Chap.14 :
Variables aléatoires
« Le hasard n’existe plus depuis qu’on a inventé les probabilités » dit la maxime.
Le but des probabilités est d’essayer de rationaliser le hasard : quelles sont les chances d’obtenir un résultat suite à une expérience aléatoire ?
Quelles chances ai-je d’obtenir « pile » en lançant une pièce de monnaie ? Quelles chances ai-je d’obtenir « 6
» en lançant un dé ? Quelles chances ai-je de valider la grille gagnante du loto ?
Partie 1 : rappels de seconde
a) Vocabulaire
• L’objet de l’étude d’un phénomène aléatoire est appelé expérience aléatoire.
• Au cours d’une expérience aléatoire, les résultats possibles sont appelés les éventualités (notées souvent 𝑒").
L’ensemble des éventualités est appelé l’univers de l’expérience aléatoire.
• On le note généralement Ω (omega majuscule dans l’alphabet grec).
• Un événement est un ensemble constitué d’éventualités.
• Un événement ne comportant qu’une seule éventualité est appelé événement élémentaire.
Exemple : on lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6.
– Les éventualités sont e1 = 1, e2 = 2, e3 = 3, e4 = 4, e5 = 5, e6 = 6.
– L’univers est donc Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
– On note A l’événement « obtenir un chiffre pair ». Alors A = {2; 4; 6}.
– On note B l’évènement « obtenir un chiffre impair ». Alors B = {1 ; 3 ; 5}.
– On note C l’évènement « obtenir un multiple de 3 ». Alors C = {3 ; 6}.
– On note D l’événement « obtenir un six ». Alors D = {6} : c’est un événement élémentaire.
– On note E l’événement « obtenir un sept ». Alors E = ∅ : c’est l’événement impossible.
En langage naturel En langage ensembliste
On appelle événement « E1 et E2 », l’événement constitué des éventualités qui appartiennent à E1 et à E2 simultanément.
Exemple : l’évènement « obtenir un chiffre pair multiple de 3 ».
L’événement « E1 et E2 » est l’intersection de deux événements : « E1 et E2 » = E1 E2.
𝐴 ∩ 𝐶 = {6}
On appelle événement « E1 ou E2 », l’événement constitué des éventualités qui appartiennent à E1 ou à E2 ou aux deux.
Exemple : « obtenir un chiffre impair ou un multiple de 3 ».
L’événement « E1 ou E2 » est la réunion de deux événements : « E1 ou E2 » = E1 E2.
𝐴 ∪ 𝐶 = {1; 3; 5; 6}
On appelle évènement contraire de A et on note 𝐴̅
l’événement constitué de toutes les éventualités qui n’appartiennent pas à A.
Exemple : l’évènement « obtenir un chiffre pair » est le contraire de l’évènement « obtenir un chiffre impair ».
𝐴 = {2; 4; 6} et 𝐵 = 𝐴̅ = {1; 3; 5}
Ç
È
Définition : événements incompatibles
On dit que deux événements sont incompatibles si « A et B » est l’événement impossible (leur intersection est alors l’ensemble vide).
Exemple : les évènements A et B de l’exemple précédent sont incompatibles.
b) Distribution de fréquences
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire en notant les résultats obtenus, on peut compter le nombre de fois où chaque événement élémentaire se produit, et ensuite calculer sa fréquence
d’apparition. On obtient alors pour chaque éventualité 𝑒" une fréquence 𝑓" =687, où ni est le nombre d’apparitions de
𝑒" et N le nombre total d’expériences.
Définition : probabilité d’un événement
Plus 𝑁 est grand, plus fi est proche d’une valeur pi qu’on appelle probabilité de l’événement élémentaire associé à l’éventualité considérée 𝑒". C’est un nombre compris entre 0 et 1.
Propriétés :
• Si A = Ø alors P(A) = 0.
• Si A = {e1, e2,, …, ek), alors 𝑃(𝐴) = 𝑝>+ 𝑝@+ ⋯ + 𝑝B.
• 𝑝( ) = 1 (c’est-à-dire que la somme de toutes les probabilités élémentaires vaut 1).
• 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
• Quel que soit l’événement A, 𝑝(𝐴̅) = 1 − 𝑝(𝐴)
c) Un cas particulier : l’équiprobabilité
Lorsque chaque événement élémentaire a la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité ou que les issues sont équiprobables.
Propriété : situation d’équiprobabilité
Si l’on est dans une situation d’équiprobabilité, chaque événement élémentaire a pour probabilité >6 où n est le nombre d’éventualités. Si A est événement contenant m éventualités, alors 𝑝(𝐴) =D6.
On écrit parfois 𝑝(𝐴) = .
Remarque : dans un exercice, pour signifier qu’on est dans une situation d’équiprobabilité on a généralement dans l’énoncé une expression du type : « on lance un dé non pipé », « on tire dans un jeu de cartes non truqué », « dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher », « on rencontre au hasard une personne parmi », etc…
Partie 2 : variables aléatoires réelles.
On considère une expérience aléatoire dont l’univers Ω = {𝑒>; 𝑒@; 𝑒F; … ; 𝑒H} est fini et une loi de probabilité 𝑝 sur Ω.
Définition : variable aléatoire
Une variable aléatoire réelle (discrète) 𝑋 sur Ω est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel.
Notation : 𝑎 étant un nombre réel, on note {𝑋 = 𝑎} l’événement 𝑋 prend la valeur 𝑎 et 𝑝(𝑋 = 𝑎) sa probabilité.
W
possibles résultats
de nombre
nombrederésultatsfavorables
Exemple : une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : trois boules rouges numérotées de 1 à 3 (𝑅>, 𝑅@ et 𝑅F) et trois boules vertes numérotées 0, 3 et 5 (𝑉N, 𝑉F et 𝑉O).
Un joueur mise 2 € et tire une boule au hasard. Si elle est rouge, il gagne 3 € ; si elle est verte, il gagne en euros la valeur du numéro indiqué.
L’univers associé à l’expérience aléatoire est Ω = {𝑅>, 𝑅@, 𝑅F, 𝑉N, 𝑉F, 𝑉O}. Toutes les issues sont équiprobables.
La variable aléatoire 𝑋 qui, à chaque boule choisie, associe le gain en tenant compte de la mise, peut prendre comme valeur :
• 3 (en prenant 𝑉O et en soustrayant la mise).
• 1 (en prenant une boule rouge ou la boule 𝑉F et en soustrayant la mise).
• −2 (en prenant la boule 𝑉N et en soustrayant la mise).
L’événement 𝑋 prend la valeur 3, noté {𝑋 = 3} est réalisé lorsque le joueur tire la boule 𝑉O. Sa probabilité est 𝑝(𝑋 = 3) =>Q car la probabilité de tirer au hasard la boule 𝑉O est >Q.
Définition : loi de probabilité
Soit 𝑋 une variable aléatoire sur Ω prenant les valeurs 𝑥>, 𝑥@, … 𝑥6.
Lorsqu’à chaque valeur 𝑥", on associe la probabilité 𝑝" = 𝑝(𝑋 = 𝑥"), on définit la loi de probabilité de 𝑋.
Remarques :
1. La loi de probabilité d’une variable aléatoire X peut se présenter sous forme de tableau.
𝑥 𝑥> 𝑥@ … 𝑥6
𝑝(𝑋 = 𝑥") 𝑝> 𝑝@ … 𝑝6
2. La somme des probabilités de toutes les valeurs prises par la variable aléatoire est égale à 1.
On a 𝑝>+ 𝑝@+ ⋯ + 𝑝6= 1.
3. ∑. est le symbole de la somme. Ainsi ∑6"U>𝑝" = 𝑝>+ 𝑝@+ ⋯ + 𝑝6= 1
Exemple : dans l’exemple précédent, 𝑋 peut prendre les valeurs 3, 1 et −2. De plus, on a :
• 𝑝(𝑋 = 3) = 𝑝({𝑉O}) =>Q
• 𝑝(𝑋 = 1) = 𝑝({𝑅>; 𝑅@; 𝑅F; 𝑉F}) =VQ=@F
• 𝑝(𝑋 = −2) = 𝑝({𝑉N}) =>Q
On en déduit la loi de probabilité de 𝑋 est donnée dans le tableau ci-contre.
𝑥 −2 1 3
𝑝(𝑋 = 𝑥") 1 6
2 3
1 6
Remarques :
1. Les notations {𝑋 ≥ 𝑎}, {𝑋 = 𝑎}, … permettent de définir des événements en lien avec les variables aléatoires.
2. Dans l’exemple, on peut calculer la probabilité de l’événement {𝑋 ≥ 0}, c’est-à-dire la probabilité que le gain soit positif, que l’on note 𝑝(𝑋 ≥ 0) : on a 𝑝(𝑋 ≥ 0) = 𝑝(𝑋 = 1) + 𝑝(𝑋 = 3) =OQ
Partie 3 : Espérance, variance et écart-type.
Dans cette partie, 𝑋 est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.
𝑥 𝑥> 𝑥@ … 𝑥6
𝑝(𝑋 = 𝑥") 𝑝> 𝑝@ … 𝑝6
Définition : espérance
L’espérance de 𝑋 est le nombre réel noté 𝐸(𝑋) défini par :
𝐸(𝑋) = 𝑝>𝑥>+ 𝑝@𝑥@+ ⋯ + 𝑝6𝑥6 = ∑6"U>𝑝"𝑥"
Remarque : l’espérance se rapproche de la notion de « moyenne » en statistique.
Exemple : on considère une variable aléatoire 𝑌 dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.
𝑦" −4 0 4 20
𝑝(𝑌 = 𝑦") 0,5 0,2 0,2 0,1 On a : 𝐸(𝑌) = 0,5 × (−4) + 0,2 × 0 + 0,2 × 4 + 0,1 × 20 = 0,8
Remarques :
1) Lorsque 𝑋 est une variable aléatoire donnant le gain algébrique à un jeu, 𝐸(𝑋) est le gain moyen que peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties à ce jeu.
2) Un jeu est équitable si l’espérance de la variable aléatoire donnant le gain algébrique est nulle.
Définition : variance
La variance de 𝑋 est le nombre réel noté 𝑉(𝑋) défini par :
𝑉(𝑋) = 𝑝>]𝑥>− 𝐸(𝑋)^@+ 𝑝@]𝑥@− 𝐸(𝑋)^@+ ⋯ + 𝑝6]𝑥6− 𝐸(𝑋)^@ = ∑6"U>𝑝"]𝑥"− 𝐸(𝑋)^@
Exemple : dans l’exemple précédent, on a :
𝑉(𝑌) = 0,5(−4 − 0,8)@+ 0,2(0 − 0,8)@+ 0,1(4 − 0,8)@+ 0,1(20 − 0,8)@= 50,56
Définition : écart-type
L’écart-type de 𝑋 est le nombre réel noté 𝜎(𝑋) défini par : 𝜎(𝑋) = `𝑉(𝑋)
Exemple : dans l’exemple précédent, on a 𝜎(𝑌) = `𝑉(𝑌) = `50,56 ≈ 7,11
Remarques :
1) Ces définitions sont à mettre en lien avec celles de moyenne, variance et écart-type d’une série statistique. On peut donc aussi utiliser la calculatrice ou un tableur pour déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type si on a résumé la loi de probabilité de la variable aléatoire dans un tableau.
Numworks TI Casio
2) Comme en statistiques, l’écart-type permet de se donner une idée de la répartition des valeurs prises par une variable autour de son espérance en tenant compte des probabilités. Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont « éloignées » de l’espérance.
Extension :
Propriété : formule de König-Huygens
𝑉(𝑋) = 𝑝>(𝑥>)@+ 𝑝@(𝑥@)@+ ⋯ + 𝑝6(𝑥6)@− 𝐸(𝑋)@ = ∑6"U>𝑝"(𝑥")@− ]𝐸(𝑋)^@
Remarque : soient 𝑎 et 𝑏 deux réels.
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎@𝑉(𝑋) 𝜎(𝑎𝑋 + 𝑏) = |𝑎|𝜎(𝑋)
Exemple : dans l’exemple précédent, si on a 𝐸(𝑍) = 3,4, alors 𝐸(𝑍f) = 𝐸(2𝑍 − 1)
= 2𝐸(𝑍) − 1 = 2 × 3,4 − 1 = 5,8
