Exemples de mouvements caractéristiques des principales forces

(1)

Exemples de mouvements caractéristiques des principales forces

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Mercredi 12 janvier 2022

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Introduction Mouvements dans le champ de pesanteur Mouvement d’un pendule simple Frottement solide (HP)

Exemples de mouvements caractéristiques des principales forces

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Mercredi 12 janvier 2022

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Ï caractéristiques des mouvements générés par des forces usuelles

Ï techniques de calcul et résultats généraux à savoir adapter pour des forces similaires en identifiant les paramètres essentiels. on se placera dansRTconsidéré galiléen.

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Ï techniques de calcul et résultats généraux à savoir adapter pour des forces similaires en identifiant les paramètres essentiels.

on se placera dansRTconsidéré galiléen.

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Poids

Chute libre dans le vide

Influence de forces de frottement fluide

1. Mouvements dans le champ de pesanteur 2. Mouvement d’un pendule simple

3. Frottement solide (HP)

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Poids

1. Mouvements dans le champ de pesanteur 1.1 Poids

1.2 Chute libre dans le vide

1.3 Influence de forces de frottement fluide 2. Mouvement d’un pendule simple

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Poids

Observations

Ï Un fil doit être tendu pour maintenir immobile un PM dansRT.

Ï Le fil exerce la tension #», le PM doit donc être soumis à une autre force, #», que #»compense :#»

+#»

=#». Ï On constate que #»est proportionnelle à .

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Poids

Observations

Ï Un fil doit être tendu pour maintenir immobile un PM dansRT. Ï Le fil exerce la tension #», le PM doit donc être soumis à une

autre force, #», que #»compense :#»

+#»

=#».

Ï On constate que #»est proportionnelle à .

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Poids

Observations

Ï Un fil doit être tendu pour maintenir immobile un PM dansRT. Ï Le fil exerce la tension #», le PM doit donc être soumis à une

autre force, #», que #»compense :#»

+#»

=#». Ï On constate que #»est proportionnelle à .

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Poids

Poids dans R

T

Définition (Poids dansRT)

On définit lepoids, noté #»d’un point matériel comme l’opposé de la force qu’un opérateur doit lui appliquer pour le maintenir immobile dans le référentiel terrestreRT.

On définit lechamp de pesanteur, d’accélération notée #»tel que, pour tout point matériel : #»

= #»_.

La direction locale de#»définit laverticale descendante, un plan est dithorizontals’il est orthogonal à #».

L’accélération#»est localement uniforme avec = , m·s⁻ .

Ï #»principalement dû à l’attraction gravitationnelle, mais possède une composante non galiléenne

Ï |#»₍ ₎₋#»₍ ₎_{| ¿} pour ¿ ' km Ï On parle de « champ de pesanteur » car #»_/

=#»défini en tout point, indépendamment de la masse du PM qui subit #».

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Poids

Poids dans R

T

= #»_.

Ï |#»₍ ₎₋#»₍ ₎_{| ¿} pour ¿ ' km Ï On parle de « champ de pesanteur » car #»_/

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Poids

Poids dans R

T

= #»_.

Ï |#»₍ ₎₋#»₍ ₎_{| ¿} pour ¿ ' km

Ï On parle de « champ de pesanteur » car #»_/

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Poids

Poids dans R

T

= #»_.

Ï |#»₍ ₎₋#»₍ ₎_{| ¿} pour ¿ ' km

Ï On parle de « champ de pesanteur » car #» #»défini en tout

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Poids

(17)

Poids

Chute libre dans le vide

Le mouvement d’un point matériel dans le vide dans le champ de pesanteur d’accélération#»est plan et la trajectoire est une parabole dirigée par la verticale descendante.

Il estindépendant de la massedu point matériel.

− sin α

| {z }

≡

= −

cos α







− sinαcosα

| {z }

≡







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Poids

Chute libre dans le vide

Le mouvement d’un point matériel dans le vide dans le champ de pesanteur d’accélération#»est plan et la trajectoire est une parabole dirigée par la verticale descendante.

Il estindépendant de la massedu point matériel.

− sin α

| {z }

≡

= −

cos α







− sinαcosα

| {z }

≡







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Poids

Flèche et portée

Ï laflècheest l’altitude maximale atteinte selon :

max= sin(α) /( ), évidemment maximale pourα=π/ Ï laportéeest la distance maximale réalisable selon :

≡ ( = )= = ^sin( ^α⁾ :

Ï la portée est maximale en max pourα=^π Ï pour < max, il existe

deux valeurs deαqui réalisent .

0 l(60°/30°)

0 z_max

80° 60° 30° 45°

(20)

Poids

Flèche et portée

≡ ( = )= = ^sin( ^α⁾ :

Ï la portée est maximale en max pourα=^π

Ï pour < max, il existe deux valeurs deαqui réalisent .

0 l(60°/30°)

0 z_max

80°

60°

30°

45°

(21)

Poids

Flèche et portée

≡ ( = )= = ^sin( ^α⁾ :

Ï la portée est maximale en max pourα=^π Ï pour < max, il existe

deux valeurs deαqui

réalisent . ₀

l(60°/30°) 0

z_max

80°

60°

30°

45°

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Poids

Influence de l’angle initial

Ï http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/

genevieve_tulloue/ eca/ .F.D/chute1.php

Ï http://ressources.univ-lemans.fr/ cces ibre/ / Pedago/physique/02/meca/parasecu.html

(23)

Poids

(24)

Poids

Frottement fluide

Définition (Force de frottement fluide)

Une force de frottement est ditefluidesi son intensité varie avec le module|#»_|de la vitesse, noté . On peut alors l’écrire sous la forme :

#»= − ( )

#»

,

avec ( )une fonction positive de , la plupart du temps croissante quand est croissant, nulle pour = .

Ï nulle pour = ,iePM au repos par rapport au milieu, il reste cependant la poussée d’Archimède

Ï a pour origine les interactions avec les molécules du fluide, caractérisée par laviscositédu fluide.

Ï à fixée croît avec :

Ï viscosité

Ï section du cylindre engendré par le déplacement du PM

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Poids

Frottement fluide

#»= − ( )

#»

,

Ï viscosité

(26)

Poids

Frottement fluide

#»= − ( )

#»

,

Ï viscosité

(27)

Poids

Frottement fluide

#»= − ( )

#»

,

Ï à fixée croît avec : viscosité

(28)

Poids

Frottement fluide

#»= − ( )

#»

,

Ï à fixée croît avec : viscosité

(29)

Poids

Ï équation différentiellenon linéaire: résolution analytique pas forcément possible

Ï on peut cependant déterminer certaines caractéristiques du mouvement sans résoudre l’équadiff

Vitesse limite

Un point matériel placé dans un champ de forces#»uniforme et soumis à une force de frottement fluide acquiert asymptotiquement une vitesse ditelimitede même direction et sens que #».

(30)

Poids

Vitesse limite

(31)

Poids

Vitesse limite

(32)

Poids

Vitesse limite

on détermine également letemps caractéristique d’évolutiondu système.

(33)

Poids

Deux cas limites suivant la taille de l’objet, sa vitesse et la viscosité du fluide :

Faible vitesse, petite taille, grande viscosité : petite bille dans un fluide très visqueux.

#»= −α#»

Grande vitesse, grande taille, faible viscosité : objet

macroscopique dans l’atmosphère.

#»= −β #»

0 1

|x/(v^∞τ)|

|v^x /v∞|

vide

−αv

−βv²

(34)

Poids

#»= −α#»

#»= −β #»

0 1

|x/(v^∞τ)|

|vx/v∞|

vide

−αv

−βv²

(35)

Poids

#»= −α#»

#»= −β #»

0 1

|x/(v^∞τ)|

|vx/v∞|

vide

−αv

−βv²

(36)

Poids

#»= −α#»

#»= −β #»

0 1

|vx/v∞|

vide

−αv

−βv²

sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 15/36

(37)

Poids

Lancer d’un ballon

Ï ballon de basket dans l’air ( = , · g^; = , m·s⁻),

Ï soumis à son poids et à la force de frottement fluide de l’air ; cas

#»_{= −β} #»

Ï Archimède négligeable

2 4 6 8

2 4

M

#»P F#»f

0 x(m)

z(m) Ï intégrationnumériqueavec

python ; le cas avec ∝ se résout analytiquement mais n’est pas pertinent pour cette situation

Ï la flèche et la portée sont inférieures pour un même au cas sans frottement (pointillés)

(38)

Poids

Lancer d’un ballon

#»_{= −β} #»

2 4 6 8

2 4

M

#»P F#»f

0 x(m)

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Poids

Lancer d’un ballon

#»_{= −β} #»

2 4 6 8

2 4

M

#»P F#»f

0 x(m)

(40)

Poids

Lancer d’un ballon

#»_{= −β} #»

2 4 6 8

2 4

M

#»P F#»f

0 x(m)

(41)

Poids

Lancer d’un ballon

#»_{= −β} #»

2 4

M

#»P F#»f

(42)

Poids

Variation avec

2 4 6

−20 20

−v∞

0 t(s)

v_z(m·s⁻¹)

ballon de basket : Ï _∞' m·s⁻ Ï τ' , s

10 20

−50

−v∞

0 t(s)

vz(m·s⁻¹)

ballon de basket rempli d’eau : multipliée par

Ï _∞=p

/α→multipliée par p

Ï τ=p

/( α)multipliée par p

(43)

Poids

Variation avec

2 4 6

−20 20

−v∞

0 t(s)

v_z(m·s⁻¹)

ballon de basket : Ï _∞' m·s⁻ Ï τ' , s

10 20

−50

−v∞

0 t(s)

vz(m·s⁻¹)

ballon de basket rempli d’eau : multipliée par

Ï _∞=p

/α→multipliée par p

Ï τ=p

/( α)multipliée par p

(44)

Équations du mouvement Oscillations de faible amplitude Amplitude quelconque

(45)

2.1 Équations du mouvement 2.2 Oscillations de faible amplitude 2.3 Amplitude quelconque

(46)

Pendule simple

θ O

` M e#»r

e#»θ

#»P

#»T

#»g

Ï objet de petite taille : PM Ï poids #»

Ï force de liaison #»: fil ou tige rigideAs’assurer que le fil reste tendu (pour un fil, θÉπ/ est une condition suffisante)

Ï frottement de l’air négligé

on se limite au cas d’un mouvement plan vertical : Ï #»₍ ₎₍ ₌ ₎₌#»

Ï ou #»₍ ₎₍ ₌ ₎_∈₍# »₍

= ),#»₎

Ï circulaire→coordonnées polaires (un seul degré de liberté)

(47)

Pendule simple

θ O

` M e#»r

e#»θ

#»P

#»T

#»g

Ï objet de petite taille : PM Ï poids #»

Ï force de liaison #»: fil ou tige rigideAs’assurer que le fil reste tendu (pour un fil, θÉπ/ est une condition suffisante)

Ï frottement de l’air négligé on se limite au cas d’un mouvement plan vertical :

Ï #»₍ ₎₍ ₌ ₎₌#»

Ï ou #»₍ ₎₍ ₌ ₎_∈₍# »₍

= ),#»₎

Ï circulaire→coordonnées polaires (un seul degré de liberté)

(48)

Loi de la quantité de mouvement

Équation différentielle d’un pendule simple

L’angleθpar rapport à la verticale d’un pendule simple vérifie l’équation différentielle :

θ+ω sinθ= avec :ω = .

Ï ω est une pulsation

Ï équadiffnon linéaire: pas de résolution analytique générale Ï grâce aux polaires : seule l’équation sur #»

θest nécessaire Ï l’équation sur #»donne le module de #», pour vérifier qu’elle ne

s’annule pas,ieque le fil reste tendu : en particulier le fil ne peut se détendre que pourθ>π/

(49)

Loi de la quantité de mouvement

(50)

Loi de la quantité de mouvement

Ï équadiffnon linéaire: pas de résolution analytique générale

Ï grâce aux polaires : seule l’équation sur #»

(51)

Loi de la quantité de mouvement

θest nécessaire

Ï l’équation sur #»donne le module de #», pour vérifier qu’elle ne s’annule pas,ieque le fil reste tendu : en particulier le fil ne peut se détendre que pourθ>π/

(52)

Loi de la quantité de mouvement

(53)

(54)

Linéarisation de l’équation différentielle

siθ¿ ,sinθ'θ:

Oscillations de faible amplitude d’un pendule simple Le mouvement de faible amplitude d’un pendule simple est

harmonique de période = π/ω ,indépendante de l’amplitude. Ces oscillations sont ditesisochrones.

Ï ' s pour = m

Ï oscillation entre−θ etθ siθ^˙ = :θ¿ siθ ¿ Ï utilisation comme horloge

(55)

Linéarisation de l’équation différentielle

siθ¿ ,sinθ'θ:

Ï ' s pour = m

(56)

Linéarisation de l’équation différentielle

siθ¿ ,sinθ'θ:

Ï ' s pour = m

Ï oscillation entre−θ etθ siθ^˙ = :θ¿ siθ ¿

Ï utilisation comme horloge

(57)

Linéarisation de l’équation différentielle

siθ¿ ,sinθ'θ:

Ï ' s pour = m

(58)

(59)

Intégration numérique

Ï lancé deθ= avec différentesθ^˙

Ï oscillations périodiques siθ^˙ est assez faible, mouvement révolutifnon périodique sinon

frottement→

− 1 0 1 2 3

× π

− 1 0 1 × π

θ(rad)

˙ θ / Ω (r ad)

(60)

Intégration numérique

frottement→

− 1 0 1 2 3

× π

− 1 0 1 × π

θ(rad)

˙ θ / Ω (r ad)

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Intégration numérique

Ï la courbe marquée « frottement » correspond à un mouvement en présence de frottement (en ), la durée totale d’intégration a été multipliée par

frottement→

− 1 0 1 2 3

− 1 0 1 × π

˙ θ / Ω (r ad)

(62)

Intégration numérique

Ï même durée d’intégration : période des mouvements oscillants augmente avecθ^˙

−1 0 1

×π

θ

sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 25/36

(63)

Intégration numérique

Ï même durée d’intégration : période des mouvements oscillants augmente avecθ^˙

1 2 3

T/T0

(64)

Intégration numérique

frottement→

− 1 0 1 2 3

× π

− 1 0 1 × π

θ(rad)

˙ θ / Ω (r ad)

on peut traceranalytiquementce portrait de phase (avec l’énergie)

(65)

Lois d’Amontons et Coulomb Exemple d’utilisation

(66)

3.1 Lois d’Amontons et Coulomb 3.2 Exemple d’utilisation

(67)

Lois d’Amontons et de Coulomb

Les lois phénoménologiques d’Amontons¹et de Coulomb²décrivent les forces de contact entre deux solides. Soit un point matériel en contact avec un support solide et notons#» la vitesse de glissement de par rapport au solide.

Il existe uncoefficient de frottementµ, sans dimension tel que : Frottement statique Il ne peut y avoir équilibre relatif (#» ₌#») que si

la norme _||de la force de frottement nécessaire pour l’assurer vérifie :

||

⊥Éµ.

Frottement cinétique S’il y a glissement, l’intensité de la force de frottement est _||=µ ⊥.

1G. Amontons, physicien français (1663–1705).

(68)

Ï µindépendant des aires en contact, de la vitesse de glissement.

Typiquement :µ= , pour acier/acier,µ= , pour caoutchouc/bitume.

Ï _⊥a pour origine l’impénétrabilité de la matière, _||la rugosité des irrégularités des surfaces en contact.

Ï Il existe en fait 2 coefficientsµ (statique) etµ (cinétique), avec µ Êµ .

Ï http://ressources.univ-lemans.fr/ cces ibre/ / Pedago/physique/02/meca/frotte2.html

(69)

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(71)

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3.1 Lois d’Amontons et Coulomb 3.2 Exemple d’utilisation

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Intégration des équations du mouvement I

importnumpy as np importscipy as sp

importmatplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint def eqdiff(w, t):

x,z,vx,vz,t = w

# dx|z/dt = vx|vz

# dvx/dt = -alpha*vx*sqrt(vx^2+vz^2)/masse

# dvz/dt = -alpha*vz*sqrt(vx^2+vz^2)/masse-g return [vx,vz,-alpha*vx*np.sqrt(vx**2+vz**2)/masse,

-alpha*vz*np.sqrt(vx**2+vz**2)/masse-g,1]

masse = 0.6 #kg rayon = 0.12 #m rho = 1.19e0 #kg/m^3 eta = 1.86e-5 #Po

nu= eta/rho#m^2/s (viscosite cinematique) C = 0.47

g = 9.81

alpha = 0.5*rho*C*(np.pi*rayon**2)

# vitesse initiale: module

(74)

Intégration des équations du mouvement II

# vitesse initiale: angle en degres gamma = 45*np.pi/180.

# Conditions initiales (x,z en m) x0,z0 = 0.,1.8

#Conditions initiales (vx|vz en m/s) vx0 = v0 * np.cos(gamma)

vz0 = v0 * np.sin(gamma)

# Date de fin et nombre de pas d integration datefin, numpoints= 2, 250

t = np.linspace(0, datefin, numpoints)

# Conditions initiales w0= [x0,z0,vx0,vz0,0]

# Resolution numerique de l equation differentielle wsol = odeint(eqdiff, w0, t)

x = wsol[:,0]; z = wsol[:,1]; vx = wsol[:,2]; vz = wsol[:,3]

# Trajectoire plt.plot(x, z, b- ) plt.legend() plt.ylabel( z ) plt.xlabel( x ) plt.show()

(75)

Trajectoire dans l’espace des phases I

importnumpy as np

importmatplotlib.pyplot as plt def f(Z, t):

theta,v = Z

return [v, -np.sin(theta)]

thetamin, thetamax = -1.5*np.pi,3.5*np.pi NpointsTheta = 20

thetaNoeuds = np.linspace(thetamin, thetamax, NpointsTheta) vmin, vmax = -1.5*np.pi,1.5*np.pi

NpointsV = 20

vNoeuds = np.linspace(vmin, vmax, NpointsV)

thetaGrille,vGrille = np.meshgrid(thetaNoeuds, vNoeuds) t = 0

#initialisation

xFleche, yFleche = np.zeros(thetaGrille.shape), np.zeros(vGrille.shape) Ntheta, Nv = thetaGrille.shape

for i in range(Ntheta):

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Trajectoire dans l’espace des phases II

theta = thetaGrille[i, j]

v = vGrille[i, j]

Deriv = f([theta, v], t) xFleche[i,j] = Deriv[0]

yFleche[i,j] = Deriv[1]

Q = plt.quiver(thetaGrille, vGrille, xFleche, yFleche, color= r ) plt.xlabel( $\theta$ )

plt.ylabel( $\dot{\theta}/\omega_0$ ) plt.xlim([thetamin, thetamax]) plt.ylim([vmin, vmax])

# Trace des trajectoires

from scipy.integrate import odeint tmin = 0

tmax = 2*np.pi tPoints = 200 hmin = 0

for v0in [-3,-2.01, .5, 1, 1.5, 2.01,3]:

tIntervalle = np.linspace(tmin, tmax,tPoints)

(77)

Trajectoire dans l’espace des phases III

Solution = odeint(f, Origine, tIntervalle)

plt.plot(Solution[:,0], Solution[:,1], b- ) # courbe plt.plot([Solution[0,0]], [Solution[0,1]], o ) # debut plt.plot([Solution[-1,0]], [Solution[-1,1]], s ) # fin plt.xlim([thetamin, thetamax])

plt.show()

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Indispensable

Tout