fonction

d" i;.

Exercice 4: A faire

chez vous

Conrrne cleuxiOme application de l'oscillateur harmonique, on veut 6tudier le mouvernent dans Ie

plan

(2,

y)

d'une particule charg(re clans

un

champ magn6tique unifurme

E.

^Pour cela ott suppose que ce champ est orient6 selon l'axe z tel que

E : Bd,.

Le Hamiltonien d'une particule

rle. charge

c

dans

un

champ magn6tique est donn6

par le

couplage

minimal,

err remplaqant I'irrrpulsion _1i par

h

terme

f - ^ett

^:

(6)

(7)

(B)

(e)

q)-

1-

*(r- ^{"^)'}

H:

⁽¹⁰⁾

otr

,

^{est le potentiel vecteur associ6 a}

^{E. pn}

choissatrt la jauge de Landau pour

fixer A tel

^que

A: (o,Br,o)

⁽¹¹⁾

1- Montrer que (10) peut s'6crire comme

^ 'n ¹

H : _{ffi+ *to, i} eBi)2

⁽¹²⁾

: *,#(-.#)' ^(,,)

2- Montrer que la fonction d'onde de

A

est s6parable ^:

',b|,'y) : $(r)ein'tt

⁽¹⁴⁾

3- Introduisons la fr6quence cyclotron et la longeur magn6tique

ctt T;

it)r,:-. lB:1'

t,t V cl)

ainsque effectuons le changem ent

i' - ^r - ^'*O,

Ourr avoir Ie Hamiltonien (12) comme

H:i'^ I ' ^''

ffi ^{+ ,ntal} i.'

^{( 16)}

D6finir les op6rateurs d'annihilation et cr6ation pour 6crire (16) sous la forme suivante ^:

H, / l\

-

^hn"

(r'" ^, ,J

⁽¹⁷⁾

4- D6duire son spectre d'6nergie.

5-

Supposons que Ie systdme est

fini

suivant

la direction y, soit

disant de longeur

Lr.

^En

utilisant

des conditions aux limites p6riodiques dans cette direction ^:

,/,(*,y t ^Lr) : r!(r,y)

^(tS)

montrer que les valeurs de

p,

sont quantifiOes

o, : -#,

2trh

tua:0,7,2,' "

⁽¹⁹⁾

6- Le

flux

correspondant ^d, notre systdme de surface

S - ^l,rl,,

^{est O}

:

1JS. Niontrer que la d6g6n6rescence du systdme est donn6e, par

o

' :

*o

⁽²⁰⁾

avec 06

: ₄

est le

flux

unit6.

(15)

@

^"1

"/ Cu Bc fs.*Lq*k^^ -It, ^ri."-

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0-=Lf,]*trf-L: ruA

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1

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UxtvpRsrrE CHoUAIB DouNralt Faculrp Dtrs ScIENCtrS

El JaoIon

Groupe de Physique Th6orique

Laboratoire de Physique de la Matidre Condens6e

FiliEre

Scienees de la Matidre Physique

-sMP5-

Module

M6canique Quantique

AuNasn Jpllall

Tn.Rvarrx DrRrcfs AvBc SolurroNs

[email protected]

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I]xrvpRsrrtr CHouArB DouNNar,r

Faculrp Dtrs

ScTENCES

El Jnoron

Groupe de Physique Th6orique

Laboratoire de Physique de la Matidre Condens6e

Filidre

Sciences de la Matidre Physique

-sMP5-

Module

M6canique Quantique

AsnrBo Jpll.q.r-1

Tnavaux DrRrcfs AvBc Sor,urroNs

1 [email protected]

UNrvnRsrtr: (inouarn DouNrall Fncull'n Dns Screucps

DEpanrrr,rsxr Dil Ptrvsrqun

El

^.Taoroa

Auruep

{Jn-IVERSI'I'AIu.t

: 2$[t _I

2016

Ftr,tnno : Sup

Puvsrqum :

M31

Ntlonui,E :

Moc;ar.,ltqun

Qunrur'tetllt

SERIE

3

EXSfglt:S-

f. :

^(Jn considdre trne particule _diurs

un 6tat

dc mornt:nt cinctiquc

j

^..=

! et

soit; ^Ti

un

vecteur rdel dc crlurposantes ?{,2" LL, el, ur.

1-

On

d6signe

par {l p-.)} },

base engendr6e

par

les vecteurs propres de

J,

^:

JrlE*.J:mlfr,)

⁽¹⁾

en

unit6

de

li. Soit

_I

U)

Ie vecteur propre norrn€ de

l'opreriiteur ,/.ti

^{assoe i6}

i

^{Ia, valeur} _irri)l)r()

sero.

On

dEfinit ?e

^pr:r

ll+ :

'Ll,r.

*. i,Ur.

⁽²⁾

On

demande de

i)

d6terminer les conrposantcs de _I

V)

dans

la

base

{l p*)}.

ii) niontrer

que _I

V) peut

s'6crire sous la forme ^:

I

U) : I"*

^I

*o), ^k :

ir,'1, z

It

oi

^les

^kets _I irp) ^sont

^des combinaisons lindaires cles

I g*). V6rifier

qtro krs

I

qr*) sorrt ^tlcs vecteurs orthogonaux.

2-

Maintenant,

on eonsid€re

la

base

{l gr)}

et on dernande cle:

i)

^donner ies uml,rices reprdst;ntant les op6ratcurs ..Ip.

ii) lrouver

Ies 6nergies cle la particulc sachant qu'elle est ^{soururise d,} des frrrt:es qrti ^st: tra,duist'ttt

par un Hamiltonien

de la forure ^:

n:f ^,+xs'!

k

or) 1es Ap sont des ccnst,antes r6elles.

On rappelle les r6sultats suivants ^:

J+

_I

pi,-,j: _{[(r +} m){i *nt +

^1)]

*

I V.r,,**t), (5)

g5g11prg€.2

:

^Une

^particule

^sans

^spin

^{de moment}

^{cin6tique orbital} i

^$e

^trorrvc

^da,ns

^ut

6iai, _I

l,.rn)

propre

et

cornrnun ^A, /,2

et Lr.

Cette

particule

est sountise d,

tttt

graditrrit cl<l

ciultlllr

6ler:trique

et dont

le Hamiltr:nierr est donn6 ^pa.r

H:+{t?,-ri,)

1

(3)

(4)

(ri )

ii[,

:;.xes {):L: t:t, (,iL. i:it, et-lrr}i,iLF

u[

^{t,:st ul1(:} a:orrstirnt,e r.Cetile,

hrLsr

[]

^1.

rii)i.

2-

ili:ir:rinirit:r'ies

<.::ttci5lies et, ics ritats sLtr,lii.innail'ci-, dt: ii.r particuk,.

,1

Si;1i1;rlr-.r)ltlj

rliic ii

^f

iiistant I

== 0, la partic:ule est dans

I'6tat

^:

l\i,(u)) _^,6i1

l

1.1)_11'_i))

⁽⁷⁾

i)

Llriel r:st i'€1':rt

i ,i'(f))

^{il, utr}

^inslant i

donntl.

ii) C-a.irril<'i'(L)

rians

l'etat

_I

'I(0)) ^et

^{p,riis ilzrrn I'ctat,}

lry(t))"

It-+ilt**,*,

Hrt\q.t

I.?;F}

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