Etude des systèmes du premier ordre

Automatique 1

Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI

ASI 3

Cours 2

Automatique

!

Introduction

!

Etude des systèmes du premier ordre

"

Intégrateur

"

Système du 1

^er

ordre

!

Etude des systèmes du 2

^ème

ordre

"

Système du 2

^ème

ordre avec réponse apériodique

"

Système du 2

^ème

ordre avec réponse oscillatoire

!

Systèmes d'ordre supérieur à 2 et autre système

"

Notion de pôles dominants

"

Système avec retard

Automatique 3

!

Système continu LTI

!

Décomposition en éléments simples

u(t) H(s) y(t) H(s) : fonction de transfert

Quelle est la forme de la sortie y(t) du modèle en réponse aux signaux usuels :

# impulsion de Dirac u(t)= δ ^(t)

# signal échelon u(t)= Γ (t)

# signal rampe u(t)=v(t)

= ∑

i

H

i

s s

H ( ) ( )

^H_i^(s) : fonction de transfert de systèmes de base ou systèmes fondamentaux (1^er ordre, 2^e ordre)

Automatique

!

Système régi par l'équation différentielle

!

Fonction de transfert

!

Exemple

= ∫

=

_c ^t

i d t C

V t

y 1

₀

( )

) ( )

( τ τ

) ( )

( t u t y

T

_i

_& = ⁼ ∫

^t

i

d T u

t

y 1

₀

( ) )

( τ τ

⇒ (CI nulle)

s s T

H

i

) 1

( =

^Ti : constante d'intégration Pôle : λ⁼⁰

R u(t)

i(t)

C V_c(t)

Relation entre le courant i(t) et V_c(t)

u(t)

∫

y(t)

Ti

1

Automatique 5

!

Réponse aux signaux usuels

"

Réponse impulsionnelle

"

Réponse indicielle

"

Réponse à une rampe

T

i

t t

h ( )

)

( = Γ

La réponse impulsionnelle d'un intégrateur est un échelon d'amplitude 1/T_i

) ( )

( t t

u = δ

^⇒

( ) ^t

T v t

y

i

) 1 ( = )

( )

( t t

u = Γ

⇒

La réponse indicielle d'un intégrateur est une rampe de pente 1/T_i

? )

( t = y

) ( )

( t v t

u =

⇒

Automatique

!

Système régi par l'équation différentielle

!

Fonction de transfert

!

Exemple

) ( )

( )

( t y t Ku t y

T _& + =

) ( )

( )

( t y t Ku t y

T _& + =

^⇒

s T Y ( s ) + Y ( s ) = KU ( s )

s T s K

H = + ) 1

(

T : constante de temps K : gain statique

Pôle :

T

− 1 λ =

Condition de stabilité :

T > 0

R u(t)

i(t)

C V_c(t)

) ( )

( )

(t y t u t y

RC & + = ^avec y(t) =V_c(t)

s s T

H = +

1 ) 1

(

^avec

T = RC

Automatique 7

!

Réponse impulsionnelle

"

Entrée :

"

Réponse du système :

"

Tangente à l'origine :

) ( )

( t t

u = δ

T t

T e t K

h ( ) =

⁻

La tangente à l'origine coupe l'axe des temps en t = T

0 T 2T 3T 4T 5T 6T

0

Réponse impulsionnelle

T K

T 37 K . 0

T t K T

t K

x ( ) = −

₂

+

0.05 h₀ 3T

0.13 h₀ 0.37 h₀

2T 0 T

T h = K

0

(

^{Pente =} ₂

)

T

− K

Automatique

!

Réponse indicielle

"

Entrée : signal échelon

"

Réponse du système

.

On en déduit

"

Valeur de la sortie en régime permanent

"

Tangente à l'origine

K t

y y

t

=

=

→∞

∞

lim ( )

) ( )

( t t

u = Γ

) ( )

( t t

u = Γ

^⇒

s s

U 1

)

( = ^{Y ( s ) = s} ( ^{1 K + Ts} )

) (

)

( ^{1 1}

)

(

^{T t}

t

e K

e K

t

y = −

⁻

= −

^λ

T t t K

x ( ) = (

Pente =

)

T K

La tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale y = K en t = T

Automatique 9

!

Réponse indicielle (fin)

y_∞ : valeur de la sortie en régime permanent

0 T 2T 3T 4T 5T 6T

0 0 .6 3K

K

R é p o n s e in d ic ie lle

0 .9 5K

87%

2T

63%

T

100%

∞

99,4%

95%

5T 3T

t

) (%) (

y∞ t y

Tableau récapitulatif de l'évolution de la sortie

Automatique

!

Rapidité du système

"

Temps de réponse t

_r

du système

"

Temps de montée t

_m

0 T 2T 3T 4T 5T 6T

0 0.63K

K 0.95K

t_r = temps au bout duquel la réponse indicielle atteint 0.95y_∞

T t

_r

≈ 3

t_m = temps au bout duquel la réponse passe de 0.1y_∝ à 0.9y_∞

T

t

_m

≈ 2 , 2

Automatique 11

!

Réponse à une rampe

"

Entrée : signal rampe

"

Réponse du système

.

On en déduit

"

Remarques

) ( )

( t v t

u =

) ( )

( t v t

u =

^⇒

1

₂

)

( s s

U = ^{Y ( s ) = s}

²

( ^{1 K + Ts} ) ( ^{t T} ) ^KTe

^Tt

K t

y ( ) = − +

⁻

$ La réponse est la somme de deux termes : une fonction exponentielle décroissante et une rampe retardée, de retard T

$ Le terme au bout de 3T ⇒ la sortie tend asymptotiquement vers

≈ 0

−T t

KTe ^K ( ^{t − T} )

$ La pente à l'origine est nulle

Automatique

!

Réponse à une rampe (fin)

0 T 2T 3T 4T 5T

0 5 10 15

20 K v(t)

y(t)

ε

$ La sortie suit asymptotiquement la rampe Kv(t) avec un retard T

$ L'écart en régime permanent ε ^{= Kv(t) - y(t) est appelé} erreur de traînage

= KT ε

Erreur de traînage :

Automatique 13

!

Système régi par l'équation différentielle

!

Fonction de transfert

!

Autre écriture de la fonction de transfert

) ( )

( )

( )

(

_{1 0 0}

2

y t a y t a y t b u t

a _&& + _& + =

⇒

ou

) ( )

( )

( )

(

_{1 0 0}

2

y t a y t a y t b u t

a _&& + _& + = (

2 1 0

) ^{( )}

0

^{( )}

2

s a s a Y s b U s

a + + =

2 1 )

(

2

2

+ +

= s s s K

H

n

ω ξ

n

ω

0 2 1

2

)

0

( a s a s a

s b

H = + +

2 2

2

) 2 (

n n

n

s s

s K

H ξω ω ω

+

= +

ξ : facteur d'amortissement, K : gain

ω_n : pulsation naturelle non amortie du système avec

ω

_n

> 0

Automatique

!

Pôles du système

"

Etude du discriminant réduit

$

$ Si alors : le système a des pôles réels et son comportement est apériodique

#

Si alors le système a deux pôles réels distincts

#

Si alors le système a un pôle réel double

$ Si alors : le système a une paire de pôles complexes conjugués et son comportement est oscillatoire

Les pôles sont les racines du polynôme

2 2

2

) 2 (

n n

n

s s

s K

H ξω ω

ω

+

= +

2

2

2

_n

s

_n

s + ξω + ω

(

²

¹ )

2

−

=

∆ ω

_n

ξ

≥ 1

ξ ∆ ≥ ⁰

> 1 ξ

= 1 ξ

< 1

ξ ∆ < ⁰

Automatique 15

!

Système apériodique :

"

Pôles du système

"

Condition de stabilité

"

Factorisation de la fonction de transfert

Comme ,

≥ 1 ξ

2

1

1

= − ξω − ω ξ −

λ

_{n n} ^et

λ

₂

= − ξω

_n

+ ω

_n

ξ

²

− ¹

Le système est stable si les pôles λ₁ ^et λ₂ sont négatifs, ce qui correspond à la condition ξ ≥ 1

2 2

1

λ ω

n

λ = ^H ( ^s ) ( 1 ^T

1

^{s K} )( 1 ^T

2

^s )

+

= +

on a

Le système du 2^e ordre apériodique est équivalent à la mise en série de deux systèmes du 1^er ordre de constantes de temps :

1 1

λ 1

−

= T

2 2

λ 1

−

=

et

T

Automatique

!

Système apériodique (cas ) : réponse indicielle

"

Décomposition de la FT en éléments simples

"

Réponse indicielle

!

Système apériodique (cas ) : réponse indicielle

C'est la somme des réponses indicielles des deux sous-systèmes

> 1 ξ

( ^{K T s} ) ( ^{K T s} )

s H

2 2 1

1

1 ) 1

( = + − +

⇒

avec

2 1

1

T T

1

T K K

= −

2 1

2

T T

2

T K K

= −

et

) 1

( )

1 ( 1

1 )

(^{t K}₁

(

^{e 1}

)

^K₂

(

^{e 2}

)

^K₁ ^{e 1t K}₂ ^{e 2t}

y ^T

t T

t _{− − = −}

λ

_{− −}

λ

−

= ^{− −}

) 1

)(

1 ) (

(

2

1

s T s

T s K

H = + +

= 1 ξ

? )

( t =

? y )

( s =

H

Automatique 17

!

Système apériodique ( ) : réponse indicielle

"

Remarques

$ Pente à l'origine nulle

$ La réponse la plus rapide correspond à ξ⁼¹

$ Asymptote horizontale y=K

≥ 1 ξ

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0

K ξ ^{= 1}

ξ^{= 4} ξ ^{= 2}

Automatique

!

Système oscillatoire :

"

Pôles du système

"

Lieu des pôles

< 1 ξ

2

1

ξω ω 1 ξ

λ = −

_n

− j

_n

−

et

λ

₂

= − ξω

_n

+ j ω

_n

1 − ξ

²

Le système est stable si Re(λ₁^{) < 0 et Re(}λ₂^{) < 0, soit 0 <} ξ ^{< 1}

1 ξ 2

ω −

− j _n 1 ξ2

ω_n − j

ξωn

− Pour 0 ≤ ξ ≤ 1

ωn

− ^Re

Im

Rayon de l'arc

de cercle = ω_n

ϕ

ξ ϕ ) = cos(

λ

1

λ

2

ψ

ξ

ψ

) = sin(

Automatique 19

!

Système oscillatoire ( )

"

Réponse indicielle

avec

ω

_p

= ω

_n

1 − ξ

^{2 et}

 





 



 +

−

− −

= sin( )

1 1

)

(

2

ω ϕ

ξ ξω

t e t

K t

y

ⁿ _p

ξ ξ ξ

ϕ ^{arctan 1}

²

 = ^arccos



 



 −

= 1 0 < ξ <

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0

K

T p

Automatique

!

Système oscillatoire ( ) : réponse indicielle

!

Caractéristiques de la réponse indicielle

$ Réponse oscillatoire amortie de pulsation

$ Pseudo-période des oscillations

$ Temps de pic

1 0 < ξ <

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0

K

T _p

T _{p i c}

1 ξ

2

ω

ω

_p

=

_n

−

p p

T ₌ ω ² π

pic p

T ₌ ω π

Automatique 21

!

Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle

$ Dépassement (D

)

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0

K

trn %

D

y _∝ y _{m a x}

n %

max

100

%

− ×

=

∞

∞

y

y D y

Définition :

D est lié au coefficient d'amortissement ξ ^{par :} _%

100

^{1 ξ2}

πξ

− −

= e

D

y_∞ : valeur de la sortie en régime permanent y_max : valeur de pic de la réponse indicielle

Automatique

!

Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle

$ Temps de réponse à n% (t_rn% )

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0

K

t_{r n %}

y _∝

n %

C'est le temps au bout duquel la réponse indicielle atteint ±n% de sa valeur finale

On mesure en général le temps de réponse à 5% :

( ^{0 . 7} )

ln 100 1

%

≈ ξω ⁿ ξ <

t

r_n n

(

^0.7

)

3

%

5 ≈

ξω

_n

ξ

<

tr

Automatique 23

$ Amortissement faible ( ) : réponse peu amortie, fortes oscillations, fort dépassement, réponse d'autant plus rapide que ξ ^{est faible}

$ Amortissement fort ( ) : réponse très amortie, pas d'oscillations, dépassement à peine visible

$ Amortissement (souvent utilisé)

#

Dépassement D ≈ 5% et

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0

K

ξ^{= 0 . 2}

ξ^{= 0 . 9} ξ^{= 0 . 7}

ξ^{= 1} ξ^{= 0 . 4}

7 .

< 0 ξ

7 .

> 0 ξ

% 3

5 ≈

r nt ω

7 .

= 0 ξ

Automatique

ω

_n

$ Plus la pulsation ω_n est faible, plus la période des oscillations est grande

$ Plus la pulsation ω_n est faible, plus la réponse du système est lente

0 10 20

0 K

ω_n ^{= 1}

0 5 10 15

0 K

ω_n = 2

0 5 10

0 K

ω_n = 3

ω_n⁼¹ ω_n⁼² ω_n⁼³

ωn

− Re

Im

ωn

− Re

Im

ωn

− Re

Im

Automatique 25

!

Factorisation de la fonction de transfert

!

Décomposition en éléments simples

On peut factoriser la fonction de transfert sous la forme d'éléments de base du premier ou du second ordre

0 1

0 1

) (

) ) (

( a s a s a

b s b s

b s

D s s N

H

n

n m

+ +

+

+ +

= +

= L

L avec m < n et n > 2

∏

∏

∏

∏

+ +

+

+ +

= +

j j n j n j

i i

l l n l n l

k k

i j

l k

s s

s T

s s

s T s

s K

H

_β

β

γ γ

α

ξ ω ω

ω ω

ξ

) 2

( )

1 (

) 2

( )

1 ) (

(

2

, ,

2

2 , ,

2

= ∑

i

H

i

s s

H ( ) ( )

^Hi(s) : fonction de transfert de

systèmes du 1^er ordre ou du 2^e ordre

= ∑

i

y

i

t t

y ( ) ( )

^{avec yi(t)} la réponse au signal d'entrée du système de fonction de transfert H_i(s)

Automatique

!

Exemple

Trouver la réponse indicielle du système suivant : 15

23 9

3 ) 1

( =

3

+

2

+ + + s s

s s s

H

Réponse indicielle

( ¹ )( ^{1 3 3} )( ⁵ )

)

( = + + + +

s s

s s s

H

( ¹ ) ( ³ ) ( ⁵ )

)

( = + + + + +

s C s

B s

s A

H avec

4 , 5

1 4 ,

1 = = −

= B C

A

) 1 (

) ( ) ( )

( H s

s s H s U s

Y = =

^⇒

^{Y ( s ) = s} ( ^{s A + 1} ) ( ^{+ s s B + 3} ) ( ^{+ s s C + 5} )

⇒

( 1 )

) 5 1

3 ( )

1 ( )

(

^{t 3t}

C e

^5t

B e e

A t

y = −

⁻

+ −

⁻

+ −

⁻

⇒ Pôles :

λ

₁ = −1,

λ

₂ = −3,

λ

₃ = −5,

Automatique 27

!

Illustration

Traçons la réponse indicielle du système de fonction de transfert :

(

^{T s}

)(

^{T s}

)

s H

2

1 1

1 ) 5

( = + +

Décomposition de la fonction de transfert :

2 2

1 1

, 1 1

T

T = −

−

= λ

λ

avec T₁=1 et T₂=5.

) ( )

( )

(s H₂ s H₁ s

H = −

Les pôles sont :

(

^{T s}

)

s H

1 1 1

1 4

) 5

( = +

(

^{T s}

)

s H

2

2 1

1 4

) 25

( = +

 





 



 −

 −







 



 −

=

−

=

_{2 1} ^{− 2}

1

^{− 1}

4 1 5

4 ) 25 ( )

( )

(

^T

t T

t

e e

t y t

y t

y

Réponse indicielle

avec et

( ^e

^t

) ( ^e

^t

)

t

y

²

1

¹

4 1 5

4 ) 25

( = −

^λ

− −

^λ

Automatique

0 T 1 T 2= 5 T 1 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0 1 2 3 4 5 6

y 1

y 2

y

R é p o n s e r a p i d e R é p o n s e l e n t e

Réponse indicielle

Au bout de 5T₁, la réponse y₁ tend vers sa valeur finale y_1∞. La sortie y du système n'évolue que sous l'influence de y₂.

Le sous-système H₂ (son pôle est λ₂ ^=-1/T₂) impose le régime transitoire du système. On dit que le pôle λ₂ est dominant par rapport à λ₁^.

Le système du 2^e ordre a une réponse temporelle similaire à celle d'un système du 1^er ordre de constante de temps T₂.

Automatique 29

!

Définition

Soient les pôles d'un système stable. Le pôle λ_i ou la paire de pôles est dit dominant par rapport au pôle λ_j ^{si :}

λn

λ₁^,_L^,

i

j j

i) << Re( ) ≠

Re(

λ λ

) , ( λ

_i

λ

^*_i

Les pôles dominants correspondent soit à une constante de temps élevée (réponse lente), soit à un amortissement faible (réponse très oscillatoire). Ils sont donc situés près de l'axe des imaginaires

En pratique, λ_i est dominant par rapport à λ_j ^si

Re Im

Pôle dominant ou pôle lent (réponse lente)

) Re(

5 )

Re(

λ

_i < ×

λ

_j

Pôle rapide

(réponse rapide)

Automatique

pH du

mélange (y₁)

Mélangeur Eau pure

Acide

(u : débit) Capteur de

mesure du pH (y)

Le pH mesuré y, représente le pH y₁ réalisé plus tôt : . Le retard T_r est dû au transport du fluide de la cuve au point de mesure

) (

)

( t y

₁

t T

_r

y = −

Fonction de transfert

) (

) ( ) (

) ( )

( ) ) (

(

1 1

s Y

s Y s U

s Y s

U s s Y

H = =

) (

)

( t y

₁

t T

_r

y = −

⇓

) ( )

( s e Y

₁

s

Y =

^−Trs

⇒

) ( )

( s e H

₁

s

H =

^−Trs

Automatique 31

 

 



 −

=

−

= y t T

_r

e

^{− t−TTr}

t

y

) (

1

( ) 1

) (

Fonction de transfert

) ( )

( s e H

₁

s

H =

^−Trs avec

^H

1

^{( s )} _{1 +} ¹ _Ts

Réponse indicielle

0 5 10 15 20 25 30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Retard Tr

Automatique

!

Retard pur

!

Approximation de

Le retard correspond au temps qui s'écoule entre la variation de l'entrée et la répercussion de cette variation sur la sortie.

ou

) (

)

( t u t T

_r

y = − ^⇔ Y ( s ) = e

^−Trs

U ( s )

Un système réduit à un retard pur retarde l'entrée d'une durée de T_r.

" Si le retard T_r est très petit, on peut faire les approximations :

r s

T

sT

e

^{− r}

≈ 1 −

r s

T

e

^r

sT

= +

−

1 1

" Approximation simplifiée de Padé :

s T_r

e

⁻

2 / 1

2 / 1

s T

s e T

r s r

T_r

+

≈ −

−