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Mathématiques

3ème

BREVET BLANC Date :

Activité numérique (4 points)

N°1/ a/ Calculer le nombre A : A= 83×4

12×1,5 réponse : A= 83×4

12×1,5 il ne faut pas oublier ici les priorités pour les opérations !

A=812

13 ainsi A= 20

4 alors A=5

b/ Pour calculer A un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous :

• Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat.

Sans parenthèses, la calculatrice excécute en premier les multiplications et les divisions puis les additions et les soustractions : c'est la priorité entre les quatre opérations.

Seules les parenthèses indiquent (impliquent) un ordre différent. Voici l'ordre des opérations effectuées par la calculatrice :

8

3×4÷1



2×1.5

=8123=23

• Ecrire la bonne séquence.



83×4÷12×1.5=812÷13=20÷4=5

A

B

C

N°2/ Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés.

1) Écrire sous la forme a



3 (où a est un entier) le nombre C : C=7



12−15



32



300

C=7



3×4−15



32



3×100 C=73×4−15

32

3×4×25

C=73×2−15

32

3×

4×

25

C=7×2

3−1532

3×2×5

C=14



3−15



32



3×10 C=14



3−15



320



3 C=14−1520



3 C=19



3

2) Donner l'écriture décimale et scientifique du nombre D suivant : D=12×10

5 2×10−3 3×104 D=12×10 5×2 ×10−3 3×104 D=12×10 10 ×10−3 3×104

B

D

F

D=12×1010−3 3×104 D=12×10 7 3×104 D=12 3 × 107 104 D=4×107−4 D=4×103 écriture décimale : D = 4 000 écriture scientifique : D=4×103

Activité géométrique (6 points)

N°1 / Sur la figure ci-contre qui n'est pas à l'échelle :

• (AB) // (CD) ;

• les points A, O, C, E alignés ; • les points B, D, O, F alignés ; (On ne demande pas de faire le dessin) De plus, on donne les longueurs suivantes :

CO = 6 cm AO = 7 cm OB = 9,8 cm CD = 3,6 cm OF = 5,6cm OE = 4 cm 1) Calculer (en justifiant) les longueurs AB, OD et DF.

On va utiliser la propriété de THALES.

On a la configuration suivante avec les triangles CDO et ABO : ➔ les points O, C, D alignés dans cet ordre ; ➔ les points O, D, B alignés dans cet ordre ; ➔ (AB) // (CD) ;

On peut donc écrire :

OC OA= OD OB= CD AB donc 6 7= OD 9,8= 3,6 AB

On obtient alors les égalités suivantes :

6 7= OD 9,8 6 7= 3,6 AB OD 9,8= 3,6 AB 6 7×9,8=OD 6×AB=3,6×7 8,4=OD AB=3,6×7 6 OD=8,4 cm AB=4,2 cm Pour calculer la longueur DF :

B

E1

G

B F A C D E O

les points D, O et F sont alignés avec O point du segment [DF] alors on peut écrire :

DF = DO + OF ainsi : DF = 8,4 + 5,6 alors DF = 14 cm

2) Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

On va utiliser la récipropre de la propriété de THALES.

On a la configuration suivante avec les triangles OAB et OEF : ➔ les points A, O, E alignés dans cet ordre ; ➔ les points B, O, F alignés dans cet ordre ; Calculons et comparons les rapports : OA

OEet OB OF OA OE= 7 4 OB OF= 9,8 5,6

pour les comparer il faut avoir le même dénominateur

OA OE= 7 4 OB OF= 9,8÷2 5,6÷2 OA OE= 7 4 OB OF= 4,9 2,8 OA OE= 7 4 OB OF= 4,9÷7 2,8÷7 OA OE= 7 4 OB OF= 0,7 0,4 OA OE= 7 4 OB OF= 0,7×10 0,4×10 OA OE= 7 4 OB OF= 7 4 conséquence :

➔ les points A, O, E alignés dans cet ordre ; ➔ les points B, O, F alignés dans cet ordre ; ➔ OA_OE=OB_OF

donc les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

N°2/ Soit ABC un triangle tel que : AB = 6,3 cm, BC = 8,4 cm, AC = 10,5 cm.

1) Faire une figure en vraie grandeur du triangle ABC.

_B

C

D

G

H

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2) Prouver que ABC est un triangle rectangle en B.

On va utiliser la réciproque du théorème de PYTHAGORE pour démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. • AB = 6,3 BC = 8,4 AC = 10,5 • AB2 _{= 6,3}2 _BC2 _{= 8,4}2 _AC2 _{= 10,5}2 • AB2 _{= 39,69 BC}2 _{= 70,56 AC}2 _{= 110,25} • AB2 _{+ BC}2 _{= 39,69,+,70,56 AC}2 _{= 110,25} • AB2 _{+ BC}2 _{= 110,25 AC}2 _{= 110,25}

alors on peut écrire : AB2 _{+ BC}2 _{= AC}2

Conclusion : la réciproque du théorème de PYTHAGORE est vérifiée donc le triangle ABC est rectangle en B.

3) Calculer le périmètre et l'aire du triangle ABC.

Le périmètre : PABC = AB + BC + CA

PABC = 6,3 + 8,4 + 10,5

PABC = 25,2 cm

L'aire : A_ABC=base×hauteur 2

Le triangle est rectangle en B donc on va prendre comme base le côté [BA] et la hauteur correspondante [BC] !

A_ABC=BA ×BC

2 Alors AABC=

6,3×8,4

Problème (8 points)

On s'intéresse dans cet exercice au réservoir de la fusée

XYZ2005, nouveau prototype de fusée interplanétaire. Ce réservoir est constitué d'un cône surmonté d'un cylindre, comme le montre le dessin ci-contre.

Le diamètre du réservoir est de 6 m, le cylindre mesure 35 m de hauteur et le cône 4 m de hauteur.

1. Calculer la valeur exacte du volume du cylindre en m3 puis la valeur arrondie en m3 _.

On va utiliser la formule suivante :

V=×r2_×h Ici r = 3 m et h = 35 m donc : V=×32_×35 V=×9×35 V=×315 valeur exacte : V=315  m3 valeur appronchée : V≈990 m3

2. Donner la valeur exacte du volume du cône en m3

puis la valeur arrondie au m3_.

On va utiliser la formule suivante :

V=×r 2 ×h 3 Ici r = 3 m et h = 4 m donc : V=×3 2 ×4 3 V=×9×4 3 V=×3×4 V=×12 valeur exacte : V=12  m3 valeur appronchée : V≈38 m3

3. A partir des deux premières questions, en déduire le volume total du réservoir en m3 _{puis en litres.}

Le volume total du réservoir correspond au volume du cylindre et au volume du cône !

Vtotal = Vcône + Vcylindre V_total=12315

Vtotal=327  m 3

(valeur exacte)

V_total≈38990

Vtotal≈1 028 m3 (valeur approchée)

A

B

C

D

G

H

Autre unité : 1 m3 _{= 1 000 litres}

V_total=327 ×1000 donc V_total=327 000  l

V_total≈1 028 ×1 000 donc V_total≈1 028 000 l

4. On considère que la capacité du réservoir est de 1 027 301 litres.

Le volume de ce réservoir est-t-il suffisant pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes, sachant que ces moteurs consomment 1500 litres de carburant par seconde ?

Méthode 1 : on a cherche un temps

On a une situation de proportionnalité pour la consommation de litres de carburant par seconde. On va l'utiliser pour trouver le temps mis par la fusée pour consommer tout son carburant. On va utiliser un tableau de proportionnalité :

Litres 1 500 1 027 301

Temps (seconde) 1 ???

Calcul : 1027 301_{1 500} ≈685 (arrondi à l'unité)

Maintenant, on va chercher le nombre de minutes que l'on a avec 685 secondes. minutes 1 ??? secondes 60 685 Calcul : 685 60 - 60 85 - 60 25 11

Il faut donc 11 minutes et 25 secondes pour consommer tout le carburant du réservoir. Temps largement supérieur aux 10 minutes demandées.

Méthode 2 : On va chercher la consommation de litres de

carburant en 10 minutes.

On commence par convertir en seconde notre temps. Calcul : 10×60=600

On a un temps donné de 600 secondes. Or en 1 seconde, la fusée consomme 1 500 litres donc en 600 secondes elle en consommera 600 fois plus.

En 10 minutes, la fusée consommera 900 000 litres de carburant . Or le réservoir a une capacité de 1 027 301 litres. Ce qui est largement suffisant.

Conclusion : Le volume de ce réservoir est suffisant pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes (et plus).

Rappels :

Volume d'un cône de hauteur h et de rayon de base r : V=×r

2

×h 3

Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon de base r : V=×r2×h 1 m3 _{= 1 000 litres} PARTIE CORRECTEUR A B C D E1 E2 E3 E4 E5 F G H … .. 2 … .. 5 … .. 3 … .. 3 … .. 1 … .. 1 … .. 3 … .. 2