Université Grenoble Alpes Année 2020-2021 Licence de mathématiques, 3e année Algèbre, parcours B
Contrôle continu du mardi 6 octobre 2020
Durée : 1 h 30
Documents, calculatrices, téléphones interdits.
Argumenter vos réponses et énoncer avec précision les théorèmes utilisés.
Les exercices sont indépendants.
Exercice 1. Soit I un intervalle de R etf :I →R une bijection. On définit une loi ∗ sur I par
x∗y=f−1(f(x) +f(y)).
1. Montrer que (I,∗) est un groupe commutatif.
2. Montrer qu’alors f est un isomorphisme de (I,∗)sur (R,+).
3. Expliciter la loi ∗ dans les cas suivants :
(a) I =]0,+∞[, f(x) = ln(x); (b) I =]−1,1[, f(x) = ln(1 +x 1−x).
Exercice 2. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice fini [G : H] = n (on rappelle que l’indice est le cardinal du quotientG/H ou, de façon équivalente, le nombre de classes de la relation d’équivalence modulo H).
1. Montrer : ∀x∈G,∃k ∈ {1, . . . , n} : xk ∈H.
2. Si G est commutatif, montrer que∀x∈G, xn∈H.
3. Montrer que le seul sous-groupe d’indice fini de C∗ estC∗. 4. R∗ admet-il des sous-groupes d’indice 2 ? 3 ?
Exercice 3. Soit G etH deux groupes finis d’ordres respectifs m et n. On suppose que m et n sont premiers entre eux. Démontrer que le seul morphisme de groupe f de G vers H est le morphisme trivial, c’est-à-dire que f(x) = 1H pour toutx deG.
Exercice 4. Soientm, n∈N∗ etΦ :Z/nZ→Z/mZun morphisme de groupes. On notera
¯
x les classes dansZ/nZ et xˆles classes dans Z/mZ.
1. Montrer que Φest déterminé par l’image de la classe de 1.
2. En posant δ=m∧n (δ est le pgcd de m et n), montrer que Φ(¯δ) = ˆ0.
3. Déterminer tous les morphismes de groupes Z/6Z→Z/3Z. 4. Déterminer tous les morphismes de groupes Z/3Z→Z/6Z.
5. De façon générale, montrer qu’il y a exactement δ morphismes de groupes Z/nZ→Z/mZ.
