Atomes de Rydberg en champs statiques intenses

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Dominique Delande

To cite this version:

Dominique Delande. Atomes de Rydberg en champs statiques intenses. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1988. Français. �tel-00011864�

DÉPARTEMENT

DE

_PHYSIQUE

DE

L’ÉCOLE

NORMALE

SUPÉRIEURE

THESE de DOCTORAT D’ETAT

ès Sciences

_Physiques

présentée

à l’Université Pierre et Marie Curie - Paris 6

-par

Dominique

DELANDE

pour obtenir le

grade

de Docteur ès Sciences

Sujet

de la thèse :

"ATOMES DE RYDBERG EN CHAMPS STATIQUES INTENSES"

Soutenue le 22 Mars 1988, devant le

_{Jury composé}

de : M. B.

_CAGNAC,

Président M. O. BOHIGAS M. J.C. GAY M. S. HAROCHE M. S. LIBERMAN M. M. LOMBARDI M. A.

_MAQUET

Quelques

constantes fondamentales : , constante de Planck = _1,045459

10

-34

_{J s} q, charge de l’électron _q = _-1,60219

10

-19

_C m, masse de l’électron m = _9,10956

10

-31

kg

c, vitesse de la lumière c = _{2,99792458 m}

s

-1

On note

Nous utilisons le

_système

d’unités

_atomiques

défini par :

Les

principales

unités sont :

Longueur

(rayon

de Bohr)

Energie

(lHartree=2Rydberg)

Champ

électrique

Champ

magnétique

Nous noterons F le champ

électrique

et

_03B3=B/B

_c

le

_champ

_magnétique

en unités

atomiques.

à l’Université Pierre et Marie Curie -

Paris 6

-par

Dominique

DELANDE

pour obtenir le

grade

de Docteur ès Sciences

Sujet

de la thèse :

"ATOMES DE RYDBERG EN CHAMPS

STATIQUES

INTENSES"

Soutenue le 22 Mars

_1988,

devant le

_Jury

_composé

de : M. B.

CAGNAC,

Président M. O. BOHIGAS M. J.C. GAY M. S. HAROCHE M. S. LIBERMAN M. M. LOMBARDI M. A.

MAQUET

Supérieure

Vins)

pendant

période

1981-1988. Je remercie Monsieur le Professeur Jean BROSSEL et

Monsieur Jacques DUPONT-ROC de

_m’y

avoir

_accueilli,

et fait bénéficier de

conditions de recherche

exceptionnelles.

Je veux

exprimer

ma profonde reconnaissance à Jean-Claude GAY qui a

dirigé

cette thèse avec une

_{disponibilité}

de tous les instants. Son

enthousiasme et sa

remarquable

intuition des

phénomènes physiques

ont été

essentiels pour moi.

J’ai eu le

plaisir

de travailler avec

_François

BIRABEN, Christian

CHARDONNET, et Francis PENENT, ainsi

qu’avec

Arno STEITZ lors de son

_séjour

au laboratoire. Je veux

_qu’ils

sachent combien leur collaboration m’a été

profitable

et utile, en

_particulier

sur le

_plan

_{expérimental.}

Grâce à Pierre LALLEMAND et Claire LHUILLIER,

j’ai

pu bénéficier de

nombreuses heures de calcul sur le

_système

_VAX+FPS;

_qu’ils

trouvent ici

l’expression

de ma

_gratitude.

Je remercie sincèrement tous ceux, techniciens et chercheurs, - en

particulier

à la Halle aux Vins - qui m’ont aidé tout au

_long

de ce

travail. Je tiens à remercier chaleureusement Bernard GYORS

_qui,

avec une

grande

patience et une

_grande

gentillesse,

m’a aidé à résoudre certains

problèmes

d’informatique,

et le

_personnel

de l’atelier des Basses

Températures

de Jean-Pierre LE ROLLAND.

Monsieur le Professeur Bernard CAGNAC m’a accueilli à la Halle aux

Vins et a

_accepté

de

_présider

le

jury ; je

l’en remercie vivement.

Messieurs les Professeurs Alfred _MAQUET et _{Serge HAROCHE, Messieurs Oriol}

BOHIGAS,

Sylvain

LIBERMAN et Maurice LOMBARDI ont

_accepté

de

participer

à

ce

_{jury ;}

_je

suis très honoré _{par cette marque} d’intérêt et les en

remercie.

Je ne saurais terminer sans remercier tout

_{spécialement}

Madame Patricia BOUNIOL pour la

gentillesse

et la

_compétence

avec

_lesquelles

elle

a assuré la

_frappe

de ce manuscrit. Je remercie Sandra LALY-THIBAULT et

Marie-Françoise

HEUSERS

qui

ont

également

contribué

à cette tâche

_ingrate,

ainsi que Madame AUDOIN et Monsieur MANCEAU

qui

ont assuré le

_tirage

et la

La

_dynamique

des

_systèmes

à

plusieurs degrés

de liberté non

séparables

est étudiée par les

physiciens

et les mathématiciens

depuis

le

début du

vingtième

siècle. Sauf cas

_{exceptionnel,}

la solution

_générale

de

ces

problèmes

n’est pas connue.

L’atome soumis à un

_champ

extérieur fait

_partie

de cette classe de

systèmes.

Dans le

régime

de

_{champ intense,}

_l’énergie

d’interaction avec le

champ

extérieur est du même ordre de

_grandeur

que

l’énergie

de liaison

atomique :

un traitement

perturbatif

est alors

_impossible

et il faut

traiter le

_problème

(non

séparable)

dans toute sa

_{généralité.}

Par

_exemple,

le

_problème

de l’atome

_{d’hydrogène}

dans un

_champ

magnétique

intense uniforme

indépendant

du _temps, très

_simple

dans sa

formulation,

constitue un

problème

de

physique générale qui

n’est pas encore

complètement

résolu, malgré

de nombreux

progrès

récents (cf.

chapitre

III). Il est relié au

_{problème général}

du

_{magnétisme atomique,}

et

quoique

son étude rélève de la

physique

atomique,

il

présente

un intérêt

dans de nombreux autres domaines de la

_physique.

Citons par

exemple[1][2] :

~

_{Astrophysique.}

Les

_champs

_{magnétiques régnant}

à la surface des naines blanches (~

10

3

T)

ou des

_pulsars

(~

10

8

T)

affectent notablement les

spectres

d’émission de ces

_objets.

~

_Physique

des

plasmas.

La

_{compréhension}

des

phénomènes

d’ionisation, recombinaison,

etc... en

présence

de

champ

magnétique

est

nécessaire à l’étude des

plasmas

confinés par bouteille

magnétique.

~

_Physique

des solides. Les _spectres d’excitons ou

_{d’impuretés}

sont

affectés par un

_champ

_magnétique.

Enfin,

l’effet Hall

_quantique

constitue

une manifestation indirecte du

_{magnétisme atomique}

dans un solide.

L’atome soumis à un

_champ

extérieur intense est un

_{système simple}

où tous les

_paramètres

sont bien contrôlés. Il constitue ainsi un

_prototype

presque

parfait

de

_système

non

séparable

où l’étude

théorique,

mais aussi

expérimentale

est

possible

[3].

Ceci conduit par

exemple

à des avancées

importantes

dans

_l’analyse

des

_{systèmes chaotiques}

_[4].

appliquer

champs

gigantesques

pour

perturber

notablement (de l’ordre de

10

5

T ou

10

9

V/cm),

ce

_qui

semble

expérimentalement

peu réaliste.

Il est

possible

de tourner cette difficulté en utilisant des atomes

de

_Rydberg

de nombre

_quantique

_principal

n élevé. Ces états

atomiques

ont la

_{particularité}

d’être

_grands

(taille

proportionnelle

à

n

2

)

et peu liés

(énergie

de liaison

proportionnelle

à

1/n

2

).

Ils sont en

conséquence

sensibles à toutes les

_{perturbations}

extérieures :

_champs

électrique

et

magnétique

statiques

ou

_oscillants,

collisions

atomiques

ou

électroniques...

En utilisant les

_propriétés

d’échelle de l’interaction coulombienne et de l’interaction avec le

_{champ extérieur,}

on réalise ainsi

des

expériences

en champ intense tout en

appliquant

des

_champs

extérieurs

modestes en valeur absolue (de l’ordre de 100 V/cm ou _{10 T pour} un état de

Rydberg

n = 30). _De

_plus,

l’effet du _coeur

atomique

_sur l’électron

périphérique

de

_Rydberg

est

_{généralement}

_faible,

ce qui

simplifie

l’analyse. Il est d’ailleurs

remarquable

que, dans l’immense

majorité

des

cas, toutes les

espèces

atomiques

possèdent

le même comportement.

Figure 1 :

Spectre

d’absorption

du Barium observé par GARTON et TOMKINS

(Ref.

[7]).

(a) En

_{champ magnétique}

nul

(b)

Dans un

_champ

magnétique

de 2,4 T

_{(polarisation}

_03C3). On a

[6].

En 1969, GARTON et TOMKINS observent pour la

première

fois un spectre

atomique

en

_champ

magnétique

intense,

dans des conditions où la structure

atomique

est

_{profondément}

bouleversée

_[7].

Cette

_{expérience, qui}

en a

suscité bien

_d’autres,

dont les

nôtres,

fut effectuée sur le spectre

d’absorption

du Barium dans un

_champ

_{magnétique statique}

B = _2,4T à l’aide d’un

_{spectrographe}

à réseau de haute résolution et de

_grande

luminosité.

L’analyse

des _spectres révèle l’existence de bandes

_{d’absorption}

à peu

près

équidistantes

en-deça et au-delà de la limite d’ionisation de l’atome en

champ

nul (cf.

Fig.

1). L’écart entre deux bandes consécutives est voisin

de _1,5

_03C9

_c

_(03C9

_c

_{fréquence cyclotron).}

Ce

_phénomène,

_baptisé

"résonances

Quasi-Landau"

n’a reçu que très récemment une

_{interprétation}

_théorique

satisfaisante (voir

chapitre

III et références

_[4][8]).

Le

développement

des lasers accordables, fournissant une

_puissance

élevée

_jointe

à une

_grande

_pureté

_spectrale,

a

_permis

d’aborder l’étude

expérimentale

détaillée de ce type de

_{phénomènes.}

En

_particulier,

ces

lasers _permettent d’exciter

_efficacement

et sélectivement les atomes de

Rydberg.

Depuis

une dizaine d’années, de très nombreux

développements

expérimentaux

et

_théoriques

ont eu

_lieu,

aussi bien pour les

problèmes

de

champ

extérieur

statique

que pour les

problèmes

de champ oscillant.

Sur le

_plan

_théorique,

au commencement de ce travail (début des

années

80),

la situation était assez confuse : hormis le cas

_séparable

de l’atome

_{d’hydrogène}

en

_champ

_{électrique statique}

_intense,

il n’existait que

des modèles assez

_grossiers.

Il fallait trouver le fil

d’Ariane,

s’il

existait,

et la

_simplicité

de certains _spectres

_{expérimentaux, quelle}

_que soit la nature de l’atome, en

_suggérait

fortement l’existence.

Ce que nous montrons dans le

_présent

_travail,

c’est que

l’analyse

des

_{symétries dynamiques,}

non _purement

_{géométriques,}

_permet

de

_prévoir

le

comportement de ce _type de

_systèmes.

Dès les

_plus

bas

champs

et

_jusque

dans

le

régime

de

_{champ intense,}

la

dynamique

des

systèmes

est dominée par les

propriétés

de

_symétrie

de l’interaction coulombienne

(responsable,

entre

autres, de la

dégénérescence

en ~ du spectre de l’atome

_{d’hydrogène)}

et de

l’interaction avec le

champ

extérieur,

et ce aussi bien en

_mécanique

classique

qu’en

mécanique quantique.

C’est le moyen de

comprendre

les

comportements

expérimentaux

dans leur

_{généralité,}

leur

_simplicité,

et leurs caractères

parfois

surprenants.

Dans ce

mémoire,

nous nous limiterons au cas des

champs

statiques.

Il est

_cependant

clair que les méthodes

théoriques

développées

se

transposent facilement au cas des

_champs

oscillants (voir par

exemple,

la

référence

_[9]

où l’ionisation de l’atome

_{d’hydrogène}

par un

_champ

microonde

Le

_chapitre

I est consacré à l’étude des

_propriétés

de

_symétrie

de l’atome

_{d’hydrogène}

(interaction coulombienne) dans un cadre non

relativiste. Le groupe de

symétrie

dynamique

SO(4) est étudié des

_points

de

vue

classique

et

quantique.

L’accent est mis sur la construction de bases

d’états propres

possédant

des

propriétés

de

symétrie

dynamique

(c’est-à-dire

non _purement

_{géométrique) spécifiques.}

Cette

_approche

est

généralisée

à l’aide du groupe

dynamique

SO(4,2) qui permet

de traiter l’ensemble de tous les états de l’atome

_{d’hydrogène}

dans une seule

structure. Les bases ainsi construites sont une

généralisation

des bases

Sturmiennes

_{précédemment}

connues, mais elles

_possèdent

en

_plus

des

propriétés

de

_{symétrie spécifiques.}

L’atome

_{d’hydrogène}

en

_champs

extérieurs faibles est étudié dans le

chapitre

II. Dans ce

_régime,

le

_champ

extérieur est traité comme une

perturbation qui

brise la

_{symétrique dynamique}

coulombienne. Le

_problème

est résolu

_simplement

en utilisant les

propriétés

de

symétrie

et les bases de fonctions d’onde étudiées au

chapitre

I.

Par

_exemple,

en

_champs

_magnétique

et

électrique

de directions

quelconques,

toute

_propriété

de

symétrie géométrique

a

_disparue.

_Cependant,

le _spectre et les fonctions d’onde sont connues de manière

_analytique.

Le

résultat,

très

simple,

est une illustration saisissante de la

_puissance

des

considérations de

_{symétrie dynamique.}

Le

_problème

du

_{diamagnétisme atomique}

est

également

largement

traité dans les formalismes

classique

et

_quantique.

Les

propriétés

de

symétrie (approchées)

des états propres sont mises en

évidence et reliées aux

_propriétés

de la

dynamique classique

du

_système.

Dans le

_chapitre

_III, on étudie le _comportement des atomes de

Rydberg

en

_champs

extérieurs intenses. Là encore, les

propriétés

de

symétrie jouent

un rôle fondamental. En

champ

électrique

intense,

il

subsiste une

symétrie dynamique "parabolique" qui

permet de résoudre entièrement le

_problème.

Les spectres peuvent être

interprétés

comme la

superposition

de structures

_{régulières.}

En revanche, l’atome

_{d’hydrogène}

en

champ

magnétique

intense ne

_possède

_plus

de

_{symétrie dynamique.}

Classiquement,

cela se traduit par

l’apparition progressive

du chaos dans le

_système.

La destruction des

_symétries

_approchées

valables en

_champ

faible est

_{analysée. Quantiquement,}

le

_problème

est redoutable : tous les états propres de l’atome

d’hydrogène

sont

_mélangés.

Nous avons

_développé

deux

_techniques

_{(diagonalisation numérique}

et resommation des séries de

perturbation)

permettant de calculer

numériquement

le spectre et les fonctions d’onde. L’utilisation du _groupe

_dynamique

_SO(4,2)

et des bases

construites au

_chapitre

I est la condition

indispensable

du succès

(l’utilisation

d’une base

_quelconque

conduit à saturer

_{rapidement n’importe}

quel

ordinateur). Nous avons

utilisé

les résultats

numériques

ainsi obtenus

pour vérifier certaines

conjectures

sur le chaos

_quantique

établies en

Le

_chapitre

IV est consacré à l’étude des atomes

_{non-hydrogénoides}

en

_présence

de champs extérieurs. On y montre que la

dynamique

du

_système

est _pour l’essentiel semblable à ce

_qu’elle

_{est pour} l’atome

d’hydrogène.

La méthode

générale

de

_traitement,

_inspirée

du travail de D. HARMIN

_[10]

est

_appliquée

dans différents cas. Dans le

_régime

de

_champ

faible, on

étudie la situation où les corrections

_{non-hydrogénoides}

sont

_comparables

à

la

_perturbation

extérieure. Dans le

_régime

de _{champ fort,} on _{montre que} le

comportement du

système

est

_{qualitativement}

semblable à celui de

l’hydrogène,

sauf dans le cas de l’effet Stark où la brisure de la

_symétrie

dynamique parabolique

par les effets de coeur affecte notablement les

spectres.

Les résultats

expérimentaux

que nous avons obtenus sont

_exposés

dans le

_chapitre

V. Dans le

régime

de

_{champ faible,}

nous avons étudié le

spectre de l’atome de Rubidium en _champs

_électrique

et

_magnétique

perpendiculaires

et observé les _spectres très

simples

prévus théoriquement

(cf.

chapitre

II). Il

_s’agit

à ce

_jour

de la démonstration

_{expérimentale}

la

plus

directe de l’existence de la

_{symétrie dynamique}

SO(4)

de l’atome

d’hydrogène.

Nous avons

_également

étudié l’effet Stark de l’atome de Césium

sur des états de

_Rydberg

très excités n = ₄₀ à _{100 pour des}

_champs

faibles en valeur absolue, de l’ordre du V/cm. Nous y avons mis en évidence la

brisure de la

_{symétrie dynamique "parabolique"}

par les effets de coeur,

dans le

_régime

de

_champ

faible.

Enfin,

nous avons étudié le comportement

des états de

_Rydberg

du Césium en

_champ

_magnétique

_intense,

dans des

conditions où les effets du coeur sont totalement

_{négligeables.}

L’existence d’une classe d’états dominants

_jusque

dans le

_{régime "chaotique",}

théoriquement

prévue

au

_chapitre

III, est mise en évidence

expérimentalement.

La

comparaison

avec les simulations

_numériques

révèle un

excellent accord, bien que la résolution ne permette pas encore d’observer

le

_spectre

atomique

en

_champ

intense dans toute son ...

irrégularité.

* * *

[1]

R.M. GARSTANG,

Rep. Prog.

Phys.

40, 105 (1977).

[2]

J.C. GAY in Progress in Atomic _{Spectroscopy,} Part _C, 177,

Ed. H.J. BEYER et H. KLEINPOPPEN, Plenum (1984).

[3]

Colloque

International du C.N.R.S. n° 334

_{"Physique Atomique}

et

Moléculaire

_près

des seuils d’ionisation en

_champs

_intenses",

Journal de

_Physique

43, C2

(1982),

Ed. J.P. CONNERADE, J.C. GAY

NAYFEH, TAYLOR,

Voir en

particulier

les contributions de K.H. WELGE, D. WINTGEN et

D. DELANDE.

[5]

P. ZEEMAN, Phil. Mag. 5, 43 (1897).

[6]

F. JENKINS et E. _SEGRE,

_Phys.

Rev.

_55,

52 (1949).

[7]

W.R.S. GARTON et G.S. TOMKINS,

Astrophys.

J.

_158,

839 (1969).

[8]

D. DELANDE et J.C. _GAY,

_Phys.

Rev. Lett. 59, 1809 (1987).

[9]

G. CASATI, B.V. CHIRIKOV, D.L. SHEPELYANSKY et I. _GUARNERI,

_Phys.

Rev. Lett. 57, 823 (1986).

L’objet

de ce

_chapitre

est de décrire en détail un

système

particulièrement

simple :

l’atome

d’hydrogène

non

_relativiste,

c’est-à-dire

deux

_particules

_ponctuelles

sans

spin interagissant

par la force de

Coulomb.

Ce

_problème

a été entièrement résolu aussi bien en

_mécanique

classique

[1]

dès le 17ème

siècle, qu’en

mécanique quantique

au début du

20ème siècle

(Bohr,

Sommerfeld,

Schrôdinger, Heisenberg

et surtout Pauli

[2]).

Le

_problème

comporte 6

_degrés

de liberté (3 par

particule).

Il est

possible

de le

_simplifier,

_puis

de le résoudre en utilisant les constantes du mouvement, c’est à dire les

_symétries

du

_système.

Il

_s’agit

là d’une

notion-clé pour

l’analyse

de très nombreux

systèmes

pouvant se manifester sous différents

_{aspects :}

existence de

quantités

conservatives, invariance

de

_{l’équation}

d’évolution sous certaines

transformations,

séparabilité

dans

certains

systèmes

de coordonnées ... L’évolution de la

physique

durant les

cinquantes

dernières années a

_amplement

démontré

l’importance

FONDAMENTALE

des considérations de

_symétrie.

Dans ce

chapitre,

nous montrons comment on _peut

_"penser"

l’atome

d’hydrogène

en termes de

_symétries.

La

_partie

I est consacrée à l’étude de

mécanique

classique.

Nous y montrons comment les

_{caractéristiques}

bien

connues du mouvement

_{(trajectoires}

fermées

_{elliptiques) s’interprètent}

comme

_{conséquences}

de l’existence d’une

_symétrie

_"dynamique".

Dans la

partie

II, nous

_rappelons

le traitement "traditionnel" de l’atome

d’hydrogène

en

mécanique quantique.

Le groupe de

symétrie (dynamique)

SO(4) est étudié en détail dans la

_partie

III : il permet

d’expliquer

la

dégénérescence,

improprement

qualifiée

d’accidentelle,

des niveaux

d’énergie.

Nous l’utilisons pour construire un certain nombre de bases de

fonctions d’onde. Chacune de ces bases sera utilisée au

_chapitre

II _pour

décrire les

propriétés

de l’atome

d’hydrogène

en

_présence

de

_{perturbations}

peu intenses. Le choix d’une base

judicieusement

adaptée

aux

_symétries

de la

perturbation

appliquée

est la clé d’une bonne

_{compréhension}

des

phénomènes physiques

et le _garant de calculs

simples.

Enfin,

la

partie

IV

est consacrée à l’étude du groupe

dynamique SO(4,2)

(encore

appelé

groupe

de non-invariance) de l’atome

_{d’hydrogène.}

Cette étude

généralise

celle du

groupe de

symétrie

et

_permet

de traiter

globalement

l’espace

des états

(états liés et continuum). Elle constitue

l’étape

ultime du raisonnement :

la

_dynamique

du

système

n’intervient

plus

explicitement,

elle est

incorporée

dans la structure; les seules considérations de

_symétrie

décrivent entièrement le

système.

Cette

_approche,

introduite au cours des

20 dernières années avec des contributions essentielles de A.O.BARUT

_[3]

et

de ses

_{collaborateurs,}

s’est révélée très féconde pour

l’analyse

des

phénomènes

physiques

en

_champ

intense

(cf.

chapitre

III).

Les notions introduites dans ce

_{chapitre (parties}

III et IV)

utilisent la _{théorie des groupes} (et en

_particulier

les

_{représentations}

linéaires des groupes de Lie). Nous les avons

_cependant

limitées au strict

nécessaire

(parfois

au détriment de certaines subtilités

mathématiques) :

les seules notions nécessaires à la lecture sont les notions

d’algèbre

I -

L’ATOME D’HYDROGENE EN MECANIQUE CLASSIQUE

I-1.

Equations

du mouvement

L’atome

_{d’hydrogène}

est constitué d’un électron de masse

m

1

et

de

charge

q

(q<0)

et d’un noyau de masse

_m

₂

_et

de

charge

-q. Ils

interagissent

par la force

_{électrostatique}

de Coulomb. Si

_r

1 et

r

2

désignent

les rayons-vecteurs de l’électron et _{du noyau,} la force de Coulomb sur

l’électron s’écrit :

Cette force ne

_dépend

_que de la

position

relative des deux

particules.

On peut

séparer

le mouvement du centre de masse et le mouvement

relatif (cette

séparation

n’est pas

toujours possible

en

présence

de

_champs

extérieurs,

voir

chapitre

II).

Si on note r =

r

1

-r

2

le

rayon-vecteur

relatif des deux

particules

et m =

m

1

m

2

/(m

1

+m

2

)

la masse réduite du

système,

l’étude du mouvement

relatif se réduit à celui d’une

particule

de masse m, de

position

r soumise

à une force coulombienne centrale :

(en utilisant la notation

1-2. Constantes du mouvement -

_{Trajectoires (voir}

réf.

[4])

La force coulombienne est

_{conservative,}

elle dérive du

_potentiel

coulombien :

Lors du mouvement,

l’énergie

E se conserve :

(v

désigne

la vitesse et p = _mv

_{l’impulsion}

_{de la}

_particule)

L’énergie

est la somme des deux contributions

(énergies

cinétique

et

_potentielle)

de

_signes

_opposés.

_Lorsque

l’énergie

totale est

_négative,

r

est

_majoré

par

-e

2

/E

et le

système

est lié. En revanche, si

l’énergie

est

positive,

l’électron _peut

partir

à l’infini et le

système

s’ionise.

La force coulombienne est radiale. Le moment

_cinétique

est donc une

constante du mouvement :

Cette constante du mouvement L traduit la

_{symétrie sphérique}

du

problème (isotropie

de

_l’espace).

La

_position

r et la vitesse v =

_p/m

_sont

perpendiculaires

à L = _{Cte. Le mouvement est donc}

plan.

L’étude des

_trajectoires

est un

_problème

bien connu de

_mécanique

classique.

Il est à la base des

_premiers

grands

succès du formalisme de Newton pour

prévoir

les mouvements des

_objets

célestes

_[1].

Le résultat est

remarquable :

toutes les

trajectoires d’énergie négative

sont des

_ellipses

et sont donc fermées. Cette

_propriété

_indique

l’existence d’une autre constante du mouvement. Celle-ci

_peut

être mise en évidence à

_partir

de

l’équation

de Newton

_(1-3)

en notant que

r/r

3

est la dérivée par rapport au

temps d’une

quantité

simple.

En effet :

Par

comparaison

des

_équations

(1-7) et (1-3), il vient :

A est donc une constante du mouvement

_spécifique

du

_champ

coulombien.

L’équation

de la

_trajectoire

s’obtient en formant le

_produit

scalaire A.r :

Si 03B8

désigne l’angle

entre A (vecteur constant) et r , on a :

On reconnait

l’équation

d’une

cônique

ayant son

_foyer

à

_l’origine,

de

_paramètre

_{p et} d’excentricité ~ donnés par :

D’après l’équation

(1-3),

on montre facilement que :

et donc :

La nature de la

_{cônique dépend}

de

l’énergie :

* _{Si E<0 ~<1 la}

_trajectoire

_{est une}

_ellipse

_(cf.

Fig.

I-1);

* _{Si E=0 ~=1 la}

trajectoire

est une

_parabole;

* _{Si E>0 ~>1 la}

(le cas

L

2

=

0

_correspond

à une

_{cônique dégénérée (p=0),}

donc à une

trajectoire rectiligne).

Dans la

suite,

nous nous intéresserons aux

_trajectoires

elliptiques.

Les demi-axes de

_l’ellipse

sont :

Le

_grand-axe

de

_l’ellipse

ne

_dépend

que de

l’énergie.

Enfin,

la

période

T se calcule aisément : l’aire

balayée

par unité de temps est constante (deuxième loi de

_Kepler)

et

égale

à L/2m . Sur une

période,

l’aire

balayée

est la surface de

_l’ellipse

03C0ab. On obtient donc (on

retrouve la troisième loi de

_Kepler

_T

₂

_/a

₃

= Cte) :

1-3.

Equation

horaire - Valeurs moyennes

L’équation

horaire de la

_trajectoire

donnée _par la fonction r(t) peut être obtenue à

_partir

de

_{l’équation}

de conservation de

_l’énergie

(1-5).

Cependant,

le résultat ne

_prend

_pas une forme très

_simple

et il est

préférable

d’utiliser une

_{paramétrisation}

bien connue des

_ellipses

à l’aide

de l’anomalie

excentrique

u (voir

Fig.

1-2)

[7].

Soit

_(C)

le cercle (de centre C et de _rayon a) dont le

_grand

axe de

l’ellipse

est un diamètre et M le

_point

courant de

_l’ellipse.

Si M’

_désigne

la

_projection

de M sur

_(C)

_{parallèlement}

au

_petit

_axe,

_l’angle

entre CM’ et

le

grand

axe est

_appelé

anomalie

excentrique

u (elle coïncide avec 03B8 _pour

les

_trajectoires

circulaires).

Quelques

calculs de

_{trigonométrie}

élémentaire montrent que :

Figure

I-1 : Les constantes du mouvement Coulombien de

l’électron autour du _noyau

_{(trajectoire elliptique) :}

Le moment

cinétique

L = _{r x}

p

perpendiculaire

au

_plan

de

_l’ellipse

Le vecteur de Runge-Lenz A =

p x l - e

2

r

_aligné

_le

_long

_du

grand

axe m r

Figure

1-2 : Définition

géométrique

de l’anomalie

_excentrique

u.

qui s’intègre

facilement en

(équation

dite "de

Kepler"

[7]):

u _peut ainsi

s’interpréter

comme un

_"temps"

_qui

ne s’écoulerait pas

de

_{façon uniforme,}

mais d’autant

_plus

vite que l’électron est loin du noyau. r évolue sinusoidalement en fonction de u (cf Eq. 1-17) et la

dynamique

du

_système

coulombien se compare donc à celle d’un oscillateur

harmonique.

Ce caractère inattendu du mouvement est éclairé dans la

_partie

IV de ce

_{chapitre (groupe}

_dynamique).

Les

_équations

(I-17) et (I-19) forment donc une

_{représentation}

paramétrique complète

de l’évolution

spatiale

et

_temporelle

du

_système.

Géométriquement,

elles

impliquent

que la fonction r(t) est

_{représentée}

par

une

_{cycloide allongée.}

On _peut aussi

_exprimer

les coordonnées cartésiennes de l’électron.

En choisissant les axes x le

_long

du

_grand

axe et y le

long

du

_petit

axe,

on obtient :

En utilisant ces

expressions,

P.NACCACHE

_[8]

a calculé le

développement

de Fourier de r(t) et a montré la

_{correspondance}

entre les

coefficients de Fourier et les éléments de matrice du

_dipole

en

_mécanique

quantique (principe

de

_{correspondance).}

Nous nous limiterons ici à la _composante de

_fréquence

nulle c’est-à-dire à la moyenne

temporelle

de r(t). En utilisant les

_équations

(1-17),

(1-18) et (1-20), on trouve immédiatement :

<r> est donc

_aligné

le

_long

du

_grand

axe comme le vecteur de Lenz A. On a

_plus

précisément

(cf Eq. (I-12)et

(I-15)) :

Un moment

_{dipolaire électrique}

_{moyen D} = _{<qr>}

proportionnel

à _A

(le coefficient de

_{proportionnalité}

ne

dépendant

que de

l’énergie)

est donc

associé au mouvement.

De

_même,

il existe un moment

_{dipolaire magnétique proportionnel}

au

1-4. _Groupe de

_{symétrie classique}

L’existence d’une constante du mouvement

_spécifique

du

_champ

coulombien,

le vecteur de Lenz A montre que celui-ci

possède,

en

_plus

de la

symétrie

sphérique,

des transformations de

_symétrie

_{supplémentaires}

(c’est-à-dire des transformations conservant

_l’énergie

et transformant un

mouvement r(t) obéissant à

l’équation

de Newton (1-3) en un autre mouvement

obéissant aussi à

l’équation

de Newton). L’ensemble de ces transformations

forme le groupe de

symétrie

de l’atome

_{d’hydrogène.}

Selon

_l’usage

nous

appellerons

ce groupe, groupe de

symétrie

"dynamique".

Le terme

_dynamique

signifie

qu’en plus

des transformations de

_symétrie

_purement

_{géométriques}

(rotations),

on admet des transformations

_mélangeant

les

_positions

et les

impulsions.

Un raisonnement

_{géométrique simple}

_permet de mettre en _évidence ces

transformations. A

_partir

des constantes du mouvement L

_(Eq.

1-6) et A

(Eq.

1-8),

on en construit une troisième :

Sa norme se calcule à l’aide de la formule (I-13) :

Considérons alors

_{l’hodographe,}

_trajectoire

_{parcourue par}

l’extrémité du vecteur vitesse lors du mouvement, son

_origine

étant

rapportée

à

_l’origine

O.

_D’après

_{l’équation}

(1-24),

on a :

C et

L

sont des constantes et

_r/r

un vecteur normé

_{perpendiculaire}

à L.

L’hodographe

est donc un cercle dans un

_plan

perpendiculaire à

L centré au

point

P tel que OP = _{C, de rayon}

e

2

/L

_(voir

_Fig.

_1-3).

ne

dépendant

_{que de}

l’énergie.

Dans

_l’espace

des

_vitesses,

la structure des

_trajectoires

est donc

très

simple,

bien

qu’hélas

méconnue : l’ensemble des

_trajectoires

_d’énergie

E < 0 coïncide avec le faisceau de cercles de

_puissance

2E/m par rapport à

l’origine.

Le lecteur familier avec la

_{géométrie classique}

aura trouvé

lui-même l’ultime

étape

du raisonnement.

Ajoutons

à notre espace

tridimensionnel de coordonnées

(x,y,z)

ou

(x

1

,x

2

,x

3

)

une

_quatrième

coordonnée x4.

Dans cet espace de dimension 4,

l’hodographe

est l’intersection du

plan

de dimension 2 défini par les 2 conditions

_x

₄

_{= 0 et r.L = 0}

(plan

de la

_trajectoire)

et de

_{l’hypersphère}

(de dimension

_{3) S}

de centre P et de rayon

e

2

/L

(définie par

4

2

+x

2

)

3p

-x

3

+(x

2

)

2p

-x

2

+(x

2

)

1p

-x

1

(x

₌

e

4

/L

2

).

Soit S le

_point

de coordonnées

coordonnées

_(0,0,0,-v

₀

₎

(d’après

le théorème du viriel,

_v

₀

_est

la vitesse

quadratique

moyenne de l’électron sur une

trajectoire d’énergie

E). Considérons alors l’inversion de centre S et de rayon

2

v

0

.Cette

inversion est

équivalente

à une

_{projection stéréographique}

_{par rapport} à S

de

_{l’hyperplan}

(de dimension 3)

_x

₄

_{= 0}

sur

_{l’hypersphère H}

(de dimension 3)

x

2

+x

2

+x

2

+x

2

=

v

2

0

(voir

Fig.

1-4).

L’image

de

_{l’hodographe}

par cette inversion est alors

l’intersection de

l’image

du

_plan

(de dimension 2)

_(x

₄

= _{0 et r.L} = _{0) et}

de

l’image

de

_{l’hypersphère}

_S.

L’image

du

_plan

est une

_sphère

(de dimension 2) _{passant par S et} S’

(car S’ est

_l’image

de

_l’origine

0). D’autre _part,

_{d’après l’équation}

(1-27),

S et S’ sont situés sur

_{l’hypersphère}

_S.

Donc

_l’image

_{de S}

_par

l’inversion est un

_hyperplan

(de dimension 3) contenant

_l’image

de

_S’,

c’est-à-dire

_l’origine

0.

L’image

de

l’hodographe

est donc l’intersection d’une

_sphère

(de

dimension 2) de centre 0 et de rayon

_v

₀

_et

d’un

hyperplan

(de dimension 3)

passant

par 0. Il

s’agit

donc d’un

grand

cercle de

_{H. Réciproquement,}

il

est facile de voir que

n’importe quel

grand

cercle de

H

est

_l’image

par

l’inversion de

l’hodographe

d’un mouvement

_{physique d’énergie}

E

= -

mv

2

0

/2.

Sur

_{l’hypersphère}

_H,

les

_trajectoires

coïncident donc avec celles d’un mouvement libre. On transforme ainsi

n’importe

quel

mouvement

d’énergie

E en

_{n’importe quel}

autre de même

_énergie

par une

_simple

rotation

sur

l’hypersphère

_H.

Le groupe de

_{symétrie dynamique}

formé est donc celui

des rotations dans un espace de dimension

4,

que nous noterons selon

Figure I-3 :

Trajectoire

dans

_l’espace

des vitesses

(hodographe).

C’est un

cercle dans le

_plan

de la

_trajectoire,

de centre P tel que OP = _C =

LxA/L

2

et de _rayon

e

2

/L.

Figure I-4 :

Représentation schématique

de l’inversion de centre S

(ou

projection

stéréographique)

permettant

de transformer

l’hodographe

(dans le

Le raisonnement

géométrique précédent

peut

facilement être

exprimé

analytiquement.

Utilisons l’anomalie

excentrique

u _(voir

_Fig.

1-2 et

Eq. 1-17 à 1-20). En dérivant (1-20) par rapport au _temps, on obtient les

coordonnées du vecteur vitesse :

qui

est une

représentation

paramétrique

du cercle de centre P et _{de rayon}

e

2

/L.

Lors de l’inversion de centre S et _{de rayon}

2

v

0

,

l’image

du vecteur

v est :

(

_u

₄

_est

le vecteur unitaire associé à la

_quatrième

dimension) dont les

composantes sont :

où l’on reconnait

l’équation paramétrique

d’un cercle de centre 0 et de

rayon

_v

₀

contenu dans le

plan

engendré

par les vecteurs

(1,0,0,0)

et

(0,1-~

2

,0,~).

Remarquons

que ce cercle n’est pas parcouru uniformément en

fonction du

_temps

_t, mais uniformément en fonction de l’anomalie

excentrique

u. Ce

_phénomène

est lié au _groupe

_dynamique

de l’atome

II -

L’ATOME D’HYDROGENE EN _MECANIQUE

_{QUANTIQUE :}

RAPPELS ELEMENTAIRES

Dans cette

_partie,

nous

_rappelons

les résultats essentiels

concernant la résolution de

_{l’équation}

de

_Shrôdinger

_pour l’atome

d’hydrogène.

La

_plupart

des résultats énoncés

_figurent

dans les ouvrages de base de

Mécanique Quantique

[11]-[16] ;

ils nous seront néanmoins très utiles dans la suite.

II-1.

_Equation

de

Schrödinger -

Constantes du mouvement

L’équation

de

_Schrôdinger

s’écrit pour les solutions

stationnaires :

avec _{(en utilisant} les variables réduites dans le référentiel du centre de

masse) :

Ce hamiltonien est bien sûr invariant par toute rotation. Il commute donc avec les _composantes du moment

_{cinétique (générateurs}

infinitésimaux de ces rotations).

Par

_analogie

avec la

_{mécanique classique,}

on définit

_{l’opérateur}

A,

vecteur de

_Runge-Lenz

par (L et p ne commutant pas, il faut

_symétriser

Un calcul élémentaire montre que :

Le vecteur de Lenz est donc une constante de mouvement

_spécifique

du

_champ

coulombien.

A

_partir

de _A, L et

_H

₀

_,

on peut construire

_plusieurs

_types

d’ensembles

_complets

d’observables

qui

commutent

_[13]

associés à différents

types de coordonnées

spatiales

séparant

le hamiltonien. Ce

_point

sera

discuté en détail dans la

_partie

III de ce

chapitre.

Nous nous contentons

ici de décrire les deux

_types

les

_plus

couramment utilisés :

* _{On peut choisir les observables}

H

0

,

L

2

et

L

z

.

On est alors

conduit à utiliser les coordonnées

_sphériques;

* _{On peut choisir les observables}

H

0

, A

z

et L

z

.

On est alors conduit à utiliser les coordonnées

_{paraboliques.}

Ces deux choix sont étudiés dans les deux

_paragraphes

suivants.

II-2.

Séparabilité

en coordonnées

sphériques

L’équation

de

_Schrôdinger

se

_sépare

en coordonnées

sphériques

(comme

l’équation

classique

de Hamilton-Jacobi

qui

possède

la même

structure : voir

_appendice

I).

La

_partie

_angulaire

de la fonction d’onde

_spatiale

est une

harmonique

sphérique

_Y

_M

_~

_{(03B8,~). ~}

et M sont deux entiers liés aux valeurs

propres de

_L

_z

et

L

2

par :

La fonction propre se factorise sous la forme :

Pour une

énergie

E

négative,

cette

équation

différentielle linéaire

du second ordre se ramène à une

_équation

de WHITTAKER

_[17],[18].

Pour E

quelconque,

cette

_équation

ne

_possède

pas de solution de carré sommable. En

revanche, pour certaines valeurs

particulières

de E, les conditions aux

limites

compatibles

avec la

description

d’un

_{système physique}

(03A6(r) bornée

pour r ~ 0 et 03A6(r)~0 pour r ~ ~) peuvent être

imposées.

Les niveaux

d’énergie

sont

"quantifiés"

selon la formule de RYDBERG

_{[19]-[22] :}

où n est un entier strictement

positif.

_n

₌

n - ~ - 1 est le nombre de

noeuds de la fonction d’onde radiale

(positif

ou nul). Il est

_appellé

nombre

_quantique

radial.

A ~

fixe,

les différentes valeurs de M sont

_{dégénérées,}

ce

qui

est

une

_conséquence

de l’invariance par rotation. De

_plus,

les différentes

valeurs de ~

(pour

n fixé) sont

également dégénérées,

ce

_qui

est

_spécifique

au

_champ

coulombien. Cette

dégénérescence

est

parfois

qualifiée

(à tort)

d’accidentelle. Mais elle est en fait essentielle et

provient

de la

structure du _groupe de

_symétrie

SO(4) du

_système

(voir

partie

III de ce

chapitre).

La

_{dégénérescence}

totale du niveau n est :

L’unité

atomique

de

_longueur

est le rayon de Bohr :

La fonction d’ordre normalisée s’écrit alors :

Dans le cas

qui

nous interesse a = _{-n+~+1 est un} entier

_négatif

_{et la somme}

(I-43) ne comporte

qu’un

nombre fini de termes. La fonction

hypergéométrique

confluente est alors un

_polynôme

de _Laguerre de

_degré

n-~-1

[17] :

Remarque : La convention de

_phase

usuelle est de

_prendre

une fonction

d’onde radiale réelle

positive près

de

_l’origine

et la convention des

références

_{[11] -}

_[13]

pour

l’harmonique sphérique

Y

M

~

(03B8,~).

Cette

dernière diffère par

(-1)

M

de celle de BETHE et SALPETER

_[16].

Dans le cas d’états de

_Rydberg

très

excités,

la fonction d’onde

radiale

_présente

un

_grand

nombre d’oscillations. Les méthodes

semi-classiques

de _type WKB sont alors bien

_adaptées

_pour décrire ces

états. On trouvera dans la référence

_[23]

une discussion de ces

_problèmes.

Notons

_{cependant quelques}

_propriétés

utiles :

* _{En dehors des}

points

tournants

_classiques

(cf

Fig.

1-5),

c’est-à-dire dans la

_région

_{classiquement}

interdite,

la fonction d’onde radiale a

un

_signe

constant et décroit

_{exponentiellement.}

* _{Entre les}

_points

_{tournants, c’est-à-dire dans la}

_région

classiquement

accessible,

la fonction d’onde oscille

_rapidement

avec une

longueur

d’onde de l’ordre de

_h/p

_{(p =}

m

_dr/dt

_désigne

_{l’impulsion}

radiale

classique).

* _{De ces deux}

_{propriétés,}

_{on déduit que la fonction d’onde}

_prend

des valeurs notables dans les

régions classiquement accessibles,

l’atome a

donc une "taille" d’environ

n

2

a

0

.

Pour les états très

elliptiques

(~«n),

la fonction d’onde

prend

des valeurs notables dans l’intervalle 0 r

_2n

₂

_a

₀

_.

En revanche, pour des états circulaires

(|M|=~=n-1),

la fonction d’onde ne

n

2

a

0

),

dépend

de ~ et de M, mais elle ne

dépend

_pas de n. Ceci se

_comprend

aisément : pour

|E| petit,

les

trajectoires

passant

prés

du noyau se

ressemblent beaucoup

(qu’elles

soient

elliptiques,

paraboliques

ou

hyperboliques).

Ce n’est

qu’à

grande

distance qu’elles se différencient

suivant la valeur de E. Il en est de même pour les fonctions d’onde

près

du

noyau. Celles-ci ne différent que par un facteur de normalisation

n

-3/2

.

La

probabilité

de

_{présence près}

du noyau décroit ainsi en

1/n

3

conformément aux

prévisions

de la

mécanique classique (principe

de

correspondance).

Figure I-5 : Allure des fonctions d’onde

hydrogénoides

radiales pour des

états très excités.

II-2.b. Spectre continu

Pour les valeurs

positives

de

_{l’énergie, l’équation}

de

Schrôdinger

radiale

(I-38)

n’admet pas de solution de carré sommable. En revanche, pour toute valeur de

l’énergie,

il existe une solution

régulière

en 0

_et

décroissante à l’infini. Le

_spectre

_{d’énergie est}

continu et

_dégénéré

suivant toutes les valeurs entières de ~ et M

vérifiant - ~

M ~.

Les fonctions d’onde

peuvent

être obtenues par

prolongement

des fonctions d’onde des états liés : en effet, le

spectre

d’énergie positive

peut être décrit par la formule de

Rydberg

(I-39) en considérant des

valeurs

_imaginaires

du nombre

quantique

principal.

En effectuant cette

substitution dans la formule

(I-42)

et en

_prenant

_garde

aux

problèmes

de

normalisation,

on obtient les fonctions d’onde du continuum (voir référence

II-2.c. Eléments de matrice

Il est bien souvent intéressant

d’accéder,

en

_plus

des niveaux

d’énergie

et des fonctions d’onde, aux éléments de matrice de certains

opérateurs

entre états propres du Hamiltonien.

Par

_exemple,

un traitement au

_premier

ordre de l’effet Stark

nécessite la connaissance des éléments de matrice de z entre deux états

quelconques.

Nous

_rappelons

ci-dessous la valeur de ces éléments de matrice

entre états liés. Ils ont été calculés par GORDON en 1929

_[24].

Le calcul

est assez rebutant, car il fait intervenir des

_intégrales

avec des

_produits

de fonctions

hypergéométriques

confluentes. Un aperçu des méthodes

utilisées est donné dans

l’appendice

de la référence

_[12].

L’utilisation du groupe

dynamique

de l’atome

d’hydrogène

permet de retrouver

beaucoup plus

simplement

ces formules (voir

partie

IV de ce

chapitre)

tout en s’assurant

de la cohérence des conventions de

_phase.

La

partie

angulaire

de l’élément de matrice se calcule aisément

(théorème de WIGNER-ECKART)

[11].

Il n’est non _{nul que} si 0394~ = ±1, 0394M = ₀

(r =

_(x,y,z)

_{est un operateur} vectoriel

impair).

Plus

_{précisément :}

où

|n

~>

représente

la

_partie

radiale de la fonction

_{d’onde 03A8}

_n

~M .

De même on a :

L’élément de matrice radial est très

simple

si n = _{n’. On a}

alors :

(Attention cette formule

figure

dans de nombreux ouvrages

[16],[23]

avec un

où est la fonction

hypergéométrique

(rappelons

que

_(a)

₁

= _a(a+1)

... (a+i-1))

qui

se réduit ici à un

polynôme :

a et b sont des entiers

_négatifs

et la somme sur i ne fait donc intervenir

qu’un

nombre fini de termes.

Si l’un des états

_|n

~> ou

|n’

~-1> est un état peu

excité,

le

degré

du

_polynôme

est

petit

et la formule (I-49) se calcule très facilement. En revanche, si l’on calcule l’élément de matrice entre deux

états de

_Rydberg,

elle devient vite inutilisable. Il est

_cependant

_toujours

possible

d’obtenir des valeurs

_approchées

en utilisant des

développements

asymptotiques

(voir par

exemple

la référence

_[23]).

GORDON a

également

calculé les éléments de matrice entre un état

discret et un état du continuum ainsi

qu’entre

états du

_continuum,

qui

conduisent à des

_expressions

_{compliquées.}

Ils _peuvent

_cependant

être

obtenus par prolongement

analytique

de la formule _{(I-49) (En prenant}

_garde

aux normalisations)

[16].

Les éléments de matrice d’autres

opérateurs

ont été calculés dans la littérature (voir par exemple

r

2

dans

la référence

[25]).

Contentons

nous ici de donner

_quelques

valeurs moyennes

d’opérateurs

sur des états

Remarque : L’élément de matrice de r est relié à l’élément de matrice réduit de

_{l’opérateur}

vectoriel r _{par :}

II-3.

Séparabilité

en coordonnées

paraboliques

Les coordonnées

_{paraboliques (03BE,~,~)}

sont définies _par

_[4](voir

figure

I-6) :

Leur nom

provient

du fait que les

surfaces 03BE

= _Cte

et ~

= Cte sont des

_paraboloides

de révolution de

_foyer

0 et d’axe z.

Figure I-6 :

Le

_systéme

de coordonnées

_paraboliques

_(03BE,~,~).

Les

surfaces 03BE

= _Cte

(resp. ~

= Cte) _{sont des}

_paraboloides

_{de révolution} d’axe z

_{négatif (resp.}

_positif)

et de

_foyer

0.

[12]) :

II-3.a. Spectre et fonctions d’onde

On cherche les fonctions propres sous la forme :

f

1

et

_f

₂

vérifient les

équations :

où les

_paramètres

de

_séparation

_Z

₁

_{et Z}

₂

sont liés par la relation :

Pour les valeurs

_négatives

de

_{l’énergie,}

les

_équations

différentielles linéaires (I-54) se ramènent a une

_équation

de WHITTAKER

_[17],[18].

Des conditions aux limites résulte la

_{quantification}

de

_{l’énergie.}

On introduit deux nombres

quantiques

paraboliques

_n

₁

_et

_n

₂

positifs

ou nuls,

représentant

les nombres de noeuds des fonctions

_f

₁

_et

f

2

.

L’énergie

s’écrit alors :

n =

n

1

+n

2

+|M|+1

n’est donc rien d’autre

que le

nombre

_quantique

_principal.

Les constantes de

séparation (positives) s’expriment

en fonction

La fonction d’onde

spatiale

normalisée s’écrit :

avec :

(F

désigne

une fonction

hypergéométrique

confluente et

L

|M|

p

un

polynôme

de

Laguerre,

voir

_paragraphe

II-2).

Remarque : La convention de

_phase

usuelle est de

_prendre

_f

₁

_et

_f

2

positives près

de

_l’origine.

La

_symétrie

particulière

du

_potentiel

coulombien se traduit par la

dégénérescence

de tous les niveaux de même valeur de n et de valeurs de

_n

₁

_,

n et M différentes.

2

Remarquons enfin que les états

paraboliques

ainsi définis n’ont pas

une

_parité

déterminée. En effet, le

_changement

r ~ - r se traduit par

l’échange

de 03BE

et ~, donc de

n

1

et

n

2

.

Seuls les états

n

1

=

n

2

sont de

parité

définie :

(-1)

M

.

Pour les autres

états,

on _peut construire des combinaisons

linéaires de

_parité

définie. Il

_s’agit

de :

II-3.b. Lien avec le vecteur de Runge-Lenz

On a mentionné au

_paragraphe

II-1 le lien entre la

_{séparabilité}

en

coordonnées

_paraboliques

et la constante

du

mouvement _{A ,} vecteur de

Runge-Lenz

(équation

I-34).

Pour construire une constante _{du mouvement, il suffit d’éliminer}

l’énergie

entre les deux

équations

(I-54) par

simple

combinaison linéaire. On obtient

(en

utilisant

_Z

₁

₊

_Z

₂

₌

1) :