TD3

Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Feuille de T.D. n^◦3 Licence de Mathématiques Année universitaire 2016-2017

3M234 Approximation numérique des fonctions

Approximation et interpolation de fonctions

I. Approximation par les séries trigonométriques

Exercice 1 Soit f : R→ _Rdéfinie parf(x) = x(π−x)sur[0,π], prolongée par imparité et 2π- périodicité.

1. Représenter le graphe defet déterminer son développement en série de Fourier.

2. En déduire les valeurs de

+∞

∑

k=0

1 (_2k+₁)^{6 et}

+∞

∑

k=1

1 k⁶.

Exercice 2 Soit f : R → _Cune fonction 2π-périodique de classe C¹ telle que Z_2π

0 f(t)dt=0. Montrer que Z _2π

0

|f(t)|²dt≤ Z_2π

0

|f⁰(t)|²dt.

Étudier le cas d’égalité.

Exercice 3 Pour toute fonction fdéfinie surRet 2π-périodique, on considère les coefficients de Fourier def

c_k(f) = ¹ 2π

Z_π

−π f(x)e^−ikxdx, ∀k∈K,

et on noteSnfla somme partielle de rangn∈_Nde la série de Fourier def associée.

1. Pourn∈_N^∗, on pose$n:=

+∞

∑

k=n+1

1

k². En utilisant la décroissance de la fonction φ:x7→1/x²surR^∗₊, montrer que$n≤1/n, pour toutn∈_N^∗.

2. Dans cette question, on suppose que fest de classeC²surR.

(a) À l’aide d’intégrations par partie, établir une relation entrec_k(f)etc_k(f⁰⁰) pour toutk∈_K^∗.

(b) En déduire que la série

∑

k∈K

|c_k(f)|est convergente.

(c) Établir une majoration dekf−S_nfk:= sup

x∈[−π,π]

|f(x)−S_nf(x)|en fonc- tion de$net def⁰⁰.

(d) En déduire que la suite(nkf−Snfk)_n∈Nest bornée.

3. Soit la fonctiong:R→_Rdéfinie sur[−π,π]parg(x) =x²et étendue surR par 2π-périodicité.

(a) Calculerc_k(g)pour toutk∈_K.

(b) Montrer que(Sng)_n∈Nconverge uniformément versgsurR.

(c) En calculantg(π)de deux façons différentes, déterminer la valeur de$₀. (d) Peut-on faire le même raisonnement qu’en 2.(d) pour montrer que

(nkg−Sngk)_n∈Nest bornée ?

II. Approximation polynômiale

Exercice 4 Polynômes de meilleur approximation

Pourn∈Non noteP_nl’espace vectoriel des fonctions f:R→Cpolynômiales de degré inférieur ou égal àn.

1. Soit(E,k · k)unC-espace vectoriel normé contenantP_n. Montrer que pour tout f∈Eil existepn∈ P_ntel que

kf−pnk=min{kf−qk, q∈ P_n}.

Un tel polynôme est appelé polynôme de meilleur approximation (PMA) def dansP_npour la normek · k.

2. Soit

f(x) =

1 si x>0

−1 si x≤0

Quels sont les PMA defdansP₁pour la normek · k_L∞(]−1,1[)? Qu’en déduire concernant l’unicité du PMA en général ?

3. Que dire siEest un espace de Hilbert ? Exercice 5 Polynômes de Bernstein.

On cherche à approcher une fonction continuefpar un polynôme sur l’intervalle [0, 1]. Pourn∈_Nfixé et 0≤j≤n, on définit les polynômes de Bernstein par :

Bj(_x) =_Cⁿ_jx^j(₁−x)^n−j_.

1. Montrer que, pour toutx∈[0, 1], on aB_j(x)≥0, et pour toutx∈_R,

∑

(j−nx)²B_j(x) =nx(1−x). 2. Soit f ∈C([0, 1]). On pose, pour toutx∈_R,

Pn(x) =

∑

f j

n

B_j(x). Montrer que, pour toutx∈[0, 1],

|f(x)−P_n(x)| ≤

∑

f(x)−f j

n

B_j(x)_. 1

3. Montrer que, pour toutε>0, il existeδ>0 tel que pour toutx∈[0, 1]et tout n∈N^∗,

|f(x)−Pn(x)| ≤ ^ε 2+ kfk

2nδ²

et en déduire que la suite(Pn)converge uniformément versfsur[0, 1]. 4. Soit fune fonction de classeC²sur[0, 1]. Montrer que

kf−P_nk_∞,[0,1]=O 1

n

quandn→∞.

III. Interpolation polynômiale

Exercice 6 Polynômes de Lagrange et de Hermite.

Soite∈]0, 1[etf une fonction de classeC³sur [0,1]. On notea= f(0),b=f(1)et M= _sup

x∈]0,1[

|f⁰⁰⁰(x)|.

1. Déterminer le polynôme d’interpolation Pe de f relativement aux points 0,eet 1.

2. On noteE₁(x)l’erreur commise en un pointx∈[0, 1]lorsqu’on approchef(x) parP_e(x). Donner une majoration de|E₁(x)|en fonction deMete.

3. Soitx∈[0, 1]. Montrer que, pour chaquex∈[0, 1],

e→0lim⁺Pe(x) = [b−a−f⁰(0)]x²+f⁰(0)x+a.

4. Vérifier que le polynômeP(x) = [b−a−f⁰(0)]x²+f⁰(0)x+aainsi obtenu est l’unique polynôme de degré inférieur ou égal à 2 vérifiant :

P(₀) =a, P⁰(₀) = f⁰(₀)_, P(₁) =b.

Ce polynôme est appelépolynôme d’interpolation de Hermite de la fonctionf relativement aux points 0, 1, et aux entiers 1, 0, ce qui signifie qu’on approchef à l’ordre 1 au point 0 et à l’ordre 0 au point 1.

5. On noteE2(x)l’erreur commise en un pointx∈[0, 1]lorsqu’on approchef par P. Donner une majoration de|E₂(x)|en fonction deM. Pour cela, on pourra considérer la fonctionφdéfinie parφ(t) = f(t)−P(t)− ^f(x)−P(x)

x²(x−1) ^t

2(t−1) pourx∈]0, 1[fixé et montrer qu’il existeξ∈[0, 1]tel queφ⁰⁰⁰(_ξ) =0.

Exercice 7 Points de Tchebychev.

SoitPnle polynôme d’interpolation de Lagrange associé à la fonction fdéfinie sur[a,b]deR, relativement àn+1 pointsx0<x1<· · ·<xnde cet intervalle. On rappelle l’estimation de l’erreur d’interpolation

E_n(x) = f(x)−P_n(x)

= ¹

(n+1)!π_n+1(x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξn), avecπ_n+1(x) = (x−x₀). . .(x−xn).

1. Montrer que pour toutu∈[−1, 1],tn(u) =cos(nacosu)est un polynôme de degrén. Trouver la formule de récurrence qui permet de calculert_n(u)_. 2. Trouver les racinesu_i∈[−1, 1], 0≤i≤n, du polynômet_n+1(points d’interpo-

lation de Tchebychev d’ordren).

3. Montrer que le polynôme de base de Lagrange`_iassocié àu_iest donné par

`_i(u) = (−1)^itn+1(u) (u−u_i)

q 1−u²_i (n+1) ^. Calculer l’erreur d’interpolation.

4. Les points d’interpolation de Tchebychev d’ordrende l’intervalle[a,b], notés x_i, sont définis comme les images des pointsu_ipar une bijection affineu7→x qui envoie−1 enaet+1 enb. Montrer que

kπ_n+1k= sup

x∈[a,b]

|π_n+1(x)|=2 b−a

4 n+1

. 5. Interpolation aux points de Tchebychev d’une fonction paire.

a) Montrer que le polynôme d’interpolation d’une fonction pairefrelative- ment aux zéros du polynôme de Tchebychevt₅est pair.

b) Soit f la fonction définie sur[−1, 1]_par f(x) =_1/(₁+x²). En posant u = x², montrer que le calcul du polynôme d’interpolationP(x)de f relativement aux zéros det₅peut se ramener au calcul d’un polynôme d’interpolationq(u)de degré plus petit.

c) À l’aide de la méthode des différences divisées, calculerq(u)et en déduire P(x). Pour cela, on donnera le tableau des différences divisées et le résultat P(x)sera ordonné enx.

Exercice 8 Splines cubiques.

1. Déterminer l’unique fonctionσ:R→Rtelle que

• σest de classeC2 surR;

• σ(t) =0 pourt≤0 ;

• σest un polynôme de degré au plus égal à 3 pourt≥0 ;

• lim

t→0⁺σ⁰⁰⁰(t) =1.

2. Soient[a,b]un intervalle borné surR,n≥2 un entier ett_ides réels tels que a<t₁<· · ·<tn<b. On noteSl’ensemble des fonctionss:[a,b]→_Rtelles que

• sest de classeC²sur[a,b]

• la restriction desà chaque[t_i,t_i+1]est un polynôme de degré au plus égal à 3 ;

• la restriction desà chaque[a,t₁]et[tn,b]est un polynôme de degré au plus égal à 1.

Montrer queSest un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ? On montrera que toute fonctions∈ Speut s’écrire sous la formes(t) =α+βt+

∑

γ_iσ(t− ti)_.

2

3. Soit f ∈_C²(_R). Montrer qu’il existe une unique fonctions∈ Svérifiant s(t_i) = f(t_i), 1≤i≤n.

Pour cela, on pourra écrire le système linéaire que vérifient les coefficientsα,β etγ_ipouri=1, . . . ,n.

IV. Polynômes orthogonaux

Exercice 9 Polynômes orthogonaux – Tchebychev et Legendre.

Soit]a,b[un intervalle, borné ou non, deR. Par définition, un poids west une fonctionw∈_C⁰(]a,b[;R^∗₊)telle que

Z_b a

|x|ⁿw(x)dx<+_∞, ∀n.

L’espace vectorielEdes fonctionsfcontinues sur]a,b[à valeurs dansR, telles que kfk₂:=

Z _b

a |f(x)|²w(x)dx 1/2

<+∞

est muni du produit scalaire naturelhf|gi= Z_b

a f(x)g(x)w(x)dx.

1. Montrer queEcontient l’espace vectoriel des fonctions polynômes. Montrer qu’il existe une suite unique de polynômes unitaires(pn)orthogonaux pour un poids donnéwet tels que deg(pn) =n.

2. Montrer que les polynômes de Tchebychev(tn)sont deux à deux orthogonaux, relativement au poidsw(x) =1/√

1−x²sur[−1, 1]. 3. Même question pour les polynômes de Legendre

Ln(x) = ¹ 2ⁿn!

dⁿ

dxⁿ[(x²−1)ⁿ], relativement au poidsw(x) =1 sur[−1, 1].

4. Soit(pn)une suite de polynômes unitaires orthogonaux pour le poidsw. Mon- trer que les polynômespnvérifient la relation de récurrence :

p_n(x) = (x−λn)p_n−1(x)−µnp_n−2(x)_, n≥2, avec

λn= hxpn−1|pn−1i

kpn−1k²₂ ^{, µn}= kpn−1k²₂ kpn−2k²₂^.

Retrouver, en particulier, les relations de récurrence pour le calcul des poly- nômes

(a) de Tchebychev :t_n+1(x) =2xtn(x)−tn−1(x),

(b) et de Legendre :nLn(x) = (2n−1)xLn−1(x)−(n−1)Ln−2.

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