9 - PROBABILITES - Sujet 1

St. Joseph/ICAM Toulouse

CB n

9 - PROBABILITES - Sujet 1

Exercice 1

SoientX une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λetY une variable aléatoire indépendante deX suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.

On définit la variable aléatoire Z parZ= 0 si Y = 0, etZ =X sinon.

1. Déterminer la loi deZ.

Z est à valeurs dansN.

La formule des probabilités totales donne :

P(Z = 0) =P(Y=0)(Z = 0)×P(Y = 0) +P(Y=1)(Z = 0)×P(Y = 1) = 1−p+pe^−λ.

∀k∈N^∗,P(Z=k) =P((Y = 1)∩(X=k)) =pe^−λλ^k k!.

2. Montrer queZ admet une espérance finie et une variance et les calculer.

Xkλ^k

k! et X k²λ^k

k! sont des séries convergentes (on peut appliquer le critère de d’Alembert pour les séries numériques), doncZ admet une espérance finie et une variance.

E(Z) =

+∞

X

k=1

kpe^−λλ^k

k! =pe^−λ

+∞

X

k=1

λ^k

(k−1)! =pe^−λ×λe^λ =pλ.

E(Z²) =

+∞

X

k=1

k²pe^−λλ^k

k! = pe^−λ

+∞

X

k=1

k(k−1)λ^k k! +

+∞

X

k=1

kλ^k k!

!

(car les deux séries convergent), d’où :

E(Z²) =pe^−λ(λ²e^λ+λe^λ) =pλ(λ+ 1).

Finalement, V(Z) =E(Z²)−(E(Z))² =pλ(λ+ 1−pλ)

Exercice 2

Dans une salle d’attente, votre voisin est joueur.

1. S’il parie que le nombre de personnes entrant avant la première femme est pair, prenez-vous le pari ?

Notons N la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes entrées avant la première femme, etp la probabilité qu’une personne entrant dans la salle d’attente soit une femme.

N(Ω) =N, et la formule des probabilités composées donne ∀k∈N:P(N =k) = (1−p)^kp.

On veut :P(N pair) =P

+∞

[

k=0

(N = 2k)

!

=

+∞

X

k=0

P(N = 2k) car l’union est disjointe.

P(N pair) =

+∞

X

k=0

p(1−p)^2k= p

1−(1−p)² = 1 2−p > 1

2.

Il ne faut donc pas parier, quelle que soit la probabilité d’entrée d’une femme !

2. On suppose que le nombre d’arrivants par heure suit une loi de Poisson. S’il parie que le nombre de personnes entrant dans la salle durant la prochaine heure est impair, prenez-vous le pari ? Notons cette fois N le nombre de personnes entrant dans la salle d’attente durant une heure.

On suppose queN ∼P(λ).

P(N impair) =

+∞

X

k=0

P(N = 2k+ 1) =

+∞

X

k=0

e^−λ λ^2k+1

(2k+ 1)! =e^−λsh(λ) = 1−e^−2λ 2 < 1

2. Cette fois, il faut parier !

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St. Joseph/ICAM Toulouse

Exercice 3

On lance un dé équilibré jusqu’à l’obtention d’un 6.

Quelle est la probabilité que tous les chiffres obtenus soient pairs (6 y compris) ?

Notons A l’événement dont on veut la probabilité, et ∀n ∈ N^∗, A_n l’événement " les n−1 premiers lancers donnent 2 ou 4, le n-ième donne 6. P(A) =P

+∞

[

n=1

A_n

!

=

+∞

X

n=1

P(A_n), car l’union est disjointe.

Pour tout n∈N^∗, la formule des probabilités composées donne :P(A_n) = 1

3 n−1

×1 6 = 1

2× 1 3ⁿ; on en déduit : P(A) = 1

2

+∞

X

n=1

1 3ⁿ = 1

2×1 3 × 1

1−¹₃ = 1 4.

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9 - PROBABILITES - sujet 2

Exercice 1

SoientXune variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètrepetY une variable aléatoire indépendante deX suivant une loi de Bernoulli de même paramètre p.

On définit la variable aléatoire Z parZ= 0 si Y = 0, etZ =X sinon.

1. Déterminer la loi deZ.

Z est à valeurs dansN.

La seule façon d’obtenirZ = 0, est d’avoir Y = 0, on a donc :P(Z = 0) =P(Y = 0) = 1−p.

∀k∈N^∗,P(Z=k) =P((Y = 1)∩(X=k)) =p²(1−p)^k−1.

2. Montrer queZ admet une espérance finie et une variance et les calculer.

Xk(1−p)^k−1 etX

k²(1−p)^k−1 sont des séries convergentes (on peut appliquer le critère de d’Alembert pour les séries numériques, sachant quep∈]0,1[), doncZ admet une espérance finie et une variance.

E(Z) =p²

+∞

X

k=1

k(1−p)^k−1. On reconnait la dérivée du DSE de x7→ 1

1−x; on a donc : E(Z) =p²× 1

(1−(1−p))² = 1.

E(Z²) = p²

+∞

X

k=1

k²(1−p)^k−1 = p² (1−p)

+∞

X

k=2

k(k−1)(1−p)^k−2+

+∞

X

k=1

k(1−p)^k−1

!

(car les deux séries convergent) ; on reconnait dans la première la dérivée seconde dex7→ 1

1−x d’où : E(Z²) =p²(1−p) 2

(1−(1−p))³ + 1 = 2−p p . Finalement, V(Z) =E(Z²)−(E(Z))² = 2−2p

p . Exercice 2

Dans une salle d’attente, votre voisin est joueur.

1. S’il parie que le nombre de personnes entrant avant le premier homme est impair, prenez-vous le pari ?

Notons N la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes entrées avant le premier homme, etp la probabilité qu’une personne entrant dans la salle d’attente soit un homme.

N(Ω) =N, et la formule des probabilités composées donne ∀k∈N:P(N =k) = (1−p)^kp.

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St. Joseph/ICAM Toulouse

On veutP(N impair) =P

+∞

[

k=0

(N = 2k+ 1)

!

=

+∞

X

k=0

P(N = 2k+ 1)car l’union est disjointe.

P(N impair) =

+∞

X

k=0

p(1−p)^2k+1= p(1−p)

1−(1−p)² = 1−p

2−p = 1− 1 2−p < 1

2. Il faut donc parier, quelle que soit la probabilité d’entrée d’un homme !

2. On suppose que le nombre d’arrivants par heure suit une loi de Poisson. S’il parie que le nombre de personnes entrant dans la salle durant la prochaine heure est pair, prenez-vous le pari ? Notons cette fois N le nombre de personnes entrant dans la salle d’attente durant une heure.

On suppose queN ∼P(λ). On veut P(N pair).

P(N pair) =

+∞

X

k=0

P(N = 2k) =

+∞

X

k=0

e^−λ λ^2k

(2k)! =e^−λch(λ) = 1 +e^−2λ 2 > 1

2. Cette fois, il ne faut pas parier !

Exercice 3

On lance un dé équilibré jusqu’à l’obtention d’un 6.

Quelle est la probabilité que tous les chiffres obtenus avant soient impairs ?

Notons A l’événement dont on veut la probabilité, et ∀n ∈ N^∗, A_n l’événement " les n−1 premiers lancers donnent 1, 3 ou 5, len-ième donne 6.P(A) =P

+∞

[

n=1

A_n

!

=

+∞

X

n=1

P(A_n), car l’union est disjointe.

Pour tout n∈N^∗, la formule des probabilités composées donne :P(An) = 1

2 n−1

×1 6 = 1

3× 1 2ⁿ; on en déduit : P(A) = 1

3

+∞

X

n=1

1 2ⁿ = 1

3×1 2 × 1

1−¹₂ = 1 3.

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