REPRESENTATION DES FONCTIONS DE TRANSFERT

TRANSFORMATION DE LAPLACE

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REPRESENTATION DES FONCTIONS DE TRANSFERT

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MOTEUR A COURANT CONTINU

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Ω2

R1 R2

Couple moteur : C2

Couple moteur : C1

Couple Résistant : C_r1

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I

V cste Couple Résistant : Cr1

Couple moteur : C2

Ω2

Ω₁

f₂ J2

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U

J₁

EXAMEN PARTIEL D’AUTOMATIQUE n ° 2 (04/05) Durée 1h30 – Sorties interdites

Tous documents et calculatrices perso sont interdits Téléphones portables interdits

Veuillez soigner la présentation.

CORRECTEUR D’ASSIETTE DE VEHICULE ( d’après sujet d’examen)

I – 1^ère partie : Modélisation d’un ressort de suspension

I.1 – Exprimer la force F exercée par l’air emprisonné dans le cylindre sur la face inférieure du piston, en fonction de H et M.

I.2 – La hauteur du piston varie autour d’une position d’équilibre H0 : H = H0 + x.

De même, la masse d’air emprisonné est variable autour d’une valeur moyenne M0

car l’amortisseur possède un système d ‘échappement d’air contrôlé par une électrovanne :

M = M0 + m.

On rappelle que qu’une fonction F(M,X) admet comme développement limité au 1^er ordre :

F(M,X) = F(M₀,X₀) + (M – M₀) (⊥F/⊥M)M=M0 et H=H0 + (H – H₀) (⊥F/⊥H)M=M0 et H=H0

⊥F/⊥M et ⊥F/⊥H sont les dérivées partielles de F par rapport à M et à H.

a) Montrer que l’on peut écrire F sous la forme F₀ + b₁m – b₂x

b) Calculer les valeurs numériques de F0, b1 et b2 pour M0 = 14,3 g, H0 = 25 cm et

b0 = 84 N.m.g^-1

Tout contrôle continu est soumis au règlement des examens de l’université.

Toute tentative de fraude ou fraude avérée, sous quelque forme que ce soit, met immédiatement fin à l’examen, est immédiatement sanctionnée par la note zéro et est passible du conseil de discipline de l’université.

Un ressort de suspension automobile est constitué d’un piston de section S permettant de comprimer une masse M d’air dans un cylindre.

L’air contenu dans le cylindre est assimilé à un gaz parfait. La pression P à l’intérieur du cylindre de volume V, à une température donnée obéit à l’équation :

P V = b0 M avec b0 = 84 N.m.g^-1 F

M, V

H H₀ x

air S

II – 2^ème partie : Système Modélisation de la suspension

II.1 – Ecrire, en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, l’équation différentielle régissant la position x(t) du piston en fonction de la masse d’air m(t).

II.2 – Mv = 200 kg, Pa = 10⁵ Nm^-2 , g = 10 ms^-2 , S = 2,8 10^-2 m² et ρ = 7.10³ Nsm^-

1

Calculer la valeur de x au repos c’est à dire quand d²x/dt² = dx/dt = m = 0.

On constate que x << H0. Dans la suite, on considère donc que x=0 au repos.

II.3 – En déduire que l’équation différentielle reliant x(t) et m(t) s’écrit : d²x/dt² + 35 dx/dt + 96 x = 1,68 m

II.4 – Déduire de l’équation différentielle la fonction de transfert de la suspension X(p)/M(p) dans laquelle X(p) = tL ( x(t) ) et M(p) = tL ( m(t) )

II. 5 - Déterminer les deux constantes de temps de la suspension.

Déterminer en justifiant votre réponse une fonction de transfert équivalente du 1^er ordre.

III – 3^ème partie : ASSERVISSEMENT

Un électrovanne proportionnelle permet de régler le débit massique D(t) d’air en gs^-1 entrant ou sortant dans le cylindre du ressort. (La masse d’air dans le cylindre est toujours exprimée en grammes).

Un capteur de position délivre une tension s(t) de mesure de la position x(t) du piston. La tension s(t) est comparée à une consigne e(t) pour élaborer la tension de commande ε(t) de l’électrovanne.

La FT du capteur est S(p)/X(p) = 1. La FT de l’électrovanne est D(p)/ε(p) = k

La suspension est constituée du ressort précédent et d’un amortisseur introduisant un frottement visqueux s’opposant au mouvement matérialisé par une force f = -ρ.dx/dt dans laquelle dx/dt est la vitesse du piston.

La masse M_v représente la fraction de la masse totale du véhicule rapportée à une roue, elle engendre une force Mvg agissant sur le piston.

On remarque que la pression atmosphérique P_a engendre une force F_a agissant sur la face supérieure du piston du ressort.

F

M, V

H H0

x

air

Mv

f

III.1 – Quelle est la relation instantanée liant d(t) et m(t) ? En déduire la FT : m(p)/D(p).

III.2 – Représenter le schéma bloc de l’asservissement avec les FT de chaque bloc.

III.3 – Exprimer la FTBO.

III.4 – Exprimer la FTBF sous forme normalisée du second ordre (Cf annexe 1).

Exprimer le coefficient d’amortissement z et la constante de temps propre en boucle fermée.

Calculer k pour que z = 0,5.

IV – 4^ème partie : Correction du système

IV.1 – Représenter l’allure des diagrammes de Bode de la FTBO IV.2 – Déterminer la pulsation pour laquelle ϕ = -135°

IV.3 – Déterminer k pour avoir une marge de phase de 45°

IV.4 – Erreurs statiques (Cf annexe 2). On garde la valeur de k calculée.

Déterminer l’erreur statique pour une entrée échelon unitaire.

Déterminer l’erreur statique de traînage pour une entrée rampe de pente unitaire.

Quel type de correcteur faudrait-il utiliser pour annuler l’erreur statique de traînage ? (justifier).

x(t)

air

M_v

Reserve gaz

D(t)

Consigne e(t)

Capteur de niveau : mesure de x

ε(t) m(t)

Electrovanne proportionnelle

0,0175 / [p (1 + p/3)]

E(p) ε (p) k S(p)

ANNEXE 1 : FORME NORMALISEE FT DU 2^ème ORDRE

F(p) = A / [ 1 + 2 z τ p + τ² p² ] avec z : coef. d’amort. et τ cste de temps propre

ANNEXE 2 : ERREURS STATIQUES T(p) = X(p) / p^α

α représente le nombre d’intégration du système appelé classe du système.

Classe 0 Classe 1 Classe 2 Classe 3

Echelon A

Erreur de position A / [ 1+T(0) ] 0 0 0

Entrée rampe Rt

Erreur de vitesse ∞ R / X(0) 0 0

Entrée parabolique Ct²

Erreur d’accélération ∞ ∞ C / X(0) 0