Universit´e Paris 7 Denis Diderot MT1 (Alg`ebre et analyse ´el´ementaires) Groupe 1D4, 2008-2009
Sujets de colle
Exercice 1 Soit𝑓 une fonction monotone surℝtelle que
∀𝑥, 𝑦∈ℝ, 𝑓(𝑥+𝑦 2
)
=𝑓(𝑥) +𝑓(𝑦)
2 .
Montrer que𝑓(𝑥) =𝑓(0) +𝑓(1)𝑥.
Exercice 2 Soit𝑓 la fonction surℝtelle que
𝑓(𝑥) =
{𝑛−1, 𝑥=𝑚/𝑛avec𝑚et 𝑛premiers entre eux, 0, 𝑥∈ℝ∖ℚ.
Montrer que la fonction𝑓 est continue en tout point dansℝ∖ℚet est discontinue en tout point dansℚ.
Exercice 3 Soit𝑓une fonction continue surℝtelle que lim
𝑥→±∞𝑓(𝑓(𝑥)) = +∞. Montrer que lim
𝑥→±∞𝑓(𝑥) = +∞.
Exercice 4 Soit𝑓 la fonction surℝde la forme
𝑓(𝑥) =𝑎1sin(𝑥) +𝑎2sin(2𝑥) +⋅ ⋅ ⋅+𝑎𝑛sin(𝑛𝑥),
o`u𝑎1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑎𝑛 sont des nombres r´eels. On suppose que∣𝑓(𝑥)∣⩽∣sin𝑥∣pour tout𝑥∈ℝ. Montrer que
∣𝑎1+ 2𝑎2+⋅ ⋅ ⋅+𝑛𝑎𝑛∣⩽1.
Exercice 5 Soit𝑓 une fonction deux fois d´erivables sur ]0,+∞[. On suppose que𝑀0 et𝑀2 sont deux nombres r´eels tels que sup
𝑥>0
∣𝑓(𝑥)∣⩽𝑀0 et sup
𝑥>0
∣𝑓′′(𝑥)∣⩽𝑀2. Montrer que
∀𝑥 >0, ∣𝑓′(𝑥)∣⩽2√ 𝑀0𝑀2.
Exercice 6 Soit [𝑎, 𝑏] un intervalle ferm´e, o`u−∞< 𝑎 < 𝑏 <+∞. Soit𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏] qui est d´erivable sur ]𝑎, 𝑏[. Montrer qu’il existe 𝜉∈]𝑎, 𝑏[ tel que
2𝜉(𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)) = (𝑏2−𝑎2)𝑓′(𝜉).
Exercice 7 Soit 𝑓 une fonction continue d´efinie sur un intervalle ouvert ]𝑎, 𝑏[, o`u
−∞< 𝑎 < 𝑏 <+∞. On suppose que, pour tous𝑥et𝑦 dans ]𝑎, 𝑏[, on ait
𝑓(𝑥+𝑦 2
)
⩽𝑓(𝑥) +𝑓(𝑦)
2 .
Montrer que, pour tout𝑡∈]0,1[ et tous𝑥, 𝑦dans ]𝑎, 𝑏[, on a 𝑓(𝑡𝑥+ (1−𝑡)𝑦)⩽𝑡𝑓(𝑥) + (1−𝑡)𝑓(𝑦).
Le r´esultat est-il n´ecessairement vrai si on ne suppose plus que𝑓 soit continue ?
