MéthodedeBoltzmannsurRéseau EcoleNationaleSupérieuredesMinesdeSaint-Etienne

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Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne

Méthode de Boltzmann sur Réseau

Document rédigé par Olivier BONNEFOY Mail : bonnefoy@emse.fr

Version : 2.2 du May 5, 2021

Dernière version : ici

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Introduction

Le présent document est une courte introduction à la méthode de Boltzmann sur réseau (Lattice Boltz- mann Method ou LBM en anglais) destinée aux étudiants de l'Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint- Etienne. Il présente l'équation de Boltzmann (physique statistique), sa discrétisation dans l'approximation BGK et sa mise en oeuvre numérique. Par construction, la méthode de Boltzmann sur Réseau se prête bien à une parallélisation sur de gros clusters.

La méthode de Boltzmann sur Réseau est de plus en plus utilisée pour décrire le comportement de uides en écoulement, qu'ils soient incompressibles ou compressible. Par une expansion de Chapman-Enskog, elle conduit à l'équation d'Euler à l'ordre 1 et à l'équation de Navier-Stokes à l'ordre 2. Son principal avantage est qu'elle permet de décrire assez facilement des écoulements à surface libre, des écoulements dans des milieux complexes (milieux poreux), des écoulements avec transferts de chaleur (conduction, convection et changements de phase), ainsi que des écoulements de mélanges multi-constituants.

Dans le domaine des mathématiques, cette méthode permet également de résoudre des équations aux dérivées partielles, linéaires ou non-linéaires, telles que les équations de Laplace, de Korteweg-de Vries- Burgers, de Burgers-Huxley,. . .

Bonne lecture.

Olivier Bonnefoy

Nota Bene : ce document est en cours d'élaboration. Il peut évidemment comporter des inexactitudes ou des erreurs. Merci de bien vouloir en avertir l'auteur (bonnefoy@emse.fr). Il vous en sera reconnaissant et intégrera vos remarques dans les mises à jour (voir adresse en couverture).

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Equations de base

1.1 Théorie cinétique des gaz

Dans ce qui suit, on considère un gaz parfait. Son équation d'état peut s'écrire : p=ρ.RT˜ avec R˜≡ R

M˜ (1.1)

oùR˜est déni comme le quotient de la constante des gaz parfaitsR=8,314 J.mol⁻¹.K⁻¹par la masse molaire M˜.

Comme cela est détaillé en annexe (page37), la vitesse du son adiabatiquevsdans un gaz parfait est égale à :

vs= q

γ.RT˜ (1.2)

où le coecient adiabatiqueγ≡Cp/Cvest de 5/3 pour un gaz monoatomique et 7/5 pour un gaz diatomique tandis que la vitesse du son isothermecsest égale à :

c_s=p

RT˜ (1.3)

Dans la très grande majorité des ouvrages de mécanique des uides, le vocable "vitesse du son" désigne la vitesse du son adiabatique. Toutefois, dans la communauté scientique s'intéressant à la Méthode de Boltz- mann sur Réseau, ce même vocable désigne la vitesse du son isotherme. Nous adopterons cette deuxième dénition dans ce document.

Un écoulement dont la vitesse caractéristique est~v sera qualié de (quasi) incompressible si le nombre de Mach Ma est susamment faible devant l'unité (typiquement inférieur à 0,3). Classiquement, on dénit le nombre de Mach en utilisant la vitesse du son adiabatique :

Ma≡||~v||

v_s (1.4)

1.2 Fonction de distribution

1.2.1 Dénition

Considérons un système constitué d'un grand nombreN de particules.

On noteF(~x,~c,t) la fonction de distribution en nombre à une particule. Par dénition, la grandeur F_(~_x,~_c,t).d~x.d~c

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représente la probabilité de trouver une particule ayant une vitesse comprise entre~cet~c+d~cdans le volume d~xautour de~x. Dans un espace de dimensionD, la grandeurF s'exprime enL^−2D.T^D.On a la relation de fermeture :

Z

F_(~_x,~_c,t).d~x.d~c= 1

La densité de particules, c'est-à-dire le nombre de particules par unité de volume, de dimension L^−D, est notéen(~x,t) et est dénie par :

n_(~_x,t)≡ Z

F_(~_x,~_c,t).d~c (1.5)

On a évidemment

Z

n_(~_x,t).d~x= 1

Si les particules ont toutes la même massemp, alors on dénit la fonction de distribution massique à une particulefpar :

f ≡N.mp.F (1.6)

En dimensionD, la grandeurf s'exprime enM.L^−2D.T^D. Autrement formulé, la grandeur : f(~x,~c,t).d~x.d~c

représente la valeur espérée de la masse des particules ayant une vitesse comprise entre ~c et ~c+d~c et se trouvant dans le volumed~xautour de~x. Selon la dimension spatialeD du système étudié, on a :







pourD= 1: d~c≡dcx d~x≡dx pourD= 2: d~c≡dcx.dcy d~x≡dx.dy pourD= 3: d~c≡dcx.dcy.dcz d~x≡dx.dy.dz

(1.7)

1.2.2 Sens physique

La masse volumiquem˜ est souvent notéeρ. Elle est égale à : ρ=

Z

f_(~_x,~_c,t).d~c d'où ρ=N.m_p.n (1.8) La quantité de mouvement volumique est notée~p˜. Elle est liée à la vitesse macroscopique~v et est égale à :

~˜ p=

Z

f_(~_x,~_c,t).~c.d~c avec ~p˜=ρ.~v (1.9) L'énergie cinétique volumiquee˜cin est égale à :

˜ e_cin=

Z 1

2.f_(~_x,~_c,t).||~c||².d~c avec e˜_cin=1

2ρ.~v² (1.10)

1.3 Moments hydrodynamiques

A partir de la fonction de distribution massique à une particulef_(~_x,~_c,t)qui est une information de nature microscopique de type all-inclusive (elle est très riche en informations), on peut calculer quelques grandeurs macroscopiques (mesurables) relatives au uide, comme la masse volumique locale, la vitesse macroscopique, . . .

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1.3. Moments hydrodynamiques

1.3.1 Dénition

Le moment (continu)M⁽ⁿ⁾d'ordrend'une fonction de distributionf est : M⁽ⁿ⁾≡

Z

f.~cⁿ.d~c (1.11)

L'expression~cⁿpeut également s'écrire~c ~c . . . ~c ~c(ntermes) ou encore~c⊗~c⊗...~c⊗~c(ntermes). Il s'agit du produit dyadique (appelé encore produit tensoriel, voir page38). En d'autres termes, le moment d'ordren est un tenseur d'ordrendont les termes scalairesM_α,β,...⁽ⁿ⁾ sont :

M_α,β,...⁽ⁿ⁾ ≡ Z

f. c_α.c_β...

| {z }

ntermes

.d~c (1.12)

où les indicesα,β, γ, . . . prennent leur valeur dans{x, y, z}lorsqu'on travaille en dimension 3.

1.3.2 Sens physique

Moment d'ordre 0 : d'après la dénition des moments et l'équation1.8, on établit que :

M⁽⁰⁾=ρ (1.13)

Moment d'ordre 1 : d'après la dénition des moments et l'équation1.9, on établit que :

M⁽¹⁾=ρ.~v (1.14)

Des équations1.13et 1.14, on déduit que la vitesse macroscopique~v du uide peut se calculer par :

~

v= M⁽¹⁾

M⁽⁰⁾ (1.15)

A titre d'illustration, en dimension 3, le moment d'ordre 1 est égal au vecteur suivant :

M⁽¹⁾≡





 Z

f_(~_x,~_c,t).c_x.d~c Z

f_(~_x,~_c,t).c_y.d~c Z

f(~x,~c,t).cz.d~c







Moment d'ordre 2 : le moment d'ordre 2 est une matrice. A titre d'illustration, en dimension 3, le tenseur des contraintes est représenté par une matrice3×3 :

M⁽²⁾≡





 Z

f.c_x.c_x.d~c Z

f.c_x.c_y.d~c Z

f.c_x.c_z.d~c Z

f.cy.cx.d~c Z

f.cy.cy.d~c Z

f.cy.cz.d~c Z

f.cz.cx.d~c Z

f.cz.cy.d~c Z

f.cz.cz.d~c







(1.16)

Ses termes sont homogènes à une contrainte (en Pascal). Pour cette raison, il est souvent appelé tenseur des contraintes. En supposant l'équilibre réalisé localement, on peut démontrer la relation suivante (voir équation5.22en page43) :

M⁽²⁾ =ρ.~v⊗~v+p.I (1.17)

oùI est la matrice identité en dimensionDet pla pression donnée par l'équation d'état1.1. En dimension 3, son expression développée est :

M⁽²⁾=





p 0 0 0 p 0 0 0 p



+ρ.





v_x.v_x v_x.v_y v_x.v_z vy.vx vy.vy vy.vz

vz.vx vz.vy vz.vz



 avec p=ρ.RT˜

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Par ailleurs, d'après les équations1.10et 1.16, on établit que : e_cin= 1

2.tr M⁽²⁾

(1.18) Comme les molécules d'un gaz parfait n'interagissent pas à distance (énergie potentielle nulle), l'énergie totale volumiquee_tot est égale à l'énergie cinétique volumiquee_cin :

e_tot=e_cin (1.19)

1.4 Equation de Boltzmann

L'équation de Boltzmann décrit le comportement d'un gaz parfait¹. Plus précisément, elle régit l'évolution temporelle de la densité massique à une particule. Il s'agit d'une équation cinétique.

∂f

∂t +~c.∂xf+~g.∂cf =B (1.20)

où~g est la force gravitationnelle par unité de masse et B l'opérateur de collision, parfois aussi appelé intégrale de collision².

En l'absence de forces à distance, on a :

∂f

∂t +~c.∇f =B (1.21)

ce qui peut aussi s'écrire en faisant apparaitre la dérivée particulaire : Df

Dt =B (1.22)

Cette équation signie que la fonction de distribution associée à une parcelle de matière, que l'on suit dans sa trajectoire, varie dans le temps sous l'eet des collisions.

1.5 Opérateur de collision

1.5.1 Propriétés

S'il n'y a pas de collision (par exemple pour les gaz interstellaires), alorsB = 0et l'équation de Boltzmann sans gravité (équation 1.21) se réduit à l'expression suivante qui est une équation de convection pure et simple (ni diusion, ni terme source) :

∂f

∂t +~c.∂xf = 0 (1.23)

Pour un uide terrestre, le terme de collision n'est pas nul. Plusieurs modèles physiques sont possibles pour décrire les collisions. Ils conduisent à des expressions diverses et variées de l'opérateurB. Toutefois, tous les modèles ne sont pas possibles. Ils doivent en eet posséder les deux propriétés énoncées ci-dessous.

Propriété n°1 : l'opérateur de collision B est tel que la distribution à l'équilibre est la distribution de Maxwell-Boltzmann.

Propriété n°2 : l'opérateur de collisionB est tel que, lors d'une collision, il y a conservation de la masse, des trois composantes de la quantité de mouvement et de l'énergie. Cela se traduit mathématiquement par :

Z

ψk.B.d~x.d~c= 0 pour k∈ {0,1,2,3,4} avec







masse : ψ0= 1

qté de mvt : ψ1,2,3=cx, cy, cz

énergie : ψ4=~c²

(1.24)

1Notons d'emblée que, même si l'équation d'état est celle d'un gaz parfait, on pourra modéliser correctement l'écoulement d'un uide newtonien quelconque (liquide ou gaz réels).

2D'autres notations sont rencontrées dans la littérature commeQou bienΩ. Comme ces deux dernières ont un sens diérent dans ce qui suit, on a choisiBcomme l'initiale de Birth (terme source).

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1.6. Distribution à l'équilibre

1.5.2 Approximation BGK

Au prix de quelques hypothèses, l'opérateur de collision peut s'écrire : B= 1

m Z

σ|~c₁−~c|h f₂

~˜ c,~˜c₁i

.dΩ.d~c₁ (1.25)

oùf₂désigne la fonction de distribution à deux particules. Cette expression décrit assez précisément la réa- lité des collisions mais sa nature intégrale donne à l'équation de Boltzmann un caractère intégro-diérentiel, ce qui la rend particulièrement dicile à résoudre, même numériquement. On cherche donc une expression approchée de cet opérateur qui facilite les calculs mais qui possèdent les deux propriétés énoncées dans la section précédente.

La manière la plus simple a été proposée par Bhatnagar, Gross et Krook et porte le nom d'approximation BGK. Elle consiste à dire que chaque collision change la fonction de distributionf d'une quantité proportionnelle à l'écart entre la distribution actuellef et la distribution à l'équilibref^(eq). On dénit donc l'opérateur de collision BGK par :

B_BGK≡C.h

f−f^(eq)i

(1.26) oùC est une constante caractéristique du uide. L'équation de Boltzmann1.20indique que l'opérateur de collisionBBGK a la dimension def divisée par un temps. Par conséquent,C est homogène à l'inverse d'un temps que l'on noteraτ et que l'on appellera temps de relaxation.

Pour un système uniforme, les gradients spatiaux sont nuls et donc, en l'absence de forces volumiques, on a :

∂f

∂t =C.h

f−f^(eq)i

Le fait que le système soit stable nous apporte une information supplémentaire. Considérons une perturbation positive appliquée à un système à l'équilibre (f > f^(eq)). Le système étant stable, f doit diminuer dans le temps pour retourner à sa valeur à l'équilibre f^(eq). On a donc ^∂f_∂t <0. Il s'ensuit que la constante C est négative. On peut donc écrire l'opérateur de collision sous la forme :

BBGK≡ −1 τ .h

f−f^(eq)i

(1.27) On vérie que cette expression possède les deux propriétés en début de section. L'opérateur de collision étant devenu linéaire, l'équation de Boltzmann n'est plus intégro-diérentielle mais se réduit à une EDP.

∂f

∂t +~c.∇f = −1 τ .h

f−f^(eq)i

(1.28) Cette équation est fortement non linéaire car la distribution à l'équilibre dépend de la masse volumique, de la vitesse et de la température (voir ci-dessous). Toutefois, cette non-linéarité est tolérable car le calcul de f^(eq)est local dans l'espace physique (ie. la valeur def^(eq)en~xne dépend que de grandeurs évaluées en~x).

1.6 Distribution à l'équilibre

1.6.1 Expression exacte

Le second principe de la thermodynamique annonce qu'un système fermé, laissé libre, évolue vers un état d'équilibre. La traduction de ce principe en physique statistique prend le nom de théorème H de Boltz- mann. Ce théorème stipule que la grandeur appelée fonction H ou entropie thermodynamique décroît au cours du temps :

H_(t)≡ Z

f.lnf.d~x.d~c est telle que H_(t)60 (1.29) Cela signie qu'un système fermé, laissé libre, évolue vers un état d'équilibre. Plus précisément, on peut montrer que la distribution asymptotique est la distribution de Maxwell-Boltzmann. En l'absence de champ

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de force extérieur, cette distribution de Maxwell-Boltzmann devient la distribution de Maxwell, parfois notée f^(M). La théorie cinétique des gaz nous indique qu'elle est proportionnelle à l'exponentielle du ratio de deux énergies : l'énergie cinétique et l'énergie thermique.

f^(eq)=K0.exp

−¹₂mp(~c−~v)² kBT

où m_p est la masse d'une particule et k_B = 1,381.10⁻²³ J.K⁻¹ la constante de Boltzmann. Comme la constante des gaz parfaitsR et la masse molaire M˜ sont toutes deux liées à la constante d'AvogadroNA3, on peut remplacer le ratiokB/mp parR˜ :

f^(eq)=K0.exp

−(~c−~v)² 2.RT˜

Dans un système à l'équilibre, les grandeurs sont uniformes spatialement et stationnaires temporellement.

Ces aspects se manifestent par le fait que l'expression de f^(eq) ne fait intervenir ni ~x ni t. La valeur de la

"constante" de proportionnalitéK₀ est donnée par l'équation1.8en page2que l'on décline ici : ρ=

Z

f^(eq).d~c Par conséquent, en dimension 3, on peut écrire :

ρ=K0. Z +∞

−∞

exp

−(cx−vx)² 2.RT˜

.dcx.

Z +∞

−∞

exp

−(cy−vy)² 2.RT˜

.dcy.

Z +∞

−∞

exp

−(cy−vy)² 2.RT˜

.dcz

Connaissant la valeur de chacune des intégrales (équation 5.18a en annexe), on peut donner le résultat général :

ρ=K0.

2πRT˜ D/2

et en déduire l'expression exacte de la fonction de distribution à l'équilibre : f^(eq)= ρ

2πRT˜ D/2.exp

−(~c−~v)² 2.RT˜

(1.30)

oùD représente la dimension spatiale (2 ou 3 dans la plupart des cas),~c la vitesse d'une particule et~v la vitesse macroscopique du uide⁴.

1.6.2 Expression approchée

Dans une implémentation numérique, le calcul d'une exponentielle est très coûteux en temps. On cherche donc bien souvent une expression approchée, à base de polynômes par exemple. Pour l'exponentielle gurant dans l'expression de la fonction de distribution à l'équilibre (équation1.30), on a :

exp

−(~c−~v)² 2 ˜RT

= exp

−~c²+ 2~c.~v−~v² 2 ˜RT

= exp −~c²

2 ˜RT

.exp(z) avec z≡ 2.~c.~v− kvk² 2 ˜RT

La variablez étant proportionnelle à la norme de~v, l'argument de la deuxième exponentielle est proche de zéro lorsque la vitesse~v est susamment petite devant p

RT˜ . On peut alors eectuer un développement limité :

exp(z) = 1 +z+1

2z²+O(z³) pour z1

3On aR=kB.NAetM˜ =mp.NA.

4On peut noter qu'une autre expression def^(eq)sera obtenue si la dénition defn'est pas celle que nous avons adoptée dans l'équation1.6. Lorsque la grandeurf est telle quem=R

f.d~x.d~poù~p≡mp.~cest la quantité de mouvement, alorsρ=R f.d~p et la constante pré-exponentielle devient égale àρ/

mp.p

2πRT˜ D

.

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1.6. Distribution à l'équilibre

A l'ordre2en~v on trouve que : exp

−(~c−~v)² 2 ˜RT

≈exp −~c²

2 ˜RT

. 1 + ~c.~v RT˜ +1

2 ~c.~v

RT˜ 2

−k~vk² 2 ˜RT

!

pour k~vk petit devantp RT˜

Comme dans un gaz parfait, la vitesse du son isotherme est égale à cs = p

RT˜ (équation 1.3), cette approximation est valable pourk~vk csou, ce qui revient au même pour un écoulement à nombre de Mach (équation 1.4) faible devant l'unité (typiquement Ma6 0,3). En d'autres termes, cette approximation est valable lorsque l'écoulement est (quasi) incompressible.

Tout bien considéré, l'expression approchée de la fonction de distribution à l'équilibre s'énonce :

f^(eq)= ρ (2πc²_s)^D/2

.exp −~c²

2c²_s

. 1 +~c.~v c²_s +1

2 ~c.~v

c²_s 2

−1 2

k~vk² c²_s

!

pour Ma60,3 (1.31)

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Chapitre 2

Discrétisation

2.1 Equation de Boltzmann discrète

Pour pouvoir implémenter numériquement l'équation de Boltzmann, il faut eectuer une discrétisation des variables continuest, ~xet~c. Commençons par discrétiser l'espace des vitesses : les particules possèdent une vitesse qui prend sa valeur dans un ensemble ni C ≡ {~c1, ~c2, ..., ~cQ} de dimension Q. Ces vitesses~ci

sont qualiées de vitesses prédénies.

Dans la section 1.3, on avait établi des liens entre les grandeurs macroscopiques (dont ρ,~v et etot) et les diérents moments hydrodynamiquesM⁽ⁿ⁾=R

f.~cⁿ.dc. Il nous faut donc trouver de nouvelles expressions, approchées ou exactes, qui les remplacent lorsque les vitesses ne prennent que quelques valeurs dans un ensemble de dimension nie.

Un moyen d'obtenir une valeur approchée d'une intégrale continue consiste à utiliser la méthode des qua- dratures établie par Gauss (page39). Elle stipule qu'il existe un ensemble deQcoecients de pondération w_i tels que, pour toutn∈ {0,1,2,3,4}, on ait l'égalité suivante :

Z

f.~cⁿ.dc=

Q

X

i=1

w_i.f(~x, ~c_i, t).~c_iⁿ∀n∈ {0; 1; 2; 3; 4} (2.1) Pour simplier les écritures, on dénit la fonction de distribution discrétiséefipar la relation suivante : f_i(~x, t)≡w_i.f(~x, ~c_i, t) (2.2) Avec cette notation, on peut écrire :

M⁽ⁿ⁾= ˜M⁽ⁿ⁾ avec M˜⁽ⁿ⁾≡

Q

X

i=1

fi.~c_iⁿ (2.3)

oùM˜⁽ⁿ⁾est le moment discrétisé d'ordre n. Le calcul des coecientswi est repoussé à plus tard. Pour l'instant, il nous sut de dire que l'évolution cinétique du système est régie par :

∂f_i

∂t +~c_i.∇fi =−1 τ .h

f_i−f_i^(eq)i

(2.4) Cette équation est appelée équation de Boltzmann discrète. La discrétisation à laquelle il est fait réfé- rence est celle de l'espace des vitesses.

2.2 Condition de synchronisation

Adoptons un maillage spatial structuré : l'espace est découpé en pavés de forme et taille identiques. Ces formes peuvent être des hexagones, carrés, triangles, . . . Si les cellules élémentaires qui servent à paver l'espace sont carrées (en 2D) ou cubiques (en 3D), alors∆x= ∆y= ∆z. Dans tous les cas, on appelle pas de

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réseau¹la plus petite distance entre deux noeuds du maillage.

On a la liberté de choisir indépendamment les valeurs de ∆x, ∆y, ∆z, ∆t et ~ci. Toutefois, il va s'avérer judicieux de les corréler. En eet, si on arrive à s'assurer qu'une particule se déplace en sautant d'un noeud de maillage à un autre noeud de maillage pendant le pas de temps∆t, on évite le cas où une particule se trouve entre deux noeuds, ce qui obligerait à réaliser des interpolations. Par conséquent, les pas d'espace∆x,

∆y et∆z étant choisis, on fera en sorte que chaque vitesse~ci respecte la condition de synchronisation suivante :











cix multiple entier de ∆x

∆t ciy multiple entier de ∆y

∆t ciz multiple entier de ∆z

∆t

(2.5)

Ainsi, si une particule voyageant à la vitesse~cise trouve sur un noeud à l'instanttk, alors elle se retrouvera forcément sur un autre noeud du maillage à l'instant tk+ ∆t. On dénit trois vitesses de réseau (une par direction de l'espace) :











c_rx≡∆x

∆t cry≡ ∆y

∆t crz≡ ∆z

∆t

(2.6)

Dans le cas particulier d'un maillage de l'espace par des carrés ou des cubes, alors ces trois grandeurs sont égales à une vitessecr dite vitesse de réseau.

2.3 Equation de Boltzmann sur réseau

On peut maintenant discrétiser (en temps et espace) l'équation de Boltzmann discrète2.4. Nous choisissons un schéma implicite pour assurer une bonne stabilité numérique :

fi(x, y, z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t)

∆t +c_ix.fi(x+ ∆x, y, z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆x

+ciy.fi(x, y+ ∆y, z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆y

+c_iz.fi(x, y, z+ ∆z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆z

=−1

τ [f_i(x, y, z, t)−f_i^eq(x, y, z, t))]

En vertu de la condition de synchronisation (équation 2.5), on peut réécrire les trois derniers termes du membre de gauche. L'équation précédente devient alors :

fi(x, y, z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t)

∆t +fi(x+cix.∆t, y, z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆t

+f_i(x, y+c_iy.∆t, z, t+ ∆t)−f_i(x, y, z, t+ ∆t)

∆t

+fi(x, y, z+ciz.∆t, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆t

= −1

τ [fi(x, y, z, t)−f_i^eq(x, y, z, t))]

1Le terme "pas de réseau" est traduit par "lattice spacing" en anglais.

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2.4. Calcul des coecients de pondération

Or, par analogie avec la relation suivante donnant la diérentielle totale exacte d'une fonction de plusieurs variables :

df= ∂f

∂x.dx+∂f

∂y.dy+∂f

∂z.dz on a la relation purement mathématique suivante :

fi(x+cix.∆t, y+ciy.∆t, z+ciz.∆t, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆t = fi(x+cix.∆t, y, z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆t

+fi(x, y+ciy.∆t, z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆t

+fi(x, y, z+ciz.∆t, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆t Dans ces conditions, on a :

fi(x, y, z, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t)

∆t +fi(x+cix.∆t, y+ciy.∆t, z+ciz.∆t, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t+ ∆t)

∆t

= −1

τ [f_i(x, y, z, t)−f_i^eq(x, y, z, t))]

Dénissons le temps de relaxation adimensionnéτ^∗ par la relation :

τ^∗≡τ /∆t (2.7)

En simpliant, on établit l'équation de Boltzmann sur réseau dans l'approximation BGK : fi(x+cix.∆t, y+ciy.∆t, z+ciz.∆t, t+ ∆t)−fi(x, y, z, t) = −1

τ^∗.[fi(x, y, z, t)−f_i^eq(x, y, z, t)] (2.8)

2.4 Calcul des coecients de pondération

2.4.1 Equations à résoudre

Rappelons que les coecients wi sont tels que les cinq premiers moments discrets M˜⁽ⁿ⁾ dénis par l'équation2.3 donnent la même valeur que les cinq premiers moments continusM⁽ⁿ⁾, ces derniers étant di- rectement liés aux grandeurs macroscopiques mesurables telles que la masse volumique du uide, sa quantité de mouvement, son énergie massique, . . .Ce système de 5 équations doit être vérié dans tout état du système.

Cas général : considérons que le système est localement dans un état d'équilibre, décrit par la fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann (expression exacte donnée dans l'équation1.30). A l'équilibre, on a f =f^(eq)et les moments continus peuvent se calculer de manière analytique (voir section5.4.3). L'expression de chacun des termes scalaires des tenseurs est donnée ci-dessous², pour une dimension spatiale quelconque (2 ou 3).











M^(0,eq) = ρ M_α^(1,eq) = ρ.vα

M_α,β^(2,eq) = ρ.vα.vβ+ρ.RT.δ˜ αβ

M_α,β,γ^(3,eq) = ρ.v_α.v_β.v_γ+ρ.RT.˜ [v_α.δ_βγ+v_β.δ_αγ+v_γ.δ_αβ]

M_α,β,γ,δ^(4,eq) = ρ.vα.vβ.vγ.vδ+ρ.( ˜RT)².(δαβ.δγδ+δαγ.δβδ+δαδ.δβγ)

+ρ.RT.˜ [v_α.v_β.δ_γδ+v_α.v_γ.δ_βδ+v_α.v_δ.δ_βγ+v_β.v_γ.δ_αδ+v_β.v_δ.δ_αγ+v_γ.v_δ.δ_αβ]

(2.9)

2La grandeurδijreprésente le symbole de Kronecker :δijest égal à 1 sii=j et à 0 sinon.

(18)

Par ailleurs, les moments discrétisés à l'équilibre sont dénis par la relation2.3qui s'explicite en :











M˜^(0,eq) =

Q

X

i=1

f_i^(eq) M˜α^(1,eq) =

Q

X

i=1

f_i^(eq).c_iα M˜_α,β^(2,eq) =

Q

X

i=1

f_i^(eq).c_iα.c_iβ M˜_α,β,γ^(3,eq) =

Q

X

i=1

f_i^(eq).c_iα.c_iβ.c_iγ M˜_α,β,γ,δ^(4,eq) =

Q

X

i=1

f_i^(eq).ciα.ciβ.ciγ.ciδ

(2.10)

Compte-tenu de la dénition de la fonction de distribution discrète f_i (équation 2.2) et de l'expression approchée de la fonction de distribution à l'équilibre (équation1.31), on peut écrire :

f_i^(eq)=ρ.W_i. 1 +~ci.~v c²_s +1

2. ~ci.~v

c²_s ²

−1 2.k~vk²

c²_s

!

(2.11) où le coecientW_i est déni de la manière suivante :

Wi≡wi. 1 (2πc²_s)^D/2

.exp − k~cik² 2c²_s

!

Le coecient Wi ne dépend que de la température T (par l'intermédiaire de cs = p

R.T˜ ) et du jeu de vitesses prédénies ~ci. Pour un schéma donné, dans l'approximation d'un écoulement isotherme, il s'agit d'une constante scalaire. On voit par ailleurs que Wi ne dépend que de la norme de la vitesse k~cik. Par conséquent, on aura l'implication :

k~cik=k~cjk ⇒Wi=Wj (2.12)

Cas particulier d'un système au repos : lorsque la vitesse macroscopique ~v du uide est nulle, l'équation2.11se réduit àf_i^(eq)=ρ.Wiet le système2.9se simplie drastiquement. Après simplication par ρ, les deux systèmes d'équations (2.9et2.10) deviennent :











Q

X

i=1

Wi= 1

Q

X

i=1

W_i.c_iα= 0

Q

X

i=1

W_i.c_iα.c_iβ=c²_s.δ_αβ

Q

X

i=1

W_i.c_iα.c_iβ.c_iγ= 0

Q

X

i=1

Wi.ciα.ciβ.ciγ.ciδ=c⁴_s.(δαβ.δγδ+δαγ.δβδ+δαδ.δβγ)

(2.13)

où les indices α, β, γ, δ,. . .prennent leur valeur dans l'ensemble {x, y, z} en dimension 3 et dans l'ensemble {x, y}en dimension 2. En dimension 1, tous les indices sont égaux àx. L'égalité des moments d'ordre impair est systématiquement observée lorsque l'ensemble C des vitesses prédénies est symétrique par rapport à l'origine, c'est-à-dire lorsqu'on a l'implication~ci∈C⇒ −~ci∈C.

(19)

2.4. Calcul des coecients de pondération

2.4.2 Astuces

Quelques remarques peuvent être formulées qui faciliteront la résolution du système d'équations. Tout d'abord, on peut écrire l'égalité des moments d'ordre 2 pour (α, β) = (x, x), pour (α, β) = (y, y) et pour (α, β) = (z, z) puis ajouter membre à membre les résultats. En généralisant à une dimension spatiale D quelconque, on obtient l'égalité suivante :

Q

X

i=1

Wi.||~ci||²=D.c²_s (2.14)

En répétant le même processus, on montre que l'égalité des moments d'ordre 4 implique :

Q

X

i=1

Wi.||~ci||⁴=D.(D+ 2).c⁴_s (2.15) Les grandeursc_setc_rétant toutes les deux des vitesses, il existe une constante sans dimensionktelle que :

c²_r≡k.c²_s (2.16)

2.4.3 Exemple du schéma D2Q5

On désigne parDDQQle schéma LBM qui modélise l'écoulement d'un uide en dimensionDet qui discrétise l'espace des vitesses enQvaleurs prédénies. Le schémaD2Q5peut être illustré par la gure2.1. Les vitesses

Figure 2.1 : SchémaD2Q5: quatre vecteurs de normec et un vecteur nul.

prédénies sont :

~c_i≡c_r.~e_i avec (~e₁, . . . , ~e₅) =

1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0

(2.17) L'équation2.12permet de dire qu'il n'y a que deux valeurs distinctes dans l'ensemble {W1, . . . , W₅}. Plus précisément, on note A =W₁ =W₂ =W₃ =W₄ et B =W₅. L'égalité des moments d'ordre 0 s'exprime ainsi :

4A+B= 1

L'égalité des moments d'ordre 2 donne lieu à2^D équations scalaires. Pour (α, β) égal à(x, y)ou(y, x), on obtient0 = 0. Pour(α, β)égal à(x, x)ou(y, y), elle devient :

A.4c²_r= 2c²_s

L'égalité des moments d'ordre 4 ne donne un cas non trivial que dans une conguration. Pour (α, β, γ, δ) égal à(x, x, x, x)ou(y, y, y, y), elle devient :

A.4c⁴_r= 6.c⁴_s

(20)

On a donc trois équations et trois inconnues. Le résultat est le suivant :











W1=W2=W3=W4 = 1 6

W5 = 1

3

c²_r = 3.c²_s

(2.18)

2.5 Schémas classiques de discrétisation des vitesses

Le tableau2.1recense les jeux de vecteurs prédénis pour les schémas classiquement utilisés.

Schéma Vecteurs prédénis~e_i D1Q3 1 −1 0

D1Q5 1 −1 2 −2 0 D2Q4

1 0 −1 0 0 1 0 −1

D2Q5

1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0

D2Q7

1 1/2 −1/2 −1 −1/2 1/2 0 0 √

3/2 √

3/2 0 −√

3/2 −√ 3/2 0

D2Q9

1 0 −1 0 1 −1 −1 1 0 0 1 0 −1 1 1 −1 −1 0

D3Q15





1 −1 0 0 0 0 1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 0

0 0 1 −1 0 0 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 0

0 0 0 0 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 0





D3Q19





1 −1 0 0 0 0 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 0 0 0 0 0

0 0 1 −1 0 0 1 1 −1 −1 0 0 0 0 1 −1 1 −1 0

0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 0





Table 2.1 : Vecteurs prédénis~e_i pour les schémas classiquesDDQQ. On a la relation~c_i≡c_r.~e_i. Le schéma D3Q15 présente "a checkerboard invariant" [46]. En eet, la quantité de mouvement du uide peut présenter des motifs réguliers n'ayant pas de signication physique réelle. Pour cette raison, lorsqu'on a besoin de faire des simulations en dimension 3, c'est le schémaD3Q19qui est retenu la plupart du temps.

Les schémas D2Q7 et D2Q9 semblent similaires si l'on regarde les résultats. Le premier nécessite moins d'espace mémoire pour stocker ses états tandis que le second permet d'utiliser un maillage cartésien, ce qui est une structure de données plus simple.

Figure 2.2 : Discrétisation des vitesses selon les schémas D2 Q4, D2 Q5, D2 Q7 et D2 Q9.

Le tableau2.2donne la valeur de la constantekdénie par l'équation2.16pour diérents schémas commu- nément rencontrés dans la littérature.

(21)

2.5. Schémas classiques de discrétisation des vitesses

Figure 2.3 : Discrétisation des vitesses selon le schémaD3Q19.

Figure 2.4 : Autres schémas d'ordre plus élevés.

(22)

Schéma k D1Q3 3 D1Q5 1 D2Q4 2 D2Q5 3 D2Q7 3 D2Q9 3 D3Q15 3 D3Q19 3

Table 2.2 : Constantek=c²_r/c²_spour les schémas classiquesDDQQ.

2.6 Passage du microscopique au macroscopique

En utilisant une expansion de Chapman-Enskog, on peut montrer que l'équation de Boltzmann conduit à l'équation d'Euler lorsque l'expansion est faite au 1^er ordre en Mach et à l'équation de Navier-Stokes lorsqu'elle est faite au 2^nd ordre. De manière similaire, on peut montrer que l'équation de Boltzmann sur réseau conduit également à l'équation de Navier-Stokes. On ne le fera pas ici mais citons tout de même les résultats intermédiaires qui émergent.

Choix du pas de temps ∆t. Pour un maillage donné (∆x et k imposés), une diminution du pas de temps ∆t implique une augmentation de la vitesse de réseau c_r ≡ ^∆x_∆t et donc de la vitesse du son (du réseau)cs=^√^c^r

k. Par conséquent, pour une vitesse d'écoulement~v donnée, une diminution du pas de temps conduit à une diminution du nombre de Mach Ma≡_v^v

s. Pour simuler un écoulement (quasi)-incompressible, il faut donc choisir un pas de temps quasiment égal à zéro. Cela générerait des temps de calcul prohibitifs. A contrario, pour simuler un écoulement tel que les eets de compressibilité commencent juste à se manifester (Macrit≈0,3), il faut choisir un pas de temps tel que :

Ma_LBM=Ma_crit Puisque l'on peut écrire :

MaLBM≡ k~vk vs

= k~vk cs.√

γ = k~vk

c_r/√ k

.√ γ

= k~vk.√ k cr.√

γ = k~vk.√ k (∆x/∆t).√

γ =k~vk.∆t

∆x . s

k γ On en déduit le pas de temps critique∆t_crit :

∆t_crit≡Ma_crit.∆x k~vk.

rγ

k avec Ma_crit≈0,3 (2.19)

Dans la pratique, pour minimiser le temps de calcul tout en restant dans le domaine des écoulements incompressibles, on choisit le pas de temps égal au pas de temps critique :

∆t_opt= ∆t_crit

Choix du temps de relaxation τ. On peut montrer qu'il existe un lien entre le temps de relaxation (grandeur microscopique) et la viscosité cinématique (grandeur macroscopique)ν. Il s'énonce :

ν=

τ^∗−1 2

.c²_s.∆t (2.20)

oùν≡µ/ρdésigne la viscosité cinématique en m².s⁻¹ etτ^∗le temps de relaxation adimensionné (équation 2.7 en page 11). En d'autres termes, pour modéliser l'écoulement d'un uide de viscositéν donnée, il faut

(23)

2.7. Couplage avec les transferts thermiques

choisir le temps de relaxation adimensionnéτ^∗ à l'aide de la relation suivante : τ^∗=1

2 + k.ν

c²_r.∆t (2.21)

oùc_r désigne la vitesse de réseau. On désigne parν^∗ la viscosité cinématique adimensionnée : ν^∗≡ ν

(∆x)²

∆t

(2.22) Avec cette notation, on peut écrire le lien micro-macro sous la forme :

τ^∗= 1

2+k.ν^∗ (2.23)

Cette relation montre que le temps de relaxation augmente lorsque le uide est plus visqueux (i.e le système met davantage de temps à revenir à son état d'équilibre). Lorsque le temps de relaxation adimensionné τ^∗ s'approche de ¹₂, la viscosité tend vers zéro, ce qui signie que le uide modélisé s'approche du uide parfait (sans viscosité). A cause des instabilités numériques, il est recommandé de ne pas choisir un temps de relaxation réduit trop proche de0,5mais de développer un modèle de turbulence adéquat.

Calcul des grandeurs macroscopiques. Elles sont calculées par les moments :











ρ =

Q

X

i=1

f_i^(eq) ρ.v_α =

Q

X

i=1

f_i^(eq).c_iα Π_αβ =

Q

X

i=1

f_i^(eq).c_iα.c_iβ Qαβγ =

Q

X

i=1

f_i^(eq).ciα.ciβ.ciγ

Rαβγδ =

Q

X

i=1

f_i^(eq).ciα.ciβ.ciγ.ciδ

(2.24)

On a vu dans l'équation1.17queΠ =ρ.(~v⊗~v+ ˜RT.I). Dans le cas où le champ de température est considéré uniforme et constant, les deux seuls moments qu'il est nécessaire de calculer sont ceux d'ordre 0 et 1. On peut dresser une cartographie en pression en calculant le moment d'ordre 2.

2.7 Couplage avec les transferts thermiques

2.7.1 Equation analytique

L'équation de convection-diusion régit l'évolution de la températureT et s'énonce :

∂T

∂t +∇ ·(T.~v) =∇ ·(DT.∇T) (2.25)

où la diusivité thermiqueDT est liée à la conductivité thermiqueλ, la masse volumique ρet la capacité calorique massiquecp par la formule :

DT ≡ λ

ρ.c_p (2.26)

(24)

2.7.2 Résolution par deux fonctions de distribution

On adopte l'approche de Zhang [30] inspirée de l'approche de Ladd [11]. Il s'agit de calculer, de manière autonome, l'évolution d'un champ scalaire passif. Pour cela, on dénit une fonction de distributiongi dont l'évolution est dictée par :

gi(x+cix.4t, y+ciy.4t, z+ciz.4t, t+4t) =gi(x, y, z, t)− 1

τ_T^∗.[gi(x, y, z, t)−g^(eq)_i (x, y, z, t)] (2.27) oùτ_T est un temps de relaxation [s] associé au transfert thermique et déni par :

τ_T^∗≡ τ_T

∆t

La distribution à l'équilibre degi a la même forme que la distribution à l'équilibre defi (voir équation2.11 en page12), en remplaçantρparT :

g^(eq)_i =T.Wi.

"

1 +~ci.~v c²_s +1

2. ~ci.~v

c²_s ²

−1 2

k~vk² c²_s

#

(2.28) Les coecients de pondération Wi sont donnés dans le tableau 2.4 en page 15. Les schémasDDQQ pour fi et gi peuvent être identiques. On peut montrer que la résolution numérique de cette équation permet de résoudre l'équation de convection-diusion2.25. De manière analogue à la relation entre ρet les fonctions de distributionfi (équation 2.24en page 17), on peut établir un lien entre les grandeurs microscopiquesgi

et la grandeur macroscopiqueT :

T =

Q

X

i=1

gi (2.29)

Le lien entre la diusivité thermiqueDT et le temps de relaxation adimensionnéτ_T^∗est donnée par la formule suivante, en tout point similaire à l'équation2.21en page17:

τ_T^∗ = 1

2+k.D^∗_T avec D^∗_T ≡ D_T

∆x²/∆t (2.30)

2.7.3 Couplage thermo-convectif, approximation de Boussinesq

Il est possible d'établir un couplage : le champ de température inue sur le champ de masse volumique (qui inuera sur le champ de vitesse). Au premier ordre, la masse volumique dépend de la température selon :

ρ≈ρ₀.[1−β_V.(T−T₀)] (2.31)

oùβ_V est le coecient de dilatation thermique volumique³ à pression constante déni par : βV ≡−1

ρ . ∂ρ

∂T

p

(2.32) L'approximation de Boussinesq consiste à utiliserρ partout (équation de continuité et équation de conservation de la quantité de mouvement) sauf dans le terme de force volumique de l'équation de quantité de mouvement, où l'on remplaceρ.~g parρ₀.[1−β_V.(T−T₀)].~g.

2.7.4 Interaction uide-structure ou bien uide-particule

Il faut ici calculer les forces que le uide exerce sur le solide. Il y a deux catégories de méthodes :

"momentum exchange" (Ladds, page 48 de la thèse de Xu, page 130 de Tao-2017) ou bien "stress integration"

3Pour les matériaux isotropes, les coecients de dilatation volumique et linéaire sont liés par l'équationβV = 3.βL.

(25)

2.7. Couplage avec les transferts thermiques

(article 2009-Xia). En fonction de la force totale et du couple total s'exerçant sur le solide, il est possible de calculer sa vitesseV~set sa vitesse angulaire ~Ωs par intégration de la seconde loi de Newton :







M.^{d ~}_dt^V^s = F~tot

I.^d~_dt^Ω^s = T~tot

oùM et I sont respectivement la masse et le moment d'inertie du solide. Pour un disque plein en 2D, ces grandeurs sont respectivement :







M = ρ_s.πR² I = ρ_s.^π₂

(26)

(27)

Chapitre 3

Analyse dimensionnelle

3.1 Ecoulements athermiques

Le nombre de Reynolds Re permet de comparer la contribution relative de deux phénomènes dans l'écou- lement du uide : la diusion de quantité de mouvement par frottement visqueux (temps caractéristique τ_visc≡ ^L_ν²) et la convection de quantité de mouvement (temps caractéristiqueτ_conv≡ ^L_V) :

Re≡ τ_visc

τ_conv d'où Re= V.L

ν =ρ.V.L

µ (3.1)

Un nombre de Reynolds très petit devant l'unité signie que les frottements visqueux jouent un rôle prépon- dérant devant l'inertie (écoulements rampants) tandis qu'un nombre de Reynolds très grand devant l'unité signie que les eets inertiels sont prédominants (écoulements turbulents). La valeur de transition entre les deux régimes d'écoulement augmente lorsque l'eet d'un connement géométrique augmente. Dans une ca- nalisation cylindrique, par exemple, l'écoulement reste laminaire (dominé par la viscosité) jusqu'à des valeurs de Reynolds proches de 2300.

Le nombre de Mach permet de prévoir si les eets de compressibilité jouent un rôle dans l'écoulement. Ce nombre est déni comme le ratio du temps caractéristique de propagation d'une onde sonore τ_son ≡ _v^L

s et du temps d'advection de la matièreτ_conv≡ ^L_v :

Ma≡ τ_son

τ_conv d'où Ma= V

v_s (3.2)

On peut montrer que lorsque la grandeur Ma² est très petite devant l'unité (ce qui revient à Ma<0,3), l'écoulement peut être considéré comme incompressible. Dans le cas contraire, il s'agit d'un écoulement compressible et les équations de Navier-Stokes ne sont plus valables.

3.2 Ecoulements thermiques

Le nombre de Prandtl Pr dépend uniquement du matériau. Il est déni par : Pr≡ τ_therm

τ_visc d'où Pr= ν DT

(3.3) Le nombre de Prandtl peut être vu comme le ratio du temps caractéristique de la diusion de chaleur τ_therm ≡ _D^L²

T (avec DT la diusivité thermique [m².s⁻¹]) sur le temps caractéristique de la diusion de quantité de mouvement τ_visc ≡ ^L_ν² (avecν ≡µ/ρ la viscosité cinématique [m².s⁻¹]). Par conséquent, pour Pr1, les eets thermiques sont faibles et le comportement du uide est essentiellement hydrodynamique ("température uniforme et gradients de vitesse"). Pour Pr 1, les processus de diusion de la chaleur pilotent le mouvement du uide ("gradients de température et vitesse uniforme"). Le nombre de Prandtl est

(28)

environ 0,001 pour les métaux liquides, 0,7 pour l'air, 2 pour l'eau et 1000 pour des huiles visqueuses.

Le nombre de Rayleigh Ra est déni par : Ra≡

τ_therm τ_Arch

.

τ_visc τ_Arch

d'où Ra=βV.g.∆T.L³

ν.DT (3.4)

où il apparaît le temps caractéristique de la poussée d'Archimède τ_Arch ≡q

L

g⁰. Dans cette expression, le terme g⁰ ≡ β_V.∆T.g fait intervenir deux composantes : la gravité g et la dilatation thermique β_V.∆T où βV ≡ ¹_ρ._∂ρ

∂T

p est le coecient de dilatation thermique isobare [K⁻¹]¹, g l'intensité de gravitation,∆T la diérence de température à l'origine de la convection naturelle,Lune hauteur caractéristique,ν la viscosité cinématique etDT la diusivité thermique. Lorsque le nombre de Rayleigh est inférieur à une valeur critique (de l'ordre de 2000), le transfert thermique se fait par la conduction uniquement. Quand il dépasse cette valeur critique, le uide se met en mouvement et l'on parle alors de convection naturelle ou de convection libre, par opposition à la convection forcée.

Le nombre de Grashof Gr est parfois trouvé dans la littérature : Gr≡

τ_visc τ_Arch

²

d'où Gr=βV.g.∆T.L³

ν² (3.5)

On remarquera la relationRa=P r.Gr.

Le produit des nombres de Rayleigh et de Prandtl mériterait un nom spécique. Il est égal à : Pr.Ra≡

τ_therm τ_Arch

²

d'où Pr.Ra=βV.g.∆T.L³

D²_T (3.6)

Cette manière de présenter les choses, et plus particulièrement le nombre sans dimension Pr.Ra, montre d'une part que la poussée d'Archimède est la force motrice, proportionnelle au gradient de température∆T /H et d'autre part, qu'elle est contrecarrée ou ralentie par deux phénomènes : la conduction thermique essaie de gommer les écarts de température et le frottement visqueux ralentit la mise en mouvement. Pour un uide donné, une augmentation du gradient de température∆T /H conduit à un temps caractéristiqueτ_Arch plus faible et donc à une grande valeur du produitP r.Ra, ce qui signie que le couplage thermo-hydraulique est fort (apparition de rouleaux de convection). Par contraste, pour une force motrice donnée, un uide très visqueux (ν élevé) et/ou très bon conducteur de chaleur (κ élevé) aura un produit "Pr.Ra" faible, ce qui siginie qu'il est capable de transférer un grand ux de chaleur sans se mettre en mouvement (faible couplage thermo-hydraulique).

Le nombre de Nusselt permet de comparer la convection de chaleur à la conduction de chaleur. Considérons un ux de chaleur à travers une interface solide-uide de normale unitaire~n. La densité de ux de chaleur totale~q_tot est la somme d'une contribution convective~q_conv et d'une contribution conductive~q_conv :

~

q_tot≡~q_conv+~q_cond avec







~

q_conv ≡ ρ.c_p.T.~v

~

q_cond ≡ −λ.∇T

En toutes circonstances, le transfert conductif existe. En revanche, le transfert convectif peut être présent (uide en mouvement) ou bien absent (uide au repos). On peut dénir le nombre de Nusselt Nu pour

1Par dénition, on aβV ≡¹

ρ.

∂ρ

∂T

p, ce qui impliqueβV =_V¹.

∂V

∂T

p. Pour un matériau isotrope, le coecient de dilatation thermique isobare volumique est le triple du même coecient linéaire : βV = 3.βL où l'on aβL= _L¹.

∂L

∂T

p. Pour un gaz parfait, on peut montrer queβV =_T¹.

MéthodedeBoltzmannsurRéseau EcoleNationaleSupérieuredesMinesdeSaint-Etienne

Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne