Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o24 : Variables aléatoires
Problème 1–
Dans ce problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 3 etp est un entier naturel. Un jeu oppose n joueurs J1,J2, . . . , Jn.
Le jeu se déroule de la façon suivante : une pièce équilibrée est lancée(2p+1)fois. Avant les lancers, chaque joueur écrit une liste de prévisions pour ces lancers. Cette liste contient donc une suite de(2p+ 1)caractèresP (pour « pile ») ou F (pour « face »). Les gagnants sont les joueurs ayant le plus grand nombre de prévisions correctes, et ils se partagent équitablement la somme den! euros.
Par exemple, pour p = 1, si les lancers donnent trois fois « pile », le joueur ayant noté (P, F, P) a 2 prévisions correctes, et si les lancers donnent dans cet ordreP, F, P, le joueur ayant noté(F, P, F)n’a aucune prévision correcte.
Pour touti de{1,2, . . . , n}, on noteXi la variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du joueurJi, on noteGi la variable aléatoire égale au gain du joueurJi etE(Gi) l’espérance de gain du joueurJi.
L’objectif du problème est de déterminer l’espérance de gain du joueur J1 selon deux stratégies présentées dans les parties 2 et 3.
Partie I – Quelques résultats utiles pour les parties suivantes
1. Décrire un modèle simple (Ω,T, P) pour l’expérience décrite (le choix des listes de prévision ne faisant pas partie de l’expérience, les listes étant supposées fixées), et justifier que les Xi et Gi sont bien des variables aléatoires.
2. Quelle est la loi des variablesXi?
On pose alors, pour touti de {1,2, . . . , n} et pour toutk deXi(Ω),qk=P(Xi=k)etrk =P(Xi6k).
3. Calculer rp.
4. Étant donné un événementAnon quasi-impossible, l’espérance d’une variable aléatoire finieX conditionnelle- ment àA, notéeE(X|A). est l’espérance deX pour la mesure de probabilitéPA.
Montrer que si(A1, . . . , As)est un système complet d’événements non quasi-impossibles, alors
E(X) =
s
X
k=1
E(X |Ak)P(Ak).
Partie II – Les joueurs jouent au hasard et indépendamment les uns des autres
Dans cette partie, les variablesXi sont donc mutuellement indépendantes.
5. Que vaut G1(Ω)?
6. Pour toutk∈X1(Ω), déterminer la loi deG1 conditionnellement à l’événement[X1=k]
7. En déduire queE(G1) = (n−1)!, et expliquer en quoi ce résultat est logique.
Partie III – J1 etJ2 forment un groupe, les autres joueurs jouent comme dans la partie 2
Dans cette partie, J1 etJ2 adoptent la stratégie suivante : J1 joue au hasard, mais J2 joue, pour chaque lancer, les prévisions contraires de celles de J1. Par exemple, pourp= 1, siJ1 a choisi (F, P, P), alors J2 choisit (P, F, F).
1
On note G′ le gain du groupe formé par ces deux joueurs, J1 etJ2 décidant de partager équitablement ce gain. On a donc, en désignant parG′1 etG′2 les gains respectifs deJ1 etJ2 :G′=G′1+G′2, etG′1=G′2.
On pose, pour toutide {1,3, . . . , n}, et toutkde Xi(Ω),qk =P(Xi=k)etrk=P(Xi6k).
On noteY la variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du meilleur deJ1 etJ2. 8. Justifier queY(Ω) = [[p+ 1,2p+ 1]].
9. Pour toutk de[[p+ 1,2p+ 1]], montrer queP(Y =k) = 2qk. 10. Établir que, pour toutkde[[p+ 1,2p+ 1]],
E(G′|Y =k) =n(n−2)!(rk)n−1−(rk−1)n−1 qk
.
11. En déduire que :
E(G′) = 2n(n−2)!
1− 1
2n−1
,
et justifier que la stratégie est aavantageuse pourJ1et J2. 12. DéterminerE(Gi), pouri∈[[3, n]].
2
