Proposition de déroulé de formation Cycle 3 :
« La proportionnalité, raisonner en prenant appui sur les relations entre les nombres »
1 Durée : 3h
Plan proposé Introduction
1. Connaissances sur la proportionnalité Pause
2. Les variables didactiques 3. Repères de progressivité
Conclusion et bibliographie Objectifs de formation :
® L’introduction et la première partie visent à problématiser les enjeux d’apprentissages liés à l’apprentissage de la proportionnalité et à apporter les contenus théoriques concernant la proportionnalité, dans le but d’outiller les enseignants afin qu’ils puissent :
• Avoir les connaissances didactiques nécessaires pour
analyser les énoncés
proposés dans les manuels (ou les énoncés qu’ils proposent habituellement) et effectuer des choix correspondant à des objectifs d’apprentissages précis.® Par exemple : être en mesure d’adapter des valeurs numériques d’un énoncé afin de faire évoluer les procédures des élèves, enrichir le répertoire des procédures d’élèves.
Objectif : tout comme pour le calcul en ligne, il s’agit de rendre l’élève capable de raisonner à partir des nombres en jeu, choisir la procédure adaptée au nombre, et donc faire évoluer l’élève de
« mettre en œuvre une procédure » à « mettre en œuvre la procédure la plus efficace en fonction des nombres en jeu », c’est-à-dire « avoir une stratégie ».
• Avoir des connaissances didactiques pour mieux observer et
analyser les productions d’élèves
: comprendre les démarches des élèves et agir pour amener les élèves à faire évoluer leurs démarches.® La deuxième partie vise à faire fonctionner des connaissances didactiques abordées par une analyse de productions d’élèves.
® En lien avec l’importance d’amener les élèves à disposer d’un répertoire de procédures, la troisième partie propose une progressivité des apprentissages à mener sur le cycle et revient vers les erreurs classiques des élèves.
® En conclusion, une liste des points à retenir est rappelée et l’interdisciplinarité abordée.
Ressources mises à disposition du formateur :
• Ressources éduscol : deux situations à faire expérimenter en groupes d’accompagnement (recette, puzzle de Brousseau)
• Extrait vidéo : pour analyser les pratiques
• Pour la formation du formateur : articles sur la proportionnalité
Proposition de déroulé de formation Cycle 3 :
« La proportionnalité, raisonner en prenant appui sur les relations entre les nombres »
2 Introduction
Diapo 4 Citation d’Arnaud Simard (Auteur des articles donnés dans les ressources pour le formateur)
Diapos 5 à 8 La proportionnalité : une modélisation du réel
Un apprentissage qui s’inscrit en continuité avec les cycles 1 et 2 Exemples
Diapos 9 à 10 Problématiques concernant la proportionnalité au cycle 3 :
• Comment être sûr de nos intuitions concernant la proportionnalité ?
• Quels arguments pouvons-nous proposer pour confirmer ou infirmer ces intuitions ?
® Exemples de situations
Diapo 11 ® Ce que disent les repères de progressivité 2019
PREMIERE PARTIE : Connaissances sur la proportionnalité Diapos 12 à 16 Que connaissons nous de la proportionnalité ?
Mise en activité :
Analyse de manuels : que donnent-ils à voir de la proportionnalité ? Il s’agit de mettre en évidence la présence majoritaire de tableaux de
proportionnalité dans les manuels alors que ce n’est pas ce qui représente le sens de cette notion.
Diapos 17 à 18 Synthèse et apports théoriques :
• Premier point de vigilance à retenir : le sens de la proportionnalité
(compréhension de la liaison multiplicative entre les grandeurs) ne doit pas se perdre au profit d’une représentation (tableau) et d’une technique (Calcul sur les lignes et les colonnes)
• Définition Diapos 19 à 21 Mise en activité :
Quelles sont les autres techniques de résolution possible ? Problématiser :
Quels sont les éléments théoriques sous-jacents à ces techniques ? Quelles sont les variables didactiques qui en découlent ?
Diapo 22 Mise en activité :
Il est demandé aux stagiaires de résoudre une série de problèmes de la façon la plus facile et d’identifier les variables didactiques qui influencent un changement de procédure.
Diapo 23 Synthèse : Les raisonnements possibles
Pointer les relations existantes entre les nombres et es procédures mobilisées Diapos 24 à 25 Apports théoriques portant sur les relations existantes entre les nombres :
Définition
Relation interne : relation entre les mesures d’une même grandeur
Relation externe : rapport dans un couple de données se correspondant. C’est le coefficient de proportionnalité.
Explicitation des relations dans les problèmes proposés précédemment.
Diapo 26 Synthèse 1 :
Deux approches théoriques de la proportionnalité qui ont une histoire… et qui ont
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« La proportionnalité, raisonner en prenant appui sur les relations entre les nombres »
3 une influence sur les procédures enseignées ou mises en avant dans les manuels Diapo 27 Synthèse 2 : que retenir de cette première partie ?
• Deux grandeurs ou suites de nombres sont dites proportionnelles si l’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par un même nombre non nul.
• Les relations internes et externes entre les grandeurs, les nombres en jeu, ont une influence sur les raisonnements et les procédures mises en œuvre.
DEUXIEME PARTIE : Du côté didactique :
Analyser les énoncés proposés par les manuels ; analyser les productions des élèves Diapos 29 à 35 Mise en activité : analyse de productions.
1) Faire faire l’analyse a priori de l’énoncé : Recette de poulet au citron
• Quelles sont les procédures possibles ?
• Quelles sont les connaissances utiles à l’élève pour résoudre le problème (les pré- requis)
2) Faire analyser 6 productions d’élèves en cherchant les propriétés utilisées (inciter à prendre appui sur l’apport théorique précédent)
Organiser les échanges suite aux travaux de groupes.
Diapos 36 à 38 Synthèse 1 : procédure experte ou procédure adaptée ? Faire le lien avec l’apport théorique de la deuxième partie.
Insister sur les enjeux d’apprentissage visés pour les élèves :
• L’objectif n’est pas de mettre en avant telle ou telle procédure mais de permettre à l’élève de disposer d’un répertoire de procédures, s’appuyant toujours sur le sens, parmi lesquelles il pourra choisir.
Du côté des gestes professionnels liés à la phase d’institutionnalisation :
® La comparaison des différentes procédures doit permettre aux élèves d’acquérir ces différentes procédures et de prendre conscience qu’en fonction des nombres en jeu dans un problème, certaines sont plus efficaces que d’autres.
Les reconnaitre rend les élèves capables de stratégies.
• Exemples en lien avec les productions analysées.
Diapo 39 à 42 Synthèse 2 : à retenir pour adapter, améliorer son enseignement Analyser, choisir, modifier et enrichir les énoncés proposés
Synthèse sur les différentes variables didactiques
TROISIEME PARTIE : Repères de progressivité Diapos 43 à 46 Balisage des procédures attendues dans le cycle
Exemples
Diapos 47 à 53 Erreurs possibles / Erreurs classiques / Pistes pour aider les élèves A enrichir avec les propositions des PE
Proposition de déroulé de formation Cycle 3 :
« La proportionnalité, raisonner en prenant appui sur les relations entre les nombres »
4 Conclusion
Diapo 54 à 58 A retenir de cette formation
• Points essentiels abordés
• L’interdisciplinarité et la variété des contextes à considérer
