La théorie de l'unication

La théorie de l'unication

Les Σ -algèbres

Σ: Ensemble de symboles de fonctionayant unearité n∈IN.

X : Ensemble devariables.

T(X,Σ) : Ensemble determessur X et Σ: x ∈ X

x ∈ T(X,Σ)

t1, . . . ,tn∈ T(X,Σ) f est d'arité n∈Σ f(t1, . . . ,tn)∈ T(X,Σ)

On écrit Var(t)l'ensemble de toutes les variables de t. Un terme t est clos si Var(t) =∅.

Les substitutions

Denition

Unesubstitution est une fonctionσ :X → T(Σ,X). Ledomained'une substitutionσ est l'ensemble Dom(σ)={x ∈ X |σ(x)6=x}.

Lecodomaine d'une substitutionσ est l'ensemble Codom(σ)={Var(σ(x))|x ∈Dom(σ)}.

Un renommageest une substitution injective σ t.q. σ(x) =y

∀x ∈Dom(σ).

Exemple :σ ={x/y,y/w}est un renommage. Toute permutation est un renommage mais pas l'inverse comme le montre l'exemple.

Si le domaine d'une substitution σ est nion note σ={x1/t1, . . . ,xn/tn} si σ(xi) =ti et xi ∈Dom(σ).

L'application d'unesubstitution à un terme est l'extensiondeσ aux termes donnée parσ(f(t1, . . . ,tn)) =f(σ(t1), . . . , σ(tn)).

Comparer deux substitutions

Soient σ etτ deux substitution. Lacomposition deσ avecτ est donnée par (σ◦τ)(x) =σ(τ(x)).

Exemple : {y/b,z/h(c)} ◦ {x/f(y),y/z}={x/f(b),y/h(c),z/h(c)}

La substitution σ est uneinstance de la substitution τ (ouτ estplus générale queσ), ce que l'on écrit σ ≤τ, ss'il existe une substitutionρ t.q.

pour toute variable x ∈ X,σ(x) = (ρ◦τ)(x).

Exemple : {x/f(y),y/z} est plus générale que{x/f(b),y/h(c),z/h(c)}

Identier deux substitutions

Remarque : La relation ≤n'est pas antysimmetrique.

Exemple : Soient σ₁ ={x/y}et σ₂ ={y/x}. On aσ₁≤σ₂ car σ₁ ={x/y} ◦σ₂.

On aσ₂≤σ₁ car σ₂ ={y/x} ◦σ₁. Mais σ₁ 6=σ₂.

Exemple : Soient σ₁ ={x/y}et σ₃ ={x/y,z/w,w/z}. On aσ₁≤σ₃ car σ₁ ={z/w,w/z} ◦σ₃.

On aσ₃≤σ₁ car σ₃ ={z/w,w/z} ◦σ₁. Mais σ₁ 6=σ₃.

Lemma

σ ∼σ⁰ ssi∃ un renommageρ t.q. σ =ρ◦σ⁰. Donc σ₁ ∼σ₂∼σ₃ dans l'exemple précédent.

Substitution(s) principale(s)

Soit S en ensemble de substitutions etτ ∈ S. On dit que τ est principale ssi toute substitution σ∈ S est une instance deτ.

Exemple : SoitS ={σ₁, σ₂, σ₃, σ₄, σ₅}, où σ₁ ={x/y},σ₂ ={y/x}, σ₃={x/y,w/z,z/w},σ₄ ={x/u,y/u} etσ₅={x/a,y/a}.

Alors σ₁,σ₂ et σ₃ sont principales pour S. En eet,

σ₂, σ₃, σ₄, σ₅≤σ₁ etσ₁, σ₃, σ₄, σ₅≤σ₂ et σ₁, σ₂, σ₄, σ₅ ≤σ₃ Mais σ₁ 6≤σ₄ etσ₁6≤σ₅ (entre autres).

Unication comme solution d'un système d'équations

Denition

Deux termes A et B sont uniablesss'il existe une substitution σ t.q.

σ(A) =σ(B) (σ est donc un unicateurde A et B).

Uneéquation est une paire de termes de la forme A .

=B. On dit qu'elle est uniable ssi les termes A et B le sont.

Un système/problème d'équationsE est un ensemble d'équations. On dit qu'il estuniable ssi il existe une substitution qui est unicateur de toutes les équations de E. Cette substitution est appelée solutionde E.

On s'intéresse aux systèmes d'équationsnis.

Exemple : f(x,g(x,a))et f(f(a),y) sont uniables avec l'unicateur {x/f(a),y/g(f(a),a)}.

f(x,g(x,a))et f(f(a),f(b,a)) ne le sont pas.

L'unicité

1 On identie deux unicateursσ etσ⁰ d'un problèmeP s'ils ne diérent que par des renommage de variables, c'est à dire, si σ∼σ⁰.

2 On considère uniquement comme unicateurs deP les substitutions σ t.q. Dom(σ)⊆Var(P).

Exemple : SoitS ={x .

=y}. Prenons trois unicateurs principaux de S : σ₁={x/y},σ₂ ={y/x}et σ₃ ={x/y,z/w,w/z}.

Alors σ₁ =σ₂ (car [σ₁]∼= [σ₂]∼) etσ₃ n'est plus considéré comme un unicateurs de S.

L'unicité

Module ces considérations,l'unicateur pricipal d'un problème P est unique modulo renommage, c'est à dire :

Si σ etσ⁰ sont deux unicateurs principaux de P, alors σ∼σ⁰.

Les formes résolues

Denition

Un système d'équations E est en forme résolue ssi il est de la forme {α₁ .

=t₁, . . . , α_n .

=t_n}, où

toutes les variables α_i sont distinctes (i6=j impliqueα_i 6=α_j) aucune α_i n'apparaît dans un t_j (∀i, α_i ∈/ S

1≤j≤nVar(t_j))

Notation : Si E est un système en forme résolue{α₁ .

=t1, . . . , α_n .

=tn} on note E~ la substitution {α₁/t₁, . . . , α_n/t_n}.

Les règles de transformation

E∪ {s .

=s}

E (eacer) E∪ {t .

=α} t∈ X/ E∪ {α .

=t} (orienter) E ∪ {f(s1, . . . ,sn) .

=f(t1, . . . ,tn)}

E∪ {s1 .

=t1, . . . ,sn .

=tn} (décomposer) E∪ {α .

=s} α∈Var(E) α /∈Var(s) E{α/s} ∪ {α .

=s} (remplacer)

Algorithme d'unication d'un système E

1 On démarre avec un système E

2 On applique les règles de transformation tant qu'on peut, on obtient un problème P

3 Si le système P est en forme résolue

I alors renvoyer~P .

I sinon échec

Exemple

Soit P ={f(x,h(b),c) .

=f(g(y),y,c)}. f(x,h(b),c) .

=f(g(y),y,c) x . d

=g(y),h(b) .

=y,c .

=c x . e

=g(y),h(b) .

=y x . o

=g(y),y .

=h(b) x . r

=g(h(b)),y .

=h(b)

L'unicateur principal de P est σ={x/g(h(b)),y/h(b)}. Ainsi,σf(x,h(b),c) =f(g(h(b)),h(b),c)=σf(g(y),y,c).

Vers la correction et la complétude de l'algorithme

Lemma

1 L'algorithme termine.

2 Siσ est un unicateur d'une forme résolue P, alorsσ =σ~P.

3 Si une règle transforme un problème P dans un problème S, alors les solutions de P et S sont les mêmes.

4 Si E est en forme résolue, alors ~E est solution du problème E.

Démonstration de la terminaison

Une variable est non résoluedans un problème E si elle y apparaît plus d'une fois. La terminaison de l'algorithme d'unication est par récurrence sur le triplethn1,n2,n3imuni de l'ordre lexicographique, où

n1 : nb de variables pas résolues n2 : taille du problème

n3 : nb d'équations de la forme t=x En eet,

n1 n2 n3 Remplacement >

Eacer ≥ >

Decomposer = >

Orienter = = >

Correction et complétude de l'algorithme

Théorème : (Correction) Si l'algorithme trouve une substitution~S pour le problème P, alors P est uniable et ~S est un unicateur principal de P.

Autrement dit,

Si P n'est pas uniable, l'algorithme échoue.

Théorème : (Complétude) Si le système P est uniable, alors l'algorithme calcule l'unicateur principal de P.

Autrement dit,

Si l'algorithme échoue, alors le système P n'est pas uniable.