Cours de mathématiques – Seconde

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Cours de mathématiques – Seconde

Table des matières

Chapitre 1 – Ensembles de nombres...5

I – Les nombres entiers...5

a) Les entiers naturels...5

b) Les entiers relatifs...5

II – Les fractions de nombres entiers...6

a) Les décimaux...6

b) Les rationnels...7

III – Les nombres réels...7

a) Les réels...7

b) Intervalles...9

c) Opérations sur les ensembles...10

IV – Inégalités...10

a) Ordre dans l’ensemble des réels...10

b) Ordre et somme/différence...10

c) Ordre et produit/quotient...11

V – Valeur absolue...12

Chapitre 2 – Calcul littéral...13

I – Développements...13

a) Rappels...13

b) Exemples...13

II – Factorisations...13

a) Rappels...13

b) Exemples...13

III – Identités remarquables...14

a) Les trois identités remarquables...14

b) Exemples d’utilisation pour développer...14

c) Exemples d'utilisation pour factoriser...14

Chapitre 3 – Configurations du plan...15

I – Projeté orthogonal d’un point sur une droite...15

II – Cercles et angles...16

III – Quadrilatères particuliers...17

a) Le parallélogramme...17

b) Le rectangle...17

c) Le losange...17

d) Le carré...18

IV – Droites remarquables du triangle...19

a) Médiatrices...19

b) Hauteurs...20

c) Médianes...20

d) Bissectrices...21

e) Droites remarquables dans les triangles particuliers...21

Chapitre 4 – Généralités sur les fonctions...23

I – Définir une fonction...23

a) Vocabulaire...23 Cours de mathématiques – Seconde : 1/82

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b) Représentation graphique...23

II – Résolutions graphiques...25

a) Équations...25

b) Inéquations...26

III – Sens de variation et extrema...27

a) Illustration graphique du sens de variation...27

b) Définition algébrique du sens de variation...28

c) Extrema...29

Chapitre 5 – Proportions et évolutions...30

I – Proportions...30

a) Calculer avec des proportions...30

b) Proportion de proportion...31

II – Évolutions...31

a) Variations absolues et relatives...31

b) Taux d’évolution et coefficient multiplicateur...32

c) Évolutions successives et taux global...32

d) Évolution réciproque...33

Chapitre 6 – Vecteurs du plan...34

I – Définitions et premières propriétés...34

a) Rappels sur le parallélogramme...34

b) Translation...34

c) Vecteur...35

d) Vecteurs égaux...35

e) Vecteurs opposés, vecteur nul...36

II – Opérations sur les vecteurs...36

a) Addition de vecteurs...36

b) Soustraction de deux vecteurs...37

c) Multiplication d'un vecteur par un nombre réel...37

d) Relations algébriques...38

III – Coordonnées d'un vecteur...38

a) Coordonnées d'un vecteur...39

b) Calculs des coordonnées...40

c) Milieu d'un segment...41

IV – Vecteurs colinéaires...41

a) Colinéarité...41

b) Déterminant de deux vecteurs...42

V – Longueur d'un segment, norme d'un vecteur...42

a) Norme d'un vecteur...42

b) Longueur d'un segment...43

Chapitre 7 – Fonctions de référence...44

I – La fonction carré...44

a) Parité de la fonction carré...44

b) Signe de la fonction carré...44

c) Sens de variation de la fonction carré...44

d) Représentation graphique de la fonction carré...45

e) Équations avec un carré...45

f) Inéquations avec un carré...46

II – La fonction racine carrée...47

a) Sens de variation de la fonction racine carrée...47

b) Représentation graphique de la fonction racine carrée...48 Cours de mathématiques – Seconde : 2/82

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c) Équations avec une racine carrée...48

d) Inéquations avec une racine carrée...49

III – La fonction inverse...50

a) Imparité de la fonction inverse...50

b) Signe de la fonction inverse...50

c) Sens de variation de la fonction inverse...50

d) Représentation graphique de la fonction inverse...51

e) Équations avec un inverse...51

f) Inéquations avec un inverse...52

IV – La fonction cube...53

a) Imparité de la fonction cube...53

b) Signe de la fonction cube...53

c) Variations de la fonction cube...53

d) Représentation graphique de la fonction cube...54

e) Équations avec un cube...54

f) Inéquation avec un cube...55

V – Comparaison des fonctions identité, carré et cube pour les réels positifs...55

a) Théorème de comparaison...55

b) Illustration graphique...56

Chapitre 8 – Trigonométrie...57

I – Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle...57

a) Fonctions sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle...57

b) Fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente dans un triangle rectangle...58

II – Relations trigonométriques dans un triangle rectangle...58

Chapitre 9 – Statistiques...60

I – Moyenne et écart-type...60

II – Médiane et quartiles...61

Chapitre 10 – Probabilités...63

I – Probabilités sur un ensemble fini...63

a) Loi de probabilité sur un ensemble fini...63

b) Loi de probabilité et distribution des fréquences...63

II – Probabilité d'un évènement...64

a) Évènement...64

b) Probabilité d'un évènement...64

III – Calcul de probabilités...65

a) Union et intersection d'évènements...65

b) Calcul de la probabilité d'une union...65

c) Probabilité de l'évènement contraire...66

Chapitre 11 – Droites et systèmes...67

I – Vecteur directeur d’une droite...67

II – Équation cartésienne d’une droite...68

III – Équation réduite d’une droite...69

a) Droite parallèle à l’axe des ordonnées...69

b) Droite non parallèle à l’axe des ordonnées...69

c) Détermination de l’équation réduite d’une droite...69

IV – Système de deux équations à deux inconnues...71

a) Interprétation de la résolution...71

b) Condition d’unicité de la solution...71

c) Résolution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues...72

Chapitre 12 – Fonctions affines et inéquations...73 Cours de mathématiques – Seconde : 3/82

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I – Signe d'une fonction affine...73

II – Tableau de signe...74

Chapitre 13 – Arithmétique...76

I – Multiples et diviseurs d’un entier relatif...76

a) Multiples et diviseurs d’un entier relatif...76

b) Propriétés d’addition et de soustraction...76

II – Division euclidienne et applications...77

a) Division euclidienne...77

b) Parité et imparité...77

c) Nombres premiers entre eux...78

d) Irrationalité de la racine carrée de 2...78

III – Nombres premiers...79

a) Nombres premiers...79

b) Décomposition en facteurs premiers...79

Chapitre 14 – Échantillonnage...80

I – Fluctuation d’échantillonnage...80

a) Échantillons et fréquence observée...80

b) Fluctuation expérimentale d’échantillonnage et loi des grands nombres...80

II – Estimation d’une probabilité par simulation...82

Cours de mathématiques – Seconde : 4/82

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Chapitre 1 – Ensembles de nombres

I – Les nombres entiers

a) Les entiers naturels

Définition : Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls.

On note l’ensemble des entiers naturels ^ℕ ; on a donc ℕ={0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;…}. Il s’agit de l’ensemble des nombres permettant de compter des objets.

Exemples :

• 65 est un entier naturel. On dit que 65 appartient à l’ensemble des entiers naturels et on note 65∈ℕ.

• 19,8 n’est pas un entier naturel. On dit que 19,8 n’appartient pas à l’ensemble des entiers naturels (19,8 n’est donc pas un entier naturel) et on note 19 ,8∉ℕ.

• −8∉ℕ puisque ce nombre est négatif.

• π∉ℕ puisque π≈3,14 n’est pas un nombre entier.

b) Les entiers relatifs

Définition : Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs, nuls ou négatifs.

On note l’ensemble des entiers relatifs ^ℤ ; on a donc ℤ={…;−3;−2 ;−1; 0;1 ;2 ;3 ;…}. Remarque : Comme ^ℤ contient les entiers naturels, on dit que l’ensemble ^ℕ est inclus dans ^ℤ, et on note ^ℕ⊂ℤ.

Il ne faut pas confondre :

• « appartient à» (symbole ∈ ) qui indique qu’un nombre appartient à un ensemble ;

• « inclus dans » (symbole ⊂ ) qui indique qu’un ensemble de nombres est inclus dans un autre ensemble de nombres.

Exemples : 7∈ℤ, −58∈ℤ, mais {7;−8}⊂ℤ.

Chapitre 1 – Ensembles de nombres : 5/82

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II – Les fractions de nombres entiers

a) Les décimaux

Définition : Les décimaux sont les nombres qui s’écrivent sous la forme ^a

10ⁿ avec a∈ ℤ et n∈ℕ. On note l’ensemble des décimaux ID.

Exemples :

• 0,5∈ID car ^0,5=¹₂⁼₁₀⁵ ⁼ ⁵

10¹ . On est dans le cadre de la définition avec a=5 et n=1.

• −0,3569∈ID car ^−0,3569⁼⁻³⁵⁶⁹₁₀₀₀₀ ⁼⁻³⁵⁶⁹

10⁴ . On a donc a=−3569 et n=4.

Propriété : Un nombre est décimal si et seulement si sa partie décimale peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres.

Exemple : 0,23562 est un décimal, puisque sa partie décimale s’écrit avec 5 chiffres. On peut aussi remarquer que 0,23562=23563

10⁵ .

Remarque : Si n=0 dans la définition, on obtient que les entiers relatifs sont des décimaux (puisqu’ils ont une partie décimale nulle). On a donc ℕ⊂ℤ⊂ID.

Propriété : ¹₃^∉ID.

Preuve : Par l’absurde, supposons donc que ¹₃^∈ID. Il existerait donc a∈ ℤ et n∈ℕ tels que 1

3= a

10ⁿ⇔1=3a

10ⁿ⇔10ⁿ=3a ;10ⁿ serait donc un multiple de 3 puisque a est entier. Or, comme 10ⁿ=3×33. ..33

⏟

n chiffres

+1 et que 0⩽1<3, cette relation est la division euclidienne de 10ⁿ par 3. Le reste étant 1, 10ⁿ n’est donc pas divisible par 3, ce qui est absurde, donc ¹₃^∉ID.

Remarques : ₁₀ⁿ s’écrit avec un « 1 » et n « 0 » : la somme de ses chiffres est 1, qui n’est pas un multiple de 3. On peut aussi observer que ¹

3=0,3333333333... n’est pas décimal, puisque sa partie décimale ne peut s’écrire qu’avec une infinité de chiffres.

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b) Les rationnels

Définition : Les rationnels sont les nombres qui s’écrivent ^a

b avec a∈ ℤ et b∈ ℤ tel que b≠0. On note l’ensemble des rationnels ^ℚ ; c’est donc l’ensemble des fractions de nombres entiers.

Exemple s : ⁻⁷₉ , ¹²³⁵₅₆₈₉ sont des rationnels. On démontrera au chapitre 4 que

√

² n’est par un rationnel ; on parle alors d’irrationnel.

Remarque : On déduit des définitions précédentes que ℕ⊂ℤ⊂ID⊂ℚ.

III – Les nombres réels

a) Les réels

Définition : Les réels sont les nombres que l’on étudiera cette année ; on note l’ensemble des nombres réels ^ℝ .

Exemples : Tous les nombres vus jusqu’à maintenant sont des réels. Les nombres 57 ; −9 ; ⁴ 29 ; 45,63 ;

√

⁷^;^π ; … sont des réels.

Propriété : L’ensemble des nombres réels contient des nombres aussi grands ou aussi petits que l'on veut ; on peut le représenter par une droite graduée. Le symbole ^∞ représente l'infini.

Propriété/définition : Pour tout réel x, et tout entier naturel n, il existe un nombre décimal d tel que ⁻ ¹

10ⁿ⩽x−d⩽ 1

10ⁿ . On dit alors que d est une valeur approchée de x à ₁₀⁻ⁿ près.

Exemple : π≈3 ,1415926359 donc 3,14159 est une valeur approchée à ₁₀⁻⁵ près puisque π−3 ,14159≈0 ,0000026359 et cette valeur est entre −10⁻⁵ et 10⁻⁵. Cependant, cette valeur approchée à 10⁻⁵ n’est pas unique, car 3,14159789 par exemple respecte la définition. En général, la valeur approchée à 10⁻ⁿ est un décimal avec une partie décimale avec ⁿ chiffres.

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Remarque : On a donc ℕ⊂ℤ⊂ID⊂ℚ⊂ℝ.

Illustration : La remarque précédente peut se représenter ainsi, avec quelques exemples :

Notations : En ajoutant des symboles à un ensemble, on peut le restreindre :

• Avec un « plus », on ne prend que les éléments positifs ou nuls.

• Avec un « moins », on ne prend que les éléments négatifs ou nuls.

• Avec une « étoile », on enlève 0.

Exemples : ℤ⁺=ℕ ; ℕ^* est l’ensemble des entiers naturels non nuls ; ℚ_*^- est l’ensemble des rationnels strictement négatifs.

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b) Intervalles

Certaines parties de ℝ sont des intervalles ; on les note avec des crochets.

Ensemble des réels x tels que

Représentation graphique Intervalle auquel appartient x

a⩽x⩽b [a;b]

a<x<b ]a;b[

a<x⩽b ]a;b]

a⩽x<b [a;b[

x<b ]−∞;b[

x⩽b ]−∞;b]

x>a ]a;+∞ [

x⩾a [a;+∞[

Vocabulaire :

• Pour ^]a;b[, ^]^a^{;+∞ [}, ^]−∞;^b[, on dira que les crochets sont « vers l'extérieur », ou

« ouverts ».

• Pour [a;b], on dira que les crochets sont « vers l'intérieur », ou « fermés ».

Remarques :

• ^−∞ et +∞ n'étant pas des nombres, ils ne sont jamais inclus dans les intervalles, donc leurs crochets sont vers l'extérieur. On a donc ℝ=]−∞;+∞ [.

• ℝ⁺=[0 ;+∞ [ ; ℝ^-=]−∞; 0] ; ℝ_*⁺=]0 ;+∞ [ ; ℝ_*^-=]−∞;0[.

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c) Opérations sur les ensembles

Définitions : Soient A et B deux ensembles de nombres.

• L’intersection de A et B, notée A∩B et lue « A inter B », est l’ensemble constitué des éléments communs à A et B, donc appartenant à la fois aux deux ensembles.

• L’union de A et B, notée A∪B et lue « A union B », est l’ensemble constitué des éléments appartenant à au moins l’un des ensembles parmi A et B.

• Si un ensemble ne contient aucun élément, on dit qu’il est vide et on le note ^∅. Propriété s : Pour tous ensembles A et B , on a :

• A∩B⊂A∪B

• A∩∅=∅

• A∪∅=A

• A∩A=A

• A∪A=A

Exemples :

• [2;3[∪[1;2,5]=[1;3[

• [2;3[∩[1;2,5]=[2;2,5]

• [1;5]∩[5;9]={5}

• [−6;8]∩[12;19]=∅

IV – Inégalités

Dans cette partie, a, b, c, d , x, y sont des réels.

a) Ordre dans l’ensemble des réels Propriété : Si a<b et b<c alors a<c. b

) Ordre et somme/ différence

Propriété : Ajouter (ou soustraire) le même réel à chaque membre d’une inégalité conserve l’ordre : a<x⇔a+b<x+b et a<x⇔a−b<x−b

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E

xemple : Résolvons 7+2 x⩽5+x

On soustrait x aux deux membres de l’inéquation de façon à ne plus avoir de x à droite : 7+2 x−x⩽5+x−x⇔7+x⩽5

On soustrait 7 aux deux membres de l’inéquation de façon à isoler x à gauche :

−7+7+x⩽5−7⇔x⩽−2

En exercice, on n’écrit pas les explications. On écrira donc :

7+2 x⩽5+x⇔7+2 x−x⩽5+x−x⇔7+x⩽5⇔−7+7+x⩽5−7⇔x⩽−2 voire avec l’habitude : 7+2 x⩽5+x⇔7+x⩽5⇔x⩽−2

P

ropriété : On peut additionner les inégalités de même sens membre à membre : Si a<x<b et c<y<d , alors a+c<x+y<b+d

c) Ordre et produit/quotient Propriétés :

• Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par le même réel strictement positif conserve l’ordre : si b>0, alors a<x⇔a b<x b et ^a^<^x^⇔^a_b^< ^x_b

• Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par le même réel strictement négatif inverse l’ordre : si b<0, alors a<x⇔a b>x b et ^a^<^x^⇔^a_b^>^x_b

E

xemple : Résolvons −3 x>4. On divise chaque membre par −3, donc on inverse l’ordre :

−3 x

−3 < 4

−3⇔x<−4

3 . Avec l’habitude, on écrira ⁻^{3 x}^>⁴^⇔^x^>−⁴₃ . Exemple : Résoudre dans ℝ l'inéquation 2 x+7<5 x−1.

Commentaires Étapes

2 x+7<5 x−1 On soustrait 5 x aux deux membres pour éliminer les x à droite. On

soustrait 7 aux deux membres pour éliminer le 7 à gauche.

2 x−5 x<−1−7

On réduit les deux membres. ⁻^{3 x}^<−⁸

On élimine le coefficient −3 en divisant les deux membres par −3.

Comme −3<0 on change le sens de l'inéquation. ^x>

−8

−3

On obtient les solutions. _x>8

3 On écrit l'ensemble des solutions avec un intervalle.

x∈

]

⁸³^;+∞

[

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V – Valeur absolue

Définition : Soit x∈ℝ. La valeur absolue de x, notée ∣x∣ , est la distance entre x et 0.

La valeur absolue est donc définie par ^|^x^|⁼

{

−^xx^si si ^x≥x<⁰0 . Exemples : ∣8,2∣=8,2 ; ∣– 8,2∣=8,2 ; ∣0∣=0.

Propriété : La distance entre deux réels x et y, notée dx;y, est égale à ∣x – y∣ . Exemples : La distance entre les réels 5 et – 3 est 8 ; on a bien ∣5 –– 3∣=∣53∣=∣8∣=8. De même d– 7;2=9 et ∣– 7 – 2∣=∣– 9∣=9.

Propriété : À l’aide de la valeur absolue, on peut donc dire que pour tout réel x et tout entier naturel n, le décimal d est une valeur approchée de x à ₁₀⁻ⁿ près si et seulement si

|x−d|⩽ 1 10ⁿ .

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Chapitre 2 – Calcul littéral

I – Développements

a) Rappels

Développer, c'est appliquer la distributivité, et donc transformer un produit en somme.

Pour tous nombres réels a, b, c et d : Distributivité simple : a(b+c)=ab+ac.

Distributivité double : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. On utilise la règle des signes lors du calcul des produits.

Réduire une expression développée, c'est faire en sorte qu'elle reste développée mais ait le moins de termes possible.

b) Exemples

• A=3(a+b)+2a=3a+3b+2a=5a+3b

• B=−5(x−3)−4(x−7)=−5x+15−4x+28=−9x+43

• C=(1+x)(−3+2x)=−3+2x−3x+2x²=2x²−x−3

• D=4(x+3)(x−5)−(x−2)(−x+4)=4(x²−5x+3x−15)−(−x²+4x+2x−8) D=4(x²−2x−15)−(−x²+6x−8)=4x²−8x−60+x²−6x+8=5x²−14x−52

(dans ce dernier exemple, on peut développer le premier facteur 4(x+3)(x−5) dans l’ordre que l’on veut ; de même pour −(x−2)(−x+4))

II – Factorisations

a) Rappels

Factoriser, c’est transformer une somme en produit. C’est donc en quelque sorte « l’inverse de développer ».

En règle générale, on cherche un facteur commun : ab+ac=a(b+c). b) Exemples

• A=5a−7a²=5a−7aa=a(5−7a)

• B=(2x+3) (1−3x)+(4+5x)(2x+3)=(2x+3) (1−3x+4+5x)donc B=(2x+3)(5+2x)

• C=(1−2x) (x+4)−(1−2x) (5x+1)=(1−2x)(x+4−(5x+1)) donc C=(1−2x)(x+4−5x−1)=(1−2x)(−4x+3)

Chapitre 2 – Calcul littéral : 13/82

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Les exemples qui suivent montrent qu'il est parfois utile de modifier l'écriture d'une expression.

• D=(3x+2)²−(3x+2)

D=(3x+2) (3x+2)−(3x+2)1 (faire « apparaître » ce « 1 » est capital !) D=(3x+2) (3x+2−1)

D=(3x+2)(3x+1)

• E=(x+2)(x−1)+(2x+4)(x−3)=(x+2) (x−1)+2(x+2)(x−3) (on fait apparaître un facteur commun...)

E=(x+2)(x−1+2(x−3))=(x+2)(x−1+2x−6)=(x+2)(3x−7)

III – Identités remarquables

a) Les trois identités remarquables

On peut remarquer que pour tous nombres réels a et b, on a :

• (a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²

• _(a_−b)²=(a−b)(a−b)=a²−ab−ba+b²=a²−2ab+b²

• (a+b)(a−b)=a²−ab+ba−b²=a²−b²

On en déduit les trois identités remarquables à connaître par cœur : (a+b)²=a²+2a b+b² (a−b)²=a²−2a b+b² (a+b) (a−b)=a²−b²

b) Exemples d’utilisation pour développer

• A=(x+5)²=x²+2×x×5+5²=x²+10x+25

• B=(3x−7)²=(3x)²−2×3x×7+7²=3²×x²−42x+49=9x²−42x+49

• C=(10x−1)(10x+1)=(10x)²−1²=10²×x²−1=100x²−1 c) Exemples d'utilisation pour factoriser

En écrivant les identités remarquables de droite à gauche, on obtient : a²+2a b+b²=(a+b)²

a²−2a b+b²=(a−b)² a²−b²=(a+b) (a−b)

Ces identités permettent donc de parfois factoriser, lorsqu'il n'y a pas de facteur commun.

• A=9x²−1=(3x)²−1²=(3x+1)(3x−1)

• B=16x²−24x+9=(4x)²−2×4x×3+3²=(4x−3)²

• C=(3x+2)²−(7x−4)²=(3x+2+7x−4)(3x+2−(7x−4)) donc C=(10x−2)(3x+2−7x+4)=(10x−2)(−4x+6)

Chapitre 2 – Calcul littéral : 14/82

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Chapitre 3 – Configurations du plan

I – Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition : Soient A un point et d une droite. On appelle projeté orthogonal de A sur d le point H appartenant à d tel que (AH) et d soient perpendiculaires.

Remarque : Le point H se construit donc en traçant la perpendiculaire à d passant par A . H sera l’intersection des deux droites.

Propriété et définition : Soient A un point et d une droite.

Le projeté orthogonal H de A sur d est le point de d le plus proche de A. La distance AH est appelée distance du point A à la droite d .

Preuve : Soit M∈d tel que M≠H . Il s’agit donc de montrer que AM>AH .

• 1^er cas : si A∉d.

Le triangle AMH est donc rectangle en H et donc d’après le théorème de Pythagore, AM²=AH²+MH². Comme M≠H , MH>0, donc MH²>0.

Chapitre 3 – Configurations du plan : 15/82

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On en déduit que AM²>AH²⇔AM²−AH²>0⇔(AM+AH)(AM−AH)>0 . Comme AM+AH>0, d’après la règle des signes on a AM−AH>0⇔AM>AH.

• 2^d cas : si A∈d, les points A et H sont confondus, donc AH=0. Comme M≠H , AM>0 donc AM>AH .

On a donc démontré que pour tout point M du plan distinct de H, AM>AH . Donc H est le point de d le plus proche de A .

II – Cercles et angles

Définition : Soit un cercle de centre O et de rayon r . Une droite d est une tangente au cercle si et seulement si la distance du point O à la droite d est égale à r.

Définition équivalente : Soit un cercle de centre O. Une droite d est une tangente au cercle si et seulement si elle passe par un point H appartenant au cercle et (OH) et d sont perpendiculaires.

Propriété de l’angle au centre : Soient A , B et C trois points appartenant à un cercle de centre O tels que ^{^}AOB et ^{^}ACB interceptent le même arc. Alors ^AOB=2^ACB.

Conséquence : Si [AB] est un diamètre du cercle, alors ^{^}AOB=180^∘ donc ^{^}AOB=90^∘. On en déduit que le triangle ABC est rectangle en C.

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III – Quadrilatères particuliers

a) Le parallélogramme

Les définitions suivantes du parallélogramme sont équivalentes : Définition 1 : Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles.

Définition 2 : Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés de même longueur.

Définition 3 : Un parallélogramme est un quadrilatère ayant deux côtés opposés de même longueur et parallèles.

Définition 4 : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

b) Le rectangle

Les définitions suivantes du rectangle sont équivalentes : Définition 1 : Un rectangle est un quadrilatère ayant trois angles droits.

Définition 2 : Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit.

Définition 3 : Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur.

c) Le losange

Les définitions suivantes du losange sont équivalentes : Définition 1 : Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux.

Définition 2 : Un losange est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux.

Définition 3 : Un losange est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

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d) Le carré

Les définitions suivantes du carré sont équivalentes :

Définition 1 : Un carré est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux et ayant un angle droit.

Définition 2 : Un carré est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux et dont les diagonales sont égales.

Définition 3 : Un carré est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux et ayant un angle droit.

Définition 4 : Un carré est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux et les diagonales sont de même longueur.

Définition 5 : Un carré est un losange ayant un angle droit.

Définition 6 : Un carré est un losange dont les diagonales sont égales.

Définition 7 : Un carré est un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux.

Définition 8 : Un carré est un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires.

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IV – Droites remarquables du triangle

a) Médiatrices

Définition : Soit [AB] un segment. La médiatrice du segment [AB] est la droite passant par le milieu du segment [AB] et perpendiculaire à ce segment.

Propriété : La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points du plan équidistants des points A et B.

Propriété relative au triangle : Les trois médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en un point O appelé centre du cercle circonscrit au triangle.

O est l’intersection des trois médiatrices des côtés des triangles. Le cercle de centre O passant par un des sommets passe alors par les deux autres sommets.

Preuv e : On montre que deux médiatrices d’un triangle sont sécantes, et que leur point d’intersection appartient à la troisième médiatrice.

• ABC étant un triangle, (AB) et (AC) ne sont pas parallèles. Les médiatrices de [AB] et [AC] ne sont donc pas parallèles, donc sécantes. Soit ^O leur intersection.

• D’après la propriété de la médiatrice, comme O appartient à la médiatrice de [AB], on a OA=OB. De même, comme O appartient à la médiatrice de [AC], on a OA=OC . De ces deux égalités, on en déduit que OB=OA=OC donc OB=OC . Comme O est

équidistant de B et C, on en déduit que O appartient à la médiatrice de ^[BC]. Donc les trois médiatrices sont concourantes en O.

• Comme OA=OB=OC , les points A , B et C sont équidistants de O donc le cercle de centre O ayant pour rayon OA passe aussi par B et C.

(20)

b) Hauteurs

Définition : Soit ABC un triangle. La hauteur issue du sommet A est la droite passant par A et perpendiculaire au côté opposé [BC]. L’intersection de la hauteur et du côté opposé est le pied de la hauteur.

Propriété relative au triangle : Les trois médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle.

c) Médianes

Définition : Soit ABC un triangle. La médiane issue du sommet A est la droite passant par A et le milieu du côté opposé [BC].

Propriété relative au triangle : Les trois médianes d’un triangle ABC sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle.

Propriété : Les médianes se coupent aux deux tiers de leur longueur en partant du sommet, c’est-à- dire que si I est le milieu de ^[BC], on a ^G^∈[ÂI^] et ÂG⁼²₃ ÂI .

(21)

d) Bissectrices

Définition : Soit ^{^}ABC un angle. La bissectrice de l’angle ^ABC est la droite passant par ^B coupant l’angle ^{^}ABC en deux angles égaux.

Propriété relative au triangle : Les trois bissectrices médianes d’un triangle ABC sont concourantes en un point I appelé centre du cercle inscrit au triangle ABC .

I est l’intersection des trois bissectrices du triangle. Le cercle de centre I

tangent à l’un des côtés est tangent aux deux autres côtés.

e) Droites remarquables dans les triangles particuliers

Propriété : Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

(22)

Propriété : Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane issue de A, la hauteur issue de A, la bissectrice de ^BAC et la médiatrice de [BC] sont confondues.

Conséquence : Dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi bissectrices, médiatrices et hauteurs, donc l’orthocentre, le centre de gravité et les centres des cercles inscrit et

circonscrit sont confondus.

(23)

Chapitre 4 – Généralités sur les fonctions

I – Définir une fonction

a) Vocabulaire D

éfinitions :

• Définir une fonction f sur une partie D de ℝ, c'est associer à tout réel x∈D un unique nombre réel appelé image de x, et noté f(x). La fonction f est parfois notée x→f(x).

• D est l'ensemble de définition de la fonction f .

• Si f(a)=b (avec a∈D), on dit que a est un antécédent de b.

Remarque : L'ensemble de définition de la fonction dépend de contraintes mathématiques (par exemple, on ne peut pas diviser par zéro, ou prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif) et de contraintes liées à des problèmes (par exemple, si x désigne une longueur dans un problème, x ne peut pas être un nombre strictement négatif).

Exemple : On considère la fonction f définie par f(x)=

√

^x.

• Déterminons son ensemble de définition : comme on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif, le domaine de définition est [0;+∞[.

• Cherchons l'image de 5 : 5 appartient au domaine, et f(5)=

√

⁵^.

• Cherchons les antécédents éventuels de 9 : on résout donc sur ^[0;+∞[ l'équation f(x)=9⇔

√

x=9⇔x=9²⇔x=81. L'antécédent de 9 est 81.

• Cherchons les antécédents éventuels de −6 : on résout donc sur [0;+∞[ l'équation f(x)=−6⇔

√

^x=−6 or une racine carrée n'est jamais strictement négative. Donc l'équation n'a pas de solution, donc −6 n'a pas d'antécédent.

b) Représentation graphique

Définition : Soit f une fonction définie sur un ensemble D. La courbe représentative de la fonction f dans un repère est l'ensemble ^Cf des points de coordonnées (x;f(x)) où x∈D. Remarque : Un point M(x;y) appartient à ^Cf si et seulement si x∈D et y=f(x).

Chapitre 4 – Généralités sur les fonctions : 23/82

(24)

Méthode s de lecture graphique :

• Pour déterminer le domaine de définition d'une fonction, on cherche l'ensemble des réels correspondant à des abscisses de points de la courbe.

• Pour déterminer l'image d'un réel a appartenant au domaine, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse a.

• Pour déterminer les antécédents éventuels d'un réel b, on cherche les abscisses des éventuels points de la courbe d'ordonnée b.

Exemple :

• La courbe ^Cf partant en abscisse de 0 (A ) et allant jusqu'à 5 (B), le domaine est ^[0;5].

• Cherchons l'image de 3 : 3∈[0;5] et E(3;5) appartenant à la courbe, on en déduit que f(3)=5.

• Cherchons les antécédents éventuels de 4 : C(2;4) et D(4;4) sont les seuls points de la courbe d'ordonnée 4, donc 4 a pour antécédents 2 et 4. On pouvait tracer la droite y=4 pour bien les

observer.

Remarque : La précision du graphique empêche, par exemple, de déterminer de manière rigoureuse l'image de 4,61…

(25)

II – Résolutions graphiques

a) Équations

Propriété : Les solutions de l'équation f(x)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe ^Cf avec la droite d'équation y=k.

Exemple : On considère la fonction f ci-dessous définie sur ℝ. On veut résoudre f(x)=5. Cela revient donc à chercher les antécédents éventuels de 5.

On trace la droite y=5. Il y a trois points d'intersection, donc 3 solutions.

Les solutions sont les abscisses de ces points :

−3 ; 1 et 2.

On note S={−3;1;2} .

Remarque : Cette méthode a deux défauts :

• La précision de lecture.

• On ne voit pas toujours la courbe en entier (notamment quand elle est définie sur ℝ). Donc certaines solutions peuvent ne pas être visibles.

Propriété : Les solutions de l'équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes ^Cf et ^Cg.

(26)

Exemple : On considère les fonctions f et g ci-dessous définies sur ^ℝ. On veut résoudre f(x)=g(x).

Les courbes ont trois points d'intersection. Les abscisses de ces points sont −3, 1 et 2. On note S={−3;1;2} .

b) Inéquations

Exemple : On considère la fonction f ci-dessous définie sur ℝ. On veut résoudre f(x)⩽5. Les solutions sont les abscisses des points de la courbe au-dessous de la droite ou sur la droite, puisque l'on a une égalité au sens large.

On a donc comme solutions −3⩽x⩽1 ou x⩾2, que l'on peut noter par une union de deux intervalles :

S=[ −3;1] ∪[2;+ ∞ [.

(27)

Exemple : On considère les fonctions f et g ci-dessous définies sur ^ℝ. On veut résoudre f(x)>g(x).

Les solutions sont les abscisses des points de la courbe ^Cf strictement au-dessus de ceux de la courbe ^Cg.

On a donc comme solutions x<−3 ou 1<x<2, que l'on peut noter par une union de deux intervalles : ^S=]−∞^;−^{3[ ∪]}¹^;2^[.

III – Sens de variation et extrema

a) Illustration graphique du sens de variation

On considère la fonction f ci-contre définie sur [−4 ;2].

Si on parcourt l'axe des abscisses dans le sens croissant (donc de gauche à droite), on remarque que sur l'intervalle [−4 ;−2] la courbe

descend. On dit alors que f est strictement décroissante sur [−4 ;−2].

Sur [−2 ;1] la courbe monte. On dit alors que f est strictement croissante sur [−2 ;1]. Sur [1 ;2], f est strictement décroissante.

(28)

On peut résumer ces variations par un tableau de variation :

x –4 –2 1 2

f(x) ³

–2

7

3

Remarques :

• En ligne x, on ne met que des abscisses.

• En ligne f(x) (ou f ), on ne met que des ordonnées.

• Les flèches sont toujours orientées vers la droite.

• Les flèches sont droites, mais cela ne veut pas dire que la fonction est représentée par des segments de droite.

On ne peut pas dire que f est strictement décroissante sur [−4 ;2] car son sens de variation change.

b) Définition algébrique du sens de variation Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

• On dit que f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous ab de I, f afb.

Dans ce cas, on dit que f conserve l'ordre.

• On dit que f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous ab de I, f af b. Dans ce cas, on dit que ^f inverse l'ordre.

(29)

Remarque : On peut affaiblir ces définitions en enlevant le terme « strictement ».

• f est croissante sur I si et seulement si pour tous a<b de I , f(a)⩽f(b).

• f est décroissante sur I si et seulement si pour tous a<b de I , f(a)⩾f(b).

Dans ces cas, les fonctions peuvent avoir des paliers constants, ce qui se traduit graphiquement par des segments horizontaux.

c) Extrema D

éfinition : Un extremum (pluriel : extrema) désigne un maximum ou un minimum.

Définition s : Soient ^f une fonction définie sur un intervalle I et a∈I .

• f(a) est le maximum de f sur I si et seulement si pour tout x∈I, f(x)⩾f(a).

• f(a) est le minimum de f sur I si et seulement si pour tout x∈I, f(x)⩽f(a). Remarque : Une extremum est toujours une valeur atteinte.

Exemple : On considère la fonction ^f ci-dessous définie sur [−4;2].

Le maximum de la fonction f sur [−4;2] est 7, atteint en x=1.

Le minimum de la fonction f sur [−4;2] est −2, atteint en x=−2 .

On ne peut pas dire que 8 est le maximum, car aucun nombre n'a pour image 8.

Sur ^[−3;0], le maximum est 3, atteint en x=0 .

(30)

Chapitre 5 – Proportions et évolutions

I – Proportions

a) Calculer avec des proportions

Définition : On considère un ensemble T (appelé également population) contenant une partie A (appelée sous-population). On note ⁿT et ⁿA les nombres d’individus dans les ensembles T et A. La proportion (ou fréquence) de A dans T est le nombre p=n_A

n_T . Conséquences :

• Prendre une proportion p d’un nombre, c’est le multiplier par p.

• Une proportion p est toujours comprise entre 0 et 1 (c’est-à-dire entre 0 % et 100 %).

Exemple s :

• Dans une classe de 30 élèves, il y a 12 filles. La proportion de filles est donc ¹²

30=0,4. Cette proportion peut être exprimée en pourcentage (mais ce n’est pas une obligation).

Dans ce cas, la proportion de 0,4 signifie que s’il y a 100 élèves, par proportionnalité il y aurait 0,4×100=40 filles. D’où le fait que la proportion est ici de 40 % (40 pour 100…)

• Si 13 % des 400 animaux d’une ferme sont des vaches, c’est qu’il y a 0,13×400=52 vaches.

Remarques :

• Pour passer d’une proportion sous forme décimale à une expression exprimée en

pourcentage, il est déconseillé d’écrire la multiplication par 100, sous risque d’écrire une égalité fausse. Il est préférable de décaler la virgule de deux rangs vers la gauche ou la droite, et d’enlever ou ajouter le symbole % ; on aura donc 13 %=0,13 et 0,032=3,2 %

• Pour les calculs, si la proportion est en pourcentage, il est souvent préférable de l’écrire sous forme décimale.

Exemple : Dans un groupe de personnes, il y a 50 mineurs qui représentent 20 % du groupe.

Le nombre de personnes N dans le groupe vérifie donc 0,2=50

N ⇔0,2 N=50⇔N=50

0,2⇔N=250. Il y a 250 personnes dans le groupe.

Chapitre 5 – Proportions et évolutions : 30/82

(31)

b) Proportion de proportion

Propriété : On considère un ensemble T contenant une partie A contenant elle- même une partie B.

Si p est la proportion de A dans T et si p ' est la proportion de B dans A, alors la proportion de B dans T est p×p ' .

Preuve : Soient ⁿT , ⁿA et ⁿB les nombres d’individus de T , A et B. Par définition, on a p=n_A

n_T et p'=n_B

n_A . On a alors pp'=n_A n_T×n_B

n_A=n_B

n_T , qui est la proportion de B dans T .

Exemple : Si dans une classe il y a 30 % de filles et parmi les filles il y a 20 % de musiciennes, la proportion de musiciennes dans la classe est 0,3×0,2=0,06=6 %.

II – Évolutions

Une valeur évolue d’une valeur de départ (^VD ) non nulle à une valeur d’arrivée (^VA).

a) Variations absolues et relatives

Définitions : Pour quantifier cette évolution, on peut calculer :

• La variation absolue, qui est l’évolution en nombre ^VA−V_D.

• La variation relative, qui est l’évolution en proportion ^V^A^−V^D VD

. Cette variation est appelée taux d’évolution entre ^VD et ^VA.

Exemple : Un prix passe de 8 € à 5 €. L’évolution absolue est 5−8=−3 €.

Le taux d’évolution est ⁵⁻⁸

8 =−0,375=−37,5%. Le prix a donc baissé de 37,5 %.

(32)

b) Taux d’évolution et coefficient multiplicateur

Propriété : Appliquer une évolution de taux t revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1+t .

Exemples : Augmenter de 30 %, c’est donc multiplier par 1+0,3=1,3. Diminuer de 40 %, c’est donc multiplier par 1−0,40=0,6.

On retrouve le fait qu’augmenter de 30 % revient à prendre 130 % d’une quantité, et si l’on diminue une quantité de 40 %, cela revient à en prendre 60 %.

Exemple : Après avoir subi une baisse de 20 %, un article coûte 41,6 €. Pour trouver le prix de départ V_D, on résout V_D×(1−0,2)=41,6⇔V_D×0,8=41,6⇔V_D=41,6

0,8 ⇔V_D=52. Le prix avant solde était de 52 €.

c) Évolutions successives et taux global

Propriété : Une valeur subit n évolutions successives de taux ^t1, ^t2, …, ^tn. On appelle T le taux d’évolution global.

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs

intermédiaires, donc le taux d’évolution global vérifie donc T=(1+t₁) (1+t₂)… (1+t_n)−1.

Exemple : Une quantité subit une augmentation de 10 %, puis une diminution de 20 %, puis une augmentation de 50 %.

Le taux global T est donc T=

(

¹⁺ ¹⁰⁰¹⁰

)(

¹⁻¹⁰⁰²⁰

)(

¹⁺ ¹⁰⁰⁵⁰

)

^{−1=1,1×0,8}^×1,5^−1=0,32^{=32 %}^.

L'évolution globale est une augmentation de 32 %.

Une augmentation de 10 %, suivie d'une diminution de 20 %, suivie d'une augmentation de 50 % équivalent à une seule augmentation de 32 %.

(33)

d) Évolution réciproque

Propriété : Si une quantité subit une évolution de taux t≠−1, l'évolution réciproque de taux t ' vérifie t '= 1

1+ t−1.

Preuve : Si la quantité subit une évolution de taux t≠−1 puis l’évolution de taux réciproque t ', cela revient à appliquer le coefficient multiplicateur (1+t)(1+t '). Comme les évolutions

s’annulent, l’évolution globale correspond à un coefficient multiplicateur de 1. On a donc, comme t≠−1, ^(1+t)(1+t ')=1⇔1+t '= 1

1+t⇔t '= 1 1+t−1.

Exemple : Si une quantité subit une augmentation de 25 %, le taux t ' de l'évolution réciproque est t '= 1

1+0,25−1= 1

1,25−1=−0,2=−20 %.

Une diminution de 20 % compense une augmentation de 25 %.

(34)

Chapitre 6 – Vecteurs du plan

I – Définitions et premières propriétés

a) Rappels sur le parallélogramme

Les définitions suivantes du parallélogramme sont équivalentes :

• Un parallélogramme est un

quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles.

quadrilatère ayant ses côtés opposés de même longueur.

• Un parallélogramme est un quadrilatère ayant deux côtés de même longueur et parallèles.

quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

b) Translation

Définition : Soient A et B deux points du plan.

La translation qui transforme A en B est la transformation qui associe à tout point C du plan l'unique point D tel que ABDC soit un parallélogramme, éventuellement aplati.

1^er cas : A , B et C ne sont pas alignés 2^d cas : A, B et C sont alignés.

La translation peut être vue comme un glissement rectiligne. Pour la définir, on indique la direction, le sens, et la longueur du mouvement.

Chapitre 6 – Vecteurs du plan : 34/82

(35)

c) Vecteur

Définitions : La translation qui transforme A en B est la translation de vecteur ⃗AB. On dira que B est l'image de A par la translation de vecteur ^⃗AB.

Caractérisation d'un vecteur : Un vecteur ⃗AB, ou la translation correspondante, se définit par trois caractéristiques :

• Sa direction : c'est la direction de la droite (AB) .

• Son sens : pour une direction, il y a deux sens possibles. Ici, c'est de A vers B.

• Sa longueur , ou norme : c'est la longueur du segment [AB]. La norme se note ‖⃗AB‖ . On a donc ‖⃗AB‖=AB.

La flèche indique le sens : de A vers B .

Deux droites ont la même direction si et seulement si elles sont parallèles.

d) Vecteurs égaux

Si D est l'image de C par la translation de vecteur ^⃗AB , alors pour tout point M du plan, la translation de vecteur ⃗AB et la translation de vecteur ⃗CD associent le même point N.

En effet, si ABDC et ABNM sont des parallélogrammes, alors CDNM est également un parallélogramme.

Définition : ^⃗AB et ^⃗CD sont égaux si et seulement si la translation qui transforme A en B transforme C en D. On note ⃗AB=⃗CD.

Définitions : Si deux vecteurs sont égaux, on dit que ce sont deux représentants d'un même vecteur, que l'on notera ⃗u par exemple. Ce vecteur peut donc être représenté n'importe où. Sur la figure précédente, comme ⃗AB=⃗MN=⃗CD, ce sont trois représentants du même vecteur. ⃗AB est le représentant d'origine A , ^⃗CD est le représentant d'origine C, etc.

(36)

e) Vecteurs opposés, vecteur nul

Définition : Le vecteur nul, noté ⃗0 , est associé à la translation qui transforme A en A , B en B, etc.

⃗0=⃗AA=⃗BB=⃗CC=…

Définition : Le vecteur opposé au vecteur ⃗AB, noté –⃗AB, est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A. C'est donc le vecteur ^⃗BA : on a donc –⃗AB=⃗BA .

Propriété : Deux vecteurs sont opposés si et seulement si ils ont même direction, même longueur, mais sens opposés.

Propriété : I est le milieu de [AB] si et seulement si ^⃗AI=⃗IB.

II – Opérations sur les vecteurs

a) Addition de vecteurs

Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs, et M un point.

Si N est l'image de M par la translation de vecteur ⃗u, et si P est l'image de N par la translation de vecteur ⃗v , alors P est l'image de M par la translation de vecteur ⃗u+ ⃗v.

(37)

⃗u+ ⃗v est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des deux translations associées à ⃗u et ⃗v .

La construction de la somme peut se faire de deux manières :

• soit en les disposant bout-à-bout, comme sur la figure précédente,

• soit en représentant un parallélogramme, les trois vecteurs partant du même point :

Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C du plan, on a ⃗AB+⃗BC=⃗AC .

b) Soustraction de deux vecteurs

Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé :

⃗u−⃗v=⃗u+(−⃗v).

c) Multiplication d'un vecteur par un nombre réel D

éfinition : Soient ⃗AB un vecteur non nul et ^k un réel non nul. k⃗AB est le vecteur qui a la même direction que ⃗AB, qui a pour norme |_k|×AB et pour sens :

• le même que ^⃗AB si k>0 ;

• l’opposé à ⃗AB si k<0.

De plus, si k=0 ou ^⃗AB=⃗0, alors k⃗AB=⃗0.

(38)

Exemple :

Propriété : Soient A et B deux points distincts et k un réel non nul.

Soit C tel que ⃗AC=k⃗AB. Alors avec la propriété précédente :

Si k>0 Si k<0

C∈[AB) et AC=k AB C∈(AB) (mais C∉[AB) ) et AC=−k AB

d) Relations algébriques

Pour tous vecteurs ⃗u, ⃗v , ⃗w , pour tous réels k et k ', on a :

⃗u+ ⃗v=⃗v+ ⃗u ⃗u+ ⃗0=⃗u ⃗u−⃗u=⃗0 ( ⃗u+ ⃗v) +⃗w=⃗u+( ⃗v+ ⃗w) k( ⃗u+ ⃗v)=k⃗u+k⃗v k( ⃗u−⃗v)=k⃗u – k⃗v

(k+k ') ⃗u=k⃗u+k '⃗u k(k '⃗u)=(k k ') ⃗u k⃗u=⃗0⇔k=0 ou ⃗u=⃗0

III – Coordonnées d'un vecteur

Définition s : Un repère du plan est défini par trois points non alignés O, I et J .

Ce repère est noté (O;I , J) : O est l'origine, la droite (OI) est l’axe des abscisses, la droite (OJ) est l’axe des ordonnées.

Le repère peut aussi se noter (O;⃗i,⃗j) où ⃗i=⃗OI et ⃗j=⃗OJ .

Le repère est orthonormal ou orthonormé si et seulement si OIJ est rectangle isocèle en O.