Valeurs zêta multiples. Une introduction

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

M

ICHEL

W

ALDSCHMIDT

Valeurs zêta multiples. Une introduction

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

12, n

o

_{2 (2000),}

p. 581-595

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_2_581_0>

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Valeurs

zêta

_multiples.

Une introduction

par MICHEL WALDSCHMIDT À _{Jacques Martinet,} pour ses 60 ans

RÉSUMÉ. Soit s =

(s1, ... , sk)

_un

k-uplet

d’entiers

positifs

_avec

k~ 1. Pour s1 ~ 2, la série

converge et sa somme est notée

_03B6(s).

Dans le cas k = 1 il

s’agit

simplement

des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers

positifs. Quelles

relations

_algébriques

existent entre ces nombres? Le

_{produit 03B6(s’)03B6(s")}

de deux valeurs de fonctions zêta

_multiples

est une combinaison linéaire

_{de 03B6(s),}

comme on le voit

facile-ment en

_multipliant

les séries : c’est le

_produit

de

_mélange

lié aux séries. D’autre _part une autre _{expression pour} le nombre

03B6(s)

est donnée _par une

_intégrale

itérée

(intégrale

de

Chen);

cela fournit une autre relation

_quadratique

_exprimant de nouveau le

produit

03B6(s’)03B6(s")

comme une combinaison linéaire c’est

le

produit

de

_mélange

lié aux

intégrales.

On _{conjecture que} ces deux

_produits

de

_mélange

suffisent à décrire toutes les relations

algébriques

entre les nombres

_{03B6(s) .}

Se _pose alors le

_problème

d’étudier

_{l’algèbre engendrée}

par des

générateurs

(les

multizêta

symboliques)

indexés par les et définie par les

rela-tions données par ces deux

produits

de

mélange;

on obtient ainsi

l’algèbre

MZV, dont

Écalle

est en train de déterminer la structure.

Pour définir des séries

_{génératrices}

_permettant de coder simul-tanément tous les multizêta

_symboliques

il convient d’inclure les

s _{correspondant} à des séries

_divergentes

(avec

s1 =

1).

Nous

men-tionnons enfin brièvement

_quelques

résultats de

_l’équipe

de Petitot sur les

_{polylogarithmes,}

et encore

plus

brièvement

plusieurs

_sujets connexes.

ABSTRACT. For _{positive integers} s1,..., sk with s1 ~ 2, the series

nk~sk

this is

_nothing

else than the value of the Riemann zeta function

at the _point s1. What are the

_algebraic

relations between these

numbers? these numbers? The

_{product of two multiple}

zeta values

is _again a

multiple

zeta value: this is

_easily

checked

_by

_multiplying

the two _series, and _using a "shuffie"

_product.

An

example

is

03B6(2)03B6(3) = 03B6(2,3)

+

_03B6(3,2)

+

_03B6(5),

There are other

quadratic

relations between these numbers, which arise from another

_expression

of

_{03B6(s) = 03B6(s1 , ... , sk)}

as a

(Chen)

iterated

_integral:

03B6(s) =

~0394p

03C9~1 03C9~p

(tp),

with the

_following

notation: _{p = s1} + the _sequence

(~1, ... ,

of elements in

_{{0, 1}}

is defined

_{by writing}

the word

x1= _x~p

on the

_{alphabet X}

=

{x0, x1},

the differential forms

03C9~ are defined

by

03C90 (t)

et

_03C91(t)

=

and

_0394p

is the

_following

_simplex

in RP:

=

{t

_~ 1 &#x3E; _{t1&#x3E; &#x3E;}

0}.

Again

this

_yields

an expression of the

product

of two

multiple

zeta

values as a linear combination of

_multiple

zeta

_values,

a

_simple

example being

03B6(2)03B6(3)= 03B6(2,3)

+

_303B6(3,2)

+

_{603B6(4, 1).}

The main _conjecture is that these two _types of relations are

suffi-cient to describe all

_algebraic

relations between these numbers.

This

_subject

has

_deep

connections with many other

mathemat-ical _topics: combinatoric

_(the

_theory

of

_{quasisymmetric functions,}

Radford’s Theorem and

_Lyndon

_words),

Lie and

_{Hopf algebras,}

Écalle’s

theory

of _{resurgent series,} Goncharov’s work on mixed Tate motives on

_{SpecZ, polylogarithms, monodromy}

of

differen-tial _equations, the fundamental group of the

projective

line minus three _points and

_{Belyi’s Theorem,}

the absolute Galois group of

Q,

the _group of

_{Grothendieck-Teichmüller,}

knots

_theory

and Vassiliev

invariants,

K-theory, Feynman

diagrams

and _quantum field

the-ory,

quasi-triangular quasi-Hopf

algebras

and Drinfeld’s associator

03A6KZ

(related

to the connexion of

_{Knizhnik-Zamolodchikov).}

1. Le

_produit

de

_mélange

lié aux séries

est celle

_utilisée,

_par

_exemple,

_{par M.}

_Hoffman,

tandis _{que D.}

_Zagier

et

A.B. Goncharov utilisent l’ordre

_opposé

1 nl ... nk.

Pour s et s’ entiers &#x3E;

_2,

le

_produit

s’écrit

_(formule

de

_réflexion)

Plus

_{généralement,}

soient s = et s’

- ( s i ,

... , s ~, )

deux suites

finies de nombres entiers &#x3E; 1 avec 2 2. Le

produit

de

~(s)

par ~ ( s’ )

est la somme _pour les a =

(cri,... ah)

obtenus _par

mélange

à

_partir

de s et s’ de la manière suivante : on

insère,

dans la suite S =

(si, ... , ,Sk)

de même _que dans la suite s’ =

(s’,

s’ ~ ~ ),

des 0

_(y

compris

éventuellement avant le

_premier

et

_après

le dernier

_terme)

de telle

sorte

_qu’on

obtienne deux suites de même

_longueur

sans avoir deux 0 de

même

_indice,

et on définit a =

(cri,... ah)

comme la somme

(termes

à

termes)

des deux suites ainsi obtenues. Par

_{exemple pour k}

= I~’ = 1 _on

trouve trois

_{possibilités}

_{pour a :}

La relation de

_mélange

liée aux séries s’écrit alors

où a décrit les suites

_{(~1, ... , ah) (h &#x3E; 1)}

ainsi obtenues à

_partir

de s et s’ .

L’indice h décrit l’intervalle +

_1~’J.

Voici une autre

_{description (équivalente)}

de ce

_produit

de

_mélange.

On

considère les mots construits sur

l’alphabet

à deux lettres X =

fxo,

À

_chaque

entier strictement

_{positif s}

on associe le

_{mot ys}

=

xg-lxl,

et à

chaque

suite finie s =

(Si,

Sk) (avec

1~ &#x3E;

₁₎

formée d’entiers

stricte-ment

_positifs

on associe le _{mot xs} = Ainsi

xs est une suite de

xo et de _xi, le nombre k de facteurs xi est la

profondeur

( depth,

encore

appelée longueur)

du mot xs

(ou

du multi-indice

_s),

tandis _que le nombre

p =

Si -~- - - ~ + Sk de lettres en est le

poids

(weight).

On

désigne

par X*

l’ensemble de tous les mots en _{xo, x1, et par}

Q(X)

l’anneau des

polynômes

en deux variables non commutatives

xo, XI à

coefficients rationnels

(ce

sont

les combinaisons linéaires de mots à coefficients

_rationnels).

Les mots

X*xl.

Les mots

_convergents

_sont, outre le mot

_vide,

ceux de

xox*xl, qui

commencent par xo et terminent _{par xl,} c’est-à-dire ceux

_qui

s’écrivent xs

avec s =

(SI,... ,

Sk) et

2;

pour un tel mot w on _pose

«w) = ~(s~.

Pour k = 0 la suite s =

0

_est codée

par le mot vide que nous noterons e. Il

est commode de convenir _que

_«0)

=

~(e)

= 1.

On

_prolonge

_par linéarité la définition de

_~(w)

aux

_polynômes

conver-gents,

qui

sont les éléments w de

_Q(X)

s’écrivant comme combinaisons

linéaires

_(à

coefficients

_rationnels)

de mots de l’ensemble

On définit

_(par

récurrence sur la

longueur)

une loi associative et

com-mutative * sur l’ensemble

X*xl

de la manière suivante : on a d’abord

pour tout w dans

-X*.ri,

et

ensuite,

_{pour s et t} entiers strictement

positifs,

w et w’ dans

_X*xl,

On vérifie

_alors,

avec les notations

précédentes,

ce

_qui

_signifie

_que les relations de

_mélange

introduites ci-dessus

_{s’écrivent,}

pour w et w’ dans

_xox*xl,

Ce

_produit

de

_mélange

est lié à la théorie des fonctions

_{"quasi-symétriques" .}

Soit t =

{tl, t2, ... ~

_un

alphabet

commutatif infini. On considère

l’algèbre

Q[[t]]

des séries formelles en ces variables. Une série

F(t)

~ Q[[~]]

est

quasi-symétrique

si pour tout =

(sl, ... ,

le coefhcient dans

_F(t)

de

tout

tsk

avec

_il

&#x3E; ... &#x3E;

_ik

ne

_dépend

_pas du multi-indice

’Il 2 j

(il, ... ,

ik) .

Le

_produit

de deux séries

_{quasi-symétriques}

est encore

quasi-symétrique.

À

chaque

mot w = _on associe la série

quasi-symétrique

Pour tous w et w’ dans

_{X * xl}

on a

Si w est un mot

_convergent

alors

_~(w)

est la valeur de

_Fw(t)

_quand

on

2. Le

_produit

de

_mélange

lié aux

_intégrales

Un autre

_codage

des mots de

_X*xl

va nous être utile.

À

toute suite

s =

(sl, ... , Sk)

d’entiers strictement

positifs

de

poids

_p =

SI +... on

associe la suite

_(El,

... , d’éléments de

{O, 11

définie par

On introduit les deux formes différentielles

On

_désigne

_par

_Ap

le

_simplexe

suivant de RP :

Proposition

1.

_Si,

de

_plus,

_2,

alors

On vérifie facilement cette relation en

développant

1 / ( 1 - t)

en série

entière à

_l’origine.

On

_peut

écrire

_{l’intégrale}

intervenant dans l’énoncé de la

_proposition

comme une

_intégrale

itérée

(ou

_intégrale

de

Chen)

définie de la manière

suivante.

Soient _{~pl, ... , cpn} des formes différentielles sur R. On définit _par

récur-rence

-

-avec, pour n

_{= 1,}

Ainsi

" ’-’ 11

On

_peut

aussi définir les

_{intégrales de}

Chen en introduisant d’abord le

produit

(associatif

et non

commutatif) a #

{3

de deux formes différentielles

a et

{3 :

où

La

_proposition

_précédente

s’écrit ainsi :

_{quand s}

=

(SI, ... ,

Sk)

est

conver-gent

(si

&#x3E;

_2),

on a

où,

pour s entier &#x3E; 1,

on a

_posé

De cette

_proposition

on va déduire la relation de

mélange

liée aux

intégrales.

On définit

_(par

récurrence sur le

_poids

p)

un

_produit

Lu encore

appelé

intercalement ou

battage)

sur X* de la manière suivante :

et

_{ensuite, pour i et j}

_{dans (0, 1) ,}

u et v dans

_{X * ,}

(on

notera ici l’absence du terme

_diagonal

_{qui apparaissait}

dans la loi * du

produit

de

_mélange

lié aux

séries).

On vérifie alors _que les relations

sont satisfaites _pour tout w et w’ dans

xox*xl.

Pour cela on

décompose

le

_produit

cartésien

_Ap

x

_Ap,

de deux

_simplexes

en réunion

_disjointe

(aux

bords

_près)

de

_(p

-f

_{p’)!/p!p’!}

_simplexes.

Ces relations

₍₂₎

_permettent

_d’exprimer

le

_produit

_{oÙ s}

a _pour

poids

p et s’ pour

poids

p’,

comme une combinaison linéaire à coefficients

entiers

_positifs

de valeurs

_~(s").

La somme des coefficients est

_{(p+p’)!/p!p’L}

Par

_exemple

de

_{l’égalité}

on déduit

Quand

on combine cette relation avec celle du

_mélange

liée aux séries

_qui

donne

on obtient

On étend _par linéarité Lu à

_l’algèbre

des

_polynômes

non commutatifs

Q(X) ,

ce

_qui

donne une

algèbre

commutative et associative

Sl Q(X).

La structure

de cette

_algèbre

est décrite _par le Théorème de

_{Radford :}

c’est

_l’algèbre

des

_polynômes

sur l’ensemble L des "mots de

Lyndon" :

Un mot de

_Lyndon

est un mot non vide dans X*

_qui

est inférieur à tous

part

xo et ils _{commencent tous par} xo et terminent _{par x 1 :} ce sont

donc des mots

_convergents.

3. Les

_algèbres

MZV

Nous nous sommes restreints

jusqu’à

présent

aux mots

_{convergents w}

E

xox*xl.

Si on désire éviter d’étendre la définition de

((w)

à il

convient alors de _{remarquer que pour w} dans on

_peut

écrire

XIWW - xi * w comme combinaison linéaire de mots

_convergents.

En

com-binant

_{(formellement)}

les deux relations de

_mélange,

on déduit alors

Un

_exemple

de telle relation

_(connue

_{d’Euler, qui}

en connaissait d’ailleurs

beaucoup

d’autres!)

est

que l’on déduit de

(3)

en

_{prenant w}

=

xoxl :

On introduit des

_symboles

_{(multizêta symboliques) Ze(s)}

_pour

_{chaque s}

=

(sl, ... ,

s~), pour k &#x3E;

0 et si entiers

_positifs.

On définit aussi

_Ze(w)

_pour

tout w dans

_X*xl

_par

_Ze(x,)

=

Ze(s).

Un

symbole

Ze(s)

est dit

_convergent

si 2 ou k = 0 : _{ce sont} les

Ze(w)

pour w dans sans oublier

Ze(e)

=

Ze(0).

On considère d’abord

_MZVc,,nv

zêta values"

_{convergentes)}

comme étant

l’algèbre

commutative

sur Q

définie _par les

_{générateurs}

con-vergents

Ze(s)

et les relations

_quadratiques

_{standard, qui}

sont celles _que l’on déduit de

_{(1), (2)}

et

₍₃₎

en

remplaçant

~(w)

_par

Ze(w) :

pour w et w’ dans

_{xoX * x 1,}

pour w et w’ dans

pour tout w E

On

_dispose

donc d’un

_morphisme

naturel de

_{spécialisation}

de cette

_algèbre

dans

_{C, qui}

envoie

_Ze(s)

sur

«,~).

La

_{conjecture principale}

est :

Conjecture Diophantienne.

Le

_morphisme

de

_l’algèbre

_MZVconv

dans C

_qui

envoie

_Ze(s)

sur

Ç(s)

est

_injectif.

En d’autres termes toutes les relations de

_{dépendance algébrique}

entre

les nombres

_{(C~), ~}

=

(sl, ... , sk),

2,

1

(2 j k)

proviennent

(conjecturalement)

des relations

_quadratiques

fournies _par les deux

_produits

de

_mélange.

On va maintenant inclure

_parmi

les

_{générateurs}

les

_symboles

_Ze(s)

avec

Definition. L’algèbre

MZV*

_(resp.

_{MZV~’ )}

est

_l’algèbre

_(sur

_Q,

pour

fixer les

_idées)

commutative définie _par les

_{générateurs}

_Ze(s),

où 8 décrit l’ensemble de toutes les suites finies

_{(sl, ... ,}

_{(avec k &#x3E;}

₀₎

d’entiers

positifs,

et la loi *

_(resp.

_Lu)

définie _par

pour tout w E

_X*xl.

Chacune de ces deux

_algèbres

contient la

_{sous-algèbre correspondante,}

notée

_MZV*

et

_MZV’

_{respectivement,}

obtenue en ne

_prenant

comme

générateurs

que les

Ze(s)

avec

_{si 2::}

2.

L’algèbre

MZV,,,,nv

est à la fois

quotient

de

_{MZV* nv}

_par les relations

_(2’)

et

_(3’),

et de

_MZV

_par les relations

_(1’)

et

_(3’).

On aimerait bien étendre le

_morphisme

de

_{spécialisation,}

_qui

est défini

sur

MZVco,,

à chacune des deux

algèbres

MZV* et MZV’. Ce n’est _pas

possible

simultanément _pour la

_simple

raison suivante : comme

on a

mais

_{~(2) _}

_ir2/6

n’est _pas nul! On

_peut

_cependant

le faire

_séparément

_pour chacune des deux lois. On vérifie en effet _que chacune des deux

algèbres

MZV* et MZV’ est constituée des

_polynômes

en

Ze(l)

à coefficients dans

la

_{sous-algèbre}

_convergente

_{correspondante :}

Par

_conséquent

_pour

_{chaque 0}

E

_C,

_{et pour} chacune des deux lois * et u~, il existe une manière

_unique

de

définir,

_{pour toute} famille finie s =

(sl, ... ,

d’entiers &#x3E;

_1,

la valeur

_{régularisée}

_(resp

_{("9,’ (s»}

de telle sorte que

(a)

Pour k = 1 et s = 1 on ait

(b)

Pour tout w et w’ dans

_X*xl,

on ait

(c)

Pour tout s

_convergent

on ait

On

_peut

choisir _par

_exemple

_{pour 0}

la constante d’Euler

_(que

nous

désigne-rons _par

~),

mais

Écalle

_{préfère prendre 0}

= 0.

Comme on l’a _vu, on a alors

Plus

_{généralement,}

en notant la suite

_(1,...

_,1)

codée

_{par xl}

_(bien

entendu la suite de

_longueur

nulle

1(0)

=0

est codée _par le mot vide

_e),

on a

tandis _que

Cette dernière

formule, qu’il

est intéressant de comparer avec le

développe-ment pour la fonction Gamma d’Euler :

se

déduit

des relations de Newton concernant les fonctions

_{symétriques :}

en

_{posant, pour s &#x3E;}

_0,

on a dans

Q[[L]]

Revenons à la

_conjecture

_{diophantienne.}

Pour

_qu’elle

_permette

effective-ment de décrire

_{conjecturalement}

toutes les relations entre les valeurs de fonctions zêta

_multiples,

il faut encore savoir décrire

MZVconv-

Les travaux

récents

d’Écalle

vont dans ce sens

(voir §

4).

Goncharov

_conjecture

_que

_l’algèbre

_MZVconv

est duale de

_l’algèbre

en-veloppante

d’une

_algèbre

de Lie

_engendrée

_par des

_{générateurs}

_{p2, ~p3, ~P5,}

... , cp2n+1, ... , avec les seules relations

(cp2, V2n+ll

= 0 pour tout n &#x3E; 1.

L’énoncé

_suivant,

_conjecturé

_par

_Zagier,

_Drinfeld,

Kontsevich et

Gon-charov,

décrit la dimension

_dp

du sous-Z-module de

_{MZVconv engendré}

par

les

2~-2

éléments

_Ze(s)

avec s =

(sl, ... ,

de

poids

p et si &#x3E; 2 :

Conjecture.

On a

di

=

0, d2 = d3

=

d4 =

1 et

dp = dp-2

+

_dp-3

pour

p&#x3E;4.

Pour

_chaque

_{p &#x3E;}

_0,

définissons

_Zp

comme le

_Q-espace

vectoriel

engendré

par les

Ze(s)

avec s

(convergent)

de

poids

_{p et}

Zo

=

Q.

Alors la _somme

des

_~p

_{(p &#x3E;}

₀₎

est

_directe,

et la dernière

_conjecture

s’énonce de manière

équivalente :

-4. Fonctions Génératrices

Quand

on

dispose

des

((w)

_pour tous les w E et _pas seulement

pour les mots

convergents,

on

_peut

les insérer tous simultanément dans des séries

_{génératrices.}

Pour _{montrer que}

_l’algèbre

_MZvconv

est librement

_engendrée

_par une

sous-famille

_{d’irréductibles,}

Écalle

introduit des fonctions

_{génératrices}

_qui

possèdent

un

grand

nombre de

symétries.

Ainsi,

_pour

_chaque

entier k =

0,1, ... ,

il définit

Si on sommait formellement en

remplaçant

Ze(s)

_par

Ç(s)

(même

_pour

SI =

1,

bien

que la série définissant

(C~) diverge),

en

_permutant

les

_signes

de sommation on

_trouverait,

à la

place

de

Zig(vl, ... , vk),

la série

La série

_Zig

est donc un substitut _{pour cette} dernière série

divergente.

Noter _que

_{pour k}

= 1 _une

régularisation

de la série _est

Définissons aussi des

_Wa(s)

liés aux

Ze(s)

_par la relation

dans le cas

_convergent

_{si &#x3E;} 1 et _par une relation

analogue

mais un _peu

plus

compliquée

dans le cas

divergent

sl =

1,

puis

associons _aux

Wa(s)

la

série

_{génératrice}

Les familles

_Ze(s)

et

_Wa(s)

sont des

_exemples

de "moules" au sens

d’Écalle.

Un anneau

(commutatif)

étant

_donné,

un moule est la

_donnée,

_pour

_chaque

suite

_{finie s}

=

(si, ... ,

Sk)

de

_longueur

arbitraire k &#x3E;

_0,

d’un élément Mé de

cet anneau. Un tel moule est noté M’ .

A 1~

= 0

correspond

L’addition

(A

+

_B)s

:= As -f- Bs de l’anneau. La

multiplication

de deux moules est

définie de la manière suivante :

où

Dans la

_première

somme, s’s" est la suite obtenue par concaténation de

si et s".

Une troisième

_opération

sur les moules est utile : la

_composition

où

et

_{I~I [}

_désigne

le

_poids

_p =

sl + - ... de s.

Multiplication

et

_composition

sont

_{associatives,}

non commutatives.

Sur ces

objets

Écalle

définit six

_types

de

symétrie :

_partant

de deux

suites s’ et s" il introduit trois ensembles

_~"),

_{s"), Shi(s’, s").}

Le

_premier

est obtenu _par le

_mélange

des deux

_suites,

pour le second on

ajoute

les termes obtenus en contractant deux termes

_"adjacents"

_(voir

les

exemples

ci-dessous),

et pour le troisième au lieu de les

ajouter

on fait une

différence

_symétrique.

Quand

la somme des Mi _pour les s dans cet ensemble

_{Sha(s’, s"),}

She(s’, ~")

ou

Shi(,î, 2)

est

_égale

à on dit _que le moule est

symétral, symétrel

ou

symétril

_{respectivement.}

Si la somme

correspondante

est

_nulle,

alors le moule est

_alternal,

altemel ou alternil. Par

exemple

un

moule

_symétral

satisfait

et

pour un moule

symétrel

on a

et

et

Le moule Wa* est

_symétral,

tandis _que Ze* est

_symétrel

et que la série

Zig

définit un moule

symétril.

Par

_exemple

les formules de réflexion

se traduisent _par

Pour

_rigidifier

la situation

Écalle

considère

_aussi,

_pour ... , racines

de

_l’unité,

ce

_{qu’il appelle}

les multizêta modulés

où,

pour a racine de

l’unité,

on a

posé

Ces nombres

_{( z)}

_apparaissent

_déjà

chez Nielsen en

_1904,

et aussi

_plus

récemment dans des travaux de A.B. Goncharov concernant les motifs de

Tate mixtes sur

SpecZ.

Écalle

introduit alors les bimoules

_(moules

indexés _par des suites

dou-bles),

sur

lesquels

il définit de nouvelles

opérations

_{swap, rec, neg} et

_push,

à

_partir

de

_quoi

il construit une

_algèbre

de Lie

_ARI,

munie de

_{sous-algèbres}

ARIM, ARITH,

ARITHM et

ARITHMÉ,

le groupe de Lie GARI

(et

son

sous-groupe de Lie

GARITHMÉ),

avec des

correspondances

EXP et LOG

entre ARI et GARI. L’introduction de ces

_objets

_par

Écalle

a _pour but

d’établir _que les multizêta

_symboliques

_Ze(s)

sont librement

_engendrés

_par

une sous-famille d’irréductibles

_canoniques,

et de décrire une

décomposition

explicite programmable

des multizêta

_symboliques

en ces irréductibles. Par

exemple

les irréductibles

_canoniques

d’Écalle

de

_{poids Ç}

10 ne sont autres que

ainsi _que deux éléments

_qui

coïncident avec

Ze(6,2)

et

_{Ze(8, 2)}

modulo les

5.

_{Polylogarithmes}

Le

_{polylogarithme classique}

_{Lis(z), pour sentier 2}

1 et

_Izi

_1,

est

Plus

_{généralement,}

les

_{fonctions polylogarithmes}

sont

_définies,

pour s =

(s1, ... ,

s~)

avec si entiers &#x3E;

1,

par

qui

converge

pour Izl

1.

Si,

de

plus,

2,

alors la série et

l’intégrale

convergent

absolument sur tout le

disque

unité

1,

et on a

On écrit encore

Liz"(z)

=

Lis(z)

quand

s est codé _par le mot w E

X*xl :

quand w

= La condition Ep - 1

garantit

la

convergence de

l’intégrale.

L’exemple

le

_{plus simple}

avec 1~ =

1, SI

=

1,

_x =

xl est

Pour tout w E on a

ce

_qui

s’écrit aussi

Afin de définir une série

génératrice,

il faut encore étendre la définition de

méthode de

_{régularisation}

des

_{intégrales divergentes}

consiste à

_intégrer

à

partir

de 1 au lieu de 0

quand

l’intégrale diverge.

Ainsi on _pose

et

_{plus généralement,}

_{pour s &#x3E; 1,}

L’intégrale

qui

sert d’intermédiaire est bien définie _{pour z} réel dans l’inter-valle 0 z

1,

mais cela

_permet

de définir

_Liw

_(z)

_pour tout w E X* et

zEe B

avec

pour tout

(u,

v)

dans

(X*)Z.

En revanche les relations de

mélange

liées aux

séries ne s’étendent _pas aux

_{polylogarithmes}

en une variable.

La série

_{génératrice}

est la solution de

_{l’équation}

différentielle

déterminée _par la condition initiale

Grâce à l’étude de la monodromie de cette

_{équation différentielle,}

Petitot

et ses

collègues

montrent que les fonctions

Liw,

_{pour w} décrivant

X*,

sont

linéairement

_{indépendantes}

sur C.

Il en résulte _{que tout}

_{polylogarithme}

_{Li~, s’exprime}

de manière

_unique

comme

polynôme

à coefficients rationnels en des

polylogarithmes

codés par des mots de

Lyndon.

En

particulier pour k

= 1 les

polylogarithmes

classiques

Lis, s

entier &#x3E;

_{1, qui}

sont codés _par les mots de

_Lyndon

_xg-lxl,

sont

_{algébriquement indépendants.}

6.

_Sujets

connexes

Nous n’avons fait

_{qu’effleurer}

le

_sujet.

Les

_quelques

références ci-dessous

développent

d’autres

_aspects

de la

_question.

_L’algèbre

_{MZVc,,, a}

aussi

des liens très intéressants avec le _groupe fondamental de la droite

pro-jective privée

de trois

_points

et le théorème de

_Belyi,

le _groupe de Ga-lois absolu de

_Q,

le _groupe de

_{Grothendieck-Teichmüller,}

les

_catégories

monoïdales

_tressées,

la théorie des noeuds

_(invariants

de

_Vassiliev),

la

K-théorie,

les

_diagrammes

de

_Feynman

et la théorie

_quantique

des

_champs,

la renormalisation en

_physique,

les

_{quasi-algèbres}

de

Hopf

_{quasi-triangulaires}

et l’associateur

_(lié

à la connexion de

_{Knizhnik-Zamolodchikov)}

de Drinfeld.

Un groupe de travail consacré à ce thème se réunit à l’Institut Henri

Poincaré

_depuis

un an. Le texte ci-dessus est un condensé de

quelques

exposés

qui

y ont été donnés par Pierre

Cartier,

Jean

Écalle,

Michel Petitot.

Quand

ils sont

_originaux,

les résultats

_présentés

ici leur sont tous dus.

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29 pp. (electronic).

Michel WALDSCHMIDT

Université P. et M. Curie _{(Paris VI)}

Institut de Mathématiques CNRS UMR 7586

Théorie des Nombres Case 247

175, rue du Chevaleret 75013 Paris

France