Seconde/Vecteurs, translations et repères
1. Introduction à la translation :
(+3 exercices pour les enseignants)Exercice 866
ABCO,CDEO,EF GOetGHAOsont des carrés représen- tés ci-après. BDF H est un carré de centreO.
A
B
C
D
E
F G
H O
1. a. Quelle est l'image du triangleABCpar la symétrie orthogonale d'axe(GC)?
b. Quelle est l'image du triangleABC par la rotation de centreO, d'angle90oqui amèneE enC?
2. En utilisant des transformations dont on précisera les éléments caractéristiques (centre de symétrie, axe de symétrie, . . . ), recopier et compléter les phrases suiv- antes sans justier la réponse.
a. le triangleGF E est l'image du triangleABC par . . . b. Le triangleOCDest l'image du triangleABCpar . . . Exercice 2761
On considère la gure ci-dessous :
1. La gure ovoïde hachurée a été obtenue par une trans- lation de la gure ovoïde blanc.
Représenter un vecteur caractérisant cette translation.
2. Le polygone hachuré a été obtenu par une translation du polygone blanc.
Tracer trois représentants de cette translation.
3. Faire une conjecture sur ces deux translations.
Exercice 2764
On considère la translationTdu plan qui transforme le point AenB:
A
B
C E
H
Les tracés doivent être eectués à la règle non-graduée et le compas :
1. Placer le point D, image du pointC par la translation qui transformeA enB.
2. Placer le pointF, image du pointE par la translation du vecteur−−→
AB.
3. Placer le pointGtel queGa pour image le pointH par la translation de vecteur−−→
AB. Exercice 2763
Dans le quadrillage ci-dessous, on considère la translationT de vecteur−→u:
~ u
A
B C
D E
F
G H I
J
1. Tracer l'image A′ du point A par la translation de vecteur⃗u.
2. Eectuer le tracé de l'image du rectangleBCDEpar la translationT.
3. Tracer le translaté du polygone F GHIJ par le vecteur
−
→u.
2. Premières notions :
(+1 exercice pour les enseignants) Exercice 5987~
u ~v
~ w
~ r
~s
~t
Compléter le tableau ci-dessous :
Par rapport à−→
u Direction Sens Longueur
−
→v
−
→w
−
→r
−
→s
−
→t Exercice 493
Dans le quadrillage ci-dessous :
1. Tracer un représentant du vecteur −→u ayant pour ex- trémité le pointA.
2. Tracer un représentant du vecteur−→u ayant pour origine le pointD.
3. Tracer un vecteur−→v de même longeur que−→u mais dif- férent de−→u.
4. Tracer un vecteur−→w de même direction, de même sens que−→u, mais diérents de−→u.
5. Tracer un vecteur −→s de même direction et de même longueur que−→
u mais diérent de−→ u.
~u
~u
D
A
3. Premières propriétés :
(+1 exercice pour les enseignants)Exercice 8101
Pour chacune des propositions ci-dessous, préciser si celle-ci est vraie ou fausse. (aucune justication n'est demandée)
a. Les vecteurs −−→
AB et −−→
CD sont égaux. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
b. Les segments [AB] et [CD] ont pour milieu le même pointI. Le quadrilatèreCBDAet un parallélogramme c. Le quadrilatère M N P Q est un parallélogramme. Les
vecteurs−−→
M N et−−→
QP sont égaux.
d. Le quadrilatère W XY Z est un parallélogramme. Les
diagonales[W X]et [Y Z]ont même milieu.
Exercice 8102
Compléter les pointillés an de rendre chacune des phrases exactes :
a. Si −→
AI=−−→... alors le point I est le milieu du segment [AB].
b. SiABCD est un parallélogrammme alors−−→
AB=−−→...
c. SiK est le milieu du segment[XY]alors−−→
...K=−−→...
d. Si−−→
M N=−−→
P Qalors. . . .est un parallélogramme.
4. Vecteur et géométrie plane :
Exercice 918
1. Tracer un triangleABC rectangle enB.
3. Placer le pointM tel que : −−→
BC=−−→
M T.
Justier que le quadrilatèreBCT M est un rectangle.
On considère un triangleABC quelconque et les pointsM, N,P milieux respectifs des côtés[AC],[AB],[BC]:
A
B
C
M
N P
1. Justier que les droites(BC)et (M N)sont parallèles.
2. a. Que peut-on dire des vecteurs−−→
CP et−−→
M N? Justier votre réponse.
b. Justier que le quadrilatèreM N P C est un parallélo- gramme.
Exercice 7917
On considère l'héxagone régulierABCDEF représenté ci-contre.
1. Justier que le triangle COBest équilatéral.
2. Justier que les pointsF, O etC sont alignés.
3. Démontrer que les droites (BC)et(EF)sont paral- lèles.
O
A B
C
D
E
F
4. Justier que les vecteurs−−→
BC et−−→
F E sont égaux.
5. Somme de vecteurs: représentations :
(+2 exercices pour les enseignants)Exercice 8118
Dans le plan, on considère les points Aet B et les vecteurs
−
→u et−→v représentés ci-dessous :
−
→u
− v→
A B
1. a. Construire le point A′ image du point A par la translation de vecteur−→u.
b. Construire le pointA′′image du pointA′par la trans- lation de vecteur−→v.
c. Construire un représentant du vecteur−→u+−→v
2. a. Construire le point B′ image du point B par la translation de vecteur−→v.
b. Construire le pointB′′image du pointB′par la trans- lation de vecteur−→
u.
c. Construire un représentant du vecteur−→ v+−→
u. 3. Comparer les deux vecteurs −→u+−→v et−→v+−→u.
Exercice 933
A, B et C sont trois points du plan. Reproduire une gure analogue à celle ci-dessous et la compléter au l des ques- tions :
A
B C
1. Construire le pointM image deApar la translation de vecteur−−→
BC.
2. Donner un vecteur égal au vecteur−−→
M A. 3. Construire le point Ktel que : −→
CA+−−→
CB=−−→
CK 4. Démontrer que : −−→
M A=−−→
AK. Que peut-on dire pour le pointA? Exercice 925
Déterminer dans les 8 cas ci-dessous la somme des deux vecteurs :
~ u
~v
~u
~v
~u
~u ~v
~ v
~ u
~ v
~u
~ v
~ u
~ v
~ u
~ v
Exercice 8123
On considère les six vecteurs représentés ci-dessous :
−
→ u
−
→ v
−
→ u2
−
→ v2
−
→ u3
−
→ v3
1. Tracer un vecteur−→w représentant la somme des vecteurs
−
→u et−→v.
2. Tracer un vecteur −→
w2 vériant l'égalité :
−→w2=−→u2+−→v2.
3. Tracer un vecteur −→w3 vériant l'égalité :
−→w3=−→ u3+−→
v3.
6. Somme de vecteurs :
(+4 exercices pour les enseignants)Exercice 934
1. Tracer un carréEF GH de côté4cm. 2. Placer le pointJ tel que : −→
F J=−−→
EF 3. Placer le pointK tel que : −−→
F K =−−→
EH+−−→
EF
Exercice 2784
On considère le dessin ci-dessous :
A B C D E
F G H I J
K L M N O
P Q R S T
Recopier et compléter convenablement les pointillés : a. −−→
BM+−−→
KB=−−−→
K . . . b. −−→
M G+−−→
CD+−→
IQ=−−−→
. . . P c. −−→
GM +−→. . . =−→
0 d. −→
F L+−−→
. . . I =−−→
F N
Exercice 496
SoitABCDun parallélogramme. On note : Ile milieu du segment[AB];
J le milieu du segment[DC].
Déterminer dans chaque cas un représentant du vecteur ré- sultant :
a. −→
AC+−→
J A b. −→
AI+−−→
AD c. −−→
AB+−→
IJ−−→
DJ
7. Relation de Chasles et manipulations algébriques :
(+2 exercices pour les enseignants)Exercice 932
A
B C
D
J
H I
G E
F
Recopier l'énoncé sur votre copie et compléter les pointillés :
1. −→
EI+−−→
F G=−−−→
E . . . 2. −→
J G+−→
J B=−−→
J . . . 3. −−→
GF+−−→
GH+−→
EI =. . . . 4. −−→
CH+−→
CJ+−−→
BH=...
Exercice 6545
La gure ci-dessous est composée de15carrés.
A B C D E F
G H I J K L
M N O P Q R
S T U V W X
Recopier les égalité vectorielles ci-dessous et compléter cor- rectement les pointillés par le point manquant :
a. −−→
N J+−−→
BO=−−−→
N . . . b. −−→
J W +−−→
GU+−−→
U B=−−−→
. . . O
Exercice 924 La gure ci-contre est constituée d'hexagones réguliers tous identiques :
Compléter les pointillés en détail- lant , si possible, vos calculs :
C D
E F
A
B
M L
K J
I H G
a. −→
AC+−−→
CE=−−−→
. . . E b. −−→
DE+−→
DJ=−−−→
D . . . c. −−→
F G+−−→
AD=−−−→
F . . . d. −−→
BE+−−→
KE=−−−→
D . . . e. −−→
CD+−−−→. . . .=−→ 0
Exercice 8317
On considère la gure ci-dessous composée de carrés :
A B C D E
F G H I J
K L M N O P Q
R S T U V W X
1. Donner un représentant de la somme : −→
F T +−−→
W J
2. Recopier et compléter les pointillés : a. −−→
EM+−−→
V M =−−−→
E . . . b. −−→
AM+−−→
CO+−−→
LH=−−−→
. . . X
3. Recopier et compléter les pointillés : a. −−→
AN+−−−→
M . . .=−→
AJ b. −→
DL+−→
T B+−−→
. . . I =−−→
EB
8. Vecteurs opposés :
Exercice 6996
On considère le parallélogramme ABCD représenté ci- dessous et le pointO intersection de ses diagonales.
A B
C
D O
1. Citer un vecteur opposé au vecteur−−→
BC. 2. Citer un vecteur opposé au vecteur−−→
OBayant pour orig- ine le pointO.
3. Citer un vecteur opposé au vecteur −−→
ADayant pour ex- trémité le pointB.
Exercice 6997
Dans le plan, on considère un point O et un vecteur −−→
AB représentés ci-dessous :
A
B O
1. A l'aide du compas et de la règle non-graduée, placer les pointsA′ et B′ symétriques des points A et B par rapport au pointO.
2. Que peut-on dire des vecteurs−−→
AB et−−−→
A′B′?
9. Repérage :
Exercice 490
Quai No¨el Guignon
Quai L´eopold Suquet Rue MauriceClavel Rue Maurice
Clavel
Rue Pierre Semard Rue Pierre Semard
Rue Honor
´eEuzer
Rue de La Peyrade Quai de la R´epublique Quai de la R´epublique
Quai d’Orient Quai d’Orient
ruede Tunis ruede
Tunis rue
deF
ond
`ere
rue Lazare Carnot rue Lazare Carnot
Quai Rhin et Dan ub e Quai Rhin et Dan ub e
Pont de pierre Quai
Louis aster P
Avenue Victor Hugo
QuaiAdolphe Merle
Quai Louis aster P
Ruede
Longuy
on
QuaideBosc
Quai dela R´esistance
Quai de laR´esistance
Rue
Mon tmorency
Rue Mon tmorency
Boulevard DanielleCasanova
RuedesJardins
Rue du D´eput´e Molle
Ruedu
Lucien Salette
Rue
Arago
RuedelaLibert´e
Rue
Mercier
Rue
Henri Barbusse
Rue
Henri Barbusse
Rue d’Issanka
Ruedel’Egalit´e
Rue
Georges Brassens
RueduG´en´eralde
Gaulle
Rue
du
Maire Aussenac
RueduD´eput´e
Salis
Rue dela F´ed´eration
Rue dela R´evolution
Rue delaCaraussane
ImpassePar
ertienm
Rue du 8 Mai 1945 Rue Gambetta
Rue d’AlsaceLorraine
Rue du G´en´era Leclerc
Tissier-P Rue ons
RueduColonelFabien
Rue
Ra
ymond Lefebre
Rue de
Belfort
Passage
Le
Dauphin
Galerie
Gambetta RueFr´ed´eric
Mistral
6
5
4
3
2
1
A B C D E F G H I J K
Voici un plan du centre historique de Sète, une ville du sud de la France. Utiliser le repère de ce plan pour répondre aux questions :
1. Comment indiquer la position de la rue du 8 Mai 1945 sur ce plan?
2. Comment indiquer l'emplacement du quai de la République?
3. Sachant que le quai de la République mesure 350 mètres, donner l'échelle de ce plan.
Exercice 492
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C D E F G
75
-53
12 -2
112 12
584 23
3
-6 -54
35 -5
13 9
1. Cocher les cases E7 et B10.
2. Sachant qu'une case vide a une valeur nulle, calculer la valeur des deux formules suivantes :
b. B: =A7+D10+D9+F4-C5
3. Une plage de cellules est un ensemble de cellules ex- primée sous la forme C3 :F5 désignant toutes les cel- lules contenues dans le rectangle ayant pour sommets opposés les cellules C3 et F5.
Entourer cette plage de cellules.
4. Les fonctions SOMME(...) et MOYENNE(...) calculent respectivement la somme et la moyenne des valeurs des cellules passées en arguments. Donner la valeur des for- mules suivantes :
a. SOMME(C3 :F5) b. SOMME(C1 :C10)
c. MOYENNE(A3 :F4) d. SOMME(C1 :C9)+SOMME(C5 :G5) Exercice 6472
On considère le plan muni d'un repère(
O;I;J)
orthonormé représenté ci-dessous :
x′ x
y′ y
-4 -3 -2 -1 I 2 3 4
-4 -3 -2 -1 2 3
J
O
1. a. Placer les points : A
−7 2; 1
; B
2 ;−1
2
; C
1 ;−7
2
b. Tracer le triangleABC. 2. a. Placer les points :
D
3 ;1
2
; E
1 2;9
4
; F
−3 4;−13
4
b. Tracer le triangleDEF. Exercice 8036
On considère le repère (
O;I;J)
quelconque représenté ci- dessous et les trois pointsA,B,C:
-2 -1
-1
I J
2 2
3 3
4 4
O
A
B C
1. Donner les coordonnées des pointsA,B,C. 2. Placer les pointsD etE de coordonnées :
D( 2 ; 1 ) ; E(−1 ;−2 ) Exercice 6470
On considère le plan muni d'un repère(
O;I;J) . Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
1. Soit Aet B deux points ayant les mêmes abscisses. La
droite(AB)est parallèle à l'axe des abscisses.
2. Soit Aet B deux points ayant les mêmes abscisses. La droite(AB)est parallèle à l'axe des ordonnés.
3. Le triangle OIJ est un triangle isocèle rectangle.
4. Les deux points A(3 ; 2) et B(3 ;−2) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
5. Les deux points A(1 ; 2) etB(−1 ;−2)sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
10. Coordonnées de vecteurs :
(+2 exercices pour les enseignants)Exercice 2057
On considère, dans le repère(O;I;J)orthonormé et les trois vecteurs ci-dessous représentés ci-dessous :
A
1B
1A
2B
2A
3B
3-4 -3 -2 -1 I 2 3 4
-4 -3 -2 -1 2 3 4
J
O
1. Compléter le tableau suivant :
i (xAi;yAi) (xBi;yBi) xBi−xAi yBi−yAi 1
2
3
2. a. Que représentent les nombres4et2pour le premier vecteur?
b. Expliquer pourquoi le second vecteur n'est pas représenté par les deux nombres3,5et2,5.
Exercice 2062
-6 -4 -2 I 2 4 6
-4 -2 2 4
J O A
B
C
D E
F
G K H
L
M
N
1. Graphiquement, déterminer les coordonnées des vecteurs−−→
AB,−−→
CD et−−→
EF.
2. a. Donner les coordonnées des points G, H, K, L,M etN.
b. En déduire, par le calcul, les coordonnées des vecteur
−−→GH,−−→
KLet −−→
M N. Exercice 940
On considère le plan muni d'un repère orthonormé(
O;I;J). On considère les quatre points suivants dont les coordonnées sont données :
A(3 ; 2) ; B(−1 ; 4) ; C(−4 ; 0) ; D(0 ;−2) 1. Par le calcul :
a. Déterminer les coordonnées des vecteurs−−→
ABet−−→
DC. b. Que peut-on dire des vecteurs−−→
AB et−−→
DC? Justier.
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?
2. Observons : dans le repère ci-dessous, placer les qua- tre points et vérier les résultats de la question 1. .
-5 -4 -3 -2 -1 I 2 3 4
-3 -2 -1 2 3 4 5
J
O
Exercice 919
On munit le plan d'un repère (O;I;J) orthonormé et on considère les cinq points représentés ci-dessous :
-4 -3 -2 -1 I 2 3 4 5 6 7
-2 -1 2 3 4 5 6
J
O E
F
G
H
L
1. Graphiquement, déterminer les coordonnées des points E,F, G,H,L.
2. a. Déterminer, par le calcul, les coordonnées des
vecteurs−→
F Let−−→
HG.
b. En déduire la nature deF LGH.
3. a. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du vecteur−−→
EF.
b. Préciser la position deF sur le segment [EL]. Justi- er.
4. a. Justier que le quadrilatère EF GH est un paral- lélogramme.
b. Recopier et compléter l'égalité : −→
F L+−−→
EH=−→ ...
Exercice 8293
Dans un repère orthonormé(O;I;J), on considère les qua- tre points suivants caractérisés par leurs coordonnées : A(2 ; 2) ; B(−0,5 ;−1 ) ; C(−2 ; 0,5) ; D(0,5 ; 3,5) Justier que le quadrilatèreABCD est un parallélogramme.
Exercice 498
Dans un repère orthonormé(O;I;J), on considère les qua- tre points suivants caractérisés par leurs coordonnées :
A
5 3;7
4
; B
11 3 ;−5
4
; C
16 7 ;12
5
; D
2 7;27
5
Justier que le quadrilatèreABCD est un parallélogramme.
Exercice 8316
On considère le plan muni d'un repère(
O;I;J)
et les points AetB de coordonnées : A(−4 ;−2 ) ; B( 3 ;−4 )
1. Montrer que le vecteur −−→
AB a pour coordonnées
−−→AB( 7 ;−2 ).
2. On considère les deux pointsC etD de coordonnées : C( 1 ; 1 ) ; D( 8 ;−1 )
a. Déterminer les coordonnées du vecteur−−→
CD.
b. Nommer le parallélogramme formé par les quatre pointsA,B,C etD.
3. Sans justication, donner les coordonnées du pointEtel que le quadrilatèreABCE soit un parallélogramme.
11. Recherche des coordonnées d'un point :
(+1 exercice pour les enseignants)Exercice 8297
On considère le plan muni d'un repère(
O;I;J)
et les deux pointsAetB de coordonnées :
A(−2 ;−1 ) ; B( 2 ; 1 )
1. Placer les pointsAet B dans le repère ci-dessous : -5 -4 -3 -2 -1 I 2 3 4 5
-2 -1 2 3
J
O
2. SoitC(−1 ; 1 )un point du plan.
Donner les coordonnées du pointDtels que : −−→
AB=−−→
CD
Donner les coordonnées du pointEtels que : −−→
AB=−−→
EF Exercice 2774
On munit le plan d'un repère(
O;I;J)
orthonormé :
-4-22468I -6-4-2
2
4
6
8 J O
On considère les trois pointsA,B,Cde coordonnées respec- tives(2 ;−2),(−3 ; 4),(2 ; 1).
Considérons le pointDtel que le quadrilatèreABCDsoit un parallélogramme ; notons(xD;yD)les coordonnées du point D:
1. Déterminer les coordonnées du vecteur−−→
AB.
2. Justier que les coordonnées du point D vérient les deux égalités suivantes :
2−xD=−5 ; 1−yD= 6
3. En déduire les coordonnées du pointD. Exercice 521
On munit le plan d'un repère(O;I;J):
1. SoitA(3 ; 1),B(5 ;−2),C(−1 ; 0)trois points du plan.
a. Déterminer les coordonnées du vecteur−−→
AB. b. SoitD un point du plan réalisant l'égalité : −−→
CD=−−→
AB Déterminer les coordonnées du pointD.
2. SoitE(12,1 ; 34),F(25,4 ; 10,5) etG(30 ;−2).
Déterminer les coordonnées du point H an que le quadrilatèreEF GH soit un parallélogramme.
Exercice 920
Dans un repère (O;I;J) orthonormé, on considère les points :
A(1 ; 2) ; B(−1 ; 4) ; C(−2 ; 1)
On considère un point K tel que ACBK soit un parallélo- gramme :
1. Donner une relation vectorielle caractérisant le pointK. 2. Déterminer les coordonnées du pointK.
Exercice 8119
Dans le plan muni d'un repère (
O;I;J)
, on considère les trois points suivants :
A(−2 ; 3 ) ; B( 3 ; 1 ) ; C(−1 ; 2 )
Déterminer les coordonnées du point D tels que le quadri- latèreABCD est un parallélogramme.
12. Recherche des coordonnées d'un point et coordonnées rationnelles :
Exercice 8120
Dans le plan muni d'un repère (
O;I;J)
, on considère les trois points suivants :
A
−1 3;3
5
; B
7 2;−2
5
; C
−5 3; 2
Déterminer les coordonnées du point D tels que le quadri- latèreABCD est un parallélogramme.
Exercice 8124
On considère les trois pointsA,B,C de coordonnées : A
1 2;1
4
; B
16 3 ;−15
4
; C
−1 ;1 3
Déterminer les coordonnées du point D tels que le quadri- latèreABCD est une parallélogramme.
255. Partage :
Exercice 7920
ABCD est un parallélogramme.
1. Construire les pointsE et F dénis par : −−→
BE =−2−−→
BC et−−→
CF =32−−→
CD.
2. a. Déterminer les coordonnées des points de la gure dans le repère(
A;−−→
AB,−→
AC ).
b. Calculer les coordonnées des vecteurs −→
AE et−→
AF. c. En déduire que les pointsA,E etF sont alignés.
3. Simplier les sommes vectorielles suivantes à l'aide de la relation de Chasles :
−−→BA+−−→
BC;
−−→AB+−−→
CD;
−−→AD+−→
CA+−−→
DE+−−→
EC.
![Placer le point F sur [CD] tel que CF = 2 cm](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)