Profit/t minéralisé ($)

(1)

Teneur de coupure optimale : théorie de Taylor et Lane

Septembre 2008

(2)

Plan

Définitions

Facteurs influençant la teneur de coupure

Théorie de Taylor et Lane

Définition des variables

Teneur de coupure limite

Teneur de coupure d’équilibre

Teneur de coupure optimale

Coût d’opportunité

Influence des différents paramètres

Biais conditionnel

(3)

Plan (suite)

Résumé

Compléments d’information

Coût d’opportunité

Taxation

Fonctions de récupération

« Loi » de Lasky

Durée de vie d’une mine

Mine à ciel ouvert

Programmes pour le TP

(4)

Définitions

Teneur de coupure optimale :

Teneur de coupure permettant de maximiser le profit net par tonne de matériau minéralisé

Matériau minéralisé :

Volume de roche susceptible de contenir du minerai Minerai :

Portion économiquement rentable du matériau minéralisé

(5)

Facteurs influençant la t.c.

Coûts fixes et variables; si coûts ↑ t.c. ↑

Prix du métal: si ↑ t.c. ↓ (normalement)

Type d’opération

+ ou – sélective

Dimensions des installations

Besoins du concentrateur

Doit fonctionner normalement à pleine capacité

Teneurs les + homogènes possibles pour maximiser la récupération du métal

Facteur temps

Valeur des $ dans le temps: exploiter zones riches en premier

Fournir le concentrateur

(6)

Facteur temps

« Breakeven »

(7)

Théorie de Taylor et Lane

Définition des variables

c: teneur de coupure

x

_c

: proportion du matériau minéralisé sélectionné (minerai) (fct de « c ») g

_c

: teneur moyenne du minerai (fonction de « c »)

y: taux de récupération du concentrateur

=> Note: x

_c

g

_c

y représente la quantité de métal récupéré par tonne

minéralisée

(8)

1 tonne matériau minéralisé x_ctonne minerai

q_c=x_c g_c tonne de métal

g_c= teneur du minerai

(9)

p: prix d’une tonne de métal

k: coût de mise en marché d’une tonne de métal

=>Note: x

_c

g

_c

y (p-k)

représente le revenu brut obtenu de la vente du métal

m: frais variables de minage d’une tonne de matériau minéralisé

(développement)

h: frais variables de traitement d’une tonne de minerai

(forage, sautage, concassage, remontée, concentration)

=> Note: x

_c

h + m

représente le total des coûts variables

(10)

f: frais fixes (administration, ingénierie, frais de capital)

F: coûts d’opportunité: valeur actualisée du gisement x taux d’intérêt spécifié.

M: capacité de minage (matériau minéralisé)

H: capacité de traitement (minerai sélectionné)

K: capacité du marché (métal) Notes:

- H tonnes de minerai extraites => H/x_c t. matériau minéralisé développées - K tonnes de métal => K/(x_cg_cy) t. matériau minéralisé développées

- (f+F)/M frais fixes par t. matériau minéralisé, production limitée par la mine - (f+F)/(H/x_c) frais fixes par t. minéralisée, production limitée par le traitement - (f+F)/ {K/(x_cg_cy)} frais fixes par t. minéralisée, production limitée par le marché

(11)

Si la mine est le facteur limitatif

v= (p-k)x_cg_cy – x_ch - m - (f+F)/M

Si le traitement est le facteur limitatif

v= (p-k)x_cg_cy – x_ch - m - (f+F)x_c/H

Si le marché est le facteur limitatif

v= (p-k)x_cg_cy – x_ch – m - (f+F)x_cg_c y/K Note : - seul le terme lié aux frais fixes change

- v est fonction de « c » (ou de x_c) et maximum unique.

- on trouve ce maximum unique en dérivant par rapport à x_c en utilisant le résultat :

d(x_cg_c)/dx_c= c

(en abaissant « c » de dc => dx_cminerai supplémentaire; d(x_cg_c) métal supplémentaire. La teneur du matériau supplémentaire est égale à « c » par construction).

v: profit net généré par t.

de matériau minéralisé

(12)

Les teneurs où sont atteints les maximums de « v » sont appelées teneurs de coupure limites:

Mine :

Concentrateur :

Marché :

c h

y p k

1

=

−

( )

c h f F H

y p k

2

= + +

− ( ) /

( )

[ ]

c h

p k f F K y

3

=

− − +

( ) ( ) /

t.c.« breakeven » Les frais fixes

n’interviennent pas

Note : ces teneurs de coupure sont indépendantes de la distribution des teneurs !

(13)

Exemple (gisement d’uranium, p. 7 des notes de cours)

y=0.87

p-k=60$/kg h=3.41$/t m=1.32$/t f=11.9M$

F=15.2M$

M=12Mt (matériau minéralisé) H=3.9Mt (minerai)

K=0.9Kt (métal)

t / kg 198 . kg 0

/

$ 60

* 87 . 0

Mt 9 . 3 /

$) M 2 . 15

$ M 9 . 11 ( t /

$ 41 . 3 )

k p ( y

H / ) F f (

c₂ h + + =

− = +

= +

[ ] [60$/kg (11.9M$ 15.2M$)/0.9Kt]*0.87 ⁰^.¹³¹^kg^/^t t

/

$ 41 . 3 y

K / ) F f ( ) k p (

c₃ h =

+

= − +

−

= −

t / kg 065 kg .

/

$ 60

* 87 . 0

t /

$ 41 . 3 )

k p ( y

c₁ h = =

= −

(14)

Note: on a toujours c₁<(c₂,c₃). Une mine rentable montre c₃<c₂

0 0.005 0.01 0.015 0.02

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Teneur de coupure

Profit/t minéralisé ($)

c₁

c₂

c₃

Mine

Concentrateur

Marché

%

Si l’on opère à c=0.005,

quel profit par tonne minéralisée pourra-t-on obtenir?

Que représente une

intersection de 2 courbes?

R. La valeur minimale des

3 courbes, soit environ –0.35$/t

=> Les courbes sont obtenues en supposant la capacité atteinte.

On ne peut donc se situer au-dessus d’aucune

de ces courbes Solutions

impossibles

(15)

Teneurs de coupure d’équilibre

Si H = M x

_c

la mine et le concentrateur sont à pleine capacité (équilibre).

Les frais fixes par tonne minéralisée sont égaux pour les 2 courbes.

⇒ intersection (mine-concentrateur) sur le graphe précédent.

Si K = M x

_c

g

_c

y

la mine et le marché sont à pleine capacité (équilibre).

⇒ intersection sur le graphe précédent.

Si K = H g

_c

y

le concentrateur et le marché sont à pleine capacité (équilibre).

=> intersection sur le graphe précédent.

Note : i. elles dépendent uniquement de la distribution des teneurs !

ii. Pour M,H et K donnés, il se peut que les teneurs d’équilibre n’existent pas

(16)

Teneur optimale

2 situations possibles

Le maximum est atteint à une coupure limite

Le maximum est atteint à une teneur d’équilibre

Cette situation est celle recherchée

!

0 0.005 0.01 0.015 0.02

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Teneur de coupure

c₁

c₂

c₃

c₁₂

c₂₃

MineConc.

Marché

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

Teneur de coupure

c₁ c₂

c₃

c₁₂

MineConc.

Marché

(17)

Influence des différents paramètres

Diminuer « m »

- Les 3 courbes sont translatées vers le haut.

- Le profit $/t augmente.

- Les teneurs de coupure demeurent les mêmes.

=> La t.c. optimale est indépendante des coûts de développement !

Diminuer « h », ou « k » ou augmenter « p »

- 3 courbes translatées vers le haut d’une quantité diminuant selon « c ».

- La t.c. optimale diminue ou demeure inchangée

Diminuer « f » ou « F »

- translation vers le haut d’une quantité différente pour chaque courbe et diminuant selon « c » (sauf la courbe mine).

- La t.c. optimale diminue ou demeure inchangée

(18)

Influence des différents paramètres (suite)

Augmenter la capacité de minage « M »

- la courbe « mine » translatée vers le haut - profit $/t peut augmenter

- les teneurs d’équilibre « mine-traitement » et « mine-marché » augmentent - La t.c. optimale reste inchangée ou augmente

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

Teneur de coupure

c₁ c₂

c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

Teneur de coupure

c₁

c₂ c₃

c₁₂ Mine Conc.

Marché

M 2M

Augmenter M a augmenté la t.c. optimale

(19)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 1

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

Teneur de coupure

c₁ c₂

c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

Teneur de coupure

c₁

c₂ c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

H 1.2 H

Augmenter H a diminué la t.c. optimale

Augmenter la capacité de traitement « H »

- la courbe « traitement » est translatée vers le haut - profit $/t peut augmenter

- les teneurs d’équilibre « mine-traitement » et « mine-marché » diminuent - la teneur limite « traitement » diminue

- La t.c. optimale reste inchangée ou diminue

(20)

Effet de la distribution des teneurs

Moyenne

Si la moyenne diminue, pour fournir la même quantité de minerai au concentrateur, on devra diminuer la t.c.

0 0.5 1 1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Teneur de coupure

c₁

c₂

c₃

c₁₂

c₁₃

c₂₃

Mine Conc.

Marché

0 0.5 1 1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Teneur de coupure

c₁

c₂

c₃ c₁₂ c₁₃ c₂₃

MineConc.

Marché

Moy=1% Moy =0.9%

La t.c. optimale diminue => teneur « breakeven »

(21)

0 0.5 1 1.5 2 0

0.5 1

1.5 P (c ) lognorm ale m = 1% , σ²= 4%²

Teneur de c oupure (% )

M ine Conc . M arc hé

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1

1.5 P (c ) lognorm ale m = 1% , σ²= 2%²

Teneur de c oupure (% )

M ine Conc . M arc hé

σ 2

^{= 4}

σ ²

^{= 2}

Plus la variance plus le profit

Variance

Le minerai se retrouve concentré dans un nombre moindre de blocs + riches

(22)

Remarques importantes

Coût d’opportunité « F » est difficile à déterminer. Il dépend du type de gisement, du mode d’opération, de la t.c. utilisée. Taylor implicitement pose F=0. C’est probablement la pratique la plus courante

Au fur et à mesure que l’on exploite le gisement, la distribution des teneurs du matériau restant à être exploité change=> facteur temps

Connaît pas la distribution des teneurs dans le gisement => teneurs d’équilibre mal définies

Dans la pratique on opère sur des estimations

⇒ Utiliser la distribution des teneurs estimées pour déterminer les teneurs d’équilibre

⇒ Utiliser un estimateur sans biais conditionnel

(23)

Biais conditionnel

(p. 12 des notes)

Estimation R

é e l

Sans biais conditionnel

Avec biais

(24)

Absence de biais conditionnel

On récupère la teneur prévue On réalise les profits prévus

=> Dans Lane, on peut utiliser la distribution des valeurs estimées comme si c’était celle des vraies teneurs !

(25)

Pour un estimateur sans biais conditionnel

Variance (estimateur)

<

Variance ( teneur réelles)

=> Profit moindre (effet information)

Plus un estimateur sans biais conditionnel est précis, + grande est la variance des valeurs estimées + grand est le profit réalisé

Pour un estimateur avec biais conditionnel, généralement Profit réalisé < profit prévu

Profit réalisé < profit réalisé avec un estimateur sans biais

(26)

Exemple

Deux estimateurs ont une corrélation de 0.9 avec les vraies valeurs (inconnues). Distribution lognormale

vraies valeurs (Z) => moy=1.5, var=2

Estimateur 1 est sans biais conditionel:

Z

₁^*

=> moy=1.5, var=1.6, E[Z|Z

₁

*] = Z

₁

*

Estimateur 2 a un biais conditionnel

Z

₂^*

=> moy=1.5, var=4, E[Z|Z

₂

*] = 0.54+0.64Z

₂

*

(27)

4.2 Estimateur 2 avec 0.69

biais réalisé

6.8 Estimateur 2 avec 0.69

biais prévu

5.4 Estimateur 1 sans 0.95

biais cond.

5.7 Réel 0.89

V optim.

t.c.

On n’obtient pas ce qui est prévu !

On prévoit plus que ce qu’il est possible d’obtenir

L’effet information

(28)

0 2 4 6 8 10 12 0

2 4 6 8 10

12Estimation sans biais conditionnel

Valeurs estimées

Valeurs vraies

0 2 4 6 8 10 12

0 2 4 6 8 10

12Estimation avec biais conditionnel

Valeurs estimées

Valeurs vraies

8863 Réalisé

8870 Prévu

8910 Réalisé

9769 Prévu

9.6%

0%

À basse teneur de coupure

(29)

0 2 4 6 8 10 12 0

2 4 6 8 10

Valeurs estimées

Valeurs vraies

0 2 4 6 8 10 12

0 2 4 6 8 10

12Estimation avec biais conditionnel

Valeurs estimées

Valeurs vraies

6679 Réalisé

6680 Prévu

0% Réalisé 6379

7954 Prévu

25%

À haute teneur de coupure

(30)

Le biais systématique a aussi des effets

0 2 4 6 8 10 12

0 2 4 6 8 10

12 Sous-estimation de 10%

Valeurs estimées

Valeurs vraies

0 2 4 6 8 10 12

0 2 4 6 8 10

12 Surestimation de 10 %

Valeurs estimées

Valeurs vraies

6559 Réalisé

6059 Prévu

6802 Réalisé

7304 Prévu

-On ne réalise pas ce qui était prévu;

-Ici, la surestimation a été payante; pas une règle générale

0 2 4 6 8 10 12

0 2 4 6 8 10

Valeurs estimées

Valeurs vraies

6679 Réalisé

6680 Prévu

(31)

Effet d’une augmentation du prix du métal sur la t.c. optimale

Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;k=0;h=10;f=20;F=0;M=4;H=3;K=9999;moy=1;s2=1;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Teneur de coupure

Prix=2000 $/t

c₁

c₂ c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Teneur de coupure

Prix=2500 $/t

c₁

c₂ c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

4 6 8 10 12 14

Teneur de coupure

Prix=3000 $/t

c₁

c₂ c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

6 8 10 12 14 16 18

Teneur de coupure

Prix=3500 $/t

c₁ c₂

c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

10 12 14 16 18 20 22

Teneur de coupure

Prix=4000 $/t

c₁ c₂

c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

12 14 16 18 20 22 24 26 28

Teneur de coupure

Prix=4500 $/t

c₁

c₂ c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

Teneur de coupure

Prix=5000 $/t

c₁

c₂ c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20 25 30 35

Teneur de coupure

Prix=5500 $/t

c₁

c₂ c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20 25 30 35 40

Teneur de coupure

Prix=6000 $/t

c₁ c₂ c₃

c₁₂

Mine Conc.

Marché

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Lim. mine Équilibre Limite concentrateur

Prix du métal

T.c. optimale

T.c. optimale en fonction du prix du métal

(32)

Effet d’une augmentation de la moyenne sur la t.c. optimale

Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;p=4000;k=0;h=10;f=20;F=0;M=4;H=3;K=9999;s2=1;

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Lim. mine Équilibre Lim. concent.

Teneur moyenne

T.c. optimale

T.c. optimale en fonction de la teneur moyenne

temps

(33)

Effet du coût d’opportunité (frais fixe) sur la t.c. optimale

Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;p=3000;k=0;h=10;f=50;M=10;H=3;K=9999;moy=1;s2=1

temps

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

Limite concentrateur Équilibre

Coût opportunité

T.c. optimale

T.c. optim. vs coût d'opportunité

(34)

En résumé

T. coupure limites: indépendantes des distributions

T. coupures d’équilibre: indépendantes des prix et des coûts

T. coupure optimale: une des t.c. limites ou d’équilibre (celle ayant « v » max et réalisable

=> t.c. optimale varie de façon discrète-continue en fonction de paramètres qui eux varient de façon continue

Taylor : coût d’opportunité F=0

Le coût d’opportunité (F>0) permet

Décroissance graduelle dans le temps de la t.c. optimale

Stratégie d’exploiter zones riches en premier

Stratégie + agressive si l’on peut récupérer le minerai délaissé

Stratégies temporaires (e.g. hausser t.c. quand prix augmentent)

Estimateur sans biais conditionnel requis

Tenir compte des changements dans le temps de la distribution

(35)

Compléments d’information

(36)

Coût d’opportunité

On peut voir F comme la pénalité encourue de ne pas toucher tout de suite toute la valeur du gisement => Le gisement est comme une obligation

négociable.

F comprend 2 parties:

Intérêt non-gagné sur la valeur du gisement

Fluctuation de la valeur du gisement

Exemple

Un gisement de Zn vaut 150M$ avec un scénario du prix du zinc de 750$/t Zn. Le taux d’intérêt est de 15%

Le coût d’opportunité est : F=150M$*0.15=22.5M$

Le prix du Zn tombe à 650$. Cette baisse est anticipée temporaire (1 an) après quoi le prix revient à 750$. Le manque à gagner pour la prochaine année dû à la baisse du prix du Zn est de 14.7M$

(37)

Coût d’opportunité (suite)

La valeur présente du gisement est donc 150M$-14.7M$/1.15=137.2M$

L’intérêt sur cette « obligation » rapporterait 137.2M$*0.15=20.8M$

La variation de la valeur de l’obligation durant l’année est 137.2-150= -12.8M$

Le coût d’opportunité est donc:

F=20.8 + (-12.8) = 7.8M$

Comme F est beaucoup moindre que dans le cas précédent (7.8 vs 22.5), la t.c. peut diminuer

Si la baisse des prix est considérée permanente, alors F=20.8M$, la diminution de F sera plus que compensée par la baisse du prix et la t.c.

optimale va augmenter

Seul le terme F permet d’incorporer ces stratégies dans la détermination de la t.c. optimale

(38)

Coût d’opportunité (suite)

Exemple: le concentrateur est limitatif

h=6.5$/t; f=15M$; H=1.3Mt/an; y=0.81;k=0;

Cas 0: le prix du Zn reste stable à 750$; F=22.5M$

c₂=(6.5+(15+22.5)/1.3)/(0.81*750)=5.82% Zn

Cas 1: le prix du Zn revient à 750$ après un an : F=7.8M$

c₂=(6.5+(15+7.8)/1.3)/(0.81*650)=4.57% Zn

Cas 2: le prix du Zn reste stable à 650$ : F=20.8M$

c₂=(6.5+(15+20.8)/1.3)/(0.81*650)=6.46% Zn

Diminution de la t.c. suite à une diminution de prix!

(39)

Taxation ^{(p. 13)}

3 types principaux

a) Taxe foncière : frais fixe, augmente la t.c. optimale

¹

b) Royauté : $/tonne minerai; frais variable, augmente la t.c.

¹

(très peu utilisé au Canada)

c) Impôt sur les profits et droits miniers : aucun impact sur la t.c.

- 1(sauf si t.c. optimale = t.c. d’équilibre (indépendante des coûts))

(40)

Fonctions de récupération ^(p.18)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Courbes tonnage-teneur Loi lognormale, m=1, σ²=4

Teneur de coupure

Tonnage

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Teneur

T(c)

Q(c)

m(c)

(41)

« Loi » de Lasky ^{(p. 15)}

La teneur du gisement varie linéairement avec la t.c.

m(c) = a - b ln T(c) (T(c) : proportion)

=> m(c) = b + c

Vrai pour la loi exponentielle (alors a=b=m(0))

Approximativement vrai pour la loi lognormale; dans ce cas une meilleure approximation est :

m(c) = e + f c

(e et f des constantes spécifiques au gisement)

(42)

Exemple

-0.81 -0.6 -0.4 -0.2 0

1.5 2 2.5 3 3.5

Loi lognormales

Log₁₀(T(c))

m(c)

σ²^=0.5 σ²⁼¹ σ²⁼² σ²⁼⁴

σ²⁼⁴

σ²^=0.5

0 0.5 1 1.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5

4 Relations de Lasky; loi lognormale (m=1)

Coupure

m(c) σ²=1

σ²=2 σ²=4

(43)

Durée de vie d’une mine

Approximation rapide (Taylor)

25 .

T0

5 . 6 années '

d

Nombre ≈

0 50 100 150 200

5 10 15 20 25

Tonnage (Mt)

Années

Durée de vie

Ici, T: tonnage de matériau minéralisé

(44)

 



 

 



 





2 - β c ln m β F 1 T

= T(c)

_o

 



 

 



 





2 + β c ln m β F 1 m T

=

Q(c)

_o

Loi lognormale

où :

f : fonction de densité d’une loi N(0,1) =>

F : fonction de répartition (cumulative) d’une loi N(0,1) c : teneur de coupure

m : moyenne de la population

β : écart-type du logarithme des teneurs (population)

/2 y²

2π e f(y)= 1 ⁻

Fonctions de récupération lognormale

m 1

ln σ

β

₂

2







 

 +

=

(45)

Exemple: Gisement de cuivre, distribution lognormale de moyenne 0.9% et de variance 3%²

Si c=0.8%, Quelle tonnage est disponible et à quelle teneur moyenne?

On calcule:

T(0.8)=T₀F(1/1.244 ln(0.9/0.8)-1.244/2) = T₀F(-0.527) = 0.3 T₀

Q(0.8)= 0.9%T₀ F(1/1.244 ln(0.9/0.8)+1.244/2) = 0.9%T₀ F(0.717)

= 0.9% 0.763 T₀ Teneur= Q/T= 0.9% (0.763/0.3) = 2.29%

244 . 1 9 1

. 0

ln 3 ₂  =



 



 +

β =

(46)

Cas d’une mine à ciel ouvert

2 problèmes: a) Quels blocs doit-on remonter? => optimisation b) Le bloc remonté doit-il être traité ou jeté? => t.c.

Pour a) on doit fournir la valeur « nette » de chaque bloc.

valeur du bloc : v = max [ v1,v2],

v1= valeur du métal récupérable – coûts traitement – coûts de minage et remontée

v2= - coûts minage et remontée Pour b), on traite le bloc si:

valeur de métal récupérable > coût de traitement v = v1

(47)

X 3

X

0.4 2

1.1

X 1

X

1 1

1

X 0.7

X

0.5 0.5

0.5

X 1.3

X

-0.5 0.5

-0.4

X 1.3

X

-0.5 0.5

-0.4

v. métal récupérable

Coût de traitement

Coût de minage+remontée

Valeur nette

jeté traité

Fosse optimale

mine à ciel ouvert (suite)

(48)

Programme « lane »

>>help lane

syntaxe: [clim,ceq,coptim,voptim]=lane(m,y,p,k,h,f,F,M,H,K,moy,s2) fonction pour tracer les courbes de profit et déterminer

les teneurs de coupure limites d'équilibre et optimales sous hypothèse lognormale Description des paramètres

Entrées:

m: coûts de minage exprimés en $/t y: taux de récupération en fraction

p: prix payé pour le métal en $/t de métal

k: coût pour la fonderie, mise en marché, transport etc. $/t de métal h: coût de traitement (sautage, remontée, concentration) $/t de minerai f: frais fixes annuels M$

F: coût d'opportunité (intérêt sur valeur résiduelle) M$

M: capacité de minage (développement des accès aux sites minéralisés) Mt (de roche minéralisée) H: capacité de traitement du minerai Mt (de minerai)

K: capacité du marché Mt (de métal produit) moy: moyenne de la distribution lognormale s2: variance de la distribution lognormale

(49)

Programme « lane » (suite)

…

moy: moyenne de la distribution lognormale (%) s2: variance de la distribution lognormale (%^2) Sorties:

clim: vecteur 1x3 des t.c. limites [mine, concentrateur, marché]

ceq: vecteur 1x3 des t.c. d'équilibre [mine-traitement, mine-marché, traitement-marché]

coptim: coupure optimale

voptim: profit/t. minéralisée à la t.c. optimale

(50)

Programme « reserve »

>> help reserve

Syntaxe: [xc,qc,gc]=reserve(moy,s2,c,itype)

fonction qui calcule les reserves pour une loi normale ou lognormale Description des paramètres

Entrée:

moy et s2: moyenne et variance de la distribution (s2 a les unités de moy au carré) c: coupure (peut être un vecteur)

itype: 0: loi normale; 1 loi lognormale Sortie:

xc: proportion du tonnage au-dessus de la t.c. (fraction) qc: xc x gc (quantité de métal au dessus de c) ()

gc: teneur du minerai pour la teneur de coupure considérée (mêmes unités que moy)