INDICATIONS-EXAMEN FINAL2015-2016 .

UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat Année 2019–2020: SMA4/M21 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

DEVOIR 2

INDICATIONS-EXAMEN FINAL2015-2016 .

Exercice 1.

On considère la fonctionF dé…nie par : F(x) =R1

0

ln(1+2tcosx+t²)

t dt:

1)

Montrer queF est dé…nie et de classeC¹sur 0;₂ :

Pour toutx2 0;₂ ;la fonctiont! ^ln(1+2tcost ^x+t2) est continue sur]0;1]:

De pluslim_t!0^{+ ln(1+2tcos}_t ^x+t2) = 2 cos(x):

(Règle de l’Hospital ou Développement limité).

La fonction ^ln(1+2tcos_t ^x+t2) est prolongeable par continuité en0;

et donc intégrable sur[0;1]pour toutx2 0;₂ : Par conséquenr, la fonctionF(x)est dé…nie sur 0;₂ : Pourt6= 0;on a _@x^@ ( ^ln(1+2tcos_t ^x+t2) ) = 2_1+2t^sin(x)_cos(x)+t2

continue sur]0;1] 0;₂ ;prolongeable par continuité sur[0;1] 0;₂ .

De plus8(t; x)2[0;1] 0;₂ on a :

@

@x(^ln(1+2tcos_t ^x+t2)) = 21+2tcos(x)+t^{sin(x) 2} 2 1+t²; carjsin(x)j 1et 1 +t² 1 + 2 cos(x)t+t²,cos(x) 0 sur 0; ₂ : La fonction _1+t²2 est continue sur[0;1]et donc intégrable sur[0;1]: D’après le théorème de dérivation sous le signe intégrale,

la fonctionF est de classeC¹sur 0;₂ , de plus : F⁰(x) =R1

0

@

@x(^ln(1+2tcos_t ^x+t2))dt=R1

0 2_1+2t^sin(x)_cos(x)+t2dt:

2)Calculer explicitementF⁰(x); pour toutx2 0;₂ : F⁰(x) =R1

0 2_1+2t^sin(x)_cos(x)+t2dt= 2 sin(x)R1 0

dt 1+2tcos(x)+t²

F0(x) = 2 sin(x)R1 0

dt

(t+cos(x))² cos²(x) 1 = 2 sin(x)R1 0

dt

(t+cos(x))²+sin²(x): Six= 0;on aF⁰(x) = 0

Six6= 0; R _dt

(t+cos(x))²+sin²(x) = _sin(x)¹ Arctan(^t+cos(x)_sin(x) ) +c;

a6= 0;R _du

u²+a² =¹_aArctan(^u_a) +c : Par conséquent:

F0(x) = 2 sin(x)R1 0

dt

(t+cos(x))²+sin²(x) = ^{2 sin(x)}_sin(x) h

Arctan(^t+cos(x)_sin(x) )i1 0: F0(x) = 2 Arctan(^1+cos(x)_sin(x) ) Arctan(^cos(x)_sin(x)) :

Exercice 2 .

1)

Calculer

ZZ

jx+yjdxdy;

où est l’intérieur du triangle de sommets données par les points:

A( 1; 1); B(1; 1); C(1;1):

Le domaine est régulier déterminé par : 1 x 1;

y est compris entre la droite qui passe par les pointsA( 1; 1); B(1; 1) d’équation y= 1et la droite qui passe par les pointsB(1; 1)C(1;1) d’équation y=x:Donc, d’après le théorème 19 de Fubini (page 57)

ZZ

jx+yjdxdy=R1 1

Rx

1jx+yjdydx ZZ

jx+yjdxdy= R0

1

Rx

1jx+yjdydx+R1 0

R x

1 jx+yjdydx+R1 0

R x

xjx+yjdydx CalculonsR0

1

Rx

1jx+yjdydx;

on a1 y x 0; doncx+y 0et jx+yj= (x+y):

R0 1

Rx

1jx+yjdydx= R0 1

Rx

1(x+y)dydx

= R0

1(xy+^y₂²)^x₁dx= R0

1 (x²+^x₂²) ( x+¹₂) dx R0

1(³₂x²+x ¹₂)dx= h

x3 2

x²

2 +¹₂xi0 1=¹₂: CalculonsR1

0

R x

1 jx+yjdydx;

on ay xdoncx+y 0 etjx+yj= (x+y):

R1 0

R x

1 jx+yjdydx= R1 0

R x

1(x+y)dydx

= R1

0(xy+^y₂²) ^x₁dx= R1

0 ( x²+^x₂²) ( x+¹₂) dx

= R1

0( ^x₂² +x ¹₂)dx= h

x3

6 +^x₂^{2 1}₂xi0 1=¹₆: CalculonsR1R x

jx+yjdydx;

R1 0

R x

1 jx+yjdydx=R1 0

R x

x(x+y)dydx

= R1

0(xy+^y₂²) ^x_xdx= R1

0 (x²+^x₂²) ( x²+^x₂²) dx

= R1

0(2x²)dx= h

2x³ 3

i1 0=²₃: Donc,

ZZ

jx+yjdxdy=¹₂+¹₆+²₃ =⁴₃:

2)

SoitD= (x; y)2R²=x 0;x²+y² 1;x²+y² 2y : a) DessinerD.

Le domaineDest l’intersection entre le disque de centre(0;0)et de rayon1, le disque de centre(0;1) et de rayon1et le demi-planx 0:

(Voir Image Devoir2-Abdelmoumen ,D=D₁\D₂).

b) Pour calculer

ZZ

D

p(x²+y²)dxdy:

En considérant les coordonnées polairesx=rcos ; y=rsin ;on a:

r²=x²+y² 2y= 2rsin ;on obtient quer 2 sin ;

de plusr² 1)2 sin 1 et doncsin ¹₂ = sin₆ car0 ₂: Par conséquent,

ZZ

D

p(x²+y²)dxdy=R₆

0

R2 sin

0 r(rdrd ) = ⁸₃R ₆

0 sin³ d

8 3

R₆

0 sin² sin d = ⁸₃R₆

0 (1 cos² ) sin d =⁸₃h

cos +^cos₃³ i₆

0 = p3 +¹⁶₉:

Exercice 3.

On donne le champ de vecteurs:

V(x; y; z) = (y²cos(x);2ysin(x) +e^2z;2ye^2z):

1)

Montrer que ce champ est un champ de gradient(découle d’un potentiel).

Les dérivées partielles des composantes du champ de vecteurs

V(x; y; z)sont continues, doncV dérive d’un potentielU (page 46) si :

@y²cos(x)

@y =^@2ysin(x)+e_@x ^2z; ^@y2_@z^cos(x) =^2ye_@x^2z;^@2ysin(x)+e_@z ^2z = ^2ye_@y^2z: Cette condition est équivalente à:

Rot(V) =

i j k

@

@x

@

@y

@

@z

y²cos(x) 2ysin(x) +e^2z 2ye^2z

Rot(V) =i ^2ye_@y^{z @2ysin(x)+e}_@z ^2z j ^@2ye_@x ^{z @y2}_@z^cos(x) + k ^@2ysin(x)+e_@x ^{2z @y2}_@y^cos(x) = 0:

On dit aussi queV est un champ de gradient carrU =V:

En e¤etV est un champ de gradient car ,

@y²cos(x)

@y = 2ycos(x) =^@2ysin(x)+e_@x ^2z;

@y²cos(x)

@z = 0 = ^2ye_@x^2z;

@2ysin(x)+e^2z

@z = 2e^2z=^2ye_@y^2z:

2

) Déterminer le potentielU(x; y; z)dont dérive ce champ sachant queU(0;0;0) = 1:

On arU =V , 8<

:

@U

@x =y²cos(x) (1)

@U

@y = 2ysin(x) +e^2z (2)

@U

@z = 2ye^2z (3) En intégrant (1) par rapport à x, on obtient :

U(x; y; z) =y²sin(x) +h(x; y).

De(2);on obtient ^@U_@y = 2ysin(x) +^@h_@y = 2ysin(x) +e^2zet ^@h_@y =e^2z: En intégrant par rapport à y, on ah(x; y) =ye^2z+g(z)

etU(x; y; z) =y²sin(x) +ye^2z+g(z):

De (3), on a ^@U_@z = 2ye^2z= 2ye^2z+g⁰(z)etg0(z) = 0)g(z) =cconstante.

L’expression générale des potentiels est données par : U(x; y; z) =y²sin(x) +ye^2z+c:

On aU(0;0;0) = 1 =c;le potentiel cherché

U(x; y; z) =y²sin(x) +ye^2z+ 1:

3)

Quelle la circulation de ce champ deA(0;1;0)àB(₂;3;0)?

PuisqueV dérive d’un ptentiel, la Circulationest indépendante du chemin(page 49).

Circulation=RB

A V:dr=U(B) U(A) =U(₂;3;0) U(0;1;0) = 11:

Exercice 4 .

1)

SoitV le demi cylindre dé…ni par:

V = (x; y; z)2R³= y 0; x²+y² R²;0 z H ; oùRet H sont des réels strctement positifs.On suppose que V est homogène de masse volumique (constante) :

Déterminer le centre de masse du solideV:

V = (r; ; z)2R³= 0 r R;0 ;0 z H :

La masseM = ZZZ

V

dV = volume deV = ^R₂^2H: On peut aussi alculer directement:

M = ZZZ

V

dV = RR 0

R

0

RH

0 rdrd dz= ^R₂^2H: Le centre de masseGest déterminé par:

xG =_M¹ ZZZ

V

xdV = _R²2H

RR 0

R

0

RH

0 rcos rdrd dz= 0 y_G =_M¹

ZZZ

V

ydV = _R²2H

RR 0

R

0

RH

0 rsin rdrd dz= ^4R₃ zG=_M¹

ZZZ

V

ydV = _R²2H

RR 0

R

0

RH

0 zrdrd dz= ^H₂: