219 – Problèmes d’extremum.
Un petit commentaire avant de commencer : c’est la leçon sur laquelle je suis tombé à l’oral.
J’ai eu 11.5 avec ce plan. Je rajoute dans une dernière partie ce que je n’ai pas mis sur mon plan d’oral parce que j’avais soit oublié soit voulu assurer en ne parlant pas de choses trop compliquées. Vous remarquerez que je parle ici du principe du maximum et j’ai réussi à l’oublier le jour de l’oral !
Le plan :
I) Utilisation de la compacité.
Image par une application continue d’un compact. Homéomorphisme. Application coercive.
Théorème de Rolle. Applications. Distance atteinte. Polynômes de meilleure approximation.
II) Différentiabilité pour les problèmes d’extremums.
1) Conditions d’existence.
Définition de point critique. CN d’existence. Différentielle seconde, forme quadratique. CNS d’existence. Lemme de Sard. Application à l’étude locale d’une surface. Théorème des extrema liés. Exemple. Fonctions convexes. Cas des fonctions coercives. Méthode du gradient à pas fixe.
2) Principes du maximum.
Opérateur différentiel sous hypothèses. Principe du maximum faible, fort. Applications. Cas particulier des fonctions holomorphes. App : D’Alembert-Gauss.
III) Problèmes d’approximation.
1) Structure hilbertienne.
Projection sur un convexe fermé, exemples. Polynômes orthogonaux. App : formules de quadrature et méthode de Gauss.
2) Problème des moindres carrés.
Présentation du problème. Résolution.
IV) Autres problèmes.
1) Ellipsoïde maximal.
Convexité. Théorème de John-Lœwner.
2) Inégalité isopérimétrique.
Un mot sur les séries de Fourier. Formule de Green-Riemann. Inégalité isopérimétrique et cas d’égalité.
Les développements :
B4 : Polynômes orthogonaux et méthode de Gauss B12 : Théorème des extrema liés
B23 : Méthode du gradient à pas fixe La bibliographie :
[Rou]-[Go2]-[Fil]-[CL1]-[Pom]-[Bré]-[ZuQ]
