Puzzles : du jeu ` a la mati`ere
Thomas Fernique
Laboratoire d’Informatique de Paris Nord
24`eme congr`es MATh.en.JEANS du grand Sud
Quasip´eriodicit´e Quasicristaux Ind´ecidabilit´e
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1 Quasip´eriodicit´e
2 Quasicristaux
3 Ind´ecidabilit´e
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Puzzle N
◦1
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Solution p´ eriodique
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◦2
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◦2
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Ap´ eriodicit´ e
Puzzle ap´eriodique: peut paver le plan, mais pas p´eriodiquement.
Berger (1964) : premier puzzle ap´eriodique (20426 pi`eces).
Penrose (1974) : le puzzle N◦2 est ap´eriodique.
Remarque : on peut toujours se tromper en faisant ces puzzles. . .
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Ap´ eriodicit´ e
Puzzle ap´eriodique: peut paver le plan, mais pas p´eriodiquement.
Berger (1964) : premier puzzle ap´eriodique (20426 pi`eces).
Penrose (1974) : le puzzle N◦2 est ap´eriodique.
Remarque : on peut toujours se tromper en faisant ces puzzles. . .
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Ap´ eriodicit´ e
Puzzle ap´eriodique: peut paver le plan, mais pas p´eriodiquement.
Berger (1964) : premier puzzle ap´eriodique (20426 pi`eces).
Penrose (1974) : le puzzle N◦2 est ap´eriodique.
Remarque : on peut toujours se tromper en faisant ces puzzles. . .
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Solution quasip´ eriodique
Solution quasip´eriodique : un motif de taillen qui apparaˆıt quelque part r´eapparaˆıt `a distance au plus f(n) de n’importe quel point.
n f(n)
Birkhoff (1912) : s’il y a une solution, il y en a une quasip´eriodique. DeBruijn (1981) : les solutions du puzzle N◦2 sont quasip´eriodiques.
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Solution quasip´ eriodique
Solution quasip´eriodique : un motif de taillen qui apparaˆıt quelque part r´eapparaˆıt `a distance au plus f(n) de n’importe quel point.
Birkhoff (1912) : s’il y a une solution, il y en a une quasip´eriodique. DeBruijn (1981) : les solutions du puzzle N◦2 sont quasip´eriodiques.
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Solution quasip´ eriodique
Solution quasip´eriodique : un motif de taillen qui apparaˆıt quelque part r´eapparaˆıt `a distance au plus f(n) de n’importe quel point.
Birkhoff (1912) : s’il y a une solution, il y en a une quasip´eriodique. DeBruijn (1981) : les solutions du puzzle N◦2 sont quasip´eriodiques.
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Solution quasip´ eriodique
Solution quasip´eriodique : un motif de taillen qui apparaˆıt quelque part r´eapparaˆıt `a distance au plus f(n) de n’importe quel point.
Birkhoff (1912) : s’il y a une solution, il y en a une quasip´eriodique.
DeBruijn (1981) : les solutions du puzzle N◦2 sont quasip´eriodiques.
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Solution quasip´ eriodique
Solution quasip´eriodique : un motif de taillen qui apparaˆıt quelque part r´eapparaˆıt `a distance au plus f(n) de n’importe quel point.
Birkhoff (1912) : s’il y a une solution, il y en a une quasip´eriodique.
DeBruijn (1981) : les solutions du puzzle N◦2 sont quasip´eriodiques.
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Prenons un peu de hauteur
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Cristaux avant 1982 : empilements p´ eriodiques d’atomes
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Ondes
Onde: propagation d’une perturbation ; une onde transporte de l’´energie sans transporter de mati`ere.
Exemples: vague, son, onde radio, lumi`ere, rayons X. . .
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Diffusion d’une onde par un atome
Onde frappant un atome r´e´emission d’une onde sph´erique.
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Interf´ erences
Plusieurs atomes interf´erences diffractogramme.
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Cristaux depuis 1992 : diffractogramme discret
Empilement p´eriodique d’atomes ⇒diffractogramme discret.
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Cristaux depuis 1992 : diffractogramme discret
Empilement p´eriodique d’atomes 6⇐diffractogramme discret.
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Classification de ces nouveaux cristaux ?
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L’exploitation de la machine par l’homme ?
Probl`eme du puzzle: ´etant donn´e un nombre fini de pi`eces de puzzle, existe-t-il au moins une solution couvrant tout le plan ?
Approche naturelle : couvrir des zones de plus en plus grandes, r´epondre “non” si on trouve une zone qu’on ne peut couvrir ; r´epondre “oui” si on trouve un motif qu’on peut r´ep´eter.
C¸ a risque d’ˆetre long, mais on peut utiliser un ordinateur !
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L’exploitation de la machine par l’homme ?
Probl`eme du puzzle: ´etant donn´e un nombre fini de pi`eces de puzzle, existe-t-il au moins une solution couvrant tout le plan ?
Approche naturelle : couvrir des zones de plus en plus grandes, r´epondre “non” si on trouve une zone qu’on ne peut couvrir ; r´epondre “oui” si on trouve un motif qu’on peut r´ep´eter.
C¸ a risque d’ˆetre long, mais on peut utiliser un ordinateur !
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Probl` eme N
◦1 : c’est tr` es long. . .
Il existe g´en´eralement beaucoup de fa¸cons de couvrir une zone.
Exemple : un million de dollars pour qui r´esout le puzzle Eternity II
Quasip´eriodicit´e Quasicristaux Ind´ecidabilit´e
Probl` eme N
◦2 : c’est vraiment tr` es long. . .
Si on trouve un motif qu’on peut r´ep´eter p´eriodiquement : OK.
Mais si le puzzle est ap´eriodique ? !
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Probl` eme N
◦2 : c’est vraiment tr` es long. . .
Si on trouve un motif qu’on peut r´ep´eter p´eriodiquement : OK.
Mais si le puzzle est ap´eriodique ? !
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La D´ efaite d’All` egre
Berger (1964) : le probl`eme du puzzle est ind´ecidable.
Probl`eme d´ecidable: il existe un programme qui r´epond “oui” ou
“non” correctement `a chaque instance du probl`eme.
Exemple : la parit´e d’un nombre entier est d´ecidable.
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Ingr´ edient N
◦1 : le probl` eme de l’arrˆ et
Probl`eme de l’arrˆet : un programme s’arrˆete ou s’ex´ecute sans fin ? Turing (1936) : le probl`eme de l’arrˆet est ind´ecidable.
S’il existait un programmearret() qui d´ecidait l’arrˆet : P():
si arret(P())="oui" alors boucler sans fin
sinon
s’arr^eter
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Ingr´ edient N
◦1 : le probl` eme de l’arrˆ et
Probl`eme de l’arrˆet : un programme s’arrˆete ou s’ex´ecute sans fin ? Turing (1936) : le probl`eme de l’arrˆet est ind´ecidable.
S’il existait un programmearret() qui d´ecidait l’arrˆet : P():
si arret(P())="oui" alors boucler sans fin
sinon
s’arr^eter
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Ingr´ edient N
◦2 : des puzzles qui calculent
Ex´ecuter un programme ⇔faire un puzzle (ap´eriodique).
Ex´ecution sans fin ⇔ solution du puzzle.
