CHAPITRE 1. ARITHM ´ETIQUE 11
1.1 Corrig´ e des exercices
Corrig´e de l’exercice 1.1 2017 = (11111100001)b (11011)b = 27
127 = (7F)h
(ABC)h= (101010111100)b (1F C0)h = 8128
(11100111)b = (E7)h
Corrig´e de l’exercice 1.2
(1010101)b+ (11111)b= (1110100)b (CF4D5)h+ (12E)h= (CF603)h
(11010)b×(100)b= (1101000)b
Corrig´e de l’exercice 1.3
1. Cette question est une question `a choix multiple. Une seule r´eponse la copie seule- ment la r´eponse exacte. On ne demande pas de justification.
La repr´esentation binaire du nombre qui s’´ecrit en d´ecimal 15,510 est : R´eponse A : 10101,1012 R´eponse B : 1111,12 R´eponse C : 1111,01012 R´eponse D : 10101,12
2. Justifier que le nombre d´ecimal 15,62510 a pour repr´esentation binaire 1111,1012. Corrig´e de l’exercice 1.4
1,75 = (1,11)2 12,625 = (1100,101)2 2,3125 = (10,0101)2
5,333 = (101,01010101001111111)2
20,4 = (10100,0110011001100110011)2
2017,2017 = (11111100001,0011001110100010101)2 Corrig´e de l’exercice 1.5
(a) 2017 est premier : il n’est divisible par aucun nombre premier inf´erieur `a √ 2017� 44,9.
(b) 312 et 125 sont premiers entre eux car leur PGCD est 1. En effet, 125 = 53 est divisible seulement par des multiples de 5 mais pas 312.
(c) Division euclidienne de 525 par 12.
5 2 5 1 2 4 5 4 3
9
Le quotient est 43 et le reste est 9.
CHAPITRE 1. ARITHM ´ETIQUE 12
(d) P GCD(18; 108) = 18 car 108 est divisible par 18.
P GCD(525; 425) = 25 car les diviseurs de 425 = 5×5×17 sont 1 ; 5 ; 17 ; 25 ; 85 ; 425.
Corrig´e de l’exercice 1.8
D´ecomposition en facteurs premiers : 1150 = 2×52×23
1360 = 24×5×17 Corrig´e de l’exercice 1.7
Diviseurs de 1617 = 3×72×11 : 1 ; 3 ; 7 ; 11 ; 21 ; 33 ; 49 ; 77 ; 147 ; 231 ; 539 ; 1617 Diviseurs de 5915 = 5×7×132 : 1 ; 5 ; 7 ; 13 ; 35 ; 65 ; 91 ; 169 ; 455 ; 845 ; 1183 ; 5915 Corrig´e de l’exercice 1.8
D´ecomposition en facteurs premiers de 22 869 : 22 869 = 33×7×112
Le plus petit entier naturel par lequel il faut multiplier 22 869 pour obtenir le carr´e d’un entier naturel est 3×7 = 21.
En effet
22 869×3×7 = 34×72×112 est le carr´e de 32×7×11.
Corrig´e de l’exercice 1.9
Pour tout entier naturel n, on pose : An=n2+n+ 17.
1. On v´erifie que, pour tout nde 0 `a 15,An est un nombre premier : `a chaque fois, il faut essayer de diviserAn par tous les nombres (premiers) inf´erieurs `a√
An. 2. A16 n’est pas premier car
A16 = 162+ 16 + 17 = 172
Corrig´e de l’exercice 1.10
Les entiers aet bsont premiers entre eux si P GCD(a,b) = 1.
7 et 10 sont premiers entre eux car leur PGCD est 1.
6 et 8 ne sont pas premiers entre eux car leur PGCD est 2.
Corrig´e de l’exercice 1.11
1. 90≡6 [7] car 90 = 12×7 + 6.
2. Comme 66 = 9×7 + 3, on a 66≡3 [7].
90 + 66≡3 + 6 [7] soit 90 + 66≡2 [7]
4×90≡4×6 [7] soit 4×90≡3 [7]
90×66≡6×3 [7] soit 90×66≡4 [7]
902≡62 [7] soit 902≡1 [7]
663≡33 [7] soit 663≡6 [7]
CHAPITRE 1. ARITHM ´ETIQUE 13
Corrig´e de l’exercice 1.12
1. La division euclidienne de 200 par 13 s’´ecrit :
200 = 15×13 + 5 donc 200≡5 [13]
La division euclidienne de 900 par 13 s’´ecrit :
900 = 69×13 + 3 donc 900≡3 [13]
2.
200 + 900≡5 + 3 [13] soit 200 + 900≡8 [13]
200×900≡5×3 [13] soit 200×900≡2 [13]
2002≡52 [13] soit 2002≡12 [13]
9003≡33 [13] soit 9003≡1 [13]
3.
2004+ 9006≡54+ 36 [13] soit 2004+ 9006 ≡2 [13]
le reste de la division euclidienne de 2004+ 9006 par 13 est donc 2.
Corrig´e de l’exercice 1.13
1. 1789≡4 [7] car 1789 = 255×7 + 4.
On en d´eduit
17893≡43 [7] soit 17893≡1 [7]
2. (17893)596×1789 = 17893×596+1= 17891789 3. De 17893≡1 [7], on d´eduit
(17893)596≡1596 [7]
puis
(17893)596×1789≡1596×1789 [7]
soit
17891789≡4 [7]
Dans la division euclidienne de 17891789par 7,le reste est 4.
Corrig´e de l’exercice 1.14
Le probl`eme des soldats se r´eduit `a
x≡2 (mod 3) x≡3 (mod 5) x≡2 (mod 7) on obtient alors
n= 3×5×7 = 105 n1= 3 et ˆn1= 35, or 2ˆn1≡1 (mod 3) donc e1= 70 n2= 5 et ˆn2= 21 , or ˆn2 ≡1 (mod 5) donc e2 = 21 n3= 7 et ˆn3= 15, or ˆn3≡1 (mod 7) donc e3= 15
Une solution pourxest alors x= 2×70 + 3×21 + 2×15 = 233.
et les solutions sont tous les entiers congrus `a 233 modulo 105, c’est-`a-dire `a 23 modulo 105.
