Table des mati`eres

Table des mati`eres

Chapitre 1. Techniques simpliciales 5

1. Objets simpliciaux 6

1.1. Les cat´egoriesOrdet ∆ 6

1.2. Objets (co)simpliciaux 7

1.3. Objets simpliciaux libres 8

1.4. La cat´egorieS=∆^opSetdes espaces 8

2. S versusTop, et r´ealisations en g´en´eral 10

2.1. L’adjonction entreS etTop 10

2.2. R´ealisations g´en´erales associ´ees `a un objet cosimplicial 11

2.3. Applications 12

2.4. La cat´egorieS et les espaces classifiants 13

3. La cat´egorieS∗ 16

4. ∆^opA,Aab´elienne 16

4.1. Le foncteur de Moore 16

4.2. Complexe normalis´e 16

4.3. La correspondance de Dold-Kan et le foncteurK:C+(A)−→∆^opA 17 5. Homotopie simpliciale : quelques d´efinitions et leurs probl`emes 18

5.1. Le foncteurπ₀^s 18

5.2. Homotopies simpliciales 18

5.3. Homotopie sup´erieure 19

6. Fibrations de Kan 21

6.1. D´efinitions 21

6.2. Exemples 21

6.3. Propri´et´es des fibrations et objets fibrants 23

7. Cat´egories de mod`ele `a engendrement cofibrants 26

7.1. Argument du petit objet 26

7.2. Engendrement cofibrant 28

7.3. Comment construire une cat´egorie de mod`ele `a engendrement cofibrant ? 28

7.4. Exemples 28

7.5. Comment promouvoir une structure de cat´egorie de mod`ele ? 29

7.6. Probl`emes ensemblistes 29

8. S comme cat´egorie de mod`ele `a engendrement cofibrant 29

9. Le remplacement fibrant Ex^∞ de Kan 31

9.1. Subdivision dansS 31

1

10. Cat´egories de mod`eles simpliciales 32

10.1. Cat´egorie simpliciale 32

10.2. Cat´egorie de mod`ele simpliciale 33

Chapitre 2. (Co)limites homotopiques 35

1. Limites et colimites homotopiques : le probl`eme 36

1.1. Le foncteur constant 36

1.2. Homotopies et (co) limites 36

2. La structure projective sur les cat´egories de diagrammes 38

2.1. Exemple : le pushout homotopique 38

2.2. Complexes cellulaires dansC^D 39

Chapitre 3. Le site Nisnevich 41

1. (Pr´e)topologies de Grothendieck 42

1.1. Topologies de Grothendieck 42

2. Faisceaux sur un site 43

2.1. Sections d’un pr´efaisceau sur un crible 43

2.2. Faisceaux 44

3. Foncteurs fibres 45

4. Topologie de Nisnevich 46

4.1. D´efinitions ´el´ementaires 46

4.2. Recouvrement fini 47

5. Fonctorialit´e des petits sites Nisnevich 48

6. Foncteurs fibres pour la topologie Nisnevich 48

6.1. Le casX = Speck,kcorps 48

6.2. Le cas g´en´eral 48

7. Anneaux locaux pour la topologie Nisnevich 50

7.1. Rappels sur les anneaux henseliens 50

7.2. Anneaux locaux pourXNis 51

8. Le grand site Nisnevich 51

9. Caract´erisation des faisceaux Nisnevich 52

10. Cohomologie Nisnevich 53

10.1. Fonctorialit´e 53

10.2. Propri´et´e de Mayer-Vietoris g´en´eralis´ee 54

10.3. Un th´eor`eme d’annulation 54

Chapitre 4. Structures de mod`eles sursPreSh(XNis) 57

1. (Co)localisations 58

1.1. Foncteur de localisation 58

1.2. Version duale : la colocalisation 59

1.3. Exemple : la localisation des anneaux 59

1.4. Exemple : localisation homologique en topologie 60

2. Localisation et cat´egories de mod`eles 60

TABLE DES MATI `ERES 3

2.1. Le formalisme des cat´egories de mod`eles comme palliatif `a l’absence de (co)localisation 60

2.2. Localisation d’une cat´egorie homotopique 61

2.3. Localisation d’une cat´egorie de mod`ele 61

3. Structures de cat´egories de mod`eles globales sur les pr´efaisceaux simpliciaux 63

3.1. La structure projective 63

3.2. La structure flasque 64

3.3. La structure injective 64

3.4. Comparaison 65

4. Structures de cat´egories de mod`eles locales sur les pr´efaisceaux simpliciaux 65

4.1. Equivalences faibles locales 65

4.2. D´efinition des structures de mod`eles locales 68

4.3. Hyperrecouvrements et descente 69

4.4. Les cat´egories de mod`eles locales comme localis´ees et objets fibrants locaux 69

4.5. Champs 69

5. La cat´egoriesPreSh(XNis) 70

5.1. La propri´et´e de Brown-Gersten 70

5.2. Le th´eor`eme de Brown-Gersten 71

CHAPITRE 1

Techniques simpliciales

5

Le but de ce chapitre est de donner une introduction `a la cat´egorieS des ensembles simpliciaux §, encores appel´es espaces.

(a) On dispose d’une adjonction naturelle

Soo //Top

dont on montre qu’elle est de Quillen pour une structure de mod`ele naturelle surS. La cat´egorie S doit ainsi ˆetre pens´ee comme une version combinatoire agr´eable `a manipuler deTop.

(b) La cat´egorieS contient comme sous-cat´egorie pleine la cat´egorieCatdes petites cat´egories. Elle est donc le monde naturel o`u ´etudier les g´en´eralisations de la notion de cat´egorie : c.f. la th´eorie des quasi-cat´egories (Joyal).

(c) Enfin le monde simplicial permet de construire naturellement des structures de mod`eles sur de nombreuses autres cat´egories. Nous nous int´eresserons plus tard `a la cat´egorie des pr´efaisceaux en ensembles simpliciaux sur un site.

1. Objets simpliciaux 1.1. Les cat´egories Ord et ∆.

D´efinition 1.1.1. (a) On noteOrdla cat´egorie dont les objets sont les ensembles finis ordonn´es et les morphismes les applications pr´eservant l’ordre.

(b) On note∆la petite cat´egorie sous-cat´egorie pleine deOrddont les objets sont les ensembles fini [n] ={0<1<· · ·< n} , n∈N .

Bien-sˆur la cat´egorie ∆ est un «mod`ele petit» de Ord: la cat´egorie ∆ est petite et le foncteur d’inclusion∆⊂Ordest essentiellement surjectif pleinement fid`ele, donc une ´equivalence de cat´egorie.

1.1.1. Description combinatoire de ∆. On d´efinit

dⁱ: [n−1]−→[n] , ,0≤i≤n le morphisme de∆´evitanti (applications faces);

sⁱ: [n]−→[n−1] , ,0≤i≤n−1 le morphisme de∆identifiantieti+ 1 (applications cod´eg´en´erescence).

Ces morphismes satisfont lesidentit´es cosimpliciales : d^jdⁱ=dⁱd^j−1 (i < j) , (1)

s^jdⁱ=







dⁱs^j−1 (i < j) Id (i=j, j+ 1) dⁱ⁻¹s^j (i > j+ 1) (2)

s^jsⁱ=sⁱ⁻¹s^j (i > j).

(3)

De plus ces morphismes engendrent∆. Plus pr´ecis´ement :

Lemme 1.1.2 (de r´e´ecriture). Soit f : [m] −→ [n] ∈∆. Il existe des uniques entiers k, l ∈ N avec m−l+k=net des uniquesn−l > i1> i2>· · ·> il≥0et 0≤j1<· · ·jk< m tels que :

f =d^jk· · ·d^j1s^il· · ·sⁱ¹ .

1. OBJETS SIMPLICIAUX 7

1.1.2. ∆⊂Cat. Un point de vue important consiste `a consid´erer∆comme sous-cat´egorie pleine de Cat: l’objet [n] est vu comme la cat´egorie finie

∆^•[n] ={0→1→ · · · →n} , et Hom∆([m],[n]) s’identifie bien `a HomCat(∆^•[m],∆^•[n]).

1.2. Objets (co)simpliciaux.

D´efinition 1.2.1. Soit C une cat´egorie.

(a) Un objet cosimplicial dans C est un foncteur X : Ord−→ C, c’est-`a-dire un C-pr´efaisceau sur Ord<sup>op</sup>. De mani`ere ´equivalente, c’est un foncteur X : ∆−→ C c’est-`a-dire unC-pr´efaisceau sur

∆^op.

(b) Un objet simplicial dansC est un foncteurX :Ord^op−→ C, c’est-`a-dire un pr´efaisceau surOrd.

De mani`ere ´equivalente c’est un foncteurX :∆<sup>op</sup>−→ C, c’est-`a-dire unC-pr´efaisceau sur∆.

D´efinition 1.2.2. On notera ∆C = C^∆ = co− C la cat´egorie des objets cosimpliciaux dans C, et

∆^opC=C^∆op =sC la cat´egorie des objets simpliciaux dans C.

En tant que cat´egories de pr´efaisceaux,∆Cet∆^opCont les limites et les colimites existantes dansC.

1.2.1. Description combinatoire des objets simpliciaux. De la description combinatoire de∆on d´eduit la description combinatoire d’un objet simplicial :

D´efinition 1.2.3. Un objet X ∈ ∆^opC est la donn´ee d’une suite X•, • ∈ N, d’objets de C et d’applications

di:Xn−→Xn−1, 0≤i≤n, (applications faces)

si:Xn−1−→Xn, 0≤i≤n−1, (applications de d´eg´en´erescence) v´erifiant lesidentit´es simpliciales

didj =dj−1di (i < j) , (4)

disj =







sj−1di (i < j) Id (i=j, j+ 1) sjdi−1 (i > j+ 1) (5)

sisj =sjsi−1 (i > j).

(6)

Une application simpliciale f : X• −→ Y• entre objets simpliciaux est une collection de fl`eches de C commutant avec lesdi et les si.

Visuellement, on peut donc repr´esenter un objet simplicial par

X0 s0

//X1

d1

oo

d0

oo ^s0 //

s1

//

X2 d2

oo

d1

oo

d0

oo ^s0 //

s1

//

s2

//

· · ·

d3

oo

d2

oo

d1

oo

d0

oo

.

1.2.2. Remarque de notations. On notera parfoisX^•un objetX de∆C etX• un objetX de∆^opC.

On note alorsXⁿ =X([n]) =X^•[n] (resp.Xn =X([n]) =X•[n]).

1.3. Objets simpliciaux libres. On note encore N la cat´egorie dont les objets sont les entiers naturels et les seules fl`eches sont les identit´es des objets. On dispose d’un foncteur naturelN−→∆, qui a un objetn∈Nassocie [n]∈∆. CommeN≃N^op on a aussi un foncteur naturelN−→∆^op.

En nous concentrant sur le cas simplicial, le foncteur N −→ ∆^op induit un foncteur d’oubli O :

∆^opC −→ C^N, qui a objet simplicialX·associe la suite (Xn)n∈N. Lemme 1.3.1. On dispose d’une adjonction naturelle

Free:C^N //

∆^opC:O

oo .

Nous donnerons la construction deFreedans le casC=Set.

1.4. La cat´egorie S =∆^opSet des espaces. Dor´enavant, un ensemble simplicial sera appel´e un

«espace», et on noteraS la cat´egorie∆^opSetdes espaces.

D´efinition 1.4.1 (Simplexes, faces et d´eg´en´erescence). Soit X∈ S. (a) Un ´el´ementx∈Xn s’appelle unn-simplexe deX.

(b) Toute image de x ∈ Xn par une it´eration arbitraire (possiblement aucune) de morphismes de faces est appel´e une face de x.

(c) Toute image dex par une it´eration arbitraire (possiblement aucune) de morphismes de d´eg´en´e- rescence est appel´e une d´eg´en´erescence dex.

(d) Le simplexexest dit non-d´eg´en´er´e s’il n’est d´eg´en´erescence que de lui-mˆeme.

(e) X est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini de simplexes non-d´eg´en´er´es.

Lemme 1.4.2. Soit X ∈ S et x∈ Xn. Il existe un unique triplet (k ∈ N,(n > i1 > i2 >· · ·ik ≥ 0), y∈Xn+k non-d´eg´en´er´e)tel quex=si1· · ·sik(y).

D´emonstration. Pour l’existence : soit x est non-d´eg´en´er´e et on pose x = y et k = 0. Sinon, x = sj1(x^′). Par it´eration on obtient x = sj1· · ·sjk(y) avec y non-d´eg´en´er´e. On r´eordonne les indices comme souhait´e grˆace `a la relationsisj =sj+1si sii≤j.

Pour l’unicit´e supposons

si1· · ·sik(y) =sj1· · ·sjl(y^′) aveck≤l.

Doncy=dik· · ·di1sj1· · ·sjl(y^′). Grˆace aux r`egles de commutation des disj on en d´eduit y=sp1· · ·sp_l′dq1· · ·dq_k′(y^′) ,

avecl^′ ≤l,k^′ ≤ket k−k^′ =l−l^′. Commeyest non-d´eg´en´er´e on obtientl^′= 0, puisl=k−k^′≥kpar hypoth`ese donc k’=0, donck=l ety=y^′. Finalement on conclut

{i1,· · ·ik}={j1,· · ·jk}

d’apr`es le lemme de r´e´ecriture.

Corollaire1.4.3. Etant donn´e un ensemble de simplexesS d’un espaceX ∈ S, l’espaceY =< S >

engendr´e par S est bien d´efini.

1. OBJETS SIMPLICIAUX 9

1.4.1. Construction du foncteurFree:Set^N−→ S. Soit (Xn)n∈N∈Set^N. On pose

Free((Xk)k∈N)n =









mots de la forme

xpourx∈Xn

si1· · ·sildj1· · ·djkx, pourx∈Xm

m−l+k=n,

n−l > i1> i2>· · ·> il≥0, 0≤j1<· · ·jk < m







 et les applications de faces et d´eg´en´erescence sont donn´es par le lemme de r´e´ecriture. On v´erifie facilement queFreeest bien adjoint `a gauche du foncteur d’oubliO:S −→Set^N.

Lemme 1.4.4. Tout X ∈ S est quotient d’un espace libre par une relation d’´equivalence (pr´eservant la structure simpliciale).

D´emonstration. SoitX•∈ S. Notons

φ:Free((Xn)n∈N)−→X ∈ S

l’unique morphisme induisant par adjonction l’identit´e des Xn, n∈ N. D’apr`es le lemme de r´e´ecriture, l’image deφest X. On posex∼y∈Xn siφn(x) =φn(y), c’est une relation d’´equivalence compatible `a

la structure simpliciale etX =Free((Xn)n∈N)/∼.

1.4.2. Len-simplexe standard ∆[n], bord et cornets.

D´efinition 1.4.5. On appelle n-simplexe standard ∆[n] = Hom∆(·,[n])∈ S. Ainsi l’ensemble des k-simplexes ∆[n]k de ∆[n]n’est autre queHom∆([k],[n]). Cet ensemble contient exactement

n+ 1 k+ 1

k-simplexes non-d´eg´en´er´es: ce sont les applications deHom∆([k],[n]) injectives.

On peut aussi d´ecrire ∆[n] comme l’espace libre engendr´e par un unique n-simplexe (not´eιn) :

∆[n] =Free(∅,· · · ,∅, ιn,∅ · · ·) . Lemme 1.4.6. Pour toutX ∈ S on a

HomS(∆[n], X)≃canoniqueXn .

D´emonstration. Pour le point de vue de la d´efinition??, c’est le lemme de Yoneda. Si on consid`ere

∆[n] comme espace libre sur un uniquen-simplexeιn, c’est une cons´equence du lemme d’adjonction.

D´efinition 1.4.7. On d´efinit ∂∆[n] ⊂ ∆[n] le sous-ensemble simplicial dont les k-simplexes non- d´eg´en´er´es sont les [k]֒→[n] distincts de l’identit´e.

D´efinition 1.4.8. On d´efinit le cornet Λ^r[n]⊂∂∆[n] comme le sous-ensemble simplicial engendr´e par lesk-simplexes non-d´eg´en´er´es[k]֒→[n]except´es l’identit´e et[n−1]−→^dr [n].

G´eom´etriquement (voir plus loin),Λ^r[n]est l’´etoile ferm´ee du sommetr.

1.4.3. Les espaces comme colimites de simplexes standards. Commen¸cons par remarquer que comme la cat´egorieSetest (compl`ete et) cocompl`ete, il en est de mˆeme de la cat´egorieS.

Lemme 1.4.9. Soit D une cat´egorie petite. Tout pr´efaisceau F : D^op −→ Set est une colimite de foncteurs repr´esentables.

D´emonstration. D´efinissons la cat´egorieD/F dont les objets sont les morphismes de foncteurs α:hX = HomD(·, X)−→F

et les morphismes sont les diagrammes commutatifs de morphismes de foncteurs hX

α //

F

hY β //F .

On obtient un foncteur naturelD/F −→ D^opSetqui `a un objetα:hX −→F associehX ∈ D<sup>op</sup>Set et `a un morphismef :α−→β associe le morphisme de foncteurhX −→hY. On v´erifie facilement que la colimite de ce foncteur, not´ee simplement

colimhX−→FhX ,

n’est autre queF∈ D^opSet.

Remarques : Nous utiliserons plus loin qu’en faitD^opSetest la cocompl´etion universelle deD.

Corollaire1.4.10. Soit X∈ S. Notons∆/X lacat´egorie des simplexes deX, dont les objets sont les fl`eches ∆[n]−→X deS avec les morphismes ´evidents. Alors

X = colim∆[n]−→X∆[n] .

1.4.4. Enrichissement de S. Notons que tout foncteur F : Set −→ C, o`u C d´esigne une cat´egorie quelconque, induit une extensionF :S −→∆<sup>op</sup>C. Nous consid`ererons en particulier le cas suivant. Soit Run anneau etR[·] :Set−→R−mod le foncteur qui `a un ensembleSassocie leR-module libre de base S. Nous noterons encore

R[·] :S −→∆^opR−mod l’extension correspondante.

2. S versus Top, et r´ealisations en g´en´eral

Dans cette section on ´etudie une adjonction naturelle entre S et Top, qu’on g´en´eralise `a un cadre abstrait ensuite.

2.1. L’adjonction entre S et Top.

2.1.1. L’adjoint `a gauche : le foncteur«r´ealisation topologique».

D´efinition 2.1.1. Soit n∈N. Le n-simplexe topologique standard ∆ⁿ ∈Topest

∆ⁿ = (

(t0,· · ·, tn)∈[0,1]ⁿ⁺¹ / X

i

yi= 1 )

⊂Rⁿ .

D´efinition 2.1.2. On note ∆^• :∆−→Topl’espace topologique cosimplicial qui `a[n]∈∆ associe

∆ⁿ.

2.S VERSUSTop, ET R ´EALISATIONS EN G´EN ´ERAL 11

D´efinition 2.1.3 (R´ealisation topologique d’un ensemble simplicial). SoitX ∈ S. La r´ealisation|X|

de X est l’objet deTop

|X|= (a

n

Xn×∆ⁿ)/∼ , o`u si(x, u)∈Xm×∆ⁿ etφ: [n]−→[m]∈∆ on identifie

(φ^∗x, u)∈Xn×∆ⁿ∼(x, φ∗u)∈Xm×∆^m . Exemple2.1.4. (a) ∆ⁿ=|∆[n]|.

(b) La r´ealisation |∂∆[n]|est hom´eomorphe `a∂∆ⁿ≃Sⁿ⁻¹.

(c) SoitS_s¹= ∆[1]/∂∆[1]le cercle simplicial. Sa r´ealisationS_s¹ est hom´eomorphe au cercleS¹. 2.1.2. L’adjoint `a droite : le foncteur«complexe singulier».

D´efinition 2.1.5. Soit Y ∈Top. On d´efinit le complexe singulier Sing(Y)∈ S par Sing(Y)n= HomTop(∆ⁿ, Y) .

Comme∆^• est un espace cosimplicial, Sing(Y)est bien un ensemble simplicial.

2.1.3. L’adjonction entre S etTop.

Lemme 2.1.6. La paire

| · |:Soo //Top: Sing est une adjonction.

D´emonstration. C’est un exercice. Cette adjonction donne naissance aux fl`eches canoniques

X −→ Sing(|X|)

x∈Xn −→ {∆ⁿ−→^(x,·)Xn×∆ⁿ−→ |X|)∈Sing(X)n} ,

et |Sing(Y)| −→ Y

(y, u)∈Sing(Y)n×∆ⁿ −→ y(u)∈ Y

2.2. R´ealisations g´en´erales associ´ees `a un objet cosimplicial.

D´efinition 2.2.1. Soit C une cat´egorie cocompl`ete etφ:∆−→ C un objet cosimplicial. On d´efinit le foncteur de r´ealisation| · |φ:S −→ C par

|X|φ:= colim∆[n]−→Xφ([n]) .

Exemple2.2.2. – Notons ∆[•] :∆−→ S l’espace cosimplicial qui `a[n] associe∆[n]. Sa r´eali- sation | · |_∆[•]:S −→ S est juste le foncteur identit´e.

– La r´ealisation| · |∆^• :S −→Topn’est autre que la r´ealisation usuelle.

L’existence d’un adjoint `a droite au foncteur de r´ealisation est alors un fait g´en´eral :

Proposition2.2.3. Soit C une cat´egorie cocompl`ete. La cat´egorie∆Cdes objets cosimpliciaux de C est naturellement ´equivalente `a la cat´egorie des adjonctions Soo //C. On notera

A^•⊗ ·:S oo //C: Sing_A^• l’adjonction associ´ee `a un objet cosimplicial A^•∈∆C.

D´emonstration. – Notons d’abord que si on dispose d’une adjonction F :S oo //C:U ,

on d´efinit un objet cosimplicial de∆C par

∆−→ S^∆[·] −→ C^F . – R´eciproquement soitA^•∈∆C.

(a) On d´efinit

A^•⊗ ·:S −→ C en posantA^•⊗X ∈ C l’image deA^·∈∆C par

∆Crestriction

−→ C^{∆/X colim}−→ C .

Comme Id∆[n] est cofinal dans∆/∆[n] on a canoniquementA^•⊗∆[n]≃A^•[n].

(b) On d´efinit Sing_A^• :C −→ S par (Sing_A^•(Y))n = HomC(A^•[n], Y).

On a alors

HomC(A^•⊗X, Y) = HomC(colim∆/XA^•[n], Y)≃ lim

∆/XHomC(A^•[n], Y)

= lim

∆/XHomS(∆[n],Sing_A^•(Y))≃HomS(colim∆/X∆[n],Sing_A^•(Y))

≃HomS(X,SingA^•(Y)) .

2.3. Applications.

2.3.1. Hom-interne dans S. SoitX ∈ S. Cet objetX d´efinit un objet cosimplicialX×∆[•]∈ S^∆. Bien-sˆur :

(X×∆[·])⊗Y = colim∆/Y(X×∆[n]) =X×Y . D’apr`es la section pr´ec´edente, ce foncteur admet un adjoint `a droite :

HomS(X,·) :S −→ S d´efini par

HomS(X, Y) := HomS(X×∆[·], Y) . Corollaire2.3.1. La cat´egorie S est munie d’un Hom-interne.

2.3.2. Le foncteur nerfN :Cat֒→ S. Consid´erons le plongement∆֒→Cat, c’est un objet cosim- plicial∆^•∈Cat^∆. On d´eduit de la section pr´ec´edente une adjonction

∆^•⊗ ·:Soo //Cat: Sing∆^• =N .

Le foncteurN, appel´efoncteur nerf, associe `a une cat´egorieCl’ensemble simplicial NC•= HomCat(∆^•,C) ,

dont l’ensemble desn-simplexesNCn est l’ensemble desn-uplets de fl`eches composables deC c0→c1→ · · · →cn .

Clairement le foncteurN :Cat−→ S est pleinement fid`ele.

2.S VERSUSTop, ET R ´EALISATIONS EN G´EN ´ERAL 13

2.4. La cat´egorieS et les espaces classifiants. Dans cette section on montre que la construction du classifiant d’un groupe discret (plus g´en´eralement d’un groupe topologique) se fait tr`es naturellement dansS (resp. dans la cat´egorie∆^opTopdes espaces topologiques simpliciaux).

SoitGun groupe topologique (on prendraGgroupe de Lie connexe ou groupe discret). SoitM un espace topologique.

D´efinition 2.4.1. UnG-fibr´e principal surM est P−→^π M avec : (1) uneG-action P×G−→P,

(2) une trivialisation locale de cette action :

∀x∈M,∃U ∋x / π⁻¹(U)≃^ϕ U ×G , tels que

π(ug) =π(u) ϕ(ug) =ϕ(u)g

Exemple2.4.2. (a) π:G−→ {∗}est unG-fibr´e principal trivial.

(b) Si M est une vari´et´e lisse, le fibr´eP(M) des bases de T M est un GL(n,R)-fibr´e principal. Si M est une vari´et´e riemannienne le fibr´e P¹(M)des bases orthonorm´ees deT M est unO(n)-fibr´e principal.

(c) le revˆetement universelM˜ −→M est unπ1(M)-fibr´e principal.

Les G-fibr´es principaux forment naturellement une cat´egorie, un morphisme ´etant un diagramme commutatif d’applications fibr´ees

P //

Q

M //N

.

On obtient ainsi un foncteur

BunG:Top^op−→Set

qui `a un espaceM ∈Topassocie l’ensembleBunG(M) des classes d’isomorphismes deG-fibr´es de base M.

Ce foncteur factorise via la cat´egorie homotopique

Fn:Ho(Top)^op−→Set , comme corollaire du

Lemme 2.4.3. Soit f0, f1:N −→M deux applications homotopes et p:P −→M unG-fibr´e. Alors f₀^∗P ≃f₁^∗P.

Th´eor`eme2.4.4. Le foncteurBunG:Ho(Top)^op−→Setest repr´esentable. On note EG−→BG la classe d’homotopie du G-fibr´e principal universel de base l’espace classifiantBG.

On peut donner diff´erentes constructions de repr´esentants deEG−→BG. Citons en deux.

(1) Construction g´eom´etrique : Dans le cas o`u G = GL(n,C), notons Gr^q_n la grassmannienne des n-plans deC^q. C’est naturellement une vari´et´e lisse compacte.

SoitV_n^q −→Gr^q_nla vari´et´e de Stiefel desn-uplets libres deC^q, c’est unGL(n,C)-fibr´e principal.

On dispose d’un diagramme commutatif naturel : V_n^q

 //V_n^q+1

Gr^q_n //Gr^q+1_n

.

On r´ealise alors

BGL(n,C) =[

q

Gr^q_n=Grn(C^∞) et

EGL(n,C) =[

q

V_n^q leGL(n,C)-fibr´e principal surBGL(n,C)(n).

Cette construction se g´en´eralise ais´ement `a d’autres groupes de Lie.

Corollaire2.4.5. H^2∗+1(BG,Z) = 0.

(2) Construction cat´egorique : Le formalisme simplicial s’´etend au cadre topologique : si TopCat d´esigne la cat´egorie des petite cat´egories topologiques (i.e. enrichies en espaces topologique) on dispose encore deN :TopCat−→∆^opTopet | · |:∆^opTop−→Top.

NotonsG la cat´egorie topologique `a un objet, de morphismesGet Gela cat´egorie topologique d’objetsGet de morphismesG×G. On dispose d’un foncteur naturel

γ:G −→ Ge qui envoie un morphisme (g0, g1) surg0g₁⁻¹. On note

π=N(γ) :EG=N(G)e −→N(G) =BG . 2.4.1. Preuve du th´eor`eme de repr´esentabilit´e.

D´emonstration. Elle est tr`es jolie dans le formalisme cat´egorique.

SoitU = (Uα) un recouvrement deM. On d´efinit alorsMUla cat´egorie topologique avecObj(MU) =

`

αUαetM or(MU) =`

α0,α1Uα0∩Uα1o`u le coproduit se fait sur les pairesα0, α1telles queUα0∩Uα1 6=∅.

Remarquons que l’ensemble simplicialN MU est bien le nerf au sens usuel du recouvrementU : N MU(n) = a

(α0,···,αn)

Uα0∩ · · · ∩Uαn

o`u le coproduit est encore sur lesn-uplets tels queUα0∩ · · · ∩Uαn6=∅. En particulier siU ={M}alors MU s’identifie `aM vue comme cat´egorie topologique et|N M|=M.

Soit alorsπ:P−→M unG-fibr´e principal etU un recouvrement de M trivialisant pourP. Notons V le recouvrement deP pr´eimage deU. Remarquons que se donnerP revient `a se donner un diagramme

2.S VERSUSTop, ET R ´EALISATIONS EN G´EN ´ERAL 15

de foncteurs continus :

PV

gΨU

// eG

MU

ΨU

//G

,

o`u le foncteur ΨU est donn´e (sur les morphismes) par le cocycle, et le foncteur ΨfU est donn´e par la trivialisation. Le foncteurPV−→MU est d´eduit deP −→M.

On obtient alors le diagramme de cat´egories

P

PV

oo

gΨU

// eG

M MUoo

ΨU

//G

,

qui, par prise du nerf et de la r´ealisation donne P =|N P|

|N PV|

oo

gΨU

//EG

M =|N M| |N MU|oo

ΨU

//BG

.

Pour conclure, on d´emontre que la fl`eche|N MU| −→M est une ´equivalence d’homotopie pour tout

recouvrement trivialisantU.