Une histoire quÕon cherche ˆ ŽcrireÊ: la relativitŽ gŽnŽrale en termes dÕŽquations du premier ordre

Une histoire quÕon cherche ˆ ŽcrireÊ: la relativitŽ gŽnŽrale en termes dÕŽquations du premier ordre

S

ILVIO

B

ERGIA¹ ET

M

ARIO

D

I

G

IOVANNI²

1Dipartimento di Fisica, Universitˆ di Bologna

2Scuola Superiore di studi in Fondamenti e Filosofia della Fisica, Universitˆ di Bologna, sede di Cesena

1 Introduction.

Les Žquations du champ gravitationnel dÕEinstein 2 ,

1 µν µν

µν Rg k T

R − = g (1)

(o• 8 ₄ c k_{g =} πG

) ont une structure semblable ˆ celle des Žquations dŽcrivant lÕŽvolution des composantes du potentiel ŽlectromagnŽtique (que nous Žcri- vons ici dans la jauge de Lorentz):

µ µ

∂

∂ _{A k j}

t

c  = ^e



 



1_{2 2} −∇²

(2)

(o•

k

_e

= 4 c π

). Les Žquations (1) sont en effet des Žquations ˆ dŽrivŽes par- tielles du second ordre pour les composantes

g

_µν du potentiel gravitationnel.

Pourtant, dans le cas de lÕŽlectromagnŽtisme, les Žquations du second or- dre sont accompagnŽes des Žquations du premier ordre de Maxwell. Dans le cas gravitationnel, au contraire, les textes se limitent gŽnŽralement ˆ prŽsen- ter la thŽorie en termes des Žquations (1) et on ne saurait pas immŽdiatement dire o• se cachent les Žquations du premier ordre qui devraient jouer un r™le Žquivalent ˆ celui des Žquations de Maxwell.

Il sÕav•re que dans la littŽrature rŽcente on trouve presque tout ce quÕil faut savoir ˆ ce sujet du point de vue du contenu physique¹. Ce quÕon nÕy trouve pas cÕest, dÕun c™tŽ, un exposŽ organique de la mati•re, de lÕautre c™tŽ, une reconstruction de lÕhistoire dŽtaillŽe de ce chapitre de la thŽorie relativiste de la gravitation. Le premier but a ŽtŽ atteint dans une th•se prŽsentŽe pour lÕobtention dÕune Òlaurea in fisicaÓ ˆ lÕUniversitŽ de Bologne². Dans ce travail on a aussi mentionnŽ lÕexigu•tŽ du matŽriel trouvŽ dans le domaine historique.

Le premier auteur de cet article prŽsenta lÕexposŽ de la mati•re qui avait ŽtŽ lÕobjet de la th•se de Savini ˆ lÕoccasion dÕun sŽminaire donnŽ ˆ lÕUniversitŽ de Paris VI. Dans cette occasion il put se rendre compte quÕelle Žtait bien connue.

Dans une th•se successive³ on a essayŽ de discerner quelques Žtapes signi- ficatives de cette histoire. Il faut dire que la t‰che ne para”t pas tout ˆ fait fa- cile. CÕest un de ces cas o• on dirait que la tradition transmise par les textes para”t vouloir dŽlibŽrŽment dŽtourner celui qui se soit proposŽ dÕobtenir cette reconstruction. Ici on prŽsentera le rŽsultat, en vŽritŽ tr•s partiel, de lÕeffort fait en cette direction. CÕest gr‰ce aux informations obtenues par les coll-

•gues parisiens ˆ lÕoccasion du sŽminaire quÕon vient de mentionner quÕon a pu atteindre ce rŽsultat.

Cet article a un double but: dÕun c™tŽ, Žvidemment, celui de donner des renseignements, m•me si pas tout ˆ fait complets, sur ce chapitre de lÕhistoire de la physique; de lÕautre c™tŽ Ð et la chose, nous croyons, peut •tre instruc- tive Ð celui de donner un exemple significatif de comment la tradition des textes est souvent adversaire de la vŽritŽ historique.

La structure de lÕarticle est la suivante. Dans le premier chapitre, en trois paragraphes, on donne une reconstruction sommaire du rangement formel, faisant compl•tement abstraction du dŽveloppement historique. Dans le pre- mier paragraphe du second chapitre on donnera dÕabord une liste des articles rŽcents (postŽrieurs ˆ 1973) traitant des aspects du th•me. Ensuite on prŽsen- tera le probl•me historiographique, car on montre, dÕun c™tŽ, que cette litt- Žrature est pauvre dÕindications sur ses sources m•mes, de lÕautre c™tŽ, que les renvois quÕon y trouve sont souvent fourvoyant. Enfin, dans le dernier paragraphe, on reconstruit quelques Žtapes parmi les premi•res du long che- min de ce chapitre de la physique.

1 Voir, par example, Hawking-Ellis (1973), Carmeli (1982).

2 Savini (1997).

3 Di Giovanni (2000).

2 Rangement formel.

2.1 Transcription formelle.

On cherche donc lÕŽquivalent des Žquations de Maxwell

ν µ

νµ k j

F , = _e (3)

, 0

, =

∗Fνµν (4)

o• ^*F^νµ y indique le dual du tenseur de Maxwell⁴. Nous allons commen- cer par un exercice formel. Partons des identitŽs de Bianchi (ici et ensuite, [É] signifie anti-symŽtrisation),

] 0

, [_γδλ =

Rαβ . (5)

On vŽrifie que ces Žquations peuvent sÕŽcrire

β γα α λ γβ

αβγλ , ,

, R R

R =− + . (6)

On peut considŽrer les Žquations (6) comme des Žquations de champ pour le tenseur de Riemann o• les termes au deuxi•me membre jouent formelle- ment le r™le de sources. On peut rendre moins formelle cette identification tout en considŽrant les Žquations de champ (1) dans la forme Žquivalente

2 ) (T 1g T k

Rαβ = _g αβ− αβ ^{. (7)}

En utilisant (7) on peut Žcrire (6) sous la forme

δ αβγ

αβγδ k J

R , =2 _g , (8)

4 Voir, par example, Schutz (1980).

o• ) 2 1 2

( 1 2

1 γα,β γα ,β γβ,γ γβ ,α

αβγ T g T T g T

J = − − + . (9)

Ensuite, on dŽmontre que les identitŽs de Bianchi (5) peuvent sÕŽcrire sous la forme

0

, =

∗Rαβγδδ , (10)

o• ^∗R^αβγδ est le biadjoint (double dual) du tenseur de Riemann ( αβγδ εαβµνεγδρσRµνρσ

R g 4

* = 1 Ê; g est le dŽterminant de la mŽtrique). On a ainsi formellement rŽussi, en termes des Žquations (8) et (10), ˆ Žcrire des Žquations pour le champ gravitationnel dans une forme qui rappelle celle des Žquations de Maxwell (3) et (4).

Plusieurs questions se posent quand-m•me ˆ prŽsent:

1) QuÕest ce qui se passe avec les Žquations de champ (1): sont-elles comprises dans les nouvelles Žquations? On tendrait tout dÕabord ˆ rŽpondre nŽgativement, en considŽrant quÕil ne sÕagit pas dÕŽquations diffŽrentielles liant le tenseur qui, comme il a ŽtŽ confirmŽ, dŽcrit le champ, cÕest ˆ dire le tenseur de Riemann, ˆ ses sources, mais plut™t dÕŽquations algŽbriques; et, en ce cas, quel est le r™le respectif des nou- velles Žquations et des vieilles?

2) Quel est le sens physique de sources dŽcrites par un tenseur du troi- si•me ordre, et, en plus, ne dŽpendant pas des sources traditionnelles, cÕest ˆ dire des composantes du tenseur qui dŽcrit la densitŽ de lÕŽnergie et de lÕimpulsion, mais plut™t de ses dŽrivŽes?

On cherchera ˆ donner des rŽponses ˆ ces questions dans la suite. Un point de dŽpart pour la discussion de la premi•re question se trouve dans la consid- Žration que dans la formulation einsteinienne de la relativitŽ gŽnŽrale [ƒq.

(1)] on nÕutilise quÕune partie du tenseur de Riemann, ˆ savoir le tenseur de Ricci. Donc, en particulier, on ne fait aucun usage du tenseur de Weyl, la partie ˆ trace nulle du tenseur de Riemann. Si on pouvait prouver quÕen effet les Žquations (8) peuvent sÕexprimer en termes du seul tenseur de Weyl, on parviendrait ˆ la conclusion que la nouvelle formulation et la vieille ne se superposent pas, mais plut™t quÕelles sÕajoutent lÕune ˆ lÕautre pour donner une formulation compl•te de la thŽorie. Ces considŽrations ont ŽtŽ formulŽes,

par exemple par Lanczos⁵, qui a observŽ que dans la formulation tradition- nelle on perd quelque chose de la richesse du tenseur de Riemann, qui donne lÕexpression la plus compl•te du champ gravitationnel. Ë cela on peut ajouter quÕon aimerait bien que les champs de la thŽorie compl•te puissent dŽriver dÕun potentiel. Or, le tenseur fondamental de la thŽorie est un tenseur du quatri•me ordre. Dans la logique quÕon poursuit ici, les vŽritables compo- santes du potentiel de la thŽorie ne peuvent pas •tre celles du tenseur mŽtri- que, mais plut™t celles dÕun tenseur du troisi•me ordre. Or, on trouve que le tenseur de Riemann nÕadmet pas en gŽnŽral de potentiel en ce sens, lorsque que, comme Lanczos a prouvŽ, on trouve un potentiel pour le tenseur de Weyl. En rŽsumŽ: on trouvera quÕon peut formuler une thŽorie o• la richesse du tenseur de Riemann est compl•tement exploitŽe, dans laquelle des Žqua- tions diffŽrentielles du premier ordre pour le tenseur de Weyl sÕajoutent aux Žquations traditionnelles dÕEinstein. Ensuite, on discutera le sens physique des Žquations du premier ordre et, en particulier, du tenseur de Weyl.

2.2 Le tenseur de Weyl et ses propriŽtŽs.

On prouve immŽdiatement que le tenseur R g R

Sµν µν µν

4

−1

= (11)

est de trace nulle. Par consŽquent on lÕappellera dans la suite le tenseur de Ricci ˆ trace nulle. Ce tenseur et le scalaire de courbure R sont deux objets irrŽductibles sur lesquels on peut dŽcomposer le tenseur de Riemann. Le der- nier tenseur irrŽductible quÕon dŽrive du tenseur de Riemann, apr•s S_µν ^{et R,} est le tenseur de Weyl, dŽfini comme:

(

^{− − −}

)

⁻

−

= _{αβγδ αγ βδ αδ βγ βγ αδ} β

αβγδ R g R g R g R g

W 2

1

( )

,

6

1 g_αγg_βδ −g_αδg_βγ R

− (12)

ou, en termes du tenseur de Ricci ˆ trace nulle:

5 Lanczos (1962).

− +

−

−

−

= ( )

2

1 αγ βδ αδ βγ βγ αδ βδ αγ αβγδ

αβγδ R g S g S g S g S

W

( )

^,

12

1 gαγgβδ −gαδgβγ R

− (13)

On peut voir (13) comme la dŽcomposition du tenseur de Riemann en ses composants irrŽductibles, quÕon peut indiquer formellement comme

R. S W

R_αβγδ = _αβγδ⊕ _ηβ ⊕ (14)

Le tenseur de Riemann, comme il est bien connu, a 20 composantes ind- Žpendantes; le tenseur de Ricci, pour sa propriŽtŽ de symŽtrie, en a 10; le tenseur S_µν, puisquÕil doit satisfaire ˆ la condition de trace, en a 9. On peut dŽmontrer que, en effet, le tenseur de Weyl a 10 composantes indŽpendantes.

Les informations contenues dans le tenseur de Riemann se distribuent parmi ses parties irrŽductibles. De ce point de vue, il est important de souligner que les Žquations einsteiniennes du champ peuvent sÕexprimer en termes des ten- seurs irrŽductibles S_µν et R, dans la forme:

µν µν

µν g R k T

S − = g

4

1 ₍₁₅₎

On prouve que la dŽfinition donnŽe du tenseur de Weyl et du tenseur de Ricci ˆ trace nulle ne sont valables que sur des variŽtŽs 4-dimensionnelles.

En particulier, pour n<4, W_αβγδ =0. On prouve aussi que le tenseur de Weyl a les m•mes propriŽtŽs que le tenseur de Riemann:

βαγδ αβδγ

αβγδ W W

W =− =−

γδαβ αβγδ W

W = (16)

] 0

[_βγδ = Wα

La propriŽtŽ ultŽrieure qui caractŽrise le tenseur de Weyl est son irrŽducti- bilitŽ, cÕest ˆ dire:

=0

σασβ

W

=0

σβσ

Wα (17)

CÕest gr‰ce aux conditions (16) et (17) quÕon Žtablit que le tenseur de Weyl a 10 composantes indŽpendantes. On peut considŽrer le tenseur de Weyl comme la partie du tenseur de courbure dont chaque possible contrac- tion est nulle. Par consŽquent, les 10 composantes du tenseur de Riemann qui ne sont pas ÒsaturŽesÓ par les Žquations dÕEinstein sont prŽcisŽment les 10 composantes indŽpendantes du tenseur de Weyl. LÕŽtude de ce dernier co•ncide donc avec lÕŽtude des composantes de la courbure qui ne sont pas dŽterminŽes algŽbriquement par les Žquations dÕEinstein.

En plus des propriŽtŽs algŽbriques quÕon a rappelŽes, le tenseur de Weyl poss•de, dans le cas quadri-dimensionnel, une importante propriŽtŽ diffŽren- tielle, celle quÕon dŽrive aisŽment des identitŽs de Bianchi [5]Ê:

].

, [ ] , , [

6 1 βγ δ γ

δ α β

αβγδ R g R

W = + (18)

2.3 Equations de champ pour le tenseur de Weyl.

On dispose maintenant de tous les instruments nŽcessaires pour exprimer le lien entre le tenseur de Weyl et ses sources. De (1) et (18) on obtientÊ:



 



 −

= ^{[ , ] [ , ]}

, 3

1 γα β β

α δ γ

αβγδ k T g T

W _g (19)

Faisant usage de lÕidentitŽ

3 ,

1 [ , ] ]

,

[αβ γα β

γ

αβγ T g T

J ≡ − (9Õ)

quÕon dŽrive de (9), on obtientÊ:

.

, αβγ

αβγδδ k J

W = _g (20)

PuisquÕon a trouvŽ que les Žquations (8) peuvent sÕexprimer en termes du seul tenseur de Weyl, on est parvenu ˆ la conclusion, comme on avait anti- cipŽ, que la nouvelle formulation et la vieille ne se superposent pas, mais au contraire quÕelles sÕajoutent lÕune ˆ lÕautre pour donner une formulation compl•te de la thŽorie. En rŽsumŽÊ: les Žquations dÕEinstein (1) ou (15) satu- rent 10 composantes du tenseur de RiemannÊ; les 10 composantes restantes sont donnŽes par les 10 composantes indŽpendantes du tenseur de Weyl qui ne sont pas liŽes algŽbriquement aux sources. Le tenseur de Weyl est ainsi la partie de la courbure qui nÕest pas dŽterminŽe localement par la distribution de mati•re dans dÕautres points. CÕest pour cela quÕon dit que le tenseur de Weyl dŽcrit le champ gravitationnel libre.

2.4. Le potentiel de Lanczos.

LÕintroduction dÕun potentiel pour le champ de Weyl est attribuŽe ˆ Lanc- zos⁶. NŽanmoins, cÕest seulement apr•s vingt ans que Bampi et Caviglia⁷ ont dŽmontrŽ lÕexistence dÕune fonction potentielle pour le tenseur de Weyl dans un espace-temps arbitraire. En plus, la dŽmonstration entra”ne la conclusion que le tenseur de Riemann ne peut pas •tre dŽterminŽ en gŽnŽral par un po- tentiel.

Le lien entre le tenseur de Weyl et celui de Lanczos est le suivantÊ:

( )

{

⁺

}

⁻

−

− +

−

= _{αβγδ αβδγ γδαβ γδβα αγ βδ δβ}

αβγδ H H H H g H H

W 2

1

, ,

, ,

(

⁺

) (

^{+ +}

) (

^{− +}

)

⁺

−gαδ Hβγ Hγβ gβδ Hγα Hαγ gβγ Hαδ Hγα

6 Lanczos, ibidem.

7 Bampi et Caviglia (1983).

( )

, 3

2Hσρσ,ρ gαγgβδ −gαδgβγ

+ (21)

o•

.

,

, σµνσ

σ σµν

µν H H

H ≡ − (22)

La formule (21) est une Žquation diffŽrentielle du premier ordre pour Hαβγ . Le sens du thŽor•me de Bampi et Caviglia est quÕelle admet toujours une solution et permet dÕŽcrire le tenseur de Weyl en termes des premi•res dŽrivŽes du tenseur H_αβγ . Udeschini⁸ avait trouvŽ quÕon pouvait exprimer diffŽrentiellement le tenseur de Riemann en termes dÕun tenseur du troisi•me ordreÊ: nŽanmoins Bampi et Caviglia ont prouvŽ quÕen gŽnŽral lÕŽquation diffŽrentielle nÕŽtait pas intŽgrable.

3 Histoire.

3.1. Les Žquations du premier ordre dans quelques articles rŽcents et le probl•me historiographique.

Nous sommes ˆ m•me de donner une premi•re liste dÕarticles ou textes postŽrieurs ˆ 1973 traitant des aspects du th•me. Dans le premier chapitre on a fait rŽfŽrence, en ordre chronologique, aux traitŽs de Hawking-Ellis et de Carmeli et ˆ lÕarticle de Bampi et Caviglia. On peut y ajouter une sŽrie dÕarticles publiŽs entre 1980 et 1995⁹. CÕest dans ces travaux quÕon a trouvŽ presque tout ce quÕil fallait pour formuler la reconstruction quÕon a donnŽe dans le chapitre prŽcŽdent, avec en plus plusieurs dŽveloppements dont on nÕa pas fait mention ici.

CÕest en lisant ces contributions quÕon se rend compte quÕil y a ici un probl•me historiographique. En fait, on verra, dÕun c™tŽ, que cette littŽrature est pauvre dÕindications sur ses sources m•mes, de lÕautre c™tŽ, que les ren- vois quÕon y trouve sont souvent fallacieux.

Dans lÕarticle Žcrit par Roberts en 1995 on souligne, en effet, que, ˆ c™tŽ de la formulation traditionnelle de la relativitŽ gŽnŽrale, il existe une formu-

8 Udeschini (1977).

9 Novello et Duarte de Oliveira (1980), Novello et Velloso (1987), Edgard (1987), Roberts (1988 et 1995)), Hammon & Norris (1992).

lation alternative des Žquations du champ, dite de Jordan, dans laquelle elles sont Žcrites sous forme dÕŽquations diffŽrentielles du premier ordre pour le tenseur de Weyl. A ce sujet, on renvoie au livre de Hawking-Ellis. Or, il sÕav•re que dans ce livre on peut trouver les Žquations du champ dans la forme donnŽe ci-dessus. Hawking et Ellis font aussi remarquer quÕon peut Žcrire les identitŽs de Bianchi sous la forme de lÕŽquation (18). Par surcro”t, ils soulignent que les identitŽs de Bianchi Žcrites dans cette forme sont tr•s semblables aux Žquations de Maxwell, de fa•on quÕon peut les voir comme Žquations de champ pour le tenseur de Weyl. Ils ajoutent m•me que ce der- nier est la partie de la courbure en un point qui dŽpend de la distribution de la mati•re ailleurs. On peut dire, par consŽquent, que dans ce livre on trouve lÕessentiel sur la mati•re du point de vue du contenu physique. Ë ce moment lˆ il fallait vŽrifier le second message de Roberts, cÕest ˆ dire lÕattribution ˆ Jordan de cette formulation. On a par consŽquent cherchŽ chez Jordan, en particulier lˆ o• lÕarticle de Roberts nous renvoyait, cÕest ˆ dire dans son livre Schwerkraft und Weltall¹⁰, mais on nÕy a pas trouvŽ la moindre rŽfŽrence ˆ la formulation quÕon lui attribue. Hawking et Ellis renvoient ˆ une sŽrie dÕarticles¹¹ o• on utilise cette formulation pour analyser le comportement de la radiation gravitationnelle (pour des considŽrations analogues voir, plus rŽcemment, Bonnor¹²). Dans son article Hawking ne parle pas dÕune formu- lation de Jordan, mais, de toute fa•on, il renvoie ˆ un article Žcrit par Jordan en collaboration avec Ehlers et Kundt¹³, o• en effet on trouve des ŽlŽments qui ont ˆ faire avec le sujet. Dans le premier chapitre de lÕarticle on introduit la notion de bivecteur, ou tenseur rŽel anti-symŽtrique du deuxi•me ordre.

Ensuite, on y consid•re les applications linŽaires dÕun espace de bivecteurs en soi, qui sont gŽnŽrŽs par tenseurs 

 2

2 . Parmi les applications de ce type figurent celles engendrŽs par le tenseur de Riemann lui-m•me. Les auteurs consid•rent ensuite la dŽcomposition usuelle du tenseur de Riemann dans ses parties irrŽductibles. Ë cette dŽcomposition correspond lÕanalogue pour le tenseur de Weyl. Le tenseur de Weyl dŽtermine une application linŽaire dua- lement symŽtrique de lÕespace des bivecteurs en lui-m•me. On peut toujours mettre la matrice reprŽsentative dÕun tenseur de Weyl en forme normale avec un choix de base. Les auteurs montrent que seulement 4 formes normales de Jordan sont possibles pour la matrice. Cela permet une classification des ten-

10 Jordan (1952).

11 Newman et Penrose (1962), Newman et Unti (1962), Hawking (1966).

12 Bonnor (1995).

13 Jordan et al. (1960).

seurs de Weyl, qui repropose la classification dŽjˆ formulŽe par Petrov. Et voilˆ tout.

PuisquÕil para”t que, suivant lÕindication de Roberts, on sÕest trouvŽ dans un cul-de-sac, il faut chercher un parcours alternatif. CÕest lˆ que les indica- tions re•ues par les coll•gues parisiens paraissent donner le matŽriel pour obtenir une version plus proche de la vŽritŽ sur ce chapitre de lÕhistoire de la physique.

3.2 Les travaux de Bel.

Voyons donc en rŽsumŽ ce quÕon peut trouver dans une sŽrie de travaux publiŽs par Bel entre 1959 et 1962. Dans un premier article¹⁴, Bel souligna que le mieux quÕon puisse faire pour aborder le probl•me de la radiation gra- vitationnelle cÕest dÕessayer de trouver des analogies entre ce probl•me et celui bien connu de la radiation ŽlectromagnŽtique. Ë ce propos il suit une terminologie de Lichnerowicz appelant double 2-forme tout tenseur du qua- tri•me ordre possŽdant les propriŽtŽs de symŽtrie du tenseur de Riemann. Ce sont ces propriŽtŽs qui font du tenseur de Riemann lÕextension naturelle de la 2-forme de Maxwell dŽcrivant le champ ŽlectromagnŽtique. Il faut remarquer que cette terminologie et lÕexploitation de lÕanalogie sont poursuivies de nos jours¹⁵. Le dŽpart est donc le point de vue, exprimŽ par Lichnerowicz et Pira- ni, que •a devrait •tre le tenseur de courbure, plut™t que le tenseur mŽtrique, lÕŽlŽment gŽomŽtrique adŽquat ˆ la description des phŽnom•nes de radiation gravitationnelle. Dans le second article de la sŽrie Bel¹⁶ suppose quÕon est dans le vide; par consŽquent on a R_αβ =0. On y Žcrit les identitŽs de Bianchi dans la forme (9), et on introduit le tenseur

(

^{αρλσ βρµσ αρλσ βρµσ}

)

αβλµ R R R R

T * *

2

1 +

= ,

qui poss•derait les propriŽtŽs de symŽtrie

λµαβ αβµλ βαλµ

αβλµ T T T

T = = =

par des Žquations du vide avec constante cosmologique, et devient com- pl•tement symŽtrique d•s que λ=0. Ensuite on montre que (bien entendu dans le vide) T est conservatif. Les Žquations du champ gravitationnel dans le

14 Bel (1959a).

15 Misner et al. (1973).

16 Bel (1959b).

vide se rŽduisent ˆ lÕidentitŽ de Bianchi et ˆ lÕŽquation exprimant la conser- vation de T. Nulle part on ne fait mention du tenseur de Weyl. Bel souligne que T joue pour le champ de gravitation le m•me r™le que le tenseur de Maxwell pour le champ ŽlectromagnŽtique. Bel retourna sur le probl•me dans sa th•se de doctorat¹⁷ en 1961. Cette foi-ci les Žquations de vide sont Žcrites en forme de lÕidentitŽ de Bianchi et de lÕŽquation

βλµ λµβ αRα =J

∇ ,

cÕest ˆ dire lÕŽquation (20) ci-dessus. On peut dire quÕˆ cet Žtage Bel Žtait parvenu ˆ la formulation qui nous a intŽressŽs ici. Des considŽrations du m•me type sont dŽveloppŽes dans un article de 1962¹⁸. Il para”t que depuis ce moment lÕargument devient dÕactualitŽ: quatre ans sŽparent ce dernier article de celui de Hawking, qui a signŽ le dŽmarrage des plus rŽcents dŽveloppe- ments.

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(Manuscrit re•u le 25 janvier 2001)