Comparaison des exposants de Lyapounov des processus markoviens multiplicatifs

A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION B

P HILIPPE B OUGEROL

Comparaison des exposants de Lyapounov des processus markoviens multiplicatifs

Annales de l’I. H. P., section B, tome 24, n

^o

4 (1988), p. 439-489

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Comparaison ^des exposants ^de Lyapounov ^des

processus markoviens multiplicatifs

Philippe

^BOUGEROL

Université de Nancy-I, Département ^de Mathématiques,

B. P. n° 239, 54506 Vandoeuvre-les-Nancy

Vol. 24, n° 4, 1988, p. 439-489. Probabilités et Statistiques

RÉSUMÉ. - Nous donnons un critère assurant que les

exposants

^de

Lyapounov

de certains

produits

de matrices stationnaires définies au-

dessus d’un processus de

Markov,

^sont distincts. Ces matrices intervien- nent, par

exemple,

^{dans l’étude des}

équations

différentielles

stochastiques

linéaires à coefficients markoviens et dans

l’analyse

^{des flots de difféomor-}

phismes

aléatoires d’une variété.

Mots clés : Exposants ^de Lyapounov, produits de matrices aléatoires, systèmes linéaires, flots stochastiques.

ABSTRACT. - We

give

^{a criterion}

ensuring

^{that the}

Lyapunov exponents

of some

products

^of

stationary

^{matrices are} distincts. These matrices _occur, for

instance,

^{in the}

study

of linear stochastic differential

equations

^with

markovian

parameter

^{and in the}

study

^of stochastic flows of diffeomor-

phisms.

Classification A. M. S. : 60 F 15, 60 J 57, ^{60 K 15.}

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Probabilités et Statistiques - ^0294-1449

440 P. BOUGEROL

1. INTRODUCTION

Considérons un processus de Markov stationnaire _xt,

t E T,

^à

temps

discret

(T = N)

^{ou à}

temps

^continu

(T = (~ +)

^{sur un} espace

topologique

^E.

Notre

objet

^{est l’étude} des processus

Mt, t E T,

^sur l’ensemble

Gl (d, ~)

^des

matrices inversibles d’ordre d _{tels que}

(xt, Mt)

^{est un processus de Markov}

invariant sous l’action à droite de Gl

(d, f~).

^De

façon précise,

posons DÉFINITION 1. 1. - Un _processus de

Markov {(xt, Mt),

^sur

semi-groupe

^de

transition {Rt, t ~ T},

^{est un processus}

markovien

multiplicatif

^si pour ^tout borélien A

(resp. B)

^{de E}

(resp.

Gl

(d, (~) ~,

où BM = {NM ~ Gl(d, R); N ~ B} et Id est la matrice identité d’ordre d.

Cette définition est

inspirée

^de

Iscoe, Ney,

^Nummelin

[29].

Nous suppo-

serons que E ^{est un} borélien d’un _espace

métrique séparable complet

^et,

lorsque T = (~ +,

que le

semi-groupe Rt

^{est mesurable en t. Donnons deux}

exemples typiques

^{de tels} processus.

Considérons d’abord une

équation

différentielle

stochastique

^{linéaire sur}

Rd,

dont les

coefficients

^sont solutions d’une

équation

différentielle stochasti- que ^{sur une} variété V

(pour chaque ^f=0,1,

^{..., m,}

Xi

^{est un}

champ

^{de vecteur sur V et}

A;

^une

application

^{de V dans} l’ensemble de toutes les matrices carrées d’ordre

d).

Sous des

hypothèses

^très

générales,

^on

peut

^écrire zt ⁼

Mt

zo,

Mt),

t E

(~ + ~

^{est un} processus markovien

multiplicatif

^{sur V x}

Gl (d, (~).

Considérons ensuite un de

difféomorphismes

^aléatoires

d’une variété V. Par

définition,

^est

indépendant

^et

de même loi _que

ft.

^{Si r est une} trivialisation mesurable du fibré

tangent TV (c, f:

définition 6.

3. 3),

est un processus markovien

multiplicatif

^{sur V x Gl}

(d,

^{On trouvera}

d’autres

exemples

^dans

[9].

Nous supposerons que le

processus {xt, t ~ T}

^{sur E est} stationnaire

et

ergodique.

^{Sous une}

hypothèse d’intégrabilité,

il existe alors d réels

03B31 ~ 03B32 ~ ... ~ 03B3d, appelés

exposants de

Lyapounov

tels que

Pn-presque sûrement,

pour tout p

= 1, 2, ..., d,

Le but de cet article est de montrer un critère assurant que deux

exposants

d’indice donné sont distincts. Il étend les travaux de Baxendale

[5],

Caverhill

[11], Chassaing [14],

^Guivarc’h

[21], Guivarc’h, Raugi [22], Ledrappier [37], Royer [43]

^{et Virtser}

[46].

^Nous nous sommes

particulière-

ment

inspirés

de Guivarc’h

[21].

La motivation

principale

^{de ce travail est}

qu’il

^nous

permet

^{de montrer} dans

[9]

que

Mt),

^{t E}

T; ~ ~

^{est un}

^système multiplicatif

^fortement

irréductible

(cf

définition

1. 5)

^et si le processus vérifie la condition de

Doeblin,

^alors pour tout vecteur non nul u de

f~d

converge ^{vers une} loi

gaussienne

^centrée

(non dégénerée

^si

Nous obtenons une condition

particulièrement simple

pour que y 1 soit différent de

Appliquant

^{cette condition à}

l’équation ( 1.1)

^{dans le}

cas où les matrices

Ai (x)

^{sont toutes de trace}

nulle,

nous verrons que,

généralement,

^les

solutions

^{tendent p. s. vers l’infini}

exponentiellement

vite.

Supposons

que d = 2 m ^et que les matrices

Mt

^sont

symplectiques. Appli- quant

^{notre critère aux}

exposants

y~ ^et y~+i, ^nous obtiendrons une

condition _{pour que} le

système

n’a pas

d’exposant

^de

Lyapounov égal

^{à 0.}

Ceci est un

ingrédient

fondamental _pour montrer que le

spectre

^d’une

équation

^de

Schrôdinger

^à coefficients markoviens dans une bande a un

spectre purement ponctuel (cf Bougerol,

^Lacroix

[7], paragraphe

^B.

IV, Delyon, Levy,

^Souillard

[16]

^et

Deylon, Simon,

^Souillard

[17]).

^Nous

obtenons aussi un critère assurant

qu’un

^flot

stochastique

^{formé de trans-}

formations

canoniques

^{d’une variété}

symplectique

^est

hyperbolique.

Afin d’énoncer de

façon précise

^nos deux résultats

principaux,

^introdui-

sons

quelques

définitions. Pour tout xeE notons la loi du processus

{(xt, Mt),

^{t E}

T}

^vérifiant

(xo, Mo) = (x, Id)

et, si 03C0 ^{est une}

probabilité

^sur

E, P,=f

DÉFINITION 1. 2. - On

appelle système multiplicatif

^{sur E x Gl}

(d, R)

^la

donnée d’un _processus de Markov

multiplicatif {(x, Mt), t ~ T}

^{et d’une}

probabilité

invariante

ergodique x

^du

processus {xt, t ~ T}

^{telle que}

Sup [En Mt Il + Log + ~ Il)

^est

^fini.

Rappellons

que la résolvante d’ordre 1 d’un processus de Markov de

semi-groupe

^de

transition {Pt, t ~ T}

^{est le noyau}

lorsque

442 P. BOUGEROL

T = et le

noyau £ ^{2 - n -1} Pn lorsque

^{T = Si ce processus est défini}

sur un espace

topologique,

^{on dit}

qu’il

^est

fellerien

^si pour ^toute fonction continue bornée

f, Ptf

^est continue. Nous supposerons que le

système

considéré soit est non

singulier,

^{soit vérifie}

l’hypothèse (H),

^{au sens des}

définitions suivantes.

DÉFINITION 1.3. ^- Nous dirons _que le

système multiplicatif

~ (xt, Mt),

^{t E}

T; ~ ~

^{sur E x Gl}

(d,

^{est non}

singulier

si la résolvante d’ordre 1 du

processus {xt,

^{t E T}

},

^notée

^K,

^{est telle que}

~ ~

^{x E}

^E;

^K

^{(x, . )}

^{n’est pas}

^étrangère à ~ ~ ~

^0.

On dit _que ce

système vérifie l’hypothèse (H)

^si

(H 1)

^{E est un espace}

métrique complet.

(H2)

^Le processus

(xt, Mt)

^est

fellerien.

(H3)

^Les

fonctions

boréliennes bornées h sur E

vérifiant

^{K h = h sont}

continues et

Supp (~t)

^{= E.}

Remarquons

que ^ces

hypothèses portent

essentiellement sur le processus xt. Un

système

satisfaisant à

(H)

^{est non}

singulier (cf proposition 2.6).

Si

(xt, Mt)

^est

fellerien, Supp (~c)

^{x Gl}

(d, R)

^est invariant par ^ce processus et il

n’y

^{a donc} pas de

perte

^de

généralité

à supposer que = E dans

(H3).

NOTATION 1. 4. ^- Soit U la résolvante d’ordre 1 d’un _processus

multiplica- tif

^{sur E x G1}

(d,

^{Pour tout x E}

E,

^{on note}

Dx

^{le support de la}

probabilité U ((x, Id), . )

^et

Sx

^le

plus petit fermé

^{de tel} que U

((x, Id);

^{E x}

Sx)

^{= 1 . Pour tous x, y de E on pose}

DÉFINITION 1. 5. - On dit

qu’un

^{sous ensemble S de Gl}

(d, R)

^est

p-contractant

^{si il existe une}

suite {An,

^{n E de S telle que}

Il (

converge ^{vers une} matrice de _rang

inférieur

^ou

égal

^{à p;}

fortement irréductible si il n’existe _pas de réunion

finie

^{W de} sous-espaces vectoriels _propres de

f~d

telle _que MW ⁼ W _pour tout M de S.

Un

système multiplicatif { (xt, Mt),

^{t E sur E x Gl}

(d, R)

^{est dit}

p-contractant

^{si x}

(x

^E

E; Sx

^est

p-contractant)

^{est non}

nul;

fortement irréductible

si,

pour ^{tout r}

d,

il n’existe _pas de

famille finie

~ V1, V2,

^{... ,}

d’applications

mesurables de E dans l’ensemble des sous-

espaces vectoriels de dimension r de telle _{que si} W

(x)

^{= U}

Vi (x),

i=1, ...,k

Mt

^W

(xo)

^{= W}

(xt),

^{s., pour tout t E T.}

On

prendra garde

^{au fait que la} définition d’un sous ensemble _p- contractant diffère

légèrement

de celle de

[7] (un

sous-ensemble est p- contractant ^{au sens} de la définition IV . 1. 1 de

[7]

si il contient une suite

A"

telle _que

Il

^{converge vers une} matrice de rang exactement

égal

^à

p).

Énonçons

^{alors nos deux résultats}

principaux.

Ils donnent des critères pour que y 1 soit différent d’un autre

exposant.

^En

appliquant

^{ces critères}

aux matrices AP

Mt,

^{on en déduit une} condition pour que

y~

^{soit différent} d’un

exposant

^d’indice

plus

^élevé.

THÉORÈME 1.6. - Considérons un

système multiplicatif

^non

singulier fortement

irréductible sur E x Gl

(d,

^Alors les exposants ^de

Lyapounov

y 1 et yp+ 1

^sont

différents

^{si et seulement si le}

système

^est p-contractant.

Cette condition

peut

être difficile à vérifier directement. C’est

pourquoi

nous la

précisons

^sous

l’hypothèse (H)

^{de nature}

topologique.

THÉORÈME 1. 7. -

Soit {(xt, Mt),

^un

système multiplicatif

^sur

E x

Gl (d, f~) vérifiant l’hypothèse (H).

^{Si il existe un élément x de E tel} que

Sx (x)

^est p-contractant ^et

opère

^de

façon fortement

irréductible sur alors les exposants ^de

Lyapounov

yl ^et

yp+

^{1 sont}

différents. Réciproquement,

^si

le

système

^est

fortement

irréductible et si _1, alors

Sx (x) opère

^de

façon fortement

irréductible sur

Rd

et est p-contractant pour 03C0-presque ^tout

x.

L’un des intérêts de ce deuxième théorème est que nous verrons que

sous

l’hypothèse (H),

les ensembles

Sx (x)

^{sont des}

semi-groupes

^fermés.

Or il est souvent facile de vérifier si un

semi-groupe

^est

p-contractant

^ou

non

(en

utilisant par

exemple

^{les travaux} récents de

Guivarc’h, Raugi [23]

et de

Goldsheid, Margulis [20]).

Une condition élémentaire suffisante _pour

qu’il

^soit 1-contractant est

qu’il

^{contienne une matrice}

ayant

^{une seule} valeur propre de

plus grand module,

^cette valeur propre étant

simple.

Il est

remarquable

que ^ces conditions ne

portent

que ^sur les valeurs

prises

par les matrices

Mt

^{et non sur leur}

loi, puisqu’elles

^{ne font intervenir}

que le

support

^des

probabilités

^U

((x, Id), . )

associées à la résolvante. On voit _que

plus

^ces

supports

^sont

grands, plus grandes

^{sont les chances} que les

exposants

^soient distincts. En

particulier,

^un

système multiplicatif

^étant

donné,

^on

peut toujours

^{en trouver une}

perturbation

arbitrairement

petite

dont tous les

exposants

^sont différents. Notons enfin que le second théo- rème

généralise

^{les résultats connus} pour les

produits

de matrices

indépen-

dantes de

Guivarc’h, Raugi [22].

Décrivons maintenant le

plan

^{de l’article.}

Les

paragraphes 2,

^{3 et 4 sont} consacrés à la démonstration du théorème 1. 6. Dans le

paragraphe 2, après quelques généralités,

^{nous montrons}

qu’il

suffit de l’établir _pour une classe très

particulière

^de processus

multiplicatifs

felleriens à base

compacte.

^Nous

présentons

^au

paragraphe

^{3 un critère}

très

général, inspiré

de Guivarc’h

[21],

^assurant que deux

exposants

^d’indice donné sont distincts. Tel

quel,

^{ce critère est}

inapplicable

^{et il ne constitue}

qu’une étape

^{vers le théorème 1. 6. Ce théorème est}

prouvé

^au para-

graphe

^{4. Nous} y donnons aussi une condition

simple

pour que les expo- sants ne soient _pas tous

égaux (corollaire 4. 9).

444 P. BOUGEROL

Dans le

paragraphe 5,

^nous prouvons le théorème 1. 7. Nous montrons aussi une condition _{pour que} tous les

exposants

soient distincts et exami-

nons le cas des matrices

symplectiques.

^Le

paragraphe

⁶

précise

^ces

résultats sur un certain nombre

d’exemples.

Au

paragraphe

^{6. 1 nous} examinons le cas

où,

pour ^une

application

et où le _noyau de transition de la chaîne _x~ admet une densité strictement

positive

par

rapport

^{à la}

probabilité

invariante x. Le critère est alors

particulièrement simple

^et

généralise

^les résultats de Guivarc’h

[21]

^et

Virtser

[46].

Au

paragraphe 6.2,

^{nous étudions le cas des}

équations

différentielles

stochastiques (1. 1)-( 1. 2). L’hypothèse (H)

^{est alors}

généralement

^vérifiée.

Nous donnons des conditions

d’hypoellipticité

^{assurant d’une}

part

que le

système

^{considéré est fortement}

irréductible,

^d’autre

part

que ^tous les

exposants

^sont différents. Nous examinons en détail

l’exemple

^très

impor-

tant où les mouvements browniens intervenant dans

l’équation

définissant

Mt

^sont

indépendants

du processus xt. Ce ^{cas est} celui

qui

^{est en}

général

considéré _pour modéliser un

système mécanique

soumis à des

perturbations

aléatoires

(cf.

Arnold et al.

[2], [3], [4]).

^{Dans ce cadre nos critères devien-}

nent très

simples

^{et sont aisément} vérifiables.

Au

paragraphe 6. 3,

^nous commençons par

adapter

^{le théorème 1.7 à}

l’étude des flots linéaires arbitraires sur les fibrés vectoriels. Ce cadre s’introduit de

façon

^tout à fait naturelle dans l’étude des _processus

multipli-

catifs. On

peut

^même dire que les résultats antérieurs ne se

comprennent

bien que si ^on considère E ^x

IRd

comme un fibré vectoriel et

Mr

^comme

une

application

de la fibre au dessus de _xo dans la fibre au-dessus de xt.

Seul le

souçi

^{de ne} pas ennuyer ^tout de suite le lecteur avec la

terminologie

des fibrés nous à fait choisir de travailler au

départ

^avec des processus

sur E x

Gl (d, Enfin,

^{nous étudions le} flot dérivé d’un flot

stochastique

de

difféomorphismes

^d’une variété. Utilisant l’article récent de

Arnold,

San Martin

[4],

^{nous montrons}

qu’on peut

^décrire

explicitement

^{au moins}

une

partie

^de

grande

^{taille des} sous-ensembles

Sx(x).

^{Nous examinons}

aussi le cas

important

^{des flots de} transformations

canoniques

^{sur une}

variété

symplectique.

^{Nous terminons} par

l’exemple explicite

du flot gra- dient brownien sur une

hypersurface compacte

^{V de Son}

importance

vient du fait que le ^mouvement d’un

point

^{de V sous ce flot est le}

mouvement brownien

canonique

^sur

V,

muni de la

métrique

induite. Nous montrons que

PROPOSITION 1. 8. ^- Tous les exposants ^de

Lyapounov

^du

flot gradient

brownien sur une

hypersurface

compacte ^{V sont}

distincts, sauf

^{si V est une}

sphère (auquel

^{cas ils sont tous}

égaux).

Les résultats de cet article ont été

présentés

^au

congrès

mondial de la société Bernoulli à Tachkent en

septembre

¹⁹⁸⁶

(cf [8]).

2.

RÉDUCTION

AU CAS DES PROCESSUS FELLERIENS A BASE COMPACTE

Après quelques généralités,

^{nous montrons dans cette section}

qu’il

^suffit

de montrer le théorème _{1. 6 pour} une classe très

particulière

de processus

multiplicatifs.

Précisons d’abord

quelques

notations. Nous noterons M

(d, f~)

^l’ensem-

ble des matrices carrées à coefficients réels d’ordre d et Gl

(d, f~)

^l’ensemble

des matrices inversibles. La matrice identité est notée Id. Si M E M

(d, R)

et u E M u

désigne

^{l’élément de}

^/Rd égal

^au

produit

^{de la matrice M} par le vecteur colonne _u, et, ^{si V est un} sous-ensemble de

~ M V = ~ M u;

^Si

p E ~ 1, ... , d ~,

^APM

désigne l’opérateur (ou

^une

matrice le

représentant

^{dans une base}

fixée)

^sur

^{AP IRd}

^défini par, si ui, u2, ^...,

u p

^{sont dans}

IRd,

Nous munissons

AP /Rd

de la norme euclidienne associée au

produit

^scalaire

vérifiant

et l’ensemble des matrices AP M de la norme

d’opérateurs

^associée.

Montrons d’abord l’existence des

exposants

^de

Lyapounov

associés à

un

système multiplicatif.

Considérons un processus markovien

multiplicatif

~ (xt, Mt), t E T}

^{sur E x Gl}

(d, (~)

^{défini sur un} espace Q. Notons ~ la tribu

engendrée

par les variables aléatoires

(xt, Mr),

^{t E T.}

Rappelons

que ^nous supposons que E ^{est un} borélien d’un _espace

métrique séparable complet

et,

lorsque

que ^ce processus ^est mesurable.

Quitte

à travailler

avec ~2

= (E

^{x Gl}

(d,

^nous pouvons supposer

qu’il

^{existe une famille}

d’applications

mesurables de Q dans Q telles que, pour ^tout

(t, s)

^de

T2,

On

prendra garde

^{au fait} que

et

^n’est pas le shift usuel des _processus de Markov. Nous noterons

~ la

^tribu

engendrée

par les variables aléatoires

f (xs,

^{s _}

t}, P(x,

^M> la loi du

processus {(xt, Mt),

^{t E}

T} lorsque (xo, Mo) = (x, M)

^et

~x

^{cette loi}

lorsque

^{M = Id.}

LEMME 2. 1. - Soit Z une variable aléatoire bornée sur Q. Pour tout

(x, M)

^{E E x Gl}

(d, R)

^{et t}

ET,

446 P. BOUGEROL

Démonstration. - Pour tout borélien U

(resp. V)

^{de E}

[resp.

^Gl

(d, (~)]

et tout s e T nous avons, ^en utilisant la définition d’un processus markovien

multiplicatif (cf

définition

1.1),

Il en résulte _{que pour} toute fonction borélienne bornée

f

^{sur E x Gl}

(d, R),

Si s, t,

kET,

nous avons et

(

Mk

^{° Ceci}

implique, d’après

la relation

précédente,

que si A ⁼

Mk

^°

ot,

On en déduit _par récurrence sur p

(en

conditionnant _par

rapport

^à

et

^en utilisant la

propriété

^de

Markov)

que si ... >_

tl >__

t, et si

fl, f2, ... , fp

^sont des fonctions boréliennes bornées sur E x Gl

(d, (~),

alors

ce

qui implique

^{le lemme.}

PROPOSITION 2. 2. ^-

Mt),

^{t E}

^T; ~t ~

^un

système multiplicatif

sur E x Gl

(d,

^{Il existe d réels} yl

>__ Y2 ? ... ? Yd

^tels que, pour ^tout p ⁼

l, 2,

^...,

d, lorsque

^{nE f~ tend vers}

l’infini,

~,~ presque

^{sûrement et dans}

L1,

pour ^tout

p =1, 2,

^..., d. Si de

plus

~ Mr,

^{t E}

T ~

^{est un processus}

^séparable

^et

est

fini, lorsque

^{t E T tend vers}

l’infini,

Démonstration. - Le lemme

précédent

entraîne immédiatement _{que les} transformations

8t

conservent

[P~ ==

^De

plus

^le

système

(Q, ~ , T,

^est

ergodique.

^{En effet si Z est une} variable aléatoire

bornée

vérifiant,

pour tout ^t

~ 0,

^{Z ~}

8t

⁼

^Z,

^{on a}

~,~ presque

^sûrement

Ceci entraîne _{que Z} est mesurable _par

rapport

à la tribu

engendrée };

^{ce processus étant}

ergodique

^Z est constante

P03C0-presque

sûrement. Si _m, n E

I~,

et il résulte du théorème

ergodique

^{sous additif de}

Kingman [32] qu’il

existe une variable aléatoire

Zp

^{telle que}

^lorsque

^{nE N tend vers}

^l’infini,

s. et dans

L 1,

Par

ailleurs,

^nous vérifions facilement _que

Nous en

déduisons,

^en utilisant le lemme de Borel

Cantelli,

que pour ^tout t

fixé,

s.,

Par

ergodicité, ZP

^{doit être} constante. Pour tout M de Gl

(d,

^{la suite}

( ( AP+ 1 AP M I I,

^{p =}

^{0, 1,}

^{..., d -1 est} décroissante.

ZP

^{est donc de la}

p

forme 03A3

^{yi où yl}

^>__

^{yz >}

... >__

_{ya. La} ^deuxième assertion de la

proposition

est une

conséquence

immédiate de

(2. 2)

^et du lemme de Borel Cantelli.

Nous allons montrer

qu’il

suffit d’établir le théorème 1.6 _pour les

systèmes multiplicatifs

vérifiant la condition suivante.

CONDITION

(D). -

^{On dit}

qu’un système multiplicatif

^à

temps

^discret

~ (xn, Mn),

^{n E}

I01; ~ ~

^{sur E x Gl}

(d, R) vérifie

la condition

(D)

^{si :}

(D 1)

^{E est un} espace

métrique

compact.

(D2)

^{il existe} deux réels c >

0,

^{0 A}

1,

^tels que les itérés du _noyau de transition P de la chaîne de

Markov {xn,

^{n E}

vérifient

^{pour tout borélien}

AdeE

(D3)

Le processus

M")

^est

fellerien.

( D4)

^Le support ^{de x est}

égal

^{à E.}

448 _{P. BOUGEROL}

LEMME 2. 3. - _un

système multiplicatif

^sur

E x

Gl (d, (~) vérifiant

la condition

(D2).

On peut

plonger

^de

façon

^{mesurable E dans un} espace

métrique

compact C de telle sorte que E soit un borélien dense de C et que ^ce

système

^se

prolonge

^{en un}

système multiplicatif

^{sur C x Gl}

(d, R), possédant

^les

proprié-

tés

(Di), (D2)

^et

(D3).

^{Si de}

plus

^le processus ^est

fellerien,

^on peut supposer que C induit sur E sa propre

topologie.

Démonstration. - Considérons une distance d sur

E, compatible

^avec

sa

topologie,

pour

laquelle

l’ensemble

Cu

des fonctions uniformément continues bornées forme une

algèbre séparable (c~ f Parthasaraty [41],

preuve du théorème II.

6. 2). n ? 1 ~

^un sous-ensemble

dénombra-

ble dense de

l’ensemble

des fonctions continues à

support compact

^sur

Gl (d, R)

^et (po la fonction

identiquement égale

^{à 1.}

Si f est

^{une fonction}

borélienne

bornée sur

E,

posons

T nf(x)

^{= R}

( f ~ (x, Id),

pour ^{x E} E.

Notons A la

plus petite sous-algèbre

^{fermée de} l’ensemble des fonctions

boréliennes

bornées sur

E,

^stable par

conjugaison,

^contenant

Cu,

^telle que

si fE A,

^alors pour ^tout entier n.

D’après

le théorème IV. 6. 18 de

Dunford,

^Schwartz

[18],

^{il existe un} espace

compact

^{C et une}

injection

i : E -~ C tels _que A soit l’ensemble des fonctions

fo i, lorsque f

^parcoure

l’ensemble des

fonctions

continues sur C. Il est clair _{que i} est une

applica-

tion borélienne et que C ^{est un} espace

séparable. Puisque

^{l’on a}

supposé

que E ^{est un} borélien d’un _espace

métrique complet,

^{i envoie}

chaque

borélien de E sur un borélien de C

(c,f: Parthasaraty [41], Corollary 1. 3. 3).

On

peut

donc identifier E à un borélien dense de C et supposer que i ^est

l’injection canonique.

^Si

f

^{est une fonction sur}

C,

^{on note}

/’ ^sa

restriction à E.

L’application f ~ fi

^{est alors une isométrie de} l’ensemble des fonctions continues sur C sur l’ensemble A.

Notons R le noyau de transition du processus Soient

r

fo,fi, ... , fr

^des fonctions continues sur C. Si (x) la fonction

k=0

r

qui

^à xeE associe est dans A. Elle se

prolonge

k=0

donc en une fonction continue sur

C,

^{notée encore}

R g (x, Id),

^telle que

L’ensemble des fonctions _g de cette forme contient un ensemble dense des fonctions continues à

support compact

^{sur C x}

Gl (d,

^Nous définissons

ainsi,

pour ^{tout x} de

C,

^une

probabilité

^R

((x, Id), . )

^{sur C x Gl}

(d, (~)

^telle

que

R g (x, Id)

^{est une} fonction continue de x e C

lorsque g

^{est une fonction}

continue à

support compact.

^Nous construisons alors un noyau

multiplica-

tif fellerien sur C x Gl

(d, prolongeant

^le noyau initial sur E x Gl

(d, (~),

en

posant,

^{si U est un} borélien de C et V un borélien de Gl

(d, I~),

Remarquons

^enfin que si P est la

projection

^{de R sur}

C, alors, d’après (D2)

^{pour toute fonction continue}

^f

^{sur C}

majorée

par

1,

Ce

qui

^montre que le _{noyau R} sur C ^x Gl

(d, R)

vérifie les conditions

(Dl), (D2)

^et

(D3)~

Si de

plus

^{R est un} noyau

fellerien, l’algèbre

^{A est} formée de fonctions

continues,

^ce

qui

^{entraîne que}

l’injection

^{i est} continue. D’autre

part,

pour tout x E

E,

la fonction d

(x, . )

^est uniformément continue et se

prolonge

donc en une fonction continue sur

C,

^{il en résulte} que C induit sur E sa

propre

topologie.

PROPOSITION 2.4. - Considérons un

système multiplicatif

^non

singulier

~ (xt, Mt), t E T; ~c ~

^{sur E x}

Gl (d, R)

de résolvante d’ordre 1 notée U et

d’exposants

^de

Lyapounov

Y1, ^{... ,} Il existe alors un borélien F de E

portant

x, ^un espace

métrique compact

^{C dont F est un sous ensemble} borélien et un

système multiplicatif ~

^{n E}

^N; ~’ ~

^{sur C x Gl}

^(d, ~) vérifiant

^{la condition}

(D), d’exposants

^de

Lyapounov Y~,

¹

^{_ i _ d,}

^{et de}

résolvante U’

ayant

^les

propriétés

suivantes :

(i)

^{~’ est}

équivalente

^{à x.}

(ii)

^{il existe oc > 0 tel} que

Yi

⁼ 03B103B3i pour ^tout 1 _ i _ d.

(iii)

^{Pour tout}

(x, M)

^{de F x Gl}

(d,

^les

probabilités

^U

((x, M), . )

^et

U’

((x, M), . )

^sont

équivalentes.

Démonstration. -

(a)

Considérons une suite de variables aléatoires

~ ~i", ^{n ?_} 1 ~ indépendantes

^{entre elles et}

indépendantes

du processus

(xt, Mt), t E T, ayant

^toutes

lorsque (resp.

^{une loi}

exponentielle (resp.

n

géométrique) d’espérance

^1.

~ü,

^et

i=1

Bn),

^{n E}

^f~; ~c ~

^{est un}

système multiplicatif

^à

temps

^{discret sur} E x Gl

(d, I~)

^{dont la}

probabilité

de transition est

égale

^{à la} résolvante U.

De

plus, ~n-p.

^s.

ce

qui

^montre que Y1, 72? ’ ’ ’ ? Yd ^{sont encore} les

exposants

^de

Lyapounov

de ce nouveau

système.

(b)

^La résolvante d’ordre

1,

^K

(x, dy),

^du processus xt ^est le _noyau de transition de la chaîne de Markov _z".

Puisque ~

^{est une}

probabilité

450 P. BOUGEROL

invariante

ergodique

^ce noyau induit une contraction conservative

ergodi-

que de

L1 (~).

^{On déduit donc de}

l’hypothèse

^de

non-singularité

^{et du}

théorème IV. 4. 6 de Revuz

[42] qu’il

^{existe un borélien F de E}

portant

^x, tel que K

(x, F)

^{= 1 sur F et} tel que la restriction de la

chaîne zn

^{à F ait la}

propriété

^{de Harris.} Considérons une fonction mesurable bornée h sur F et introduisons le noyau

multiplicatif Uh

^{sur F x Gl}

(d, l~)

défini par

lorsque f

^{est une} fonction borélienne bornée. La

projection

^de

Uh

^{sur F}

est le _noyau

Kh = L (K I1-h)n K Ih

^où

I~

^est

l’opérateur

^de

multiplication

n>_0

par h. Nous pouvons choisir h de telle sorte que 0 h

(x)

1 pour ^{tout x} de E et

qu’il

^{existe un réel 0 0 1} tels que

Kh

^{est un} noyau markovien

vérifiant,

pour ^tout borélien A de

F,

où v est la

probabilité h03C0/(h d03C0) (cf.

^la démonstration du théorème III.2.5 de Revuz

[42]).

^{Dans ce cas,}

Uh

^{est un noyau}

multiplicatif

^sur

FxGl(d,M).

^{Calculons les}

exposants

^{associés à}

Uh.

^Notons

zn,

Bn),

^{n E}

I~,

^les

applications

coordonnées

et i

l’opérateur

^de

décalage

^{sur E défini} par

Soit la

probabilité

sur E pour

laquelle (zn, BJ

^{est une} réalisation de la chaîne de Markov de

probabilité

^de transition U vérifiant

(zo, Bo) = (x, Id)

et {un’

^{n E une suite de} variables aléatoires

indépendantes

^{de loi uni-}

forme sur

[0, 1], indépendante

^{de la suite}

(zn’ Bn).

Définissons une suite de

temps

^d’arrêt

T (n),

par

rapport

^{à la} filtration naturelle de E en

posant T(0)=0,

et

On vérifie facilement que

(zT BT ~n~)

^{est sous tout une chaîne de}

Markov de noyau

Uh.

Soit (p ^une fonction borélienne

positive

^{sur F et}

(l-h)jh.

^{Nous avons}

Nous en déduisons en utilisant que

v Kh = v

que, si

Ey == ~x

^dv

(x),

Choisissons d’abord cp

(x) = Ex (Log+ Il |B1 Il).

^En utilisant le fait _que

T(I)

est un

temps

^{d’arrêt et le lemme}

2.1,

^nous voyons que

On montre de la même

façon

que

E~ ( Log +

^{est fini. En}

prenant

(p

identiquement égale

^à

1,

^nous obtenons que

~~ (T ( 1)) = a,

^où

On déduit donc du théorème

ergodique

que

T ( n)/n

tend vers a, d’où si 1

_ p _ d,

En

conclusion, ( (zT

~"~,

BT ~"~),

^{n E}

^N; v ~

^{est un}

système multiplicatif

^vérifiant

(D2)

^sur

d’exposants

^de

Lyapounov 1 -_ i _ d,

^{dont la}

probabilité

^de transition

Uh ((x, M); . )

^est

équivalente

^{à U}

((x, M); . ),

pour tout XEF et

M E Gl (d, f~). D’après

le lemme 2 . 3 nous pouvons donc

plonger

^{F dans un} espace

métrique compact

^C tel que ^ce

système

^se

prolonge

^{en un}

système multiplicatif

^{sur C}

x Gl (d, R)

^vérifiant

(DJ, (D2), (D3)

^et les conditions

(i), (ii)

^et

(iii)

^{de la}

proposition.

^{Soit S le}

support

^de

~’ dans C.

Quitte

^à

remplacer

C par C

n

^{S et} F par

F n S,

^{on obtient}

alors la

proposition.

PROPOSITION 2. 5. - Pour établir le théorème 1. 6 en toute

généralité,

^il

suffit

^{de le montrer} pour les

systèmes multiplicatifs vérifiant

la condition

(D).

Démonstration. - Considérons un

système multiplicatif

^non

singulier

{(xt, Mt), t E

^{sur E x Gl}

(d, R)

^{et le}

système {(yn, Nn), n E N ; 03C0’}

^sur

C x Gl (d, ~),

^vérifiant

(D), qui

^{lui est associé} par la

proposition

^{2. 4. La}

propriété (iii) implique

que ^ces

systèmes

définissent les mêmes ensembles

452 P. BOUGEROL

Sx

pour presque ^{tout x.} Montrons que ^ces deux

systèmes

^{sont fortement}

irréductibles en même

temps,

^ce

qui

entraînera la

proposition.

C’est clair

lorsque

^{T = ~J. Si}

T=R,

^{il suffit de démontrer} que le

système multiplicatif

~ (xt, Mr),

^{t E}

I~ +; ~ ~

^est fortement irréductible dès _{que pour} tout

r d,

^il n’existe _{pas de} famille

... , Vk ~ d’applications

^mesurables

de E dans l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension r de

(~d,

telle _{que pour x-presque} tout x de

E,

^si

W (x) = ^U V (x),

Supposons qu’une

^{telle famille} existe. Nous

pouvons

^{alors trouver un}

borélien B de

R +

de

complémentaire négligeable

pour la ^mesure de Lebes- gue tel que,

~,~-p.

^s., pour ^{tout t} de

B, Mt W (xo)

^{= W}

(xt).

^{Fixons un réel}

s > o. Choisissons un teB tel _que t + S E B. Nous avons alors

~,~-p.

^s.,

et ce

qui implique

que

Cette relation s’écrit aussi

Utilisant le lemme 2.1 nous en déduisons _que

W (xo)

⁼

W(xs))= ^l, BP> n-P. s. Puisque

^{est de loi} 03C0 nous avons donc ⁼

P03C0-

p. s., ce

qui

^montre que le

système

n’est pas fortement irréductible.

La

proposition

^suivante

qui

^{nous sera utile} pour l’étude des

systèmes

felleriens.

PROPOSITION 2. 6. ^- Si le

système multiplicatif

^{sur E x Gl}

(d, R) vérifie

la condition

(H),

^{il est non}

singulier,

^on peut dans la

proposition

^{2. 4 choisir}

F

égal à

E et supposer que C induit sur E sa propre

topologie.

^{Pour tout}

(x,y)EE2, les

^ensembles

Sx(y)

associés à ^ce

système

^{et au}

système { (Yn’ ^{Nn), n E N;}

^{sur C x Gl}

^{(d, IR)}

^{sont alors}

^égaux.

Démonstration. -

Indiquons

^les modifications à

apporter

^{à la démons-} tration de la

proposition

2. 4 pour obtenir la

première partie

^{de l’énoncé.}

Si A est un borélien de E

chargé

par ^x, considérons la fonction _(p définie

sur

E par

On vérifie immédiatement _que

Kc~

⁼ cp, donc _{que cp} ^est continue

d’après l’hypothèse (H).

^Par

^ailleurs,

^il résulte du théorème

ergodique

que cp

(x)

⁼

^{1 ,}

s. Donc (p ^est

identiquement égale

^{à 1. Ceci} montre que le

système

est non

singulier

^{et que la chaîne de Markov zn est} ~-récurrente au sens

de Harris sur E tout entier. Nous pouvons donc choisir F = E. Comme le noyau K ^est

fellerien,

^il résulte des

propositions

^{VIII. 4.2 et VI.4. 8 de}

Revuz

[42]

que la fonction h

peut

^être choisie continue.

Soit f une

^fonction

continue bornée sur E x Gl

(d, ~).

^{Si a est la norme} uniforme de

f,

^les

fonctions

Uh(a-f)

^et

Uh(a+f)

^sont semi-continues inférieurement car

elles sont définies _par des séries de fonctions continues

positives. Uh f est

donc

continue,

c’est-à-dire que le noyau

Uh

^est fellerien. On obtient alors la

première partie

^{de l’énoncé en}

appliquant

^la dernière assertion du lemme 2. 3 à ce noyau

Uh.

^{La seconde}

partie

^{en est une}

conséquence

^immédiate.

3. UN

CRITÈRE GÉNÉRAL

ASSURANT

QUE

DEUX EXPOSANTS SONT

DIFFÉRENTS

Un deuxième outil

important

^{pour la} démonstration du théorème 1.6 est le critère

général

^{établi dans cette}

partie (corollaire 3. 8)

^en

s’inspirant

d’idées

développées

par Guivarc’h dans

[21].

^{Nous ne} considérerons ici que des _processus à

temps

^{discret. Dans} ce cas nous travaillerons avec la version définie ci-dessous sauf mention

explicite

^{du contraire.}

NOTATIONS 3.1. - Considérons un processus markovien

multiplicatif

^à

temps

^{discret sur E x}

Gl (d, IR)

^de

probabilité

^de transition R.

(i)

^{Nous notons Q} l’ensemble des

suites ~ _ ~

^nE d’éléments de

E x Gl (d, R)

^{muni de}

l’opérateur

^de translation 9

défini

par 9

(w)n

⁼ ~n+ ~~

Notant O)n ⁼

(~n ), (~n

^E

^E, (~n

^{E Gl}

(d,

^on pose

(ii)

^{Pour tout n ~}

N, Fn désigne

^{la tribu}

engendrée par { (xm, Mm); ^{m __}

ⁿ

},

et ~ la tribu

engendrée

par la réunion des n >_ 0.

(iii)

^{Pour tout x de}

E, P x

^{est la}

probabilité

^sur Q pour

laquelle { (x,~, Mn),

^{n E est un} processus de Markov de

probabilité

^de transition R

vérifiant

xo ^{= x et}

Mo

^{= Id.}

Remarquons

que xm en ⁼ xm + n et

Mm

^{en =}

Mm

^{+ n} pour tous n,

m Nous pourrons donc utiliser le lemme 2. 1.

NOTATION ET DÉFINITION 3 . 2. - On note

l’espace projectif

^de

dimension d -

1,

^{i. e.}

l’espace

des directions de droite de Soient

u E

0 ~

^{et M E Gl}

(d, ~).

^{O n}

désigne

par

û

la classe de u dans et par M. u la classe de M u. Si v est une

probabilité

^{sur on note M v}

la mesure sur

P ( O~d) définie

par ⁼

lorsque f

^est

une

fonction

borélienne bornée.

On dit _que v est propre si pour ^tout sous-espace vectoriel _propre H de

~d’

^,

Nous allons montrer la

proposition

^{suivante. On}

peut

remarquer que

sa démonstration n’utilise _pas

l’hypothèse d’intégrabilité.

^{Nous notons M*}

454 P. BOUGEROL

la matrice

transposée

^{de la matrice M et utilisons} les ensembles

Sx

^définis

notation 1.4.

PROPOSITION 3. 3. ^- Considérons ^un

système m multiplicatif

~ (xn, Mn),

^{n E}

I~; ~ ~

^{sur E x Gl}

(d, ~)

^{et un} entier p

E ~ ^{1 ,}

^...,

d ~ vérifiant

^les

deux conditions suivantes :

(Ci)

^{il existe une}

famille mesurable {vx,

^{x E}

E}

^de

probabilité

^sur

contenue dans un compact

formé

^{de mesures} propres ^et

vérifiant,

^s.

(C2) Pour x-presque

^{tout x de E} et tout vecteur non nul u E

Sx

^contient

une suite

An,

^{n E}

~I,

^telle que

An/) converge

^{vers une matrice A de rang}

__ p vérifiant

^{A u ~ 0.}

Il existe alors un entier _q

E ~ ^1,

^{... ,}

p ~

^tel que, pour x-presque ^{tout x} de E :

(i) Px-presque

surement, ^toutes les valeurs d’adhérence

quand

^{n tend vers}

l’infini

^de

M"/I Il sont

^{des matrices de rang q.}

(ii)

^{Si u est un vecteur non nul de}

Rd, lim Inf ~Mnu~/~ ^Mn ~>0,

presque sûrement.

Commençons

par établir trois lemmes. La démonstration du

premier

est immédiate. Le second montre en

particulier

que l’événement considéré

au

(i)

^{de la}

proposition

^est mesurable.

Rappelons

que ^{nous notons} M

(d, R)

l’ensemble de toutes les matrices réelles carrées d’ordre d.

LEMME 3 . 4. - Soit m une mesure propre ^sur

P ( I~d)

^{et A une matrice}

non nulle de M

(d, R).

^On peut ^alors

définir

^une

probabilité

^{A m sur}

par

lorsque f

^{est une}

fonction

borélienne bornée sur Le

plus petit

^sous-

espace vectoriel de

(~d

dont

l’ image

^dans porte ^{A m est}

égal

^à

l’image

de A.

LEMME 3 . 5. - Pour tout p

=1, 2,

^...,

d - l,

^{il existe une}

famille

^dénom-

brable

Fp d’applications

mesurables de Gl

(d, R)

^{dans (~ telle} que, pour ^toute suite

R) vérifiant Il An Il = ^1,

^{les deux} assertions suivantes sont

équivalentes :

(a)

^Toutes les valeurs d’adhérence de la suite

An,

^{n E}

f~,

^{dans M}

(d, ~8)

sont de _rang

_ p.

( b)

^Pour

toutfEFp,

^{lim = o.}

+ o0

Démonstration. - Pour tout k ⁼

1 , 2,

^{..., d -1 notons}

Pk

l’ensemble des

probabilités

^sur

l’espace projectif P(Ak

des directions de droite dans