ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DES FORCES - corrigé du TP
1. Modélisation des forces de frottement 1.1. Préparation de l’enregistrement
• Le palet utilisé a une masse de 630 ± 1 g. La mesure de la masse de lʼanneau magnétique est moins facile à cause des effets magnétiques sur la balance ; on obtient 665 ± 10 g par élongation dʼun ressort ; on obtient 680 ± 5 g en utilisant un tube intermédiaire en papier fort pour éviter l'interaction avec la balance.
1.2. Modèle du frottement fluide (visqueux)
• Pour les faibles vitesses, le frottement fluide est proportionnel à la vitesse :
!
f = -k
!
v où k > 0.
Algébriquement (pour le mouvement rectiligne) : f = -kv ; compte tenu de la compensation du poids par la réaction normale de la table, la relation fondamentale de la dynamique peut donc sʼécrire : mv• = -kv.
Lʼintégration donne alors : ln(v) = ln(v0) -
!
k
m t et v = v0 e-kt/m.
• On constate que les données sont effectivement compatibles avec ce modèle (la droite ne sort pas des intervalles dʼincertitude).
Lʼajustement donne : ln(v0) = -1,181 ± 0,018 (cʼest-à-dire v0 = 0,307 ± 0,006 m.s-1) et la constante :
!
k m =
= 0,239 ± 0,018 s-1 (cʼest-à-dire k = 0,313 ± 0,024 kg.s-1).
• En ce qui concerne la précision, les incertitudes sur le modèle (de l'ordre de 5 %) découlent logiquement de celles sur les données. Celles-ci peuvent généralement provenir de plusieurs causes :
◊ la pointe à étincelle légèrement décentrée et le palet tournant sur lui-même ; mais ceci donnerait des variations transversales de même type, or la trajectoire est bien rectiligne ;
◊ le dispositif à étincelles nʼimposant pas exactement lʼintervalle τ = 60 ms entre les étincelles ;
◊ le papier dʼenregistrement comportant des bosses, ou des saletés, causant un frottement variable ;
◊ le palet soumis à des oscillations verticales sur le coussin dʼair (se comportant comme un ressort), où à des oscillations angulaires par rapport à la verticale, et ceci causant un frottement variable.
• Dans la mesure où le frottement est faible, et présente des fluctuations qui limitent un peu la précision du modèle, on peut envisager de simplifier celui-ci en utilisant un développement limité (bien que la vitesse varie presque du simple au double pour le mouvement étudié) : v ≈ v0.
!
1" k mt
#
$% &
'(.
La représentation est aussi correcte que la précédente (la droite ne sort pas des intervalles dʼincertitude).
Lʼajustement donne : v0 = 0,302 ± 0,005 m.s-1 (tout à fait compatible avec la détermination précédente) et la constante :
!
k
m = 0,191 ± 0,018 s-1 ; on en déduit : k = 0,251 ± 0,023 kg.s-1 (valeur un peu différente, mais non incompatible avec la détermination précédente).
• La précision est semblable à celle de la version non simplifiée du modèle (la précision des mesures est insuffisante pour faire la différence entre les deux) ; ceci justifie l'approximation.
1.3. Modèle du frottement solide
• Pour les situations où il y a glissement, le frottement solide est à peu près constant :
!
f = -f
!
u où f > 0 et où
!
u est un vecteur unitaire orienté selon le mouvement.
• Algébriquement (pour le mouvement rectiligne), la relation fondamentale de la dynamique peut sʼécrire : mv• = -f. Lʼintégration donne alors : v = v0 -
!
f
m t (tant quʼil y a glissement, cʼest-à-dire tant que v > 0).
La représentation graphique de v(t) en fonction de t est donc la même que précédemment (tout à fait compa- tible avec le modèle) ; on peut en déduire la valeur de la constante : f = kv0 = 76 ± 5 mN.
• La précision est raisonnable, mais surtout : l'approximation du premier ordre pour un frottement fluide correspond au même type dʼexpression quʼun frottement solide.
Ceci permet de simplifier la prise en compte des frottements : tant quʼils sont faibles, il suffit de les décrire
“globalement” par un frottement de type “solide”, plus facile à utiliser pour les calculs (même si en réalité les deux types de frottements interviennent à la fois).
2. Modélisation des forces magnétiques 2.1. Préparation de l’enregistrement
• On mesure le diamètre d (extérieur) dʼun anneau magnétique, afin de pouvoir vérifier que les palets n'ont pas eu de choc “dur” dans leur positions les plus proches de lʼinteraction : d = 129 mm.
On mesure aussi le diamètre dʼ (moyen) dʼun anneau magnétique, afin de pouvoir étudier en fonction de la distance entre les milieux des aimants les plus proches au moment de lʼinteraction : dʼ = 116 mm.
2.2. Modélisation avec une énergie potentielle magnétique
• On suppose que les forces magnétiques entre les deux anneaux dérivent dʼune énergie potentielle de la forme : Ep =
!
"
rn avec r = OM ; α > 0 ; n ∈ ℕ.
• Si on raisonne algébriquement, avec lʼabscisse curviligne L, la conservation de lʼénergie mécanique peut sʼécrire :
!
1 2mv
2 +
!
"
rn =
!
1 2mv0
2 +
!
"
r0n, cʼest-à-dire : v2 +
!
A
rn = v02 +
!
A
r0n avec A =
!
2"
m.
Si on suppose lʼexposant n assez grand, et compte tenu de la condition expérimentale r0≫ rmin, on peut négliger
!
A
r0n en très bonne approximation. On en tire alors : v02 - v2 ≈
!
A
rn et ln(v02 - v2) ≈ ln(A) - n ln(r).
• La représentation de ln(v02 - v2) en fonction de ln(r) est la suivante :
-7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0
4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2
ln(r) ln(v02 -v2 )
Lʼajustement des paramètres est alors totalement inutile puisquʼil est évident que le modèle est insuffisant : lʼénergie potentielle magnétique ne serait pas la même à lʼaller et au retour (même en se limitant à la zone proche du choc) ; il faut donc reprendre les calculs en tenant compte des frottements.
2.3. Prise en compte des frottements
• Conformément à la conclusion de la partie (I), on suppose que les frottements peuvent être décrits par le modèle de frottement solide :
!
f = -f
!
u.
En raisonnant algébriquement (avec lʼabscisse curviligne L), la variation de lʼénergie mécanique est égale au travail (résistant) des frottements. On obtient ainsi :
!
1 2mv
2 +
!
"
rn =
!
1 2mv0
2 +
!
"
r0n - fL ce qui peut sʼécrire : v2 +
!
A
rn = v02 +
!
A
r0n - C L avec A =
!
2"
m et C =
!
2f m.
Si on suppose lʼexposant n assez grand, alors en limitant l'étude aux points tels que r ≫ rmin on peut négli- ger
!
A
rn en bonne approximation. Dans ces conditions, on obtient la relation “asymptotique” : v02 - v2 ≈ C L.
• La représentation de v02 - v2 en fonction de L est la suivante :
y = 0,0001374x
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 100 200 300 400 500 600
L (mm) v02 -v2 (m2 /s2 )
On y constate effectivement, mise à part la “bosse” correspondant à lʼénergie magnétique (lorsque les deux palets sont proches), une croissance linéaire correspondant à la perte dʼénergie par frottement.
◊ remarque : la valeur de lʼabscisse curviligne L est ici “décalée dʼun point” par rapport à celle utilisée pour calculer les vitesses (le calcul de la vitesse au point n° 1 nécessite de connaître la position du point n° 0).
• Lʼajustement donne : C = 0,1374 ± 0,0015 m.s-2 cʼest-à-dire : f = 90 ± 1 mN (comparable à la détermina- tion précédente, compte tenu des variations de frottement constatées).
• Pour les points proches de O, on peut négliger
!
A
r0n en très bonne approximation, mais il faut tenir compte de
!
A
rn. Ces points sont ceux qui nʼont pas été pris en compte dans la représentation linéaire précédente, et ce sont les seuls au contraire qui sont considérés maintenant (les autres donneraient v02 - v2 - C L ≈ 0).
◊ remarque : du point de vue de la précision de ce modèle, le graphique précédent montre clairement que la
“bosse” correspondant à lʼénergie potentielle magnétique est effectivement négligeable dès que les deux palets sʼéloignent, cʼest-à-dire que le terme
!
A
r0n est tout à fait négligeable.
• La représentation de ln(v02 - v2 - CL) en fonction de ln(r) est la suivante :
y = -7,5x + 34,1
-6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0
5,00 5,05 5,10 5,15 5,20 5,25 5,30
ln(r) ln(v02 -v2 -CL)
Lʼajustement donne : n = 7,5 ± 1,9 et ln(A) = 34,1 ± 9,7 (cʼest-à-dire α ≈ 4.1014 ± 4 J.mn).
◊ remarque : ce graphique montre une représentation satisfaisante, mais lʼénergie potentielle magnétique (petite) est calculée par différence des autres énergies (beaucoup plus grandes), et la précision nécessite que lors de l'interaction les deux palets s'approchent presque jusqu'au contact.
2.4. Amélioration par cumul de plusieurs séries de mesures
• Puisque les données finales ne dépendent que de lʼénergie magnétique, (identique avec les mêmes pa- lets), on peut cumuler ces données pour essayer dʼaméliorer le résultat final par effet statistique.
• On obtient ainsi pour un autre choc : C = 0,025 ± 0,010 m.s-2 cʼest-à-dire : f = 17 ± 7 mN (valeur infé- rieure aux précédentes, mais les palets nʼont pas des coussins dʼair tous aussi performants) :
y = 0,0000254x
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12
0 100 200 300 400 500 600
L (mm) v02 -v2 (m2 /s2 )
• La représentation de ln(v02 - v2 - CL) en fonction de ln(r) est la suivante :
y = -6,9x + 31,3
-6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0
4,8 4,9 5,0 5,1 5,2
ln(r) ln(v02 -v2 -CL)
Lʼajustement donne : n = 6,9 ± 1,6 et ln(A) = 31 ± 8 (cʼest-à-dire α ≈ 3.101 ± 3 J.mn).
• Puisque les différentes séries de données semblent compatibles, on peut envisager de les cumuler ; avec quatre séries on obtient le graphique suivant :
y = -7,1x + 32,3
-6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0
4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4
ln(r) ln(v02 -v2 -CL)
Lʼajustement donne : n = 7,1 ± 0,8 et ln(A) = 32 ± 4 (cʼest-à-dire α ≈ 7.1013 ± 2 J.mn).
Ceci permet donc de diminuer les incertitudes, mais celle pour α est totalement inacceptable, et il nʼest pas simple dʼenvisager le cumul de plusieurs dizaines de séries de mesure pour améliorer de façon radicale.
• Il est alors intéressant d'envisager une légère modification des notations du modèle : le calcul de α est imprécis parce que (dans la mesure où r est utilisé en mm) il correspond à l'extrapolation du modèle jusqu'à des distances sans rapport avec les conditions expérimentales (r ≈ 2R à 3R).
En utilisant au contraire une expression de la forme Ep =
!
"dn
rn avec d = 2R = 129 ± 1 mm on obtient plus raisonnablement α ≈ (7,0 ± 0,2).1013 J.mn.
• En ce qui concerne l'exposant, on peut montrer que deux aimants droits alignés et de sens contraires se repoussent avec une force qui, en première approximation (pour des distances qui ne sont pas trop petites), dérive dʼune énergie potentielle en
!
1
r3. On peut alors essayer dʼintégrer lʼeffet des multiples aimants entou- rant un anneau sur les multiples aimants entourant lʼautre anneau.
Lʼintégrale (double) est assez complexe, mais on peut calculer numériquement Ep(r) et comparer à
!
"
rn au moyen d'un graphique logarithmique semblable au précédent :
◊ pour
!
r
R > 5,5 (nettement plus que pour les mesures) on obtient n ≈ 5 ;
◊ pour
!
r
R ≈ 4,85 à 5,3 (correspondant aux mesures) on obtient n ≈ 7 à 10.
Cette comparaison ne met en évidence aucune incompatibilité, mais elle est encore loin de confirmer la validité du modèle proposé. L'exposant n expérimental semble un peu faible, mais la théorie envisagée suppose des moments dipolaires quasi ponctuels et permanents, approximation probablement médiocre lorsque les anneaux sont proches (la taille des aimants n'est pas négligeable et ils subissent en outre des effets induits tendant à diminuer leur aimantation).
◊ remarque : évidemment, on peut proposer d'autres approches que la méthode énergétique ; par exemple en mesurant la force (en fonction de la distance) par une méthode statique (dynamomètres à ressort), ou par une méthode dynamique (calcul du vecteur accélération) ; il serait intéressant que certains groupes de TP fassent preuve d'un peu d'audace...
