Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
Faculté des Sciences L2 Théorie des Graphes
Feuille d'exercices 6.
Exercice 1 Montrer que les graphes suivants sont planaires :
u v
z w
y x
a b
u v w x
Exercice 2 Donner une autre représentation planaire du graphe suivant où la face bordée par le cycle(e, f, g, e) devient la face extérieure.
a b
f
e g c
d
Exercice 3 (Problème des 3 villas et des 3 usines) Trois villas doivent être reliées au gaz, à l'électricité et à l'eau. Est-il possible de construire des canalisations alimentant chaque villa depuis chaque usine de manière à ce que ces canalisations ne se chevauchent pas ?
Exercice 4 Montrer que pour toutn≥2, il existe un graphe planaire avecnsommets et3n−6 arêtes.
Exercice 5 Trouver deux graphes avec la suite de degré(4,4,4,4,3,3): 1) un graphe planaire,
2) un graphe non planaire.
Exercice 6 1) Quel est le nombre minimal de croisements d'arêtes dans une représentation de K5 dans le plan ?
2) Même question avecK3,3? 3) Même question avecK6?
Exercice 7 Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1) "Tout graphe planaire a un sommet de degré au plus 4."
2) "SiGest un graphe connexe ànsommets etkarêtes tel quek= 3n−6, alorsGest planaire."
1
Exercice 8 (Algorithme de planarité) Cet algorithme s'applique aux graphes hamiltoniens.
1ère étape : On considère un graphe hamiltonien qui possède un cycle hamiltonien(x1, x2, ...., xn, x1). On dessine le graphe de façon a ce que ce cycle hamiltonien forme un polygone régulier et que toutes les autres arêtes du graphe soient à l'intérieur du polygone.
2ème étape : On choisit une arête intérieure{xi, xj}: on déplace à l'extérieur du polygone toutes les arêtes qui croisent{xi, xj}.
Si l'une de celle-ci croise obligatoirement une arête à l'éxtérieur, le graphe n'est pas planaire et on arête l'algorithme,
sinon, on recommence l'étape 2 avec un autre arête à l'intérieur du polygone.
Appliquer cet algorithme àK6 et aux graphes suivants.
2 3
1 4
8 5
7 6
6 1
5 2
4 3
Exercice 9 Soit Gun graphe, on dit que H est une subdivision de Gsi on obtient H à partir deG, en ajoutant des sommets de degré 2 sur les arêtes deG.
Parmi les graphes suivants, lesquels sont des subdivisions de K3,3 :
a d f
b g
c e h
a d f
b g
c e h
a d f
c b e g
Exercice 10
Théorème de Kuratowski : Un graphe G est planaire si et seulement si il ne contient pas de subdivision de K5 ou deK3,3.
Utiliser le théorème de Kuratowski pour prouver que les graphes suivants ne sont pas pla- naires :
2
p q
w r
v s
u t
1
6
5 2
10 7
9 8
4 3
Exercice 11 On considère le graphe suivant :
7 1 2
6 3
5 4
1) Appliquer l'algorithme de planarité au grapheG ci-dessus. Est-il planaire ? 2) Montrer queK3,3 est une subdivision deG.
3) Quel est le nombre minimal de croisements d'arêtes dans une représentation de G dans le plan ?
Exercice 12 SoitG un graphe planaire (éventuellement multiple). On considère une représen- tation planaire deG. On appelle dual de G et on note G∗ le graphe donc les sommets sont les faces de G et tel que toute arête entre deux faces de G correspond à une arête entre les deux sommets correspondants deG∗.
1) Donner le graphe dual des graphes planaires suivants :
a
d
c b
b
a c e
d
2) Trouver un graphe planaireGqui ait deux représentations planaires pour lesquelles les graphes duaux ne sont pas isomorphes.
3) Montrer qu'un graphe planaire (simple connexe) est biparti ssi son dual G∗ est eulérien.
Dessiner tout d'abord un exemple.
4) Montrer que si G est un graphe planaire dont tous sommets sont de degré pair, alors, dans 3
une représentation plane deG, on n'a besoin que de deux couleurs pour colorer les faces de G de façon à ce que deux faces voisines aient des couleurs diérentes.
Exercice 13 On appelle graphe complétement régulier tout graphe planaire dont les faces ont toutes le même degré et dont tous les sommets ont tous le même degré. On note r le degré des sommets etkle degré des faces. Trouver tous les graphes complétement réguliers tels que : a) r=k= 3; b) r= 3 etk= 4.
Exercice 14 Soit G un graphe simple, connexe, planaire, sans triangles (i.e. sans cycles de longueur 3). On notenle nombre de sommets deG,m son nombre d'arêtes etf son nombre de faces. On suppose quen≥3.
1. Expliquer pourquoi une face deGest de degré au moins 4.
2. Montrer quem≥2f.
3. Montrer queGcontient au plus 2n−4arêtes.
4
