ARKIV FOR MATEMATIK Band 4 nr 26
Communiqu6 lo 13 Avril 1961
Sur quelques questions dans la th6orie des corps biquadratiques
Par TRYGVE ~AGELL
w 1. Les sous-corps quadratiques d'un corps biquadratique
1. Nous p r e n d r o n s pour d o m a i n e de rationalitd f o n d a m e n t a l u n corps quelconque d o n n d ~ , et nous e n t e n d o n s ici, saul avis contraire, par n o m b r e r a t i o n n e l u n n o m b r e a p p a r t e n a n t s ~ .
Ddsignons p a r ~, ~', or" e t o~'" les racines de l ' d q u a t i o n b i q u a d r a t i q u e
x 4 + p x ~ (1)
coefficients r a t i o n n e l s e t irrdductible dans ~ . La rdsolvante cubique de (1), repr6sentde p a r l ' d q u a t i o n en z
z a + 2 p z 2 + (pC _ 4 r) z - q2 = 0, (2)
a les racines distinctes.
Considdrons le corps K (a) b i q u a d r a t i q u e r e l a t i v e m e n t s ~ . Supposons que K (~) a d m e t le sous-corps K (l/u) q u a d r a t i q u e r e l a t i v e m e n t s ~ , u d t a n t u n n o m b r e ra- tionnel. Vu que le n o m b r e ~ est d u second degrd r e l a t i v e m e n t ~ K ( l / u ) on a
2 - + 2b l/u) + + dl/ =o,
(3)
off a, b, c et d sont rationnels. On a u r a par suite
les n o m b r e s c 1 et d 1 d t a n t rationnels. Les trois autres racines de (1) sont d v i d e m m e n t
~ " = a - b l / u + Vc 1 - 41 l/u,
~ ' " = a - b l / , ~ - V cl - d l l/U.
l l e n rdsulte que ~ + ~ ' + a " + ~ ' " = 4 a - - 0 . P a r consdquent, les q u a t r e racines sont
T. NXCELL, L a th~orie des corps biquadratiques
= l / u + l / b - - a
=bUu_l/ u_c_aVu,
o~" = -- b l/u + Vb 2 u - c + d l/u,
~'" = - b l/u - l/b 2 u - c + d l/u,
(4)
off b, c et d sont les nombres ddfinis p a r l'dquation (3). Les n o m b r e s (4) sont dvidemment les racines de l'dquation
x* + ( 2 c - 4 ub2) x2 + 4 u b d x + c 2 - u d ~ = O .
E n c o m p a r a n t les coefficients de cette dquation avec ceux de l'dquation (1) on aura les relations
p = 2 c - 4 u b 2 ' }
q = 4 u b d , (5)
r = c z - u d 2.
2. Supposons d ' a b o r d que q 4: 0. Alors on a b 4: 0. E n dliminant c et d des rela- tions (5) et en posant 4 u b 2 = z on verifie aisdment que z est une racine de la rdsolvante cubique (2). P a r consdquent, pour que K(~) a d m e t t e u n sous-corps quadratique il f a u t que la rdsolvante cubiqu~ soit rdductible en ~'~. I n v e r s e m e n t , si z = 4 u b 2 est une racine rationnelle + 0 de l'dquation (2), les n o m b r e s rationnels c et u d 2 sont ddterminds p a r les relations (5). Alors il rdsulte de la relation
~u zr
2 b o ~ - d
que K 0/u) est un sous-corps quadratique de K (a). Ainsi le n o m b r e des sous-eorps quadratiques est au plus dgal s 3. Si la rdsolvante cubique n ' a q u ' u n e seule racine rationnelle, il n ' y a q u ' u n seul sous-corps quadratique. Supposons m a i n t e n a n t que routes les trois raeines zl, z2, z 3 de la rdsolvante sont rationnelles. Vu que q 4= 0 aucune de ces racines n ' e s t dgale s zdro. Les corps K (l/z1) , K (l/z2) et K (~zz3) sont des sous-corps quadratiques. Nous allons m o n t r e r qu'ils sont diffdrents entre eux.
E n effet, si nous supposons K (~/zl)=K(l/z~), il rant que l/-z2=tl/zl, off t e s t ration- nel. Nous avons
e t z~z~z a=q~. Done on a u r a i t
q ce qui est impossible, a & a n t du quatribme degrd.
3. Soit ensuite q = 0 . D a n s ee cas les raeines de la rdsolvante (2) sont z l = - p + 2 V ~ , z 2 = - p - 2 V r , z 3 = 0 .
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 4 n r 2 6 O n a u r a d o n c
2 =Vz1+ 2 =V-p+ + V-p-2V , (0)
d'ofi 2 ~ = l / - 2 p + 2 ~ / p 2 - 4 r . (7)
nsi il y a toujours le sous-corps quadratique K Si X est u . sons- c o r p s q u a d r a t i q u e , on a u r a de (5) ou b = 0 ou d = 0 . (Les n o m b r e s b e t d ne p e u v e n t p a s s ' a n n u l e r t o u s l e s d e u x ~ la fois v u que :r est du q u a t r i 6 m e degr6.) D a n s le p r e m i e r cas on o b t i c n t
u d 2 = c ~ - r = 1 (p~ _ 4 r),
c'est-~-dire, nous a u r o n s lc m~me sous-corps que ci-dessus, engendrd p a r Vp 2 - 4 r.
Q u a n d d = 0 il suit de (5) que r = c 2. Alors on conclut de la r e l a t i o n (6) que les d e u x corps engendrds p a r
~ = V - p + 2 ~ r r e t ~ = V - p - 2 ~ r
s o n t des sous-corps q u a d r a t i q u e s de K (a). E n effet, v u que :r est d u q u a t r i 6 m c degr6, les n o m b r e s ~ et ~ e n g e n d r e n t d e u x corps diffdrents d u second degrd.
P u i s q u e
( ~ + ~ ) ( ~ - ~ ) = 4 l/r,
le h o m b r e ~ - ~ ] a p p a r t i e n t s K (a), et, p a r consdquent, les d e u x n o m b r e s ~ e t a p p a r t i e n n e n t g ce corps.
4. N o u s rdsumons les r d s u l t a t s o b t e n u s d a n s les n u m d r o s prdc6dents sous la forme s u i v a n t e :
Th6or~me 1. Le nombre des sous-corps quadratiques d'un corps biquadratique engendrd par une racine de l'dquation (1) est dgal au hombre des racines rationnelles de la rdsolvante cubique (2). Si z e s t une racine rationnelle # 0 de (2), le corps K (~z) est un sous-corps quadratique. Si z = 0 est une racine de (2), le corps K ( V ~ - 4 r ) est un sous-corps quadratique.
N o u s p o u v o n s y a j o u t e r le r d s u l t a t .
T h ~ r ~ m e 2. Tout corps biquadratique admettant le sous-corps quadratique K (~u), u rationnel, peut dtre engendrd par un nombre de la /orme
(8)
o~ / e t y sont rationnels.Ddmonstration. Supposons que le corps b i q u a d r a t i q u e e s t engendr6 p a r le h o m b r e d a n s (4). Soit d ' a b o r d d :~ 0. Alors on p e n t p r e n d r e
f l = a - b ~ / u , / = b 2 u - c , g = - d .
Soit ensuite d = 0. N o u s venons de m o n t r e r que, d a n s ce cas, il y a trois sous-
T. ~Ar La th~oreie des corps biquadratiques
corps quadratiques. S i deux de ces corps sont engendr~s par ~u et I/v, u et v rationnels, le troisi~me sous-corps sera engendr5 par u]/~v. Alors le corps biquadra- tique sera ~vidcmment engendr~ par le n o m b r e
Z=V~+~Uv.
E n posant / = v + u v , g = 2 v ,
on aura fl = ] / ] ~ g [flu.
Le th~or~me 2 se trouve ains': d~montr~.
Si le m~me corps biquadratique est engendr~ par les deux nombres fl, donn~
p a r (8), et
~
= V~ + ~, ~u, off /1 et gl sont rationnels, on a 6videmmentoff ~ est un hombre a p p a r t e n a n t s K([/u).
5. D6signons p a r m le n o m b r e des sous-corps quadratiques du corps biquadra- tique K (~). Lorsque m = 3, il est 6vident que K(~) est un corps de Galois rela- t i v e m e n t b~ ~ . Aussi pour m = 1 il existe une cat6gorie de corps K (~) qui sont des corps de Galois. Si ~n = 0, K (~) n ' e s t jamais u n corps de Galois. Nous allons le montrer. Soit ~ une racine de l'6quation (1). Soient de plus zl, z~ et z a l e s racines de la r6solvante (2). Alors on a
2 0~ = VZZ1 ~- ~ZZ2 -~- ~ZZ 3
avec les formules analogues pour les conjuguds de ~. On en conclut : si K (a) est un corps de Calois, il doit conU~r tous les trois nombres
t~, G,
e~ G3. I1 en rdsulte que les nombres zl, z 2 et z3 ne p e u v e n t pas ~tre du troisi~me degr6. Ainsi la rdsolvante cubique est rdductible en ~ . Nous avons d6j~ traitd le c a s q u e toutes les racines de la rdsolvante sont rationnelles. Supposons m a i n t e n a n t qu'il n ' y a q u ' u n e seule racine rationnelle. E n vertu du thdorbme 2 il est permis de supposer q = 0, c'est-~-direz~=-p+ 2Vr, z2=-p-21/r
et z3=0, oh ]/r n ' e s t pas rationnel. Donc2 ~ = V - p + ~ + ] / - p - 2 ] / r = ] / - 2 p + 2 V p ~ - 4 r . Si K (~) est un corps de Galois, il f a u t 6videmment que
(~/=K
( V - p + 2 ~ ) = K ( V - p - 2V~)Les corps quadratiques engendr~s par Vrr et p a r Vp ~ - 4 r sont contenus dans K (~) et doivent cons6quemment coincider. I1 f a u t donc ClUe
ARKIV FOR M/kTEMATIK. B d 4 n r 2 6
p2 - 4 r = 4 r t 2,
off t est rationnel. I n v e r s e m e n t , si cette r e l a t i o n est satisfaite on a V - p § 2 U ; . V - p - 2 ~ r r = W p 2 - 4 r = 2 t ~ r ,
d'ofi l ' o n conclut que K (~) est u n corps de Galois.
E n r ~ s u m a n t nous a u r o n s :
Th~or~me 3. P o u r qu'u~ corps bi~uadratique soit u n corps de Galois il /aut et il su[fit qu ' on ait l' un ou l' autre des deux cas : 1 ~ le corps est engendrd par deux nombres du second degrd; 2 ~ le corps est engendrd par un hombre de la ]orme
(1 + t + (9)
o2 s e t t sont rationnels.
Les corps engendr~s p a r les h o m b r e s de la f o r m e (9) s o n t les corps cycliques d u q u a t r i ~ m e degr~, r e l a t i v e m e n t ~ ~ .
A p r o p o s des recherches ant~rieures sur les s u j e t s de cette section comparez les t r a v a u x s u i v a n t s : N a g e l l [1], v. d. Waerclen [2] e t W e b e r [3]. Les n u m 6 r o s f i g u r a n t e n t r e crochets r e n v o i e n t ~ la b i b l i o g r a p h i e plac~e s la fin de ce m6moire.
6. Les r 6 s u l t a t s des num~ros p r e c e d e n t s nous p r ~ t e n t des m o y e n s p o u r classifier les corps b i q u a d r a t i q u e s K ( ~ ) r e l a t i v e m e n t a u d o m a i n e f o n d a m e n t a l ~ .
D~slgnons p a r m l e h o m b r e des sous-corps q u a d r a t i q u e s ( r e l a t i v e m e n t s Si ~ est quelconque, on a u r a ~ v i d e m m e n t la classification s u i v a n t e : 1) m = O . K (~) n ' e s t j a m a i s u n corps de Galois.
2) m = 1. K (~) n ' e s t p a s u n corps de Galois.
3) m = 1. K (~) est cyclique, engendr~ p a r u n n o m b r e de la forme (9).
4) m = 3 . K ( ~ ) est u n corps d e Galois; j a m a i s cyclique.
Soit ensuite s rgel, e t d~signons p a r ~ le h o m b r e des corps conjugu~s r~els e t p a r /z l e n o m b r e des sous-eorps q u a d r a t i q u e s r~els. Toutes les d~fini~ions sont, bien e n t e n d u , r e l a t i v e m e n t ~ ~ . D a n s ce c a s une classification est donnge d a n s le t a b l e a u ci-dessous. P o u r le t y p e des corps nous e m p l o y o n s les raccourcissements s u i v a n t s : N signifie que le corps n ' e s t p a s u n corps de Galois. G signifie corps de Galois non cyclique. C signifie corps cyclique.
Classe I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 3
0 2 4 0 0 0 2 4 4 0 4
~u 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3
Type N N N N N C N N C G G
T o u t corps a p p a r t e n a n t & u n c quelconque des h u i t dernibres classes c o n t i e n t (au moins) u n sous-corps q u a d r a t i q u e , engendrd p a r une r a c i n e carrSe ~/~, oh A
T. NAGELL, La th~orie des corps biquadratiques
a p p a r t i e n t s ~ . Alors, d ' a p r ~ s le T h 6 o r ~ m e 2 le c o r p s b i q u a d r a t i q u e p e u t ~tre e n g e n d r 6 p a r u n n o m b r e de la f o r m e
O=Va+ bV~, (10)
off a e t b s o n t des n o m b r e s d a n s ~ t e l s q u e a + b UA n e soit p a s u n carr6 d a n s K (V~). I1 y a t o u j o u r s u n s o u s - c o r p s q u a d r a t i q u e rdet, s a u f q u a n d K (0) a p p a r - t i e n t s la classe 4. A i n s i n o u s p o u v o n s s u p p o s e r q u e A e s t p o s i t i f q u a n d il s ' a g i t d e s classes 5 - 1 1 . E n v e r t u d e s r 6 s u l t a t s p r 6 c 6 d e n t s o n p e u t 6 n o n c e r le t h 6 o r ~ m e s u i v a n t :
Th6or~me 4. Lea conditions ndcesaairea et su//iaantes auxquelles doivent satis]aire lea nombres a, b e t A clans (10) pour que le corps K ( 0 ) appartienne ~ une classe donnde aont indiqudea dana le tableau suivant.
Classe 4 5 6 7 8 9 10 11
A < 0 > 0 > 0 > 0 >0 > 0 > 0 > 0 a + b V ~ < 0 < 0 > 0 > 0 < 0 > 0
> 0 > 0 < 0 >0 > 0 > 0 > 0 a 2 - A b 2
A A A A A A B B
~ ( a ~ - A b ~ ) A A B A A B A A
La lettre A indique que le nombre en question n'est paa un carrd dans ~ ; la lettre B indique qu'il est un carrd daws ce corps.
E n v a r i a n t les s o u s - c o r p s q u a d r a t i q u e s o n v o i t a i s 6 m e n t c o m m e n t o n p e u t c o n s t r u i r e u n e i n f i n i t 6 de r c p r 6 s e n t a n t s e n K (1) de c h a c u n e d e s h u i t classes 4 - 1 1 . P o u r les t r o i s p r e m i e r e s classes il f a u t u n e a u t r e m 6 t h o d c p o u r o b t e n i r u n r ~ s u l t a t a n a l o g u e . N o u s a l l o n s m o n t r e r q u ' i l y a aussi d a n s ces cas u n e i n f i n i t d d e r e p r 6 s e n t a n t s e n K (1). Cela r d s u l t e d u t h 6 o r ~ m e s u i v a n t :
Th6or~me 5. Soit t u n nombre premier impair. Alors, tout corps engendrd par une racine de l'dquation
xa+ 2 t x + 2t~=O (11)
est un reprdsentant de la Tremihre claaae.
Tout corps engendrd par une racine de l'dquation xa+ 2 t x - 2 t 2 = O est un reprdsentant de la deuxi~me classe.
Tout corps engendrd par une racine de l'dquation
# - 2 t x 2 + t x + t = O
eat un reprdsentant de la troisi~me clasae, pourvu que t4:5.
(12)
( 1 3 )
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 4 nr 2 6
Nous aurons aiusi une in/initd de corps da~s chacune des trois classes.
Dgmonstration. Considdrons d ' a b o r d les dquations (11) et (12). Celles-ci s o n t dvi- d e m m e n t irrdductibles (thdor~me d ' E i s e n s t e i n ) . T o u t e s les racines de (11) s o n t imaginaires; l ' d q u a t i o n (12) a e x a c t e m e n t d e u x racines rdelles. L a r6solvante de
(11) est
z 3 - S t 2 z - 4 t 2 = O , e t celle de (12) est
z 3 + 8 t ~ z - 4 t 2=0.
On v o i t i m m d d i a t e m e n t que ces dquations s o n t irrdductibles. I1 rdsulte des dqua- tions (11) et (12) que l'iddal p r i n c i p a l (t) est divisible p a r le carrd d ' u n iddal p r e m i e r d a n s le corps b i q u a d r a t i q u e engendrd p a r une racine ~ de (11) ou de (12).
E n effect, d a n s le cas contraire le n o m b r e ~ serait divisible p a r t. Alors on a u r a i t , en p o s a n t ~ = t fi, l ' u n e ou l ' a u t r e des dquations t 2 f14 + 2 fl ~ 2 = 0. Or cela est im- possible, v u que /? est u n h o m b r e entier. Ainsi t divise le d i s c r i m i n a n t d u corps.
On m o n t r e d ' a i l l e u r s sans difficult6 que (t) est le bicarrd d ' u n iddal premier.
Considdrons ensuite l ' d q u a t i o n (13). I1 est d v i d e n t que celle-ci est irrdductible, e t que r o u t e s les racines s o n t rdelles. On m o n t r e a i s d m e n t que la rdsolvante
z a - 4 t z 2 + (4t 2 - 4 t ) z - t ~ = 0
est irrdductible, sauf p o u r t = 5. ] ) a n s le corps b i q u a d r a t i q u e engendrd p a r une racine a de (13) l'id6al p r i n c i p a l (t) est forc6ment divisible p a r le carr6 d ' u n iddal premier. E n effect, d a n s le cas c o n t r a i r e le n o m b r e ~ s e r a i t divisible p a r t. Alors on a u r a i t , en p o s a n t a = t fl, l ' d q u a t i o n t 3/~4 _ 2 t 2/~2 -~ t fi + 1 = 0. Or cela est impos- sible, vu que fl est u n h o m b r e entier. I1 en rdsulte que t divise le d i s c r i m i n a n t d u corps. I1 est d'ailleurs facile ~ voir que (t) est le bicarr6 d ' u n iddal premier.
I1 reste s e u l e m e n t ~ m o n t r e r que chacune des dquations (11), (12) et (13) engendre une infinitd de corps d i s t i n c t s q u a n d t varie. E n effect, soient K1, K 2 ... Ks des corps engendrds p a r q u e l q u ' u n e de ces 5qnations, et s o i e n t D 1, D 2 ..., Ds les d i s c r i m i n a n t s corrdspondants. Soft T u n n o m b r e p r e m i e r qui ne divise a u c u n de ces d i s c r i m i n a n t s . M o r s , si nous p r e n o n s d a n s l ' d q u a t i o n en question t = T, celle-ci engendre des corps c e r t a i n e m e n t diffdrents de chacun des corps K~ (i = 1, 2 . . . . , s). Car le d i s c r i m i n a n t est 6 v i d e m m e n t diffdrent de c h a c u n des d i s c r i m i n a n t s Di (i = 1, 2 . . . s), v u qu'il est divisible p a r T.
7. N o u s finissons ce c h a p i t r e p a r l a - p r o p o s i t i o n s u i v a n t e .
Th~or~me 6. Soft K (o:) un corps biquadratique qui n'est pas un corps de Galois, relativement h ~ . Alors la condition ndcessaire et su//isante pour que K (~) soft identique d l'un des corps conjuguds est qu'il admette u n sous-corps quadratique. Si K (oQ = K (~'), on a K ( a " ) = K (o~'").
Ddmonstration. I1 rdsulte d u thdor~me 2 que la c o n d i t i o n est suffisante. Con- sid6rons m a i n t e n a n t le cas g6n6ral d ' u n corps K (~) qui n ' a d m e t a u c u n sous-corps q u a d r a t i q u e . Si zl, z2 e t z s s o n t les racines de la r6solvante cubique, le n o m b r e
e t ses conjuguds s o n t donnds p a r les relations
T. NAGELL, La th~orie des corps
biquadratiques
= + t / e . ,
='" = r - V L - e L .
Les h o m b r e s Zl, 2:2 et z 3 s o n t d u troisi~me degrd. D ' a p r d s le thdor~me de Capelli (voir [4]) le n o m b r e V~ (i = 1, 2, 3) est ou d u sixi~me degrd ou d u troisi~me degrd. Xinsi les n o m b r e s a + c r a + ~ " et z c + a " ' sont ou d u sixi~me degrd ou d u troisi~me degrd. I1 en rdsulte que le corps K (~) ne p e u t j a m a i s gtre i d e n t i q u e u n corps conjugud.
D a n s sa d i s s e r t a t i o n , H. BergstrSm, a donnd une classification des corps b i q u a - dratiques, r e l a t i v e m e n t ~ K ( 1 ) , d ' u n a u t r e p o i n t de r u e ; v o i r [5].
w 2. Sur les unit~s dans un corps biquadratique
8. D a n s la suite le d o m a i n e f o n d a m e n t a l est t o u j o u r s le corps K ( 1 ) de r a t i o - nalitd ordinaire.
Soit K(0) u n corps alg~brique quelconque engendr6 p a r le n o m b r e alg@brique e n t i e r 0 d u n e degrd. Posons comme d ' o r d i n a i r e r = r l + r 2 - 1 , oh r 1 signifie le n o m b r e des corps conjugu~s r~els, e t o h 2 % signifie le n o m b r e des corps con- juguds imaginaires. J ' a i m o n t r d ailleurs c o m m e n t on p e u t e f f e c t i v e m e n t d ~ t e r m i n e r u n syst~me f o n d a m e n t a l d'unit~s de K (0); v o i r Nagell [6], p. 187-188. Le p r o c 0 i d se fera en trois pas. 1 ~ I1 f a u t d ' a b o r d calculer u n c e r t a i n n o m b r e (au moins r) d ' u n i t d s a p p a r t e n a n t a u corps e t qui ne s o n t pas des raeines de l'unitd. On p e u t les o b t e n i r p a r essai en d~,terminant des n o m b r e s entiers r a t i o n n e l s xt qui saris- f o n t & l ' d q u a t i o n d i o p h a n t i e n n e
N (x 1 ~o 1 + x 2 0)~ + . . . + x~ oJ~) = • 1,
off 0)1, 0) 2 .. . . . 0)n est une base des entiers d u corps. Quelquefois on les o b t i e n d r a l ' a i d e des diviseurs p r e m i e r s d u d i s c r i m i n a n t d u corps. L a connaissance des unit~s d a n s des sous-corps de K ( 0 ) facilite le proc~d~. 2 ~ Si l e n o m b r e d ' u n i t ~ s ainsi o b t e n u e s est assez g r a n d , on p e u t t r o u v e r p a r m i ceUes-ci u n syst~me de r unit~s i n d ~ p e n d a n t e s . P o u r r e c o n n a i t r e l ' i n d ~ p e n d a n e e on a l e crit~re d u d~ter- m i n a n t des logarithmes. I1 y a d ' a i l l e u r s aussi d ' a u t r e s m d t h o d e s p o u r cela. 3 ~ F i n a l e m e n t , si 71, 72 . . . 7r est u n syst~me de r unitds i n d d p e n d a n t e s , u n syst~me f o n d a m e n t a l d ' u n i t ~ s el, e 2 .. . . , er est donnd p a r les ~quations s u i v a n t e s
M
~m=VT1 7~ . . . 7 - ,
p o u r m = 1, 2, ..., r. Ici M est u n n o m b r e n a t u r e l qui d 4 p e n d des unit~s 7~, e t qui p e u t ~tre ddtermin~, tm~ s o n t des n o m b r e s entiers r a t i o n n e l s >/0. tm'~ est le plus p e t i t n o m b r e n a t u r e l tel q u ' u n e u n i t d de la forme ( 1 4 ) e x i s t e d a n s le corps;
on a e v i d e m m e n t tm~ ~< M . P o u r m 4 k les n o m b r e s t,~ p e u v e n t ~tre choisis d e mani~re q u ' o n air
0 < t , ~ < t ~ . (15)
D a n s les calculs num~riques qui se p r d s e n t e n t s p r o p o s des unit~s, on a b e s o i n d ' u n a l g o r i t h m e p o u r r e c o n n a i t r e si u n n o m b r e e n t i e r donn4 a est une p u i s s a n c e
ARKIV FOR MATEMATIK, Bd 4 nr 26 d ' u n autre nombre entier fl dans le corps ou non, et cela sans supposer la con- naissanee d ' u n syst~me f o n d a m e n t a l d'unitds.
Soit a = fl~, oh m est un n o m b r e naturel >~ 2. D~signons p a r w~, co2 ... w~ une base des nombres entiers dans K. Posons
rn
off x~, x~ . . . x,~ sont des nombres entiers rationnels. Les n relations eonjugudes sont alors
m
/3(0 = ] / ~ i ~ = x l w l ( 0 +x2~oz(i) + ... +xneo,(~) ( i = 1,2, ..., n),
oh ~(1)= ~, f l u ) = fl et o~r (~) = toe. E n rdsolvant ce syst~me par r a p p o r t aux n o m b r e s xk flous aurons
_ x~ VD (a) = D~, (1.6)
off D k est le d~terminant q u ' o n obtiendra en substituant, dans le ddterminant
O ) (~) j , la eolonne (ou ligne) r ), cog, ..., tog p a r les nombres fl , fl . . . fl . (2) (n) (1) (2) (~) Lorsque l'on connalt des bornes sup6rieures de tons les hombres [ a ~0 [ et [oJ(~ ) I, on trouvera faeilement une borne supdrieure des nombres ]Dk[ et p a r consequent des hombres entiers rationnels [xk [. On peut, p a r exemple, proe~ler de la mani~re suivante : D~signons p a r A l e m a x i m u m des nombres [~(t~[ et p a r B le m a x i m u m des nombres ] ~)1" Vu que A > 1 on peut prendre m -- 2. Alors on aura pour tous les ]c = 1, 2 ... n l'in~galit~
I DI/ I 9 I I < V-A-. B"-'.
(17)On en conclut qu'il n ' y a q u ' u n n o m b r e fini de possibilit~s p o u r les x~ et p a r cons6quent un n o m b r e fini de valeurs de ft. Finalement il faut, p o u r routes tes valeurs de fl, examiner si le quotient
log log
est un n o m b r e naturel ou non. P o u r des calculs numdriques il est o p p o r t u n de remplacer (17) p a r des in~galitds plus ~troites.
Considdrons l'ensemble d u corps K(0) et ses conjuguds, ddsignons p a r K (1), K (2), ..., K (r0
les corps r~els de ce~ ensemble, p a r
K(rz+l), K(r,+2), ..., K <r,+r,)
des corps pris chacun respectivement dans un des r 2 couples de corps imaginaires du m~me ensemble; soient E~ une des unitds d ' u n syst~me de r unit~s inddpen- dantes du corps K(0), et E~ 8) la valeur conjugu~e de Ej dans K(~); d4signons p a r ts(E~) le n o m b r e l o g l E ~ ) f si s<~rl, ou le nombre 21oglE~8) I si s > r l . D~signons p a r R (El, E 2 ... E~) la valeur absolue du ddterminant
T. NAGELL, La thgorie des corps biquadratiques
l 1 (El) 11 (E~) ... 11 (E~) ]
12 (El)
12 (E2) ... 12 (Er)r
l~ (E~) l~ (E2) ... l~ (Er) .
Le n o m b r e R (El, E 2 .. . . . E,) a u r a sa valeur minimum q u a n d le systdme El, E2, ..., E~ est u n s y s t g m e f o n d a m e n t a l d'unit4s. D a n s ce d e r n i e r cas i l e s t d v i d e n t que a u c u n e des unit~s E~ ne p e u t 6tre de ta forme r ~, oh H est une unit6 d u corps, m u n n o m b r e n a t u r e l 7> 2, o une racine de l'unitd. On p e u t d ' a i l l e u r s m o n t r e r que, i n v e r s e m e n t , r o u t e unitd qui n ' e s t p a s de cette forme p e u t faire p a r t i e d ' u n syst~me f o n d a m e n t a l d ' u n i t 6 s du corps.
9. Ainsi il est t h d o r i q u e m e n t clair c o m m e n t on d o i t rdsoudre e f f e c t i v e m e n t les problgmes relatifs a u x unitds d a n s u n corps quelconque donnd. C e p e n d a n t , les calculs n u m d r i q u e s ndcessaires p o u r y p a r v e n i r d e v i e n n e n t en gdndral t r o p vastes.
On p e u t se d e m a n d e r si l ' o n p c u t faciliter les calculs de quelque mani~re d a n s le cas d ' u n corps b i q u a d r a t i q u e .
Soit donn~ le corps b i q u a d r a t i q u e K (0) engendrd p a r la racine 0 de l ' ~ q u a t i o n x a + a x e + b x + c = O ,
off a, b e t c s o n t des n o m b r e s entiers rationnels. Le n o m b r e r d ' u n i t d s d a n s un systbme f o n d a m e n t a l p e u t a v o i r l ' u n e des trois valeurs 1, 2 ou 3. P o u r les classes 1, 4, 5, 6 et 10 d u p r e m i e r t a b l e a u d a n s le n ~ 6 on a r = l . 0 n a r = 2 p o u r l e s classes 2 et 7. P o u r les classes 3, 8, 9 et 11 on a r = 3 .
Le corps K (0) c o n t i e n t une racine de l ' u n i t d d u q u a t r i ~ m e degrd seulement d a n s les cas s u i v a n t s :
1 ~ Le corps est engendrd p a r une racine p r i m i t i v e huiti~me de l'unitd. Celui-ci p e u t aussi gtre engendr6 p a r le n o m b r e U - 3 + 2 l/2 ou bien p a r le n o m b r e ~/1 + 2 1 / - ~ . Ce corps a p p a r t i e n t ~ la classe 10, et on a r = 1. Les sous-corps q u a d r a t i q u e s sont
K(V-~), K
( / - - 2 ) etK (1/2).
On peut prendre pour unit~ fondamentale le n o m b r e V 2 + 1; voir le n ~ 11.2 ~ Le corps est engendr6 p a r une racine p r i m i t i v e douziSme de l'unitd. Celui-ci p e u t aussi 8tre engendr~ p a r le n o m b r e l / - 4 + 21/5 ou bicn p a r lc n o m b r e 3V~.
Aussi d a n s ce cas le corps a p p a r t i e n t ~ la classe 10, e t on a r = 1. Les sous-corps q u a d r a t i q u e s s o n t K 0 / - 1), K ( 1 / - 3 ) et K (1/3). On p e u t p r e n d r e p o u r unit4 fon- d a m e n t a l e le h o m b r e 89 (1 +1/3) (1 + i ) ; voir le n ~ 11.
3 ~ Le corps engendr~ p a r une racine p r i m i t i v e cinqui~me de l'unitd. Celui-ci p e u t aussi ~tre engendr6 p a r le n o m b r e 1 / 8 9 1/5). Ce corps a p p a r t i e n t ~ ]a classe 6, et on a r = 1. Le seul sous-corps q u a d r a t i q u e est K([/5). N o u s allons m o n t r e r q u ' o n p e u t p r e n d r e p o u r u n i t d f o n d a m e n t a l e le h o m b r e 89 (V'5+ 1); voir le n ~ 11.
Si u n corps c o n t i e n t les n o m b r e s __+ i, il d o i t a p p a r t e n i r b, l ' u n e des classes 4 ou 10; m~me chose p o u r les n o m b r e s +_ 8 9
N o u s allons m o n t r e r c o m m e n t on p e u t , d a n s chacune des classes 5-11, d~ter- m i n e r u n syst~me f o n d a m e n t a l d ' u n i t 6 s ~ l ' a i d e des unit~s f o n d a m e n t a l e s des sous-
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 4 n r 2 6 corps r6els. D a n s les autres classes nous allons illustrer le procddd corrdspondant p a r des exemples numdriques. D a n s les classes 4-11 nous supposons que le n o m b r e gdndrateur est u n h o m b r e entier de la forme
0 = 1/89 (c + d l/A), (18)
off c, d et A sont des n o m b r e s entiers rationnels. A n ' e s t divisible p a r a u c u n carr6
> 1, dans K(1). A est positif, saul dans la classe 4.
Le lemme s u i v a n t nous sera tr6s utile pour construirc des exemples num6riques d a n s la suite.
Lemme 1. Soit 0 donnd par (18). Supposans que c et A sont divisibles par le nombre premier i m p a i r p, tandis que d n'eat pas divisible par p. S i ~ eat u n nombre entier dana K (0) on a
H $ = x + y O + z O ~ + w O a,
oit x, y, z et w sont des hombres entiers rationnels, et ole H est un hombre naturel qui divise le discriminant D (0). Alors on peut supposer que H n'est pas divisible par p.
Ddmonstration. Supposons que H est divisible p a r p. Alors il suffit d v i d e m m e n t
4
de m o n t r e r que x, y, z et w sont divisibles p a r p. Si nous posons c~ = ~p, le n o m b r e
e s t u n entier Mgdbrique. Vu que H est divisible p a r p, le h o m b r e
x H 0 03 0 a
- = - ~ - y - - z - - - w - -
est entier, donc x est divisible p a r p. L'iddal (O/a, p) est d v i d e m m e n t l'iddal unit6 d a n s u n corps convenable. Donc il r~sulte de l ' 6 q u a t i o n
1 03 )
Y.O=-~(H~-x_ zO2-w
que y/:r est u n n o m b r e entier. I1 en r6sulte que y est divisible p a r p. D ' u n e mani~re analogue on m o n t r e que les n o m b r e s z et w s o n t aussi divisibles p a r p.
10. Nous a v o n s besoin d u lemme s u i v a n t .
L e m m e 2. Soit K (0) u n corps biquadratique appartenant ~ l'une des classes 5, 6 et 10 et engendrd par le nombre (18). A i n s i il y a exaetement u n sous-corps rdel K ( ( ~ ) , et on a r = 1. Soient E l' unitd /ondamental de K (0) et e = 89 @1 + Yl V~) l'unitd [onda- mentale de K (~/A). N o u s supposona que e > 1 e t ] E ] > 1 et, si E est rdel, que E > 1.
Les nombres e et E sont relida p a r une relation
e~ 7 = E "~, (19)
oit m est u n nombre naturel, et olt ~ est une racine de l'unitd. Dans cette relation les
T. NAGELL, L a thdorie des corps biquadratiques
seules v a l e u r s a d m i s s i b l e s de m sont 1 et 2, et les seules v a l e u r s a d m i s s i b l e s de ~ s o n t
+ L ++.
Q u a n d m = 1, o n p e u t c h o i s i r E = e. Q u a n d m = 2, o n p e u t prenclre E = ~ - e, s a u / d a n s le cas de ~ = • i d a n s lequel o n a u r a E = ~ .
D d m o n s t r a t i o n . S u p p o s o n s d ' a b o r d que ~ = • 1. D ' a p r ~ s le th@or~me de Capelli le n o m b r e (++,e)l/~ est d u 2 m e degr@. Aiusi, q u a n d E est d u second degr@, on a u r a m = l e t E = e , e t q u a n d E est d u quatri~me degr6, o n a u r a m = 2 e t E 2 = - e , E @tant i m a g i n a i r e .
Supposons ensuite que ~ = • i. D a n s ce cas le corps a p p a r t i e n t s la classe 10.
Le n o m b r e e i est 6 v i d e m m e n t d u q u a t r i ~ m e degr@. Done le n o m b r e E est aussi d u quatri@me degrd. Si le n o m b r e ~ a p p a r t i e n t s K ( 0 ) , nous d@signons p a r ~ ' l e n o m b r e conjugu@ r e l a t i v e m e n t s K ( i ) . Alors nous a v o n s les d e u x r e l a t i o n s
+• e i = E "~ et - T e i = E '~, d'ofi p a r m u l t i p l i c a t i o n
e ~ = ( E E ' ) m.
Le n o m b r e E E ' est une unit@ positive a p p u r t e n a n t ~ K (V~). P a r suite on a u r a
off n e s t un n o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l , d'ofi 2 = n m . Ainsi on a ou m = 1 ou m = 2 . I1 y a done les possibilit~s : E = • e i e t E 2 = • e i, ou, ce qui r e v i e n t a u m@me : E = e e t E 2 = e i. On v o i t de l ' e x e m p l e s u i v a n t que le d e r n i e r cas existe rdellement :
(8 + 3 V7) i = [89 (3 + V7) (1 + i)]~.
Supposons ensuite que ~ = • @, off @ est une racine p r i m i t i v e troisi@me de l'unit@.
D a n s ce cas le corps a p p a r t i e n t h la classe 10. Le n o m b r e 8@ est @videmment d u quatri@me degr@. Done le n o m b r e E est aussi d u quatri@me degr@. Si le n o m b r e
a p p a r t i e n t s K(0), nous d@signons p~r ~ ' le n o m b r c conjugu@ r e l a t i v e m e n t K ( U ~ ) . Alors on a l e s d e u x r e l a t i o n s
• m e t A - e @ 2 = E "m, d ' o h p a r m u l t i p l i c a t i o n
e 2 = ( E E ' ) m.
L e n o m b r e E E ' est une unit@ positive a p p a r t e n a n t ~ K (V~). P a r suite on a u r a
off n e s t u n n o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l , d'ofi 2 = n m . Ainsi on a ou m = 1 ou m = 2.
Si m = 1 on a u r a E = • ou bien E = e . Si m = 2 on a u r a E 2 = ___e@, d'ofi, en r e m p l a ~ a n t E p a r E@", E ~ = - e .
S u p p o s o n s f i n a l e m e n t que 71 = ___@, oh @ est une r a c i n e p r i m i t i v e cinqui@me, huiti~me ou douzi~me d e l'unit~. I ~ s i g n o n s p a r e' le n o m b r e ~ (x 1 - Y1 [/~) e t p a r
@, @a, @-~ et @-1 les quatre nombres conjugu~s de @, a @tant u n n o m b r e n a t u r e l convenable. Alors les huit hombres
358
ARKIV F6R MATEMATIK. B d 4 nr 26
eO, e'O, eO~,e'O~,eO-",e'o-~,ee
1 e'O-1s o n t ~ v i d e m m e n t d i s t i n c t s e n t r e eux. I1 en r~sulte que le n o m b r e ~ ~ est d u huiti~me degrd d a n s ee cas. Vu que le n o m b r e E est a u p l u s d u q u a t r i ~ m e degr~, la rela- t i o n (19) est impossible d a n s ce cas. Le l e m m e se t r o u v e ainsi d~montr~.
11. L e s c l a s s e s 5 e t 6 . D a n s ces cas on a r = l . I1 n ' y a q u ' u n seul corps qui c o n t i e n t une racine de l ' u n i t ~ 4= _++ 1, g s a v o i r ]e corps engendr6 p a r une racine p r i m i t i v e cinqui~me de l'unit6. Done, d ' a p r ~ s le l e m m e d u n u m d r o pr6c6dent on a ou E = e ou E = V - ~ , E e t ~ d 6 s i g n a n t les m6mes n o m b r e s que ci-dessus. Or, on p e u t m o n t r e r que le cas E = ~ est impossible. E n effet, les q u a t r e con- jugu~s de E d a n s K (0) s o n t d a n s ce cas + ~ et + ~ / - ~ ' off e ' = 89 (x ~ - y~ ~/~).
I1 f a u t done que ~ e ' = + 1. I1 en rgsulte
v~-,= 89 + 2 + 8 9
P a r c o n s e q u e n t le corps K (0) s e r a i t engendrd p a r les d e u x racines carrdes ~/~X 1 + 2 e t ~ - - x 1 - 2 e t a p p a r t i e n d r a i t & la classe 10, c o n t r e l ' h y p o t h ~ s e . D a n s t o u s les eas on a done E = s .
La classe 4. Ici on a r = 1. Vu que le sous-corps q u a d r a t i q u e est i m a g i n a i r e on ne p e u t p a s proc~der c o m m e d a n s les cas p r e c e d e n t s . Consid~rons un e x e m p l e n u m d r i q u e et p r e n o n s
0 = (3 + 7 - - 3 ) .
On vdrifie a i s d m e n t que le n o m b r e 0 + 1 est une unitd, qui n ' e s t p a s de la forme Q E m, o~ E est u n e unit~ d a n s le corps b i q u a d r a t i q u e , off m est u n n o m b r e n a t u r e l
~> 2, et off r est une r a c i n e sixi~me de l'unitd. Done t o u t e unitd d u corps est de la forme
(0 + 1) u, off M est u n n o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l quelconque.
On a u r a u n a u t r e e x e m p l e en p r e n a n t 0 = 1V1V~i.
D a n s ce cas on p e u t choisir p o u r unit~ f o n d a m e n t a l e le n o m b r e 1 + 0. Done t o u t e unit~ d u corps est de l a f o r m e
i ~ (0 + 1) M,
oh M est u n n o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l quelconque, e t off h a une des v a l e u r s 0, 1, 2 e t 3 .
Q u a n d A 4 = - 1 et 4 = - 3 , le corps ne c o n t i e n t a u c u n e r a c i n e de l ' u n i t d a u t r e que + 1.
La classe 10. D a n s ce cas r = 1. Le corps K ({9) p e u t contenir les n o m b r e s i e t r = 89 ( - 1 + i ~/3). Les d e u x corps s u i v a n t s s o n t les seuls qui c o n t i e n n e n t des racines de l'unit~ d u q u a t r i ~ m e degr~ : le corps engendrd p a r une racine p r i m i t i v e huiti~me d e l'unitg, e t le corps engendr6 p a r une r a c i n e p r i m i t i v e douzi~me de l'unitd. Les n o m b r e s e e t E o n t la m~me signification que clans le n u m ~ r o prdc~dent.
T. ~iAGELL, La thdorie des corps biquadratiques
S u p p o s o n s d ' a b o r d q u e K ( 0 ) n e c o n t i e n t a u c u n des n o m b r c s i e t ~. A l o r s on a d ' a p r ~ s le l e m m e 2 ou E = ~ ou E = ~ . D a n s le d e r n i e r cas o n p e u t s u p p o s e r q u e 0 = E .
S u p p o s o n s e n s u i t e q u e K ( 0 ) c o n t i e n t le n o m b r e i. A l o r s o n a K ( O ) = K ( ~ A , i )
= K (t/A, t / - - A ) . L e s c o r p s de ce t y p e a p p a r t i e n n e n t b~ ]a c a t d g o r i e des corps de Dirichlet. D ' a p r ~ s le l e m m e 2 on a ou E = s o u E = t/vi. L e d e r n i e r cas n e se prd- s e n t e q u e sous des c o n d i t i o n s spdciales. N o u s a v o n s b e s o i n d u l e m m e s u i v a n t : L e m m e 3. Soit A un hombre naturel > 1 qui n'est divisible par aucun carrd > 1.
Si ~ est un nombre entier clans le corps K (~X, i), le hombre 2 zt appartient de ranneau
(~, i, V~, i t/~).
Ddmonstration. S u p p o s o n s q u e
~ = x + x ~ i +x2~'A +XaSVA,
off x, x~, x 2 e t x a s o n t r a t i o n n e l s . Les n o m b r e s c o n j u g u d s s o n t
~ " = 9 + x ~ i - ~ l / ~ - x~ i t / X ,
s = x - x 1 i - x 2 1 , ~ + x 3 i t / X .
V u q u e ~ + z t " = 2 x + 2 x ~ i , les n o m b r e s 2 x e t 2 x x s o n t e n t i e r s . Si A ~ 2 ou - - 3 ( m o d 4), o n c o n c l u t d e ~ + a ' = 2 x + 2 x2YA, q u e 2 x 2 est e n t i e r . D o n c il rdsulte d e
2 ~ - 2 x - 2x, i - 2x~t/h= 2~it/X
q u e 2 x 3 e s t e n t i e r . Si A ~ I ( m o d 4), o n c o n c l u t de ~ + . u ' " = 2 x § q u e 2 x a est e n t i e r . E n f i n il rdsulte de
2 a t - 2 x - 2 x , i - 2 x ~ i t / X = 2x2VX q u e 2 x 2 e s t e n t i e r . Cela d d m o n t r e le l e m m e .
S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e E = l/ei. D ' a p r ~ s le l e m m e 3 o n a alors
~ = ~ [ x + y i + ~ t / h + w i t / h ] ~ , (20)
off x, y, z e t w s o n t des n o m b r e s e n t i e r s r a t i o n n e l s . ]1 e n r d s u l t e
A i n s i
- i ~ = t [ ~ - y i + z V ~ - w i V ~ ] 2 i ~ = t [ i ~ + y + ~ i V ~ + w V h ] 2,
d ' o f i e n c o m p a r a n t a v e c (20)
y = + _ x e t w = _ z .
O n e n c o n c l u t i ~ = 88 [(1 + i) (x + z VA)] ~, (21)
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 4 n r 2 6
c'est-~-dire 2 e : (x + z l/A) 2. (22)
P a r cons6quent, p o u r q u ' o n ait la r e l a t i o n (20) il f a u t que l'iddal ( 2 ) e s t le carrd d ' u n ideal p r i n c i p a l d a n s K ( [ / A ) . I n v e r s e m e n t , si ( 2 ) e s t le carr~ d ' u n iddal prin- cipal d a n s K(VA) e t si A~=2, il est d v i d e n t q u ' u n e r e l a t i o n de la forme (22) subsiste. Si l ' o n a (22), on a aussi (21). N o u s a v o n s ainsi t r o u v d la c o n d i t i o n ndcessaire et suffisante p o u r q u ' o n air E=V~e/. A j o u t o n s qu'il f a u t p o u r cela A ~ 2 ou ---- 3 (rood 4). I1 est d v i d e n t que, d a n s ce cas le h o m b r e l / ~ 2 s engendre le corps K(0).
D a n s le corps K ( l / 3 , i) on a g v i d e m m e n t E = 89 (1/3 + 1) (1 + i).
Ainsi, on a u r a r o u t e s les unitds de ce corps p a r la formule 1)(1 +i)] m ,
off ~] est une racine douzi~me quelconque de l'unitd, e t off m est un n o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l quelconque.
D a n s le corps K (V2, i) on a
Ainsi, on a u r a t o u t e s les unitds de ce corps p a r la formule + , ( W + I )
p a r c o u r a n t t o u t e s les r a c i n e s huitibmes de l'unit6, et m p a r c o u r a n t t o u s l e s h o m b r e s entiers rationnels.
S u p p o s o n s enfin que K (0) c o n t i e n t le n o m b r e g e t non le n o m b r e i. Alors on a, d ' a p r b s le l e m m e 2, ou E = s o u E = ~ - t . On v o i t de l ' e x e m p l e n u m d r i q u e s u i v a n t que le d e r n i e r cas existe v r a i m e n t :
V_ (5 + =89 + 89
Les corps de la classe 10 o n t ~t~ t r a i t ~ s p a r plusieurs a u t e u r s ; voir s u r t o u t K u b o t a [7], comparez aussi V/irmon [9] et H i l b e r t [10]. On t r o u v e r a une ~tude ddtaill~e des corps cycliques de la classe 6 d a n s H a s s e [8]. F j e l l s t e d t [11] a t r a i t d les corps de la classe 4.
On a r = l aussi p o u r les corps d e la classe 1. D a n s ce eas on ne p e u t p a s p r o f i t e r de l ' e x i s t e n c e d ' u n sous-corps q u a d r a t i q u e p o u r d d t e r m i n e r l ' u n i t d fonda- mentale. N o u s allons r e t o u r n e r sur ces corps plus t a r d ; nous nous c o n t e n t o n s ici d ' u n e x e m p l e num~rique. Si 0 est une r a c i n e de l ' d q u a t i o n x 4 + x + 1 = 0, on m o n t r e ais~ment que 0 est l'unit~ f o n d a m e n t a l e d a n s le corps K(0).
12. La classe 7. Iei on a r = 2. :Nous supposons que le n o m b r e g~n~rateur 0 est
T. NAGELL, La th~orie des corps biquadratiques
rdel e t positif. Soit e l ' u n i t d f o n d a m e n t a l e d u sous-corps q u a d r a t i q u e engendrd p a r l/A; nous supposons que ~ > 1. T o u t e unitd d u second degrd d a n s K ( 0 ) est dvi- d e m m e n t de la f o r m e + ~m, m e n t i e r rationnel. I1 y a ndcessairement darts K (0) des unitds d u q u a t r i b m e degrd a t t e n d u que r = 2 . Ddsignons p a r E 1 et Eg. u n syst~me f o n d a m e n t a l d ' u n i t d s d u corps e t soient
_ _ E1 E2, -}- E 4 = E1 E2,
+ E 3 = a b c d
off a, b, c et d s o n t des entiers ratiormels. Alors, p o u r que les unitds E 3 et E 4 for- m e n t u n systbme f o n d a m e n t a l d ' u n i t e s , il f a u t et il suffit q u ' o n a i t
a d - b c = _+1. (23)
Si a est u n n o m b r e e n t i e r d a n s le corps t e l que
off fl a p p a r t i e n t a u corps, et oh m est u n n o m b r e n a t u r e l ~> 2, nous d i r o n s que est tree puissance clans le corps. D a n s la suite nous considdrons s e u l e m e n t les unitds positives. Ainsi, E 1 > 0 e t E~ > 0. L a c o n d i t i o n ndcessaire et suffisante p o u r que l ' u n i t d
E a E b (24)
E ~ 1 2
ne soit pas une puissance d a n s K ( 0 ) , est d v i d e m m e n t que ( a , b ) = 1, p o u r v u que E 1, E 2 est u n s y s t b m e f o n d a m e n t a l . On en c o n c l u t :
Lemme 4. L a condition ndcessaire et su//isante pour que l'unitd positive E appar- tienne dt quelque syst~me /ondamental, est que E n' est paq une puissance dans le corps.
E n effet, si E est dormde p a r (24), l ' d q u a t i o n (23) a d m e t des solutions entibres c e t d s e u l e m e n t q u a n d (a, b ) = 1.
n
Le n o m b r e l/e , d t a n t du 2 n e degrd (thdor~me de Capelli), ne p e u t a p p a r t e n i r a u corps K ( 0 ) que p o u r n~<2. P o u r que V~ a p p a r t i e n n e a u corps il f a u t e t il suffit que 0Wee a p p a r t i e n n e a u corps K ( ~ / ~ ) . Nous ddsignons p a r H l e n o m b r e l ~ ou le n o m b r e e selon que ~ a p p a r t i e n t ~ K (0) ou non. Le n o m b r e H ne p e u t j a m a i s fitre une puissance d a n s le corps K(0).
Soit ~ est u n h o m b r e # 0 d a n s K (0), et ddsignons p a r ~' le h o m b r e conjugud q u ' o n a u r a de ~ en c h a n g e a n t 0 en - 0 = 0 ' . P o u r t o u t n o m b r e ar a p p a r t e n a n t h K (~/A) on a d v i d e m m e n t a ' = a e t vice versa. Si ~' = - a l e n o m b r e :r a p p a r t i e n t K (VA), e t g est ndceessairement d u q u a t r i 6 m e degrd. Alors ~ engendre le corps et on a ~t = 0 H, fl d t a n t u n h o m b r e de K (I/$).
N o u s ddsignons p a r ~ le n o m b r e conjugud q u ' o n a u r a de ~ en c h a n g e a n t VA e n - l/A, e t p a r ~' le n o m b r e conjugud qu'on a u r a de ~ en c h a n g e a n t 0 en - 0.
Alors le p r o d u i t ~ ~' est t o u j o u r s positif.
P o u r une unitd quelconque E on a
E E ' = ___e h, (25)
h d t a n t u n e n t i e r rationnel. I1 en rdsulte
ARKIV FDR MATEMATIK. Bd 4 nr 26 E E ' = • > 0.
On en conclut qu'il faut prendre le signe sup6rieur lorsque h e s t pair, et lorsque h est impair et N ( e ) = e ~ = + l , Si h est impair et N ( ~ ) = - I , il f a u t prendre le signe inf6rieur. E n posant, pour h pair, E~ = E e -89 h nous aurons ainsi
E~ E~ = + 1.
E n posant, p o u r h impair, E I = E e -89 nous aurons E1E~ = +_e,
oh on doit prendre le signe sup4rieur ou infgrieur suivant que N ( e ) est + 1 ou - 1.
Si dans (25) h est pair, nous clirons que E est une unit4 de la premiere catdgorie;
alors il f a u t prendre le signe sup6rieur. Si h est impair, nous dirons que E est de la seconde catdgorie. Toutes les unit6s du deuxi6me degr6 appartiennent s la pre- mi6re cat6gorie. Le produit de deux unit6s de la premi6re cat4gorie est une unit6 de la premi6re cat6gorie. Le produit de deux unit4s de la seconde cat6gorie est une unit6 de la premi6re cat6gorie. Le produit d ' u n e unit6 de la premi6re cat6- gorie et d ' u n e unit6 de la seconde cat6gorie appartient & la seconde cat6gorie.
I1 y a 6videmment dans t o u t corps des unit4s de la premi6re cat6gorie et du quatri6me degr6.
Ainsi les corps K(0) en question se r6partissent en trois groupes caract6ris6s de la fa~on suivante :
Corps du premier type. I1 n'existe dans le corps aucune unit6 de la seconde catd- gorie. Le n o m b r e / ~ n ' a p p a r t i e n t pas au corps.
Corps du deuxi~me type. L'unit4 H = ~/~ appartient au corps. Comme H H ' = - e cette unit6 appartient s la seconde cat6gorie.
Corps du troisi~me type. I1 y a dans le corps des unit6s de la seconde cat4gorie.
Le n o m b r e V~ n ' a p p a r t i e n t pas au corps.
Nous allons m o n t r e r l'existence d ' u n e infinit6 de corps de chacune des trois types.
Corps du premier type. Soit 0 ~ [/~_p + a ~p, oh p est u n n o m b r e premier ~ 5 (rood 8), et off a est un n o m b r e naturel > [/p n o n divisible p a r p. Soient x = ~ , y = ~ les plus petites solutions en nombres naturels de l'6quation x 2 - p y 2= - 1 . Alors on a ~ +~] ~p = e a ou = ~ selon les cas. P o u r une unit6 quelconque E on a
Q E = x + y O +zO2 + w O a,
off Q est un n o m b r e naturel qui divise D (0), et off x, y, z, et w sont des nombres entiers rationnels. D'apr6s le lemme 1 on peut supposer que Q n'est pas divisible p a r p. Alors nous avons.
Q2E E ' = (x + z 02) ~ - 02 (y + w 0~) 2.
Si nous supposons que - E E ' = ~ + ~ ~p, il en r6sulte
(x • p z)~ + a2 p z2 -~ p (y • pw)~-T a2 p2 w2 - 2 pa~ (y • p w ) w = - ~ Q~.
T. NAGELL, La thdorie des corps biquadratiques On en a u r a la congruence
d'o~l, v u que
x ~ _ ~ Q2 (mod p),
~ 2 ~ _ 1 (mod p), x 4 + Q4-~0 (mod p),
congruence impossible puisque p ~ 5 (rood 8 ) e t Q ~ 0 ( m o d p). P a r cons4quent, le corps K ( 0 ) est d u p r e m i e r t y p e .
Corps du deuxi~me type. On a u r a une infinit~ de corps de ce t y p e en p r e n a n t
off p e s t u n n o m b r e p r e m i e r ~ 1 (mod 4), et off ~ et ~ s o n t les p l u s p e t i t e s solu- tions en n o m b r e s n a t u r e l s de l ' d q u a t i o n x 2 - p y 2= - 4 .
Corps du troisi~me type. On a u r a une infinit~ de corps de ce t y p e en p r e n a n t o = V - - u + l l,
oh u est u n n o m b r e n a t u r e l >~ 3 t e l que u 2 + 1 ne soit divisible p a r a u c u n carr~
> 1, d a n s K ( 1 ) . D a n s ce cas o n a e = u + ~ / u 2 + l . E n effet, il est d v i d e n t que les plus p e t i t e s solutions en n o m b r e s n a t u r e l s de l ' ~ q u a t i o n x 2 - ( u 2 + 1)y 2 = - 1 s o n t x = u et y = 1. Alors le n o m b r e u + V ~ + l a une des v a l e u r s e ou ca. Or, d a n s le dernier cas on a u r a i t
u § u ~ u ~ = i [a § b u2~/~-2-~] a,
oh a e t b s o n t des h o m b r e s n a t u r e l s de la m~me p a r i t d . Donc 8 u = a 3 + 3 a b 2 ( u a + l ) , 8=3a2b+ba(u2+l), ce qui est possible s e u l e m e n t p o u r a = b = 1, u = 2 .
V u quc 0 2 - 1 = --u-t-~/u-Z-bl = e -1, le n o m b r e E = O + I est une unitd. Comme E E ' = - e -1, l'unit~ E est de l a seconde cat~gorie.
Le n o m b r e Vee n ' a p p a r t i e n t p a s a u corps. E n effet, si V~ engendre le corps, il f a u t q u ' o n nit
( - u + 1 + ~V~+-i) ( - u + V ~ - 4 1 ) = ~ ~ ,
off ~= 89247 est u n h o m b r e e n t i e r d a n s K ( V ~ § I1 en r~sulte 4 ( 2 u Z - u § 2 4 7 4 ( - 2 u §
Or, la derni~re de ces Squations est impossible v u que a et b d o i v e n t ~tre p a i r s t o n s les deux.
Remarque. I1 y a une infinit~ de n o m b r e s de chacune des d e u x formes u 2 + 1 e t u 2 - 1, u h o m b r e n a t u r e l qui ne s o n t divisibles p a r a u c u n carr$ > 1 d a n s K ( 1 ) ; p o u r la d d m o n s t r a t i o n voir Nagell [12].
D a n s u n corps d u deuxi6me t y p e r o u t e unit6 de la seconde cat6gorie est 6videm- m e n t de la formc E Vee, oh E cat une unitfi de la p r e m i e r e catdgoric.
ARKIV FSR MATEMATIK. B d 4 n r 2 6
Si E 1 et E~ forment un syst~me fondamental d'unit6s duns un corps du deuxi~me ou du troisi~me type, il est ~vident que l'une au moins des deux unit~s dolt ~tre de la seconde eat~gorie. I1 suffit d'ailleurs de supposer que E~ est de la premiere catdgorie et E 2 de la seconde cat~gorie. E n effet, vu que
I I ~ l ~ l o g ' E ~ E 2 ' l o g ' E 2 ' , l o g ] E l i log]E~ I l o g l E ; E ~ [ loglE;. I
on peut remplacer le syst~me El, E~ p a r le syst~me E1E2, E 2. Si E 1 et E 2 sont tous les deux de la seconde catdgorie, le produit E 1 E 2 est de la premiere cat~gorie.
Consid~rons un corps du troisi~me t y p e et soient E 1 et E2 deux unit~s positives f o r m a n t un syst~me fondamental d'unitds, E 1 de la premiere catSgorie et E2 de la seconde cat~gorie. Soit E une tmitg positive de la premiere cat~gorie qui n'est pas un carrd dans le corps. Alors on a
E = oh b e s t pair et a impair. On a de plus
E ~ ~d
8 ~ 1 ~ 2 ~
oh d est pair et c impair. I1 en r~sulte que le hombre E e est toujours un carr$
dans le corps si E ( > 0 ) n'est pus un carrY. On en conclut que toute unit~ de la seconde cat~gorie duns le corps est de la forme ~/E-~, oh E est une unit~ posi- tive de la premiere categorie qui n ' e s t pus tm carrd.
On obtient ais~ment le rdsultat suivant :
Lemme 5. S i E et H lout u n syst~me /ondamental d'unitds, on peut supposer qu'on a ou E E ' = § ou E E ' = •
E n effet, vu que H n'est pus une puissance dans K (0) celui-ci peut faire partie d ' u n syst~me fondamental d'unit~s (Lemme 4). E n outre, le d~terminant
l o g l E I l o g H , (26)
log lE'J log H 1
a la valeur log H - l o g [ E / E ' [. Celle-ci ne changera pus si on y remplace E p a r E e ~, m dtant un entier rationnel. Nous avous vu plus h a u t comment on peut choisir m de fa~on qu'on air ou E E ' = + 1 ou E E ' = +-e.
Nous aurons finalement le r~sultat :
Th~or~me 7. Soit E une unitd du corps K (0) ]ouissant des propridtds suivantes : E est du quatri~me degrd, et on a E > 1 et E E ' = + 1. E n'est pas u n puissance clans le corps,
Cela posd, u n syst~me /ondameutal d'unitds du corps, ~ et 7, peut gtre choisi de la /afon suivante :
1 ~ u n corps du premier type on peut prendre ~ = ~ et ~ = E . 2 ~ u n corps du deuxi~me type on peut prendre ~ = ~ et ~ = E . 3 ~ Dans u u corps du troisi~me type on peut prendre ~ = e et ~ = ~E-~.
T. NAGELL, La th~orie des corps biquadratiques
Ddmonstration. Les unitds E et H sont d v i d e m m e n t i n d d p e n d a n t e s . E n effet, le d d t e r m i n a n t (26), a y a n t la v a l e u r log H - log I E / E ' [ = 2 log H . log E, est diffdrent de zdro. Alors, d'apr~s le n ~ 8 il existe u n e paire d ' u n i t d s positives E 1 et E e c o n s t i t u a n t u n syst~me f o n d a m e n t a l d ' u n i t d s tel q u ' u n air
E? = H t~', (27)
E"2 = H t'' Et'. (28)
Ici m cst u n n o m b r e n a t u r e l , et t n , tel et tee sont des entiers r a t i o n n e l s tels q u ' o n air 0 ~< tel < t l l ~ m (1 ~< t2e ~< m). (29) I1 r6sulte des relations (27), (28) et (29) que E 1 et E 2 sont > 1. De la r e l a t i o n (27) il suit q u ' o n a
l o g H , l o g ] E l i = l o g H . l o g l E ~
log H
log lE;l[ =0,
donc E~ = • Le signe supdrieur e n t r a i n e E 1 = e ~, n d t a n t u n n o m b r e n a t u r e l . Or d'apr~s le lcmme 3 E 1 n ' e s t pas u n e puissance d a n s le corps, donc n = 1 et E 1 - e = H. Le signe infdrieur e n t r a i n e E 1 = ~= 89 off n e s t u n h o m b r e n a t u r e l . V u quc E 1 n ' e s t pas u n e puissance, o11 a u r a donc n = 1 et E 1 = ~ = H. Alors l ' d q u a t i o n (28) p e u t s'dcrire
E ~ H -t'~ = E t ' .
Vu que H e t E e font u n syst~me f o n d a m e n t a l , nous en concluons que m et tel sont divisibles p a r tee. Posons m =teey et tet =teex, off x et y sont des e~ltiers
>~ 0. I1 rdsulte de (29) que y > x . De ta relation
E~ = H x E (30)
on conclut que (y, x) = 1, v u que E n ' e s t pas u n e puissance d a n s le corps. I1 f a u t ainsi distinguer deux cas.
Premier cas. E E ' = + 1 et Ez E~= + e2a, h entier rationnel.
Alors oll o b t i c n t de (30)
E'ly = H,X E, et p a r m u l t i p l i c a t i o n
(E2E~)~ = • = + ( H H ' ) x.
I1 en rdsulte 2 h y = 2 x ou 2 h y = x s u i v a n t que H H ' = e ~ ou = - e . V u que y > x et ( x , y ) = l cela e n t r a i n e d a n s t o u s l e s deux cas h = 0 et x = 0 . C o m m e E n ' e s t
pas u n e puissance il f a u t que y = l et E 2 = E .
Deuxi~me cas. E E ' = + 1 et E e E ~ = ++eeh+l, h e n t i e r rationnel.
Alors on aura de (30)
E~ v = H 'x E ' et p a r m u l t i p l i c a t i o n
(E2E~)V = __+ g ( 2 h + i ) y = ~___ (HH,)~.
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 4 n r 26 Il en rdsulte ( 2 h § ou ( 2 h § s u i v a n t que H H ' = ~ 2 ou = - ~ . Vu que y > x et (x, y ) = 1 cela e n t r a i n e h = 0, y = 2 et x = 1, c'est&-dire, H = e. Done E.~ = E e . Ainsi le corps est d u troisi~me type.
Thdor~me 7 se t r o u v e ainsi d~montrd. ]l est clair c o m m e n t on doit proc~der p o u r o b t e n i r u n e u n i t d E q u i satisfait a u x conditions de ce thdor~me q u a n d le corps K(0) est donn~.
Remarque. O n o b t i e n t du thdor~me 7 le corollaire :
Soit E l'unitd de/inie dans ce thdor~me et soit E 1 une unitd quelconque pour laquelle E1E~ = + 1. Cela dtant on a
E 1 = ++E ~, o~z m est u n hombre entier rationnel.
I1 est dvident que E est la plus petite unit~ > 1 p o u r laquelle on a E E ' = Jr 1.
Le n o m b r e gdndrateur 0 d t a n t d o n n 5 on peut, sans connaltre u n syst~me fon- d a m e n t a l d'unitds, d d t e r m i n e r le t y p e d u corps K (0) de la mani~re s u i v a n t e . Si le n o m b r e V~ a p p a r t i e n t a u corps K(0) celui-ci a p p a r t i e n t a u deuxi~me type.
D a n s le cas contraire il f a u t d d t e r m i n e r u n e unit~ positive E de la premiere categoric et d u quatri~me degrg. E n s u i t e il f a u t d d t e r m i n e r u n e u n i t d positive E , j o u i s s a n t des propri~t~s s u i v a n t e s : E 1 n ' e s t pas u n carr~ d a n s K (0), E = E~, off h est u n e puissance de 2. Si E 1 est de la seconde categoric le corps est d u troi- s l i m e type. Si E 1 est de la premiere catggorie il f a u t e x a m i n e r si le n o m b r e VE 1 ~ a p p a r t i e n t a u Corps ou non. D a n s le premier cas le corps est d u troisi~me type, dans le dernier cas il est d u p r e m i e r type.
Exemples numdriques, l ~ Soit 0 = ] / ~ 5 + 4 }/5. D'apr~s u n r e s u l t a t que nous a v o n s gtabli plus h a u t , le corps K(0) est d u premier type. On a e = 8 9 Le n o m b r e 0 2 - 4 -- (0 + 2 ) ( 0 - 2 ) = - 9 + 4 l / 5 est u n e unitd. On vdrifie ais~ment que le h o m b r e E = ] / ( 2 + 0 ) / ( 2 - 0 ) est u n e u n i t d qui satisfait a u x conditions du thdor~me 7. Ainsi e et E c o n s t i t u e n t u n syst~me f o n d a m e n t a l . 2 ~ Soit 0 = ]/89 (1 + ]/5).
D a n s ce cas on a 0 = t / ~ . O n vgrifie sans peine que le n o m b r e E = 0 + I est u n e unit~ qui satisfait a u x conditions d u thdor~me 7. Ainsi 0 et E c o n s t i t u e n t u n syst~me f o n d a m e n t a l . 3 ~ Le h o m b r e 0 = V - 2 + ~ / ~ engendre u n corps d u troi- si~me type. D a n s ce cas le n o m b r e E = (0 + 1 ) / ( 0 - 1 ) est u n e u n i t 6 qui satisfait a u x conditions d u thgor~me 7. Ainsi les unitds ~ e t ] / ~ = ~ (0 + 1) c o n s t i t u e n t u n systdme f o n d a m e n t a l . On p e u t d'aillears aussi p r e n d r e les unitds 0 + 1 et 0 - 1.
L j u n g g r e n [13, 14] a traitd u n e sous-classe des corps de la Classe 7, s savoir 4
les corps p u r e m e n t b i q u a d r a t i q u e s engendrds p a r les n o m b r e s VA, A n o m b r e n a t u r e l .
Aussi p o u r ]es corps de la classe 2 o n a r = 2. D a n s ce cas ia non-existence de sous-corps q u a d r a t i q u e s r e n d plus difficile la recherche des unitSs. Nous aIlons r e t o u r n e r sur ces corps dans u n t r a v a i l prochain; nous nous c o n t e n t o n s ici de l'exemple n u m ~ r i q u e s u i v a n t . Si 0 est u n e racine de l ' d q u a t i o n x 4 + x - 3 = 0 , on v~rifie sans difficultd que les unit~s 0 - - 1 et 2 - 0 2 c o n s t i t u e n t u n syst~me fonda- m e n t a l d ' u n i t ~ s d u corps K(0).
13. Les classes 8 et 9. D a n s ces classes on a r = 3. Comme plus h a u t le n o m b r e g~n~rateur a la forme
T. NAGELL, La th~orie des corps biquadratiques
o=V89 (c + dV ),
oh 89 (c + d ~/A) est u n n o m b r e e n t i e r positif d a n s K (~/~). Le n o m b r e c 2 - A d z c s t positif e t n ' e s t p a s le carr~ d ' u n n o m b r e ratiormel. Le corps K ( 0 ) a p p a r t i e n t la classe 9 ou la classe 8 s u i v a n t que le n o m b r e A ( c 2 - A d ~ ) est u n carr~ ou n o n d a n s K (1).
C o m m e p l u s h a u t nous d6signons p a r e l ' u n i t ~ f o n d a m e n t a l e d a n s K (V~), nous s u p p o s o n s s > 1. T o u t e unit~ d u second degr~ est ~ v i d e m m e n t de la forme _+m, m e n t i e r r a t i o n n e l . I1 y a n d c e s s a i r e m e n t d a n s K ( 0 ) des unit~s d u q u a t r i ~ m e degr~. N o u s d i r o n s que le n o m b r e e n t i e r tim est une puissance dans le corps, si
a p p a r t i e n t ~ K ( 0 ) e t s i m est u n n o m b r e n a t u r e l ~> 2.
N o u s allons d t a b l i r quelques l e m m e s sur les unit~s.
L e m m e 6. Le nombre V~ n'appartient pas au corps.
Ddmonstration. Soit e = 89 (a + b l/A) e t s u p p o s o n s que V~s a p p a r t i e n t a u corps.
Alors le n o m b r e ~ 8 9 e n g e n d r e u n corps conjugu~. I1 en rdsulte que 8 8 = + 1. P a r c o n s d q u e n t t o u s les q u a t r e corps conjugu~s coincident.
V u que
=89189
le corps a d m e t t r o i s sous-corps q u a d r a t i q u e s rdels, ce qui est s e u l e m e n t possible p o u r les corps de la classe 11. Ainsi le l e m m e est ddmontr~.
I1 e n r~sulte, t o u t c o m m e a u n u m ~ r o pr6c~dent, que e ne peut ~amais gtre une puissance dan.~ le corps.
L e m m e 7. La condition ndcessaire et suffisante qour que l'unitd positive E appar- tienne ~ quelque syst~me /ondamental, est que E n' est pas une puissance dans le corps.
Ddmonstration. N o u s s a v o n s d ' a p r ~ s le n ~ 8 que c e t t e c o n d i t i o n est n~cessaire.
S o i e n t E~, E 2 e t E 3 u n s y s t d m e f o n d a m e n t a l d ' u n i t g s et posons
E 5 = E~' E~' E~:, _ ~ h , E h, Eh:
E 6 - - "~1 2 3 ,
off [~, ]~, [3, g~, g2, ga, hi, h2 et h a s o n t des e n t i e r s ratiormels. L a c o n d i t i o n n~ces- saire e t suffisante p o u r que les unit~s E 4, E5 e t E~ f o r m e n t u n s y s t ~ m e f o n d a - m e n t a l e t que
D = gx g2 ga = • (31)
h I hz h a
D o n e D = h 1 g2 g3 gl g3 gl g2
S u p p o s o n s m a i n t e n a n t que les n o m b r e s h~, h~ e t h a s o n t donn6s, d o n e E~ est donng. P o u r satisfaire s (31) il r a n t que (h~, h2, ha) = 1. N o u s allons m o n t r e r que,
