Algèbre Arithmétique
Denis Vekemans∗
Exercice 1 Calculer leP GCD
• de 288et1024.
• de 33055et12621.
Exercice 2 Trouvera∈Z etb∈Ztels que
• 275a+ 312b= 1.
• 126a+ 75b= 3.
• 11a+ 5b= 8.
Donner une infinité de solutions.
Exercice 3 Trouver tous les couples (a, b) ∈ N2 tels que le P GCD de a et b soit 50 et que le P P CM de aetb soit 600.
Exercice 4 théorème de Gauss. Soient a∈Z,b∈Z etc∈Z.
Siaetbsont premiers entre eux et si adivise le produitbc, alorsa divisec.
Exercice 5 Soienta∈Z,b∈Z etc∈Z.
Montrer que si betc sont premiers entre eux, sibdivise aet si cdivise a, alors le produitbcdivise a.
Exercice 6 Soienta∈Z,b∈Z etc∈Z.
Montrer que si aetbsont premiers entre eux, alors leP GCD de aetbc est égal auP GCD de aetc.
Exercice 7 Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Exercice 8 Montrer que toutn∈N composé (i.e. qui est produit de deux nombres distincts de1) admet un diviseur distinct de 1inférieur ou égal à √n.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
Exercice 9 Soitp un nombre premier eta∈Z,b∈Z.
Montrer que ou bienp divise aou bien pest premier avec a.
Montrer que si pdivise le produit ab, alors ou bien p divise aou bienp divise b.
Exercice 10 Montrer que2n+ 1et2n+1+ 1sont premiers entre eux.
Exercice 11 Soit la suite (un) donnée par un = 2n+ 3n. Donner en fonction de n le P GCD de pn et pn+2.
Exercice 12 Soitm∈N,m≥2. On suppose quem divise (m−1)! + 1. Montrer quem est premier.
Exercice 13 Soitm∈N,m≥2. On suppose que2m−1est premier. Montrer quem est premier.
Exercice 14 Soitn∈N. Quel est leP GCD de n3+net2n+ 1?
Exercice 15 Soit la suite de Fibonnacci(Fn) donnée parF0 = 0,F1= 1 etFn+2=Fn+1+Fn. Montrer que
Fn+12 −FnFn+2= (−1)n.
En déduire que Fn etFn+1 sont premiers entre eux.
Exercice 16 Déterminer le groupe multiplicatif Gndes éléments inversibles de l’anneau Z/nZ. Application à G15.
Exercice 17 Pour tout m ∈ N, on appelle φ(m) le nombre des entiers naturels inférieurs ou égaux à m et premiers avec m.
1. Montrer queφ(m) est le nombre des éléments inversibles de l’anneau Z/mZ. 2. En déduire que sim etnsont premiers entre eux, on a :
φ(m·n) =φ(m)·φ(n).
3. Sim est décomposé en produit de facteurs premiersm=pα11 ·. . .·pαkk, montrer que φ(m) =m·(1− 1
p1
)·. . .·(1− 1 pk
).
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
–2/3– Mathématiques
L1 Maths - Info Algèbre 2008
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
–3/3– Mathématiques
