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0 impossible pour d=2: 2a+10b = 26 donc b=2=d et a=3 impossible ou b=1=c et a=8 impossible

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Academic year: 2022

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A477 – Deux indices pour six inconnues Solution proposée par David Amar

On commence par écrire la somme comme équation à 4 inconnues:

10*a + c + 10*b + a + 10*c + d + 10*d + a + 10*d + b + 10*d + c = 100*c + 10*a + b

Simplification: 2a + 10b + 31d = 88c

Commençons par remarquer que d est forcément pair. Il vaut donc au plus 8

La somme 2a + 10b + 31d est maximale pour (a,b,d) = (7,9,8); et elle vaut alors 352: c ne peut donc pas être supérieur à 4.

Etudions les différentes valeurs possibles de c:

c = 4: pour d=8; b=9 et a=7 comme vu plus haut

c = 3: pour d=8: 2a+10b = 16 donc b=1 et a=3=c impossible pour d=6: 2a+10b = 78 donc b=7 et a=4

ou b=6=d et a=9 impossible pour d=4: 2a+10b = 140 impossible

c = 2: pour d>4: 2a+10b < 0 impossible

pour d=4: 2a+10b = 52 donc b=5 et a=2=c impossible ou b=4=d et a=6 impossible

pour d=2: 2a+10b = 114 impossible c = 1: pour d>2: 2a+10b < 0 impossible

pour d=2: 2a+10b = 26 donc b=2=d et a=3 impossible ou b=1=c et a=8 impossible.

On n'a donc que 2 possibilités:

- 7, 9, 4, 8 - 4, 7, 3, 6

On remarque que 7948 = 4*1987 qui est premier: aucun produit de nombres à 2 chiffres ne pourrait donner 7948

A l'inverse, 4736 = 2^7 * 37; c'est donc par exemple le produit de 64 et de 74 (da et ba) La réponse est donc (a,b,c,d)=(4,7,3,6)

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