I ETUDE D’UN PREMIER ORDRE :
1) En boucle ouverte :La forme canonique de HO(p) est :
où :
x Ko est le gain statique de la chaîne directe (ou gain statique en boucle ouverte), x W o est la constante de temps de la chaîne directe (constante de temps de la boucle
ouverte).
Evaluation de la rapidité du système :
Cette évaluation se fait par l’intermédiaire du calcul de t 5%. Ici : t 5% = 3. W o Evaluation de l’erreur statique du système pour une entrée échelon unitaire :
Cette évaluation se fait par l’intermédiaire du calcul de Hs(t) :
f o
H
t
t s t e
s(t) lim( () ())
D’après le théorème de la valeur finale on peut calculer Hs(t) grâce à : 0 p
p S p E p
s t o
H () lim .( ( ) ( )) On trouve :Hs(t) = 1-Ko
Ko étant positif alors :
f d H
s( ) 1 t d
2) En boucle fermée :Exprimons HF(p)en fonction des paramètres de Ho(p) :
) (
) ) (
( 1 H p
p p H
H
o
F O soit
p 1 1 K
p 1
K p
H
0 O 0 O
F
. ) .
(
W
W
, soit en réduisant :
p K
1 p K H
0 0 F O
) .
( W
En mettant HF(p) sous forme canonique il vient :
K p 1 1
K 1
K p
H
O 0
O O
F
. )
(
W
On pose :
x
0 F 1 K0
K K
où KF est appelé le gain statique du système bouclé,
x
0 F 10K
WW où W F est appelé la constante de temps du système bouclé
Finalement on peut écrire :
p 1 p K
HF F
) .
( W
p 1 p K H
o o o
) .
( W
H
O(p)
E(p) S(p)
H
O(p)
E(p) S(p)
H
F(p)
E(p) S(p)
+ - =
performancesBO-BF Lycée Jacques Amyot
Cette évaluation se fait par l’intermédiaire du calcul de t 5%. Ici : t 5% = 3. W F soit
0 5 0
K 31
t
W.
%
Evaluation de l’erreur statique du système pour une entrée échelon unitaire : Cette évaluation se fait par l’intermédiaire du calcul de Hs(t) :
f o
H
t
t s t e
s(t) lim( () ())
D’après le théorème de la valeur finale on peut calculer Hs(t) grâce à :
0 p
p S p E p
s t o
H ( ) lim .( ( ) ( ))
On trouve :
o
s 1 K
t 1 H ()
Ko étant positif alors :
0 d H
s( ) t d 1
3) Représentation graphique de s(t) dans les cas B.O. et B.F. :
Ces tracés sont réalisés pour une entrée échelon unitaire, avec K0 = 2 et W 0=1s. Dans le cas de la boucle fermée le retour est considéré comme unitaire.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
-0.25 0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75 6.25 6.75 7.25 7.75 8.25 8.75 9.25 9.75 10.25
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1
-0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 1.05 1.15 1.25 1.35 1.45 1.55 1.65 1.75 1.85 1.95 2.05 2.15
FTBF 1
ERORDRE FTBO 1
ERORDRE
Echelon unitaire
Le bouclage n’a pas modifié l’ordre du système, Le bouclage a modifié le gain du système : KF<KO
Le système bouclé est plus rapide, on améliore sa rapidité en augmentant le gain KO, Le système bouclé est plus précis l’erreur statique est plus faible en B.F.
II ETUDE D’UN SECOND ORDRE :
1) En boucle ouverte :La forme canonique de HO(p) est :
où :x Ko est le gain statique de la chaîne directe (ou gain statique en boucle ouverte), x ao est le coefficient d’amortissement de la chaîne directe .
x Zno la pulsation propre du système non amorti de la chaîne directe.
2) En boucle fermée :
On exprime la fonction transfert en boucle fermée :
² . ²
) . (
no no
0 o
F o p
a p 1 2 K p K H
Z Z
En mettant HF(p) sous forme canonique il vient :
)
².(
. ² ) .(
) . (
1 K p p
1 K
a 1 2
K 1
K p
H
o no o
no o
0 o
F
Z
Z
On pose :
² . ²
) . (
nF nF
F
F F p
a p 1 2 p K H
Z Z
où :
KF est appelé le gain statique du système bouclé, aF le coefficient d’amortissement du système bouclé,
ZnF la pulsation propre du système non amorti du système bouclé.
On trouve par identification :
3) Réponse à un échelon unitaire :
Soit un système du second ordre dont les paramètres en boucle ouverte sont : Ko = 3 ao = 0.8 Zno = 2 rad/s Soit en boucle fermée :
² . ²
) . (
no no
o
o o p
a p 1 2 p K H
Z Z
0 F 1 K0
K K
o
F o
K 1 a a
nF no o 1K Z Z .
H
O(p)
E(p) S(p)
H
O(p)
E(p) S(p)
H
F(p)
E(p) S(p)
+ - =
performancesBO-BF Lycée Jacques Amyot
Grâce à l’abaque du temps de réponse réduit utilisable pour les systèmes du second ordre ci-dessous, on évalue dans les deux cas tr.Zn:
On peut lire sur l’abaque :
Ce qui conduit aux réponses suivantes :
0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1 1.11.21.31.41.51.61.71.81.9 2 2.12.22.32.42.52.62.72.82.9 3 3.13.23.33.43.53.63.73.83.9 4 4.14.24.34.44.54.64.74.84.9 5 5.15.2 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
-0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3
En boucle ouverte : tr.Zno # 3 donc tr 5% # 1.5 s
En boucle fermée : tr.ZnF # 8 donc tr 5% # 2 s
tr.Zn
Coefficient d’amortissement a
FTBF 2
èmeORDRE FTBO 2
èmeORDRE
Echelon unitaire
Le système bouclé est donc aussi un système du second ordre, aF est inférieur à ao. Or, pour un système du second ordre, c’est pour un facteur d’amortissement de 0,7 que le temps de réponse est minimum. Aussi, si ao est supérieur à 0.7, le bouclage peut améliorer le temps de réponse, par contre si ao est déjà inférieur à 0.7, le bouclage conduit à augmenter le temps de réponse à 5%.
III INFLUENCE DU GAIN SUR LE COMPORTEMENT TEMPOREL :
Les études temporelles menées ci- dessus montre l’importance du gain de la chaîne directe dans l’établissement des performances d’un système bouclé.
C’est la raison de la présence, dans la chaîne directe après le comparateur, d’un gain variable KV que l’on pourra
ajuster aux performances attendues du système. Ce qui donne le schéma bloc de la figure ci-dessus.
Il est important de ne pas confondre le gain statique Kode Ho(p), qui est structurel (pour le modifier il faut modifier la structure du processus à commander) avec le gain variable KV, qui est introduit dans la chaîne directe.
Nota : Les résultats précédents sont transférables à cette étude en remplaçant le gain de la chaîne directe par le produit du gain structurel Ko et du gain variable (ajustable) KV.
IV CONCLUSION :
Par rapport aux trois critères de performance : la précision, la rapidité et les dépassements, on remarque que l’influence d’un gain KV est positive pour la précision et la rapidité, ce qui semble conduire à rechercher un gain maximum.
Outre que pour un système du second ordre une valeur trop importante du gain peut conduire à des dépassements néfastes, on constate par ailleurs que ce choix mène aussi vers l’instabilité. Aussi lors du réglage, il faut toujours rechercher le gain minimum qui permet d’assurer les performances temporelles souhaitées.
0 0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.95 1 1.051.11.151.21.251.31.351.41.451.51.551.61.651.71.751.81.851.91.95 2 2.052.12.152.22.252.3 -0.1
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1
-0.075 -0.025 0.025 0.075 0.125 0.175 0.225 0.275 0.325 0.375 0.425 0.475 0.525 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.925 0.975 1.025 1.075
H
O(p) E(p) S(p)
K
VKv KF t5%(s)
1 0.75 4
5 0.9375 0.88
10 0.9677 0.36
15 0.9782 0.26
20 0.9836 0.31
KV =1 KV =5
KV =10 KV =20
KV =15
Etude réalisée avec a0=5,Zn0=2 rad/s et K0=3
