Etude de la variation de la différence d'énergie entre les deux premières bandes de conduction du GaSb avec la pression hydrostatique

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Etude de la variation de la différence d’énergie entre les

deux premières bandes de conduction du GaSb avec la

pression hydrostatique

G. Bougnot, M. Averous, J. Calas

To cite this version:

ÉTUDE

DE LA

VARIATION

DE LA

DIFFÉRENCE

D’ÉNERGIE

ENTRE

LES DEUX

PREMIÈRES

BANDES

DE

CONDUCTION

DU

GaSb

AVEC

LA

PRESSION

_{HYDROSTATIQUE}

Par G.

_BOUGNOT,

M. AVEROUS et

_J.

_CALAS,

Centre d’Études

_{d’Électronique}

des Solides de _{Montpellier (associé} au _C.N.R.S.).

(Reçu

le 10 avril 1969, révisé le 1-5

_{juillet 1969.)}

Résumé. 2014 Nous

_développons

la théorie de la variation de 0394E, différence

_d’énergie

entre les bandes de conduction

₍₀₀₀₎

et

₍₁₁₁₎

d’un semiconducteur comme _GaSb, avec la

_pression.

Pour cela, nous tenons

_compte

des variations de

_population

et des variations de mobilité de

_chaque

bande

_lorsque

le niveau de Fermi et les masses effectives varient.

Nous

_appliquons

les résultats

_théoriques

obtenus au GaSb et nous confirmons que les

deux bandes

₍₀₀₀₎

et

₍₁₁₁₎

se

_{rapprochent lorsque}

la

_pression

augmente [2],

[11], [14], [15].

La valeur

de d0394E/dP

trouvée est de 5,5 X 10-s

_eV/bar

et est voisine de celle _{trouvée par}

Kosicki

_{[9], [16]}

_qui

donne 5 10-6

_eV/bar,

en

_négligeant

les variations de mobilité.

Abstract. 2014 We

develop

the

_theory

of the variations with

_hydrostatic

_pressure of _0394E, the energy difference between the conduction bands

₍₀₀₀₎

and

₍₁₁₁₎

of a semiconductor such as

GaSb.

We take into account the variations of

_population

and

_mobility

of each band when the Fermi level and effective masses

_change.

We

_apply

the theoretical results to GaSb and we show that the two bands

₍₀₀₀₎

and

₍₁₁₁₎

get

nearer when _pressure increases. We

find d0394E/dP

_equal

to 5.5 x 10-6

_eV/bar;

this value is closed to Kosicki’s result which is 5 10-6

_eV/bar,

if the variations of

_mobility

are

_neglected.

I.

Introduction.

- Le

tenseur de

_{piézorésistance}

a

été défini

_[1]

_{par la} relation :

bp

est la variation de la résistivité du matériau _par

application

d’une

_contraintes

est le tenseur de

piézorésistance ; K

est le tenseur de contrainte.

Comme p

et K sont des tenseurs

_{symétriques,}

on

peut

les considérer comme des vecteurs à six

compo-santes et l’on obtient :

Pour un matériau de

symétrie cubique

_pi =

P2 =

P3, P4 =

P5 =

P6 == 0 et le tenseur de

_{piézorésistance}

se

réduit à trois coefficients

_{indépendants}

1tll, 7r~. Dans le cas d’une

_{pression hydrostatique :}

Nous

_appliquons

des

_pressions

suffisamment faibles pour que p varie linéairement avec

P,

de telle sorte

que le coefficient de

piézorésistance

obtenu sous pres-sion

_{hydrostatique}

est :

03C0p est relié aux coefficients

_{indépendants}

du tenseur

de

_{piézorésistance}

_{par la relation :}

Dans le cas d’une structure à deux bandes de

conduction,

telle

_qu’elle

se

_présente

dans le GaSb :

pLi et _f.L2 : mobilités des bandes 1 et

_2,

ni et _{n2 :}

_populations

des bandes 1 et

_2,

donc :

Nous allons traiter

_séparément

ces deux termes.

II. Piézorésistance due à la variation des

popula-tions. - Nous

employons

la

_statistique

de

_Fermi-Dirac,

posons :

mi

et

_m~

sont les masses effectives des bandes 1 et 2. Comme la bande 2 située dans la direction

₍₁₁₁₎

est une bande multivallée avec des surfaces

_d’énergie

ellipsoïdales :

~/2

N~

est le nombre de

_vallées;

_mT, masse effective

trans-versale ;

mL, masse effective

_{longitudinale.}

74

EF

est

_l’énergie

du niveau de

_Fermi;

_l’énergie

du bas de la

_première

bande de

_conduction;

_E,,,

l’éner-gie

du bas de la deuxième bande de conduction. II .1. EFFET DÛ A LA VARIATION DE ET DE _"1)2’

-Nous supposons que le nombre total de

_porteurs

dans la bande de conduction _{n’est pas modifié par la}

_{pression :}

Si maintenant on tient

_compte

uniquement

de la variation de la différence

_d’énergie

AE entre les bandes

_{(AE = E~2}

-

on a :

avec :

Explicitons

à

_partir

des

_{équations (1).}

Posons :

b 1*

McDougall

et Stoner

_[17]

ont _{montré que :}

Portons cette

_expression

dans

_{l’équation (3) :}

TT. 1..

an1

Explicitons

ôp

et _{posons :}

on obtient :

Portons

₍₅₎

dans

_(4),

on obtient :

II .2. EFFET DÛ A LA VARIATION DE LA MASSE EFFEC-TIVE AVEC LA PRESSION. - Dans le

cas de la bande 1

qui

est une bande

_isotrope,

située au centre de la

première

zone de

_Brillouin,

on admet que

_{[2] :}

E~1

=

largeur

de la bande interdite au centre de la

première

zone de Brillouin.

Dans le cas de la bande

_2,

_qui

est une bande

multi-vallée,

les calculs de structure de bande de Bordure

_[3]

montrent _que seule la masse transversale _mT est sen-sible à

_Egz

et _{que mT} oc

_Eg2

v

Des

_{expressions (7)}

et

₍₈₎

nous déduisons la contri-bution à la

_{piézorésistance,}

de la variation _des popu-lations due à la variation de la masse effective avec la

pression :

Q 1 1

La contribution totale à la

_{piézorésistance}

due à la variation des

_populations

est obtenue à

_partir

des

III. Piézorésistance due à la variation des mobilités.

- L’étude des mobilités en fonction de la

température

effectuée par

J.

L. Robert

_[4]

montre

_qu’à

300 OK la

_température

est _{suffisamment élevée pour que} toutes

les

_impuretés

soient

_ionisées,

et les seuls modes de

diffu-sion à considérer sont les modes

_acoustiques,

d’où une

variation

_{de pL}

en

T-3’2.

Le

_temps

de relaxation de ce _processus a été

cal-culé à

_partir

de la théorie du

_potentiel

de

déforma-tion

_{[5], [6], [7] :}

: ... B / d = densité du

solide,

’ ’ u, = vitesse de l’onde

acoustique longitudinale,

E1

= variation de

l’énergie

du bord de la bande _pour une dilatation unité.

La mobilité de conductivité est donnée _par

_{[8] :}

III .1. EFFET DÛ A LA VARIATION DE LA

_{MOBILITÉ u1}

DANS LA PREMIÈRE BANDE. - Dans le _cas de la

première

bande,

la masse effective est

_{isotrope :}

III.1.1. Variation de la mobilité avec la masse

_effective.

- En

_rappelant

_{que l’on admet que ml} oc

_Eg1,

nous avons donc :

III .1. 2. Variation de la mobilité avec _"1)1’ - Nous

avons vu _{que :}

de même :

Remplaçons

2013~

ar

l’expression

trouvée

[5] :

La variation totale de la

_{mobilité pLi}

est donnée par les

équations (12)

et

_{(13) :}

111. 2. EFFET DÛ A LA VARIATION DE LA MOBILITÉ _(~2 DE LA DEUXIÈME BANDE. - La deuxième bande

est

_{multivallée,}

on va donc

_remplacer

m;-5/2

_par

* *2)

-1/2 ~ ( * -1

+

’) * -1)

.

mL mL .

III .2.1. _{Variation de ~,2} avec la masse

_{effective :}

puisque

seule

_mm

varie avec la

_largeur

de la bande

interdite.

donc :

où K

_représente

_{l’anisotropie}

des

_{ellipsoïdes d’énergie.}

III.2.2, _{Variation de ~2} avec _’YJ2’ - Un traitement

analogue

au

_paragraphe

III.1.1 nous donne :

76

Des

_{équations (14)}

et

₍₁₇₎

nous _pouvons calculer la contribution à la

_{piézorésistance}

_provenant

de

la variation des mobilités avec la

pression :

Les

_{équations (10)}

et

₍₁₈₎

vont nous donner la

piézorésistance

totale. En

_posant

_que on obtient :

On obtient _pour la

_{piézorésistance}

totale :

IV. Résultats. - Nous

avons travaillé sur

_quatre

échantillons de

_type

n. Ces échantillons ont été

décou-pés

par une usineuse à

_ultrasons,

dans les

_lingots

de

GaSb obtenus _par

_{tirage (méthode}

de

_{Czochralski) ;}

le GaSb étant naturellement de

_{type p,}

nous avons introduit dans le

_bain,

avant le

_tirage,

du tellure comme

impureté

donatrice. L’étude de la constante de Hall en fonction de la

_température

montre _que nous pou-vons considérer tous les donneurs comme ionisés

[9]

(fig. 1).

~

La

_légère

décroissance du coefficient de Hall

obser-vée pour l’échantillon

_ayant

la constante de Hall la

FiG. 1. - Variation de la constante de Hall

avec la

_{température.}

plus

élevée est due au transfert des électrons de la

bande

₍₁₁₁₎

à la bande

_{(000) quand}

la

_température

décroît

_[9].

Les mesures de

piézorésistance,

sous

_pression

hydro-statique,

ont _{été effectuées pour des}

_pressions

allant de 0 à 4 000

_kg/cm2.

La chambre

_{d’expérience}

étant

constituée _par une enceinte en

_{bronze-béryllium,}

la

pression

étant obtenue par l’intermédiaire d’un

com-presseur

thermique, l’agent

transmetteur de

_pression

est l’azote.

Ce montage de mesure de

pression hydrostatique

nous

_permet

de faire des mesures entre 77 OK et

300 °K. Nous l’utilisons dans le

_présent

travail

uni-quement

à 300 OK.

Nous travaillons avec un

_champ

de l’ordre de

0,5 tesla,

c’est-à-dire dans un domaine où

RH

est

indépendant

du

_champ.

Dans un modèle à deux bandes de conduction

_[11],

[12],

du

_GaSb,

nous _pouvons écrire à 300 °K :

n , l n

car nous _{prenons - p-,}

puisque

kT est de l’ordre de

_2,59

X 10-2

_eV,

c’est-à-dire

_grand

devant

_l’énergie

des niveaux de Landau

_[10].

En

_prenant

à nouveau o~

= ~2

et b =

f.L2 :

n1 [Il

d’après

les

_expressions

₍₁₎

du

_paragraphe

_II,

_pour un b

_{donné, RH}

est une fonction de

seulement,

puisque

est relié à "!J2 par :

Si nous nous fixons

[13], [14] :

m2

=

0,50

m~ = masse

effective

de densité d’état du deuxième minimum nous _{pouvons, pour}

_chaque

_Rg

_{expérimental,}

calculer

TABLEAU 1

La valeur de b choisie est

_0,16.

Cette valeur a été déterminée par un ensemble de mesures en fonction de la

_température

_comprenant

des mesures de conducti-vité 6, de constante de Hall

_RH,

de variation de

résis-tivité sous

_{pression hydrostatique,}

de variation de résis-tivité sous

_pression

uniaxiale

_[15].

Un modèle de calcul

autocompatible

nous a

_permis

de retenir la valeur de

b =

0,16;

_cette valeur _{est en} très bon accord _avec

celle _{trouvée par d’autres} auteurs

_{[4], [18],}

_[14].

Nous avons

_{pris :}

Nous avons

_pris

comme valeur de

~

la valeur

de

_14,5

X 10-6

_{eV/bar [9], [16].}

dP

Nous avons enfin

posé

_qu-

1

+

_{4K -}

2

_puisque,

Nous avons _que

1 + 2K -

puisque,

suivant les auteurs

_{[3], [2], [1] :}

,

dAE

Nous pouvons par _{p p}

conséquent

_q calculer dP

*

Les résultats obtenus sont tabulés dans le tableau I. les échantillons est voisin de ..

d

dp

pour tous les échantillons est voisin de - 9 X 10-6

_eV/atm.

_{Nous pouvons} donc

_calculer,

dans le cas d’échantillons de GaSb de

_{type 7j}

_pour

lesquels

toutes les

_impuretés

sont

_ionisées,

le taux de

variation de la bande

₍₁₁₁₎

_par

_rapport

à la bande de valence :

Conclusion.

- Nous

constatons _que la bande de

conduction

(111)

du GaSb sous l’effet d’une

pression

hydrostatique

se

déplace

_par

_rapport

à la bande de valence dans le même sens _{que la bande}

_(000),

mais

que le taux de variation est

_plus

faible _pour la bande

(111).

Ce

_qui

est conforme aux résultats trouvés

_déjà

par de nombreux auteurs

_{[9], [11],}

_[14],

_[16].

Nous

montrons toutefois

_qu’en

_prenant

en

_compte

la varia-tion des masses effectives des deux bandes

₍₀₀₀₎

et

(111),

ainsi que la variation des mobilités dues à la

pression,

la correction

_apportée

est relativement

_faible,

de l’ordre de

_{quelques %}

si nous _comparons nos résultats à ceux de Kosicki _par

_{exemple qui}

a

_négligé

la variation de masse effective et la variation de

mobi-lité dues à la

_pression.

Remerciements. - Les auteurs remercient le

Doc-teur Gouskov

_qui

leur a fourni les échantillons sur

lesquels

les mesures ont été effectuées. BIBLIOGRAPHIE

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