4.7.1 Condition de Dirichlet
Pour une paroi solide plane et immobile, la condition de Dirichlet (température imposée à la paroi) est relativement facile à implémenter. On s'appuiera sur la gure4.10et l'on désigne parkla direction associée à la distribution inconnue. On rappelle tout d'abord le lien entre la température et les distributions gi 1Si l'interface solide-uide ne se situe pas à une distance∆x/2de la première colonne de noeuds uides, mais se superpose à cette première colonne, alors on distingue les noeuds intégralement dans le domaine uide et les noeuds sur la frontière solide-uide. Le traitement est un peu diérent et l'ordre de convergence est dégradé : il n'est alors égal qu'à 1. Cette méthode est appelée "rebond standard" ou "rebond complet" (standard bounce-back en anglais)
4.7. Conditions aux limites en température (ou concentration) pour une paroi solide
Figure 4.10 : Notations utilisées pour les conditions aux limites auprès d'une paroi solide plane.
(équation2.29en page18) : Tf=
Par ailleurs, connaissant la températureTw imposée à la paroi et la températureTcalculée au noeud , on peut réaliser une interpolation d'ordre 1 grâce à l'équation4.11en page32et écrire :
Tf=1
3.[2.Tw+T] (4.17)
A l'ordre 1, il s'ensuit que la distribution inconnue est : gk(xf, t+ ∆t) = 1
A l'ordre 2, on peut utiliser l'équation4.13et écrire : gk(xf, t+ ∆t) = 1 Idéalement, je pense que les températures T et Tf doivent être évaluées juste après la collision qui se produit àt+. Peut-être que l'erreur n'est pas trop grande si on prend la valeur de ces températures à l'instant précédentt... Des schémas plus complexes sont nécessaires lorsque la paroi solide est en mouvement et/ou courbe.
Gestion des coins. Dans les angles, le nombre d'informations inconnues augmente et le problème devient plus ardu. On a les deux équations suivantes sous la main :
A titre d'exemple, étudions le coin en haut à gauche avec un schémaD2Q5. Lorsque les deux parois sont de type Dirichlet (températures Ttop et Tleft), la température de l'angle à l'intersection des deux interfaces physiques peut être dénie parTw ≡(Ttop+Tleft)/2. Logiquement, le noeud uide est le noeud le plus proche de f situé sur la diagonale reliant ce dernier à l'angle physique où la température estTw. Pour résoudre le système qui comporte 3 inconnues (g1, g2 etTf), il faut une troisième équation. On peut choisir l'une ou autre hypothèse ou encore d'autres, plus sensées physiquement :
4.7.2 Condition de Neumann
Pour une condition aux limites de type Neumann, la densité de ux de chaleur est imposée : qinw ≡~qw.~nin avec ~qw≡ −λ.(∇T)w
où~nin est le vecteur unitaire normal à l'interface solide/uide et dirigé vers l'intérieur du domaine uide.
Par construction, la densité de ux de chaleur qwinest positive si la chaleur entre dans le domaine uide et nulle si l'interface solide/uide est adiabatique.
La stratégie est de se ramener à une condition de Dirichlet. On peut en eet calculer le gradient de tempé-rature avec un schéma aux diérences nies. Pour une interface solide/uide située à mi-chemin entre deux rangées de noeuds, on a :
Paroi droite : qwin= +λ. ∂T∂x
w avec ∂T∂x
w= T∆x/2w−Tf d'où Tw=Tf+∆x2 .qwλin Paroi sup. : qwin= +λ.
∂T
∂y
w avec ∂T∂x
w= T∆y/2w−Tf d'où Tw=Tf+∆y2 .qinwλ Paroi gauche : qwin=−λ. ∂T∂x
w avec ∂T∂x
w= T∆x/2f−Tw d'où Tw=Tf+∆x2 .qwλin Paroi inf. : qwin=−λ.
∂T
∂y
w avec ∂T∂x
w= T∆y/2f−Tw d'où Tw=Tf+∆y2 .qinwλ Dans le cas particulier où les mailles sont carrées (∆x = ∆y), l'équation suivante résume tous les cas particuliers et donne la température à la paroiTw qui respecte le ux de chaleur imposéqwin:
Tw=Tf+∆x 2 .qinw
λ (4.20)
où Tf est la température du noeud uide le plus proche de la paroi. Il sut ensuite d'implémenter une condition aux limites de Dirichlet avec la nouvelle valeur de la températureTw ainsi trouvée.
Chapitre 5
Annexes
5.1 Vitesses du son
La vitesse du son est la vitesse d'une onde sonore se propageant dans un milieu continu (solide, liquide ou gaz). En réalité, la propagation d'une onde sonore est un phénomène isentropique car à la fois réversible (pas de gradient de vitesse à l'extérieur de la vague proprement dite) et adiabatique (les gradients thermiques sont non nuls dans l'onde mais nuls à l'extérieur). Par conséquent, la dénition classiquement utilisée pour la vitesse du son est adiabatique. On la notera icivs. C'est d'ailleurs, la vitesse du son adiabatique qui intervient dans la dénition du nombre de Mach, permettant de caractériser l'inuence de la compressibilité du uide :
M a≡ ||~v||
vs
Dans la communauté scientique s'intéressant à la Méthode de Boltzmann sur Réseau, toutefois, il est d'usage de dénir la vitesse du son comme celle résultant d'un processus isotherme. On la notera alors cs. Cette dénition permettra de simplier les expressions analytiques.
Vitesse du son isothermecs. On dénit la vitesse du son isothermecspar la dérivée partielle de la pressionppar rapport à la masse volumiqueρ, à températureT constante :
cs≡
Vitesse du son adiabatique vs. On dénit la vitesse du son adiabatique vs par la dérivée partielle de la pressionppar rapport à la masse volumique ρ, à entropie S constante :
vs≡
Lien entre les deux vitesses du son. Les compressibilités isothermeκT et adiabatiqueκS sont dénies par :
On peut donc écrire :
∂p
V. Par conséquent, en notant ce rapportγle coecient adiabatique, on a la relation suivante, valable pour un matériau quelconque (solide, liquide, gaz) :
vs=√
γ.cs (5.3)
Cas particulier du gaz parfait. Dans le cas particulier du gaz parfait de masse molaireM˜, l'équation
Le coecient adiabatique γ vaut 5/3 pour un gaz parfait monoatomique et 7/5 pour un gaz parfait di-atomique. Il est à noter que la vitesse du son dépend très peu de la pression mais qu'elle peut varier signicativement avec la température. Elle sera constante lorsque le système modélisé sera athermique.
Cas des uides usuels. Pour l'air à 25°C, on a ρ= 1,184 kg.m−3, γ= 1,4, vs= 343 m.s−1, cs = 289 m.s−1 etκT = 1,003.10−5 Pa−1. Pour l'eau à 20°C, on aρ= 998,2kg.m−3, γ= 1,0066, vs= 1483m.s−1, cs= 1478m.s−1 et κT = 4,589.10−10Pa−1.