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Contribution à l'Etude du Transfert Thermique dans un Canal Conique Vertical
M. Rebhi, A. Slimani et A. Touhami
Centre Universitaire de Béchar, B.P. 417, 09000 Béchar, Algérie
Résumé - Les auteurs étudient numériquement la convection naturelle thermique, laminaire, bidimensionnelle et permanente dans un conduit conique vertical. Un programme de calcul informatique a été élaboré pour résoudre les équations gouvernant l'écoulement à l'aide d'une méthode aux différences finies. L'influence de l'angle d'inclinaison du conduit, ainsi que le flux imposé à la paroi est aussi étudié. La dissipation visqueuse et le rayonnement sont négligés. Les propriétés physiques du fluide sont constantes, hormis sa masse volumique dans le terme de pesanteur de l'équation du mouvement qui varie linéairement avec la température conformément aux hypothèses de Boussinesq.
Abstract - The authors have studied numerically the steady state laminar bidimensional thermal natural convection in a vertical conical duct. A computer program has been elaborated to solve the flow governing equations by means of the finite difference method. The viscous dissipation and radiations are neglected.
The fluid physical properties are assumed constant except for the volumic mass in the gravity term of the equation of motion. This term is taken to vary linearly with temperature in accordance with Boussinesq hypotheses.
Mots clés: Convection naturelle - Transfert thermique - Régime laminaire - Régime permanent - Fonction de courant - Vorticité - Transformation homotopique - Différences finies.
1. INTRODUCTION
Les transferts thermiques entre fluide et paroi revêtent une grande importance dans beaucoup de domaines tels que: la mécanique des fluides, l'énergie solaire, les systèmes d'isolation, ainsi que dans la conception des échangeurs de chaleur. Ils peuvent concerner également l'agro-alimentaire et le biomédical.
La forme des parois délimitant le domaine d'étude est variable, les parois peuvent être constituées par des plaques planes ou ondulées ou par des conduits cylindriques ou à section variable.
Les études théoriques consistent à décrire l'écoulement et les transferts de chaleur en résolvant numériquement les équations de Navier-Stokes accouplées à l'équation de chaleur.
Dans notre travail, nous étudions les transferts thermiques par convection naturelle dans un conduit vertical convergent parcouru par un fluide chaud.
2. EQUATIONS DE TRANSFERT EN COORDONNEES CYLINDRIQUES En introduisant la vorticité et la fonction de courant [1], les équations de transfert de chaleur s'écrivent : 1. Equation de la chaleur
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ ρ
= λ
∂
∂
∂ ψ
− ∂
∂
∂
∂ ψ
∂
2 2 2 2
p z
T r
T r
T r 1 C r
T z z T r r
1 (1)
2. Equation de la vorticité
r T r g 1 z
r r r 1 r
z z r r 1
2 2 2 2
∂ β ∂
−
∂ ω + ∂
∂ ω + ∂
∂ ω ν ∂
=
∂ ω
∂
∂ ψ
− ∂
∂ ω
∂
∂ ψ
∂ (2)
3. Equation de la fonction de courant
∞
−
=
∂
− ∂
∂ ψ + ∂
∂ ψ
∂
r T r 1 z r
r 1
2 2 2 2
2 (3)
3. ADIMENSIONNALISATION DES EQUATIONS DE TRANSFERT 3.1 Variables adimensionnelles
Nous définissons les variables adimensionnelles comme suit : h
r* = r ;
h z* = z ;
h a
* ψ
=
ψ ; ω = ω
a h3
* ;
(
− ∞)
= λ T T
h
T* Q et t
t* hν2
=
Les grandeurs adimensionnelles seront notées, à partir de ce point, sans astérisque.
3.2 Transformation des coordonnées
Les coordonnées ( r, z) (Fig. 1) sont transformées en coordonnées homotopiques (η, ξ) (Fig. 2) définies par : ξ = z et
) z ( F
= r
η avec : F(z) = (1− z) tg(α) + q .
Fig. 1: Représentation schématique du domaine d'étude en coordonnées (r, z)
Fig. 2: Représentation schématique du domaine d'étude en coordonnées (η, ξ)
Sous forme adimensionnelle et après transformation, les équations 1 à 3, ainsi que les conditions aux limites deviennent :
1. Equation de la chaleur
T 0 T E
T D n C
B T A T
t
T 2 0 0
2 0 2
2 0 2
0 =
ζ
∂ + ∂ η
∂ + ∂ η
∂ + ∂ ζ
∂
∂ + ∂ ζ
∂ + ∂
∂
∂ (4)
avec
Pr A0 = − 1 ;
F . Pr
F B 2
'
0 η
= ; (1 F )
F . Pr
C0 =− 1 2 +η2 '2 ; ( 2 F 1)
F . Pr
D 1 2 '2
0 2 + η +
ζ
∂ ϕ
∂
−η
= ;
η
∂ ψ
∂
= η 2
0 Pr.F E 1
2. Equation de la vorticité
T 0 G E
D n C
B
t A 2 1 1 1
2 1 2
2 1 2
1 =
η
∂ + ∂ ζ
∂ ω + ∂ η
∂ ω + ∂ η
∂ ω + ∂
ζ
∂
∂ ω + ∂
ζ
∂ ω + ∂
∂ ω
∂ (5)
1 A1 = − ;
F F B 2
' 1
= η ; (1 F )
F
C1=− 12 +η2 '2 ; 2 F 1) Pr
(1 F .
D1 12 + η2 '2+ ζ
∂ ϕ
∂
−η
= ,
η
∂ ψ
∂
=η 2
1 Pr.F
E 1 ; 1 2
F . G Gr
= η 3. Equation de la fonction de courant
0 E
D C
B
A 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 + ω =
η
∂ ψ + ∂
η
∂ ψ + ∂
ζ
∂ η
∂ ψ + ∂
ζ
∂ ψ
∂ (6)
2 2 2
F A 1
−η
=
2 3'
F .
F B 2
−η
=
(1 F )
F
C2 214 +η2 '2
= η (2 F 1)
F
D2 314 η2 '2 −
= η E2 = 1
3.3 Conditions aux limites - Sur l'axe :
1 0
,
0 ≤ ξ ≤
=
η
η =
∂
∂ = ω = ψ
T 0 0
(7)
- A l'entrée
1 0
;
1 ≤ ξ ≤
= η
η
∂ ψ η ∂ η +
∂ ψ η ∂
ξ +
∂ η
∂ ψ η ∂
ξ −
∂ ψ
∂
−η
= ω
η
= ψ
=
∞
F 2 F F
F F
2 F F
1 2 F V 1 T
' 2
2 2 '2 2 2
' 2
2 2 4
2
2 (8)
- Sur la paroi :
1 0
;
1 ≤ ξ ≤
= η
ξ +
∂ + ∂ η
∂
∂ ∂η
ψ + ∂
−
= ω
=
ψ ∞
T 1 2 T CC 1 CC
) ' F 1 F (
1 2 F V
2 2 2
4 2
(9)
où : (cos( ) F sin( ) et CC2 sin( ) F
1 1
CC = α − ' α = α
- A la sortie
1 0
;
1 < ξ <
=
ξ
= ω
η
= ψ
η =
∂
− ∂ ξ
∂
∂
0 2 F V
T 0 F F T
2 2 s
'
(10)
4. RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSFERT
Les équations 4 aux équations 6 associées aux conditions aux limites 7 et aux conditions aux limites 10 sont discrétisées à l'aide d'une méthode implicite aux différences finies [3, 4] et ensuite résolues ligne par ligne à l'aide d'un processus de calcul itératif sur un maillage de 28 x 35. Le critère de convergence est :
( )
0.001) T ( max
T T
max
n n 1
n+ − ≤
5. RESULTATS ET DISCUSSION
Les isothermes sont des courbes symétriques par rapport à l'axe du cylindre (Fig. 3). Nous avions représenté que la partie droite du système. Ce résultat est assez général à savoir : que le rapprochement des parois favorise la conduction au détriment de la convection. On constate aussi une augmentation du transfert thermique engendrée par l'augmentation du nombre de Grashof modifié. Les isothermes ont tendance à se déplacer vers la paroi chaude.
( a ) ( b )
Fig. 3: Evolution des isothermes pour : (a) Gr = 1000 et (b) Gr = 10000
L'existence d'un écoulement de recirculation près de la paroi et qui est dû à l'effet de la viscosité, ainsi que l'inclinaison de la paroi provoque un changement de sens de déplacement du fluide et par conséquent la vitesse devient négative dans cette région (Fig. 4).
( a ) ( b )
Fig. 4: Evolution des lignes de courant pour : (a) Gr = 1000 et (b) Gr = 10000
Ce phénomène de recirculation est amplifié près de la paroi par l'augmentation du nombre de Grashof modifié. Pour des fortes valeurs de l'angle d'inclinaison, on constate une stagnation du fluide au niveau de la paroi (Fig. 5).
( a ) ( b )
Fig. 5: Evolution des lignes de courant pour : (a) α = 10° et (b) α = 20°
Un accroissement du nombre de Nusselt suivant la hauteur est obtenue pour des faibles valeurs de l'angle d'inclinaison α (Fig. 6) et des grandes valeurs du nombre de Grashof modifié (Fig. 7).
Fig. 6: Influence de l'angle d'inclinaison sur le nombre de Nusselt local pour Gr = 1000
Fig. 7: Influence du nombre de Grashof sur le nombre de Nusselt local pour α = 20°
La température du fluide croît suivant la hauteur du canal (Fig. 8), ainsi qu'au voisinage des parois chaudes (Fig. 9).
6. CONCLUSION
Nous avons élaboré un programme de calcul numérique basé sur une méthode aux différences finies implicite suivant l'algorithme itératif de Gauss-Seidel [10], qui permet de déterminer les distributions des vitesses, des températures, ainsi que la variation du nombre de Nusselt local, en fonction des paramètres de l'écoulement.
Le gradient de pression figurant dans les équations de Navier-Stokes et qui pose un problème dans la résolution de ces équations est éliminé en utilisant les équations de la vorticité et de la fonction de courant.
Nous avons introduit des coordonnées homotopiques afin d'avoir un système de maillage rectangulaire et qui suit l'inclinaison de la paroi.
Quant à la géométrie étudiée (q = 0.06), nous avons remarqué qu‘un phénomène de recirculation apparaît au voisinage de la paroi et qui est d'autant plus important que la vitesse d'écoulement soit plus grande.
Fig. 8: Variation de la température suivant la hauteur pour des rayons différents
Fig. 9: Variation de la température suivant le rayon pour des hauteurs différentes Pour l'étude de l'influence du facteur de forme (q) qui est étroitement lié à l'angle d'inclinaison de la paroi, il est recommandé de faire un choix convenable des paramètres d'entrée en fonction de q. Pour les faibles valeurs du facteur de forme (grandes hauteurs), ces paramètres doivent être suffisamment grands.
Le programme élaboré nécessite une exploitation à fond afin d'élargir son utilisation, en particulier pour déterminer l'angle critique (limite) d'inclinaison de la paroi en fonction du facteur de forme q, ainsi que les paramètres d'entrée du fluide.
NOMENCLATURE
A : Diffusivité thermique (m2/s) Gr : Nombre de Grashof λ : Conductibilité thermique du fluides (W/m.K) Nu(z) : Nombre de Nusselt local ν : Viscosité dynamique du fluide (m2/s) Pr : Nombre de Prandtl G : Accélérateur de la pesanteur (m2/s) ψ : Fonction de courant H : Hauteur de la conduite (m) ω : Fonction de vorticité
R1 : Rayon d'entrée de la conduite (m) η : Coordonnée homotopique radiale R2 : Rayon de sortie de la conduite (m) ξ : Coordonnée homotopique axiale T∞ : Température d'entrée du fluide (k) T* : Température adimensionnelle du
Fluide
α : Angle d'inclinaison de la paroi (degré) Q : Flux de chaleur sur la paroi β : Coefficient d'expansion thermique (A/K) F, F'' : Fonction décrivant l'inclinaison de
la paroi et sa désirée
r, z : Coordonnées radiale et axiale (m) q : Facteur de forme (q = R2 / h) ρ : Masse volumique du fluide (kg/m2) V∞ : Vitesse du fluide à l‘entrée (m/s) T : Température du fluide (K) t : Temps (s) Cp : Capacité calorifique massique à
pression constante (J/kg.K) : Exposant
: Valeurs adimensionnelles
REFERENCES
[1] I. Ryhming, 'Dynamique des Fluides', Ed. Presses Polytechniques Romandes, 1985.
[2] A. Azzi, 'Etude de l'Ecoulement d'un Fluide Incompressible dans une Conduite de Section Droite, Circulaire dont la Génératrice est une Sinusoïde', Thèse de Magister, USTOran, 1990.
[3] S.V. Patankar, 'Numerical Heat Tranfer and Fluid Flow', Mc Graw-Hill Book Compagny, N.Y., 1980.
[4] E.F. Nogotov, 'Applications of Numerical Heat Transfer', UNESCO, 1978.
[5] M. Boumahrat et A Gourdin, 'Méthodes Numériques Appliquées', O.P.U., Alger, Technique & Documentation, Paris, 1983.
[6] Y. Adnan, 'Natural Convection Heat and Mass Transfer along a Vertical Cylinder in a porous Medium', Int. J. Heat Mass Transfer, Vol.
33, N°10, pp. 2265-2274, 1990.
[7] J. Petit et J. Taine, 'Transferts Thermiques, Mécanique des Fluides Anisothermes', Ed. Dumod, Paris, 1989.
[8] M. Daguenet, 'Les Séchoirs Solaires : Théorie et Pratique', Paris, UNESCO, 1985.
[9] A. Touhami, 'Etude du Séchage d'un Cylindre Annulaire Poreux Humide sous l'Action d'un Courant d'Air Forcée', Thèse de Doctorat, Université de Perpignan, France, 1999.
[10] S.V. Patankar, 'A Calculation Procedure for two Dimensional Elliptic Situation', J. Heat Transfer, Vol. 4, pp. 409-425, 1981.
[11] J.P. Nougier, 'Méthodes de Calcul Numériques', J. Heat Transfer, Vol. 4, pp. 409-425, 1981.
[12] R. Comolet, 'Mécanique Expérimentale des Fluides', Ed. Masson, 1989.
