Algèbre Déterminants
Denis Vekemans∗
Exercice 1 Soientu etv des vecteurs deR2,a, a′, b etb′ des réels.
En utilisant les propriétés du déterminant, calculer det(au+bv, a′u+b′v) en fonction dedet(u, v).
Exercice 2 Montrer, sans les calculer, que les déterminants suivants sont nuls :
1 a b+c 1 b a+c 1 c a+b
2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
Exercice 3 Calculer les déterminants suivants :
2 2 −1 1 1 −3 3 −1 2
2 5 1
−3 −4 2
−1 1 3
1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 1 5 15 35
a −a −a −a b b −b −b
c c c −c
d d d d
Exercice 4
1. Montrer que l’applicationdet :Mn(R)→Rest surjective. Est-elle injective ? 2. SoitM ∈ Mn(R). Montrer que :
M est inversible ⇔ Mt est inversible.
3. Montrer queSn(R) ={M ∈GLn(R)/ detM = 1} est un sous-groupe de GLn(R).
Exercice 5 SoitA∈ Mn(R), une matrice. Montrer quedetA= detAt.
Exercice 6 Soit A ∈ Mn(R), une matrice dont chaque ligne et chaque colonne ne contient qu’un seul élément non nul. Montrer que A est inversible.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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Exercice 7 Soit
A= a b c d
! ,
une matrice de M2(R). On définit la trace de la matriceA comme étant le nombre tr(A) =a+d.
1. Calculer la matriceA2−tr(A)A+ det(A)I2.
2. On suppose que la matriceAest inversible. Montrer que la matriceA−1 est combinaison linéaire de I2 etA.
Exercice 8 Soita∈C. On considère la matrice
A=
1 −a a2 a −a2 a a 1 −a3
.
1. Déterminer pour quelles valeurs deala matrice A est inversible.
2. Dans les cas oùA est inversible, résoudre dansR3 l’équation
AX=
0 0 0
.
Exercice 9 Déterminant de Vandermonde Montrer que :
1 a1 a1 2 a1
3 · · · a1n−1
1 a2 a22 a23 · · · a2n−1 1 a3 a3
2 a3
3 · · · a3n−1
... ... ... ... ... 1 an an
2 an
3 · · · ann−1
=Y
1≤i<j≤n(aj−ai).
Exercice 10 Calculer les déterminants d’ordrensuivants :
1 2 3 4 · · · n−1 n 1 1 2 3 · · · n−2 n−1 1 1 1 2 · · · n−3 n−2 ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 · · · 1 2 1 1 1 1 · · · 1 1
,
1 1 1 1 · · · 1 1 1 0 1 1 · · · 1 1 1 1 0 1 · · · 1 1 ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 · · · 0 1 1 1 1 1 · · · 1 0
,
0 1 1 1 · · · 1 1 1 0 1 1 · · · 1 1 1 1 0 1 · · · 1 1 ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 · · · 0 1 1 1 1 1 · · · 1 0
.
–2/4– Mathématiques
L1 Maths - Info Algèbre 2008
Exercice 11 Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leurs inverses.
1 −1 1 1 −2 −1 2 0 1
1 1 0
1 1 −1
−2 −3 2
ı −1 2ı
2 0 2
−1 0 1
1 0 1 2 0 2 1 −1 1 −1 0 1 1 1 2 1
.
Exercice 12 On considère la matriceM donnée par
M =
a −b −c −d b a d −c c −d a b d c −b a
.
CalculerMtM.
A quelle condition nécessaire et suffisante, la matriceM est-elle inversible ? Sous cette condition, donner l’inverse de M.
Exercice 13 Septembre 2003
SoitKun corps commutatif, et a, b∈K. Calculer le déterminant de la matrice suivante :
1 a b 1 a 1 1 b b 1 1 a 1 b a 1
.
Exercice 14 Juin 2005
SoitKun corps commutatif, et a, b, c, d∈K. Calculer le déterminant de la matrice suivante :
B=
1 a b ab 1 c b cb 1 a d ad 1 c d cd
.
Exercice 15 ∀i∈ {1,2,3,4}, ∀j ∈ {1,2,3,4}, ai,j ∈R.
Donner sans justifier les valeurs des réels A, B, C, D, E et F (en fonction des ai,j ∈ R, ∀i ∈ {1,2,3,4}, ∀j∈ {1,2,3,4}).
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
=A
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4
–3/4– Mathématiques
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a1,1
2 a1,2
2 a1,3
2 a1,4
2 a2,1
2 a2,2
2 a2,3
2 a2,4
2 a3,1
2 a3,2
2 a3,3
2 a3,4
2 a4,1
2 a4,2
2 a4,3
2 a4,4
2
=B
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4+ 3 a2,1 a2,2 a2,3 a2,4+ 3 a3,1 a3,2 a3,3 a3,4+ 3 a4,1 a4,2 a4,3 a4,4+ 3
=C
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4
+D
a1,1 a1,2 a1,3 1 a2,1 a2,2 a2,3 1 a3,1 a3,2 a3,3 1 a4,1 a4,2 a4,3 1
a1,1 a1,2 0 a1,4
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
a4,1 a4,2 0 a4,4
=E
a1,1 a1,2 a1,4
a3,1 a3,2 a3,4
a4,1 a4,2 a4,4
+F
a1,1 a1,2 a1,4
a2,1 a2,2 a2,4
a4,1 a4,2 a4,4
.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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