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Note sur la construction des plans tangents d'une surface de révolution qui passent par une droite donnée

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Academic year: 2022

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

R OUQUET

Note sur la construction des plans tangents d’une surface de révolution qui passent par une droite donnée

Nouvelles annales de mathématiques 3

e

série, tome 3

(1884), p. 194-196

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1884_3_3__194_1>

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NOTE SIR L i CONSTRUCTION DES PLANS TANGENTS D'UNE SURFACE DE RÉVOLUTION QUI PASSENT PAR UNE DROITE

P » M. BOUQUET,

Professeur de Mathématiques spéciales au Lycée de Toulouse.

La détermination des plans tangents d'une surface de révolution qui passent par une droite donnée peut se

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ramener au problème suivantde Géométrie plane : Mener une tangente commune à la méridienne de la surface et à une hyperbole dont l'un des axes défigure coïncide avec Vaxe de la surface de révolution proposée.

Soit D la droite donnée, L la trace de l'un des plans tangents demandés sur le plan méridien P du point de contact, et A le point de rencontre de D avec L. Nous nous proposons de déterminer cette droite L, qui est tangente à la courbe méridienne, en un point B qui n'est autre que le point de contact du plan tangent cherché.

Concevons l'hyperboloïde de révolution engendré par la droite D tournant autour de l'axe. La droite L étant la projection de D sur le plan P, puisque ce plan méri- dien est perpendiculaire sur le plan tangent (D, L ) , cette droite L sera tangente, par cela même, à l'hyperbole méridienne située dans le plan P, en son point de ren- contre A a\ec D, et, comme elle est déjà tangente en B à la méridienne de la surface, L est une tangente commune aux deux courbes dont nous venons de parler.

Pour la construire, rabattons le plan inconnu P sur un plan méridien fixe, par une rotation autour de l'axe. La méridienne de la surface proposée et celle de l'hyperbo- loïde auxiliaire sont connues, de telle sorte qu'en leur menant une tangente commune, on obtiendra le rabatte- ment L4 de L.

Il ne reste plus qu'à mettre cette droite en position.

Pour y parvenir, nous remarquerons que les points At

et B{, oùL1 touche l'hyperbole et la méridienne, sont les rabattements des points A et B précédemment définis.

On fera donc tourner la droite L< autour de l'axe, jusqu'à ce que le point de contact A, de cette droite avec l'hy- perbole vienne se placer sur la droite D, ce qui est pos- sible d'une seule manière, puisque la droite D appartient à l'hyperboloïde considéré.

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En resumé, la construction est la suivante :

i° On trace l'hyperbole méridienne de la surface gau- che de révolution engendrée par la droite D tournant autour de Taxe ;

2° On mène une tangente commune à cette hyperbole et à la méridienne de la surface contenue dans le même plan méridien ;

3° Enfin on fait tourner cette tangente commune autour de l'axe, jusqu'à ce que son point de contact avec l'hyperbole méridienne soit venue se placer sur la droite Ö.

La nouvelle position de celte tangente est la trace du plan tangent cherché sur le plan méridien correspondant, et le point de contact du plan tangent est la position qu'occupe, après la rotation dont nous venons de parler, le point de contact de la tangente commune avec la mé- ridienne de la surface proposée.

Remarque 1. — Chaque tangente commune donne une seule solution, et deux tangentes communes symétriques par rapport à l'axe fournissent le même plan tangent.

Remarque 11. — Si la tangente commune L, est l'a- symptote de l'hyperbole méridienne, les points A{ et A sont rejetés à l'infini, et le plan P est parallèle à 1), ce qui le détermine complètement. La droite L est toujours la projection de l) sur le plan P.

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