LE GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE ET A QUELQUES AUTRES PROBLÈMES

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LE GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE ET A

QUELQUES AUTRES PROBLÈMES

E. Brezin

To cite this version:

E. Brezin. LE GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSI-

TIONS DE PHASE ET A QUELQUES AUTRES PROBLÈMES. Journal de Physique Colloques,

1975, 36 (C7), pp.C7-1-C7-15. �10.1051/jphyscol:1975701�. �jpa-00216415�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C7, supplément au n° 11, Tome 36, Novembre 1975, page Cl-1

LE GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE ET A QUELQUES AUTRES PROBLÈMES

E. BREZIN

Service de Physique Théorique, CEN Saclay, 91190 Gif-sur-Yvette, France

Résumé. — Après un rappel de la définition d'un point critique les méthodes classiques d'approche sont brièvement résumées. Les difficultés de la théorie de Landau en dimension inférieure ou égale à quatre sont explicitées. Il est montré comment le groupe de renormalisation surmonte ces obstacles.

Le développement au voisinage de quatre dimensions est esquissé. La comparaison entre théorie et expérience est indiquée pour les systèmes dipolaires uniaxes. Il est également fait allusion à d'autres applications du groupe de renormalisation : points tricritiques, dynamique critique, problème du volume exclus, percolation, effet Kondo, liberté asymptotique ultra-violette des théories de jauge non abéliennes.

Les années qui viennent de s'écouler ont été mar- quées par un renouveau incontestable de la théorie des champs dans diverses directions. D'une part, le groupe de renormalisation de Gell-Mann et Low a été réexaminé par Wilson, Callan et Symanzik, e t c . . et ses conséquences sur l'invariance d'échelle asympto- tique ont été dégagées. D'autre part, le catalogue très restreint des théories renormalisables s'est accru d'un nouveau chapitre, celui des théories de jauge non abéliennes qui jouissent de propriétés remarquables.

Le groupe de renormalisation a permis alors de dégager le concept de liberté asymptotique et les conséquences extrêmement restrictives qu'elle entraîne pour la théorie. Il est beaucoup trop tôt pour dire si les habiles constructions qui ont été échafaudées à partir de ces idées pour la théorie des interactions fortes entre particules élémentaires sont en accord avec l'expérience. Mais, il est dès à présent clair pour (presque) tout le monde que, ainsi que l'a brillamment montré K. Wilson, ces idées pouvaient être appliquées à des domaines de la physique très différents et réputés jusqu'alors insolubles. En premier lieu, vient la théorie du comportement de la matière au voisinage d'un point critique lors d'une transition de phase, dont le mystère, lié à des propriétés extraordinaires d'universalité et d'invariance d'échelle, était resté totalement incompris. Depuis, quelques autres pro- blèmes ont été également résolus, notamment la théorie de l'effet Kondo par Anderson, Yuval et encore une fois Wilson.

Il n'est pas question en moins d'une heure d'exposer tant de domaines divers, mais les colloques Phéno- mènes critiques et Développements sur la théorie des champs contiendront plusieurs conférences qui revien- dront en profondeur sur les sujets esquissés ici.

L'essentiel de cet exposé sera consacré à la théorie des phénomènes critiques qui a été considérablement explorée depuis les travaux initiaux de Wilson en 1971. Là encore, il ne sera pas question de rentrer dans les détails.

1. Point critique (rappel). — On connaît depuis les travaux de Cagniard de la Tour et Andrews le point critique qui termine la courbe de coexistence de l'équilibre-vapeur. En 1895 P. Curie découvrait la transition paramagnétique-ferromagnétique : à une température supérieure à celle du point critique l'ai- mantation du système est proportionnelle au champ magnétique appliqué et s'annule avec lui. Par contre pour T < T

une aimantation spontanée apparaît en l'absence de toute source extérieure. Depuis bien d'autres phénomènes semblables ont été observés, de la transition superfluide de l'

He aux phases variées des cristaux liquides et récemment à la découverte des nouvelles phases supraconductives de l'hélium trois. Par commodité de langage, nous utiliserons dans la suite la terminologie adaptée à l'étude des systèmes magnétiques. L'approche du point critique se manifeste par un comportement mathématique singulier. Donnons quelques exemples : la suscep- Abstract — After the definition of a critical point, the classical methods are briefly summarized.

The difficulties of Landau theory in dimension smaller or equal to four are explicited. It is shown how the renormalization group gets over these obstacles. The expansion around dimension four is outlined. The comparison between theory and experiment is indicated for uniaxial dipolar systems.

It is also referred to other applications of the renormalization group : tricritical points, critical dynamics, excluded volume problem, percolation, Kondo effect, ultra-violet asymptotique freedom of non-abelian gauge theories.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1975701

C7-2

E. BREZIN

tibilité magnétique croît lorsqu'on se rapproche de Tc et diverge (un tout petit champ entraîne une aiman- tation de plus en plus grande) selon ia loi :

L'aimantation spontanée qui apparaît dans la phase ferromagnétique s'annule et son comportement au voisinage de Tc est également caractérisé par un exposant :

La longueur de corrélation, qui caractérise la taille des régions où les moments magnétiques ont tendance à s'aligner, diverge également selon la loi :

K

Point critique

i i ^\

Volume FIG. 1. - Les isothermes d'un fluide.

Il y a bien d'autres aspects du même phénomène, d'autres exposants critiques que y, B ou v, mais nous renvoyons le lecteur intéressé à une revue plus complète. Nous voudrions simplement insister sur le fait qu'à cette transition entre phase ordonnée et désordonnée ést en général associée une symétrie brisée. C'est ainsi que l'aimantation spontanée d'un ferromagnétique en choisissant une orientation brise l'invariance par rotation, ou que la valeur non nulle de la fonction d'ordre du condensat de l'hélium superfluide brise l'invariance de jauge. Cet ordre ou symétrie brisée, sont caractérisés par un paramètre d'ordre qui peut être un nombre unique ou un ensemble de paramètres. C'est ainsi que pour les fluides ou les systèmes magnétiques uniaxes oh la structure cris- talline n'autorise d'aimantation spontanée que dans une seule direction un seul nombre suffit. Par contre pour l'hélium superfluide, dont l'ordre est caractérisé par le module et la phase d'un nombre complexe, ou bien un ferromagnétique XY où l'aimantation n'apparaît que dans un plan, on est en présence d'un paramètre d'ordre à n

2 composantes. Le cas ferromagnétique usuel correspond à un vecteur de l'espace à 3 dimensions et donc n = 3. Il existe des situations correspondant à d'autres valeurs de n ; c'est ainsi que si les phases supraconductrices de Y3He correspondent bien à un appariement dans l'onde p, le paramètre d'ordre serait i ~ n è matrice complexe

I

Température FIG. 2. - Le point critique, point d'arrêt de la ligne de coexistence

des deux phases.

3 x 3, c'est-à-dire que n = 18, et la symétrie (brisée), celle du groupe O(3) x O(3) x U(1).

2. Modèles. - On connaît depuis Heisenberg le mécanisme qui couple les moments magnétiques des électrons dans un cristal : ce sont les forces d'échange.

Rappelons que dans un système à 2 centres et à 2 élec- trons, il y a une différence d'énergie entre les états de spin total égal à un et l'état singulet car la fonction d'onde d'espace doit être antisymétrique ou symé- trique respectivement. Cette différence d'énergie peut être reproduite par un Hamiltonien effectif

J l'intégrale d'échange mesure la distance entre niveaux singulet et triplet. Lorsque J est positif, qui est le cas que nous considérons seul ici, l'état triplet a une énergie plus basse. Ce couplage J décroît en général rapidement avec la distance des deux centres, de sorte qu'on est conduit à un modèle simple. Prenons un réseau périodique à dimensions ; associons à chaque site i un spin Si, et supposons qu'on puisse négliger les interactions d'échange entre sites non voisins. Nous arrivons ainsi à un Hamil- tonien

X = - J S i s j - h C S i

i , j voisins

où h représente le couplage à un champ magnétique extérieur appliqué au système. Notons qu'il existe des forces dipôle-dipôle entre les spins mais qu'en général elles sont beaucoup plus faibles que les forces d'échange, de sorte que nous les avons négli- gées ici.

Le problème est donc de calculer le logarithme de la fonction de partition (Log Tr e-PH) dans la limite d'un très grand réseau.. Ce problème de Heisenberg n'a jamais pu être résolu; de nombreux résultats sont connus à une dimension mais on sait depuis Landau, qu'il ne peut exister de transitions de phase dans un système à une dimension (lorsque les forces sont de portée finie). Rien n'est connu à trois, ni même à deux dimensions.

L'une des complications du modèle de Heisenberg

résulte de la nature quantique du problème. En effet

GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-3

les composantes Sa du spin à un site i donné ne commutent pas entre elles. Avant même de calculer la fonction de partition, il est donc difficile de diago- naliser le Hamiltonien. C'est pourquoi beaucoup d'efforts ont été consacrés à un modèle plus simple où on ne conserverait à chaque site que la composante Sf Ie long d'une seule direction. On a ainsi le modèle de Lenz-Ising, qui représente une idéalisation d'un système uniaxe où l'ordre spontané ne peut apparaître que le long d'une seule direction. En 1944 Onsager réussit (c'est une contribution historique) à résoudre le problème ainsi posé mais en champ nul et à deux dimensions. Depuis malgré des efforts considérables le problème n'a jamais été résolu en champ non nul et à trois dimensions. Mentionnons enfin le modèle le plus compliqué qui ait été résolu à ce jour; c'est celui de Baxter qui est équivalent à deux modèles d'Ising à deux dimensions couplées. La solution exhibe des propriétés remarquables et des progrès récents ont montré l'analogie de ce problème avec celui du modèle de Thirnng en théorie des champs.

Néanmoins, malgré l'immense ingéniosité déployée nous sommes très loin, en dépit de la simplicité du modèle, de la solution tri-dimensionnelle et en champ que nous désirerions connaître. On est donc réduit à employer des méthodes d'approximation.

La méthode du développement à haute température est très simple dans son principe. Elle consiste à rem- placer le facteur de Boltzmann par son développement en série tronqué à un certain ordre :

On en tire aisément un développement en série pour les quantités physiques intéressantes, par exemple pour la susceptibilité

ou encore pour la dérivée de son logarithme

plan conceptuel car elle ne donne aucune indication sur les causes profondes du résultat ainsi obtenu, mais elle a néanmoins fourni au cours des années des indications précieuses dont l'analyse a été l'une des sources des progrès récents. Il s'agit en fait d'expé- riences numériques qui viennent compléter les véri- tables expériences.

FIG. 3. - Divergence de la susceptibilité magnétique au point de Curie.

Tc Température

FIG. 4. - L'aimantation spontanée en dessous du point de Curie.

3. La théorie de Landau. - La théorie de Landau des transitions de phase continues est une systémati- sation des idées de champ moléculaire de P. Weiss ou de la théorie d70rnstein-Zernike des corrélations dans un fluide au voisinage du point critique. Soit en effet, M = ( M l , . . ., M,J le paramètre d'ordre (l'ai- mantation dans le langage ferromagnétique) caracté- risant la transition.

(i) Au voisinage du point critique et si le champ appliqué au système reste petit, l'aimantation 1 M 1

est faible, puisque nous sommes en présence d'une transition continue (M s'annule à Tc).

Il s'agit évidemment d'étudier la position et la nature

des singularités de la somme de cette série à partir de (ii) La longueur de corrélation est très grande par la connaissance d'un nombre fini de termes (en pra- rapport à la maille du réseau. On peut donc négliger tique les calculs les plus ambitieux - ils sont très les fluctuations spatiales du paramètre d'ordre dont longs - comportent au plus une vingtaine de termes). la longueur d'onde est petite et donc supposer 1 VM 1

Des méthodes d'extra~olation bien connues, méthodes petit.

de rapports, approximants de Padé, etc ... donnent la (iii)

allons ici nous limiter au cas où il y a position du pôle en T et son résidu qui reproduisent invariance par rotation M

ZM dans l'espace à de façon approchée la température Tc et l'exposant n dimensions du paramètre d'ordre. Il n'en est évi- critique y puisqu'on attend demment pas toujours ainsi, et une discussion séparée doit être faite des systèmes ne possédant pas cette d log X Y

N p

symétrie, mais pour simplifier nous n'étudierons ici

d T

T - Tc

que le cas le plus simple.

Cette méthode numérique est peu satisfaisante sur le (iv) Puisque 1 M 1 et 1 VM 1 sont petits, Landau

C7-4 E. BREZIN

suppose qu'on peut développer l'énergie libre en série double de puissance de M 2 et (vM)' :

Rappelons que le champ magnétique appliqué se déduit de l'énergie libre exprimée en fonction de l'aimantation M par différentiation :

L'hypothèse (1) permet de décrire toutes les pro- priétés statiques du système mais nous ne ferons que choisir quelques exemples. En particulier nous nous limiterons au cas d'un champ statique homogène h(x) indépendant de x.

Il y a alors invariance par translation, l'aimantation est également constante et on peut écrire l'énergie libre par unité de volume

Supposons que lorsque la température varie le para- mètre a de l'éq. (3) puisse changer de signe, alors que b reste positif. On a alors les deux possibilités indi- quées sur la figure 5.

FIG. 5. -L'énergie libre en fonction du module du paramètre d'ordre.

En champ nul, l'éq. (2) nous indique que nous devons chercher les valeurs du paramètre d'ordre 1 M 1

qui correspondent à un extrémum de J; la solution stable étant évidemment celle qui minimise f. On voit que pour a > O ce minimum ne conduit à aucune aimantation, mais que pour a < O on a bien une aimantation spontanée M,,. Il est donc naturel de poser que a s'annule avec ( T - Tc) et puisque a > O décrit bien T > Tc

a = ao(T - Tc) avec a, > 0 . (4) On voit ainsi apparaître dans la phase de basse tempé- rature une symétrie de rotation spontanément brisée.

Seul le module de M est fixé; toutes les directions sont équivalentes et en pratique le système s'orientera dans une direction fixée par des paramètres extérieurs

très petits, effets de bord, champs extérieurs faibles, inhomogénéités, etc.. .

Il est facile d'extraire quelques conséquences des éq. (1-4). C'est ainsi que le minimum M,, est propor- tionnel à de sorte que l'on trouve

M,, = Mo(Tc - T)B avec /3 = 3 . (5) De même au-dessus de Tc en champ faible on a h = 2 a M +

c'est-à-dire que la susceptibilité

x ⁼ M/h est proportionnelle à lia. Par conséquent Landau prédit, comme P. Weiss, qu'on a une loi de Curie simple

x = xo(T - Tc)-? avec y = 1 . ₍₆₎

On pourrait encore très aisément déduire d'autres propriétés de cette théorie, par exemple que la lon- gueur de corrélation diverge comme

5 ⁼ 5,(T - Tc)-' avec v = 3 ,

mais nous arrêterons là ces calculs. Il est grand temps de comparer ces résultats à l'expérience.

4. Résultats expérimentaux, lois d'échelle et univer- salité.

Nous avons porté sur le tableau 1 un certain nombre de résultats théoriques ou expérimentaux concernant les deux exposants dont nous avons parlé précédemment. La première et la deuxième colonnes contiennent des résultats expérimentaux concernant des fluides (n = 1) ou des ferromagnétiques (n = 3) ; les incertitudes sur ces données sont de quelques %.

Fluides Ferromagnétiques Onsager

n = l n = 3 (d

2) n

co Landau

- - - - -

Y

1,42

2

B 0 3 3 0,38 -

Puis viennent les résultats exacts d'onsager à deux dimensions, les résultats exacts d'un modèle résolu par Berlin et Kac (qui correspond en fait à une limite dans laquelle le nombre de composantes du paramètre d'ordre tend vers l'infini) et enfin les prédictions de la théorie de Landau.

Ce tableau appelle plusieurs remarques.

1) La théorie de Landau est qualitativement cor- recte mais elle n'est pas exacte.

2) Les exposants varient lorsque la dimension d

change alors que la théorie de Landau ne prévoit pas

cette variation. En fait le modèle n =

peut être

résolu pour toute valcyr de d et conduit au résultat

GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-5

3) Les exposants varient avec n alors qu'ils n'en dépendent pas dans la théorie de Landau.

Il y a donc là plusieurs difficultés sérieuses. Il est légitime enfin de s'interroger sur la signification sur le tableau 1 des mots JEuides ou jërromagnétiques. De quel fluide s'agit-il ? de CO2 dont le point critique est à 31 OC ou de l'He où il est à 4 K. Est-ce un gaz rare ou bien de l'oxygène ? De même pour les ferro:

magnétiques, quelle est la nature du réseau, la portée des interactions, le nombre d'atomes par maille, le spin, etc.. . ? La réponse à ces questions est qu'il semble bien qu'il ne soit pas nécessaire de préciser de quel fluide ou de quel ferromagnétique il s'agit. Les tableaux II et III donnent les résultats d'expériences réelles concernant un certain nombre de fluides très différents et d'expériences numériques obtenues par extrapolation de série de haute température sur un Hamilt,onien de Heisenberg. Dans ce dernier cas, il est possible de faire varier la nature du réseau cris- tallin ainsi que le spin que l'on place en chaque site du réseau depuis le spin 3 jusqu'à une valeur très élevée où on n'a plus en fait qu'un vecteur classique.

TABLEAU III Résultats obtenus

pour le modèle de Heisenberg par Ritchie et Fisher

Spin

1 - 3 - 5

- 2

1

Réseau

- -

-

f.c.c. 1,43 + 3 1,38 f 2 1,38 + 2 1,38

2 1,38

1 b.c.c. 1,38 5 4 1,43 + 5 1,38 + 4 1,36

3 1,39

1 S.C. 1 , 4 2 5 2 1 , 4 3 + _ 3 1 , 4 1 f 2 1 , 3 9 f 2 1 , 3 7 + _ 1

On voit donc apparaître le concept d'universalité que nous préciserons dans un instant.

L'analyse des résultats expérimentaux précis et nombreux disponibles depuis une quinzaine d'années a conduit Widom-Kadanoff et d'autres à constater que, dans le domaine critique, le système présentait des lois d'échelle (on devrait dire, mais c'est trop long, de covariance par transformation d'échelle) que nous allons présenter.

(i) Remarquons d'abord qu'un comportement de puissance est une loi d'échelle. En effet, si l'on a

FIG. 6 . - Le réseau des variables de bloc.

alors la transformation t

At transforme x en APY X.

Ceci ne serait pas vrai si l'on avait des Log t ou bien des e-Xt, etc ...

(ii) Le système dépend, en principe, de deux varia- bles thermodynamiques, par exemple la température et le champ appliqué. L'aimantation s'en déduit : c'est l'équation d'état magnétique M = M(H, T). On constate en fait que cette relation est invariante dans la transformation d'échelle :

Il est facile d'en déduire qu'en fait cette équation d'état devient une relation entre deux variables au lieu de trois :

Expérimentalement cela se met en évidence en véri- fiant que si l'on change les valeurs de la température et du champ de manière que t/M ne soit pas modifié alors H/M6 est également invariant.

(iii) Ces relations d'homogénéité impliquent égale- ment des relations entre exposants critiques. Mon- trons-le sur un exemple : lorsque Test supérieur à Tc on sait que H et M sont proportionnels pour H petit.

Cela implique que f (t/M1IB) se comporte, lorsque

t

- (sP) ^. Mais alors on M l'a -+

voit que

On en déduit donc que y = P(6 + ^{1). De façon}

générale on peut montrer qu'il n'existe que deux exposants indépendants.

L'ensemble de ces constatations a donc conduit à

la formulation de l'hypothèse d'invariance d'échelle

et universalité et on est donc amené à postuler que le

comportement critique, c'est-à-dire les exposants,

C7-6 E. BREZIN

l'équation d'état, les fonctions de corrélation, etc ...

ne dépendent que :

- de la dimension d de l'espace,

- et du nombre n de composantes du paramètre d'ordre.

Il reste à comprendre quel est le mécanisme qui engendre ces lois d'échelle et cette universalité, com- ment le fait de faire varier les paramètres de l'interac- tion peut laisser le résultat invariant. Il nous faut aussi savoir calculer ces quantités universelles. L'hy- pothèse de l'invariance d'échelle a réduit le problème.

Il suffit de connaitre deux exposants mais rien n'indique leur valeur. De plus nous voulons pouvoir calculer l'équation universelle d'état, les fonctions de corrélation, etc. .. Le groupe de renormalisation nous permettra de comprendre l'universalité et l'invariance d'échelle et de calculer (approximativement) les quan- tités universelles. Mais d'abord, il nous faudra revenir à la théorie de Landau et comprendre pourquoi elle est en défaut afin de dégager la nature du problème.

5. Corrections à la théorie de Landau. Rôle de la dimension quatre. - Nous allons. maintenant tenter de construire les corrections à la théorie de Landau et montrer que c'est un problème difficile lorsque la dimension de l'espace est inférieure à quatre. L'hypo- thèse centrale de la théorie de Landau est qu'on peut connaître directement par un développement l'énergie libre en fonction du paramètre d'ordre. Or, on sait bien que pour déterminer l'équilibre thermique d'un système il faut faire en réalité une somme, sur toutes les distributions possibles du paramètre d'ordre, des facteurs de Boltzmann associés à cette distribution : eëPfkT = exp {- -& ^J ~ x [ ( T - r C ) M ~ ( X ) +

( M l \

Cette somme sur toutes les variations spatiales de M possibles a, pour être précis, le sens suivant : on intègre le coefficient de Fourier de chaque longueur d'onde spatiale de M qui peut varier arbitrairement.

Bien entendu il existe une longueur d'onde minimum fixée par la maille a du réseau. Notons que ces diffé- rentes composantes de Fourier sont couplées entre elles par l'intermédiaire des termes en M4, M6, etc.. . ^;

s'ils n'étaient pas présents on pourrait effectuer très simplement la somme (modèle gaussien).

1i est facile maintenant de comprendre à quelle approximation correspond la théorie de Landau : elle suppose M(x) fixé à la valeur M,,, qui rend l'ar- gument de l'exponentielle minimum.

Pour aller au-delà donc de cette approximation, l'idée la plus naturelle consiste à développer I'argu- ment de l'exponentielle au voisinage de Mm et de calculer ainsi la systématique des corrections. On obtient par cette méthode une théorie de perturbations qui obéit à des règles simples dont l'établissement ne

présente aucune difficulté mais qu'il serait trop long d'exposer ici.

Regardons la première correction à la théorie de Landau obtenue de cette façon en ce qui concerne, par exemple, la susceptibilité magnétique; au voisi- nage de Tc on trouve :

(8) où g est le coefficient du terme en M 4 de l'interaction.

Pour le modèle gaussien g s'annule ; on n'avait donc pas de correction à la théorie de Landau. Il faut noter également que les termes plus élevés en M6, 1 VM 14, etc ... n'apparaissent pas au voisinage de Tc. L'inté- grale porte sur le vecteur d'onde q qui caractérise les variations spatiales de M. Cette intégrale est donc bornée supérieurement par un nombre A dont l'ordre de grandeur est déterminé par l'inverse de la maille a du réseau.

L'analyse de ce résultat est maintenant très diffé- rente selon la valeur que prend la dimension d de l'espace :

(i) d > 4 : L'intégrale

a une limite lorsque T tend vers Tc puisque

converge.

Par conséquent la correction présente le même comportement que le terme principal :

- .

de sorte que x-' est proportionnel à ( T - Tc). Le coefficient qui relie X-' à ( T - Tc) est modifié par cette correction, mais l'exposant y qui gouverne cette singularité reste fixé à un.

Il n'est pas bien difficile d'étendre cette analyse à tous les ordres successifs de la théorie des perturbations et donc de conclure ainsi qu'au-dessus de quatre dimensions la théorie de Landau est exacte.

(ii) d < 4. L'intégrale

diverge lorsque T s'approche de Tc ; elle est en fait

proportionnelle à ( T - Tc)-1/2(4-d'. Par conséquent,

lorsqu'on se rapproche de Tc, la première correction

l'emporte sur le terme de Landau. Aux ordres supé-

rieurs la situation ne fait qu'empirer; les termes

successifs sont de plus en plus divergents et la théorie

GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-7

des perturbations même si g est très petit n'a aucun sens au voisinage de Tc.

(iii) d = 4. Notons qu'à d = 4 l'intégrale en ques- tion diverge logarithmiquement et qu'on a aussi une théorie des perturbations dépourvue .de sens au voisinage de Tc puisque :

Nous comprenons ainsi pourquoi la théorie de Landau n'est pas valable pour d < 4, mais nous voyons aussi que le problème n'est pas simple car lorsque la théorie des perturbations ne s'applique pas, il est très difficile de s'en sortir. C'est une situation qui rappelle celle que l'on trouve dans la théorie des interactions fortes. Cette difficulté explique que, pendant si longtemps, le problème soit resté sans solution. La méthode du groupe de renormalisation comme l'a montré Wilson a apporté la réponse à ces questions.

6. Le groupe de renormalisation. .

6.1 PRÉ-

LIMINAIRES. - Curieusement, ce sont des raisons tech- niques, qui ne révèlent certainement pas l'importance des concepts sous-jacents, qui guidèrent les pionniers du groupe de renormalisation. En effet, en étudiant l'électrodynamique des particules chargées de masse nulle, Gell-Mann et Low s'aperçurent qu'on ne pouvait plus définir des quantités physiques telles que la charge sans introduire dans le système un paramètre arbitraire, sans influence sur la physique, mais nécessaire pour éviter les divergences infra- rouges. Ce n'est qu'une quinzaine d'années plus tard que la question fut reprise par Wilson et presque simultanément par C. Callan et K. Symanzik. Le problème étudié concernait les théories de champ ne contenant classiquement aucun paramètre dimen- sionné. Ces théories sont évidemment invariantes d'échelle, mais on peut voir que les fluctuations quantiques brisent cette invariance. L'étude de ce problème les conduisit rationnellement aux équations de groupe de renormalisation dont les conséquences sont que si l'invariance d'échelle est bien brisée, elle peut être néanmoins asymptotiquement restaurée dans le cas où il y a un point fixe comme nous allons le montrer plus loin.

A la source des idées développées par Wilson, il y a donc cette nouvelle analyse du travail de Gell-Mann et Low mais aussi un travail de L. Kadanoff sur le modèle d71sing. La méthode de Kadanoff des blocs de spin n'est pas correcte, mais elle contient en germe les caractéristiques de toutes les méthodes de groupe de renormalisation, c'est-à-dire la modification du Hamiltonien sous l'effet d'un changement d'échelle.

L'idée est très simple. Considérons dans un

d'king près du point critique 4 spins voisins. C %adèle aque spin peut prendre les valeurs f i, il y a donc 24 confi- gurations possibles. Or la longueur de corrélation étant très grande, on peut penser qu'à petite échelle

les effets seront coopératifs et qu'on pourra négliger les configurations oh les 4 spins ne sont pas dans le même état. On ne retient donc que deux possibilités parmi les 16 et on définit une variable

dont on suppose donc qu'elle ne peut prendre que les valeurs f i. Ces variables de bloc S' forment un réseau dont la maille 2 a est deux fois celle dont on est parti. Kadanoff ajoute ensuite que si l'interaction initiale s'écrit

X = - J C ^Sisj

voisins

les variables de bloc interagissent également selon 1'Hamiltonien

X ' = - J' C s ; ~ !

Voisins

On a donc une transformation

Nous reviendrons plus loin sur les conséquences de l'existence d'une telle transformation.

6.2 L'ANALYSE DE WILSON.

L'analyse de Wilson commence par noter qu'en réalité la méthode de Kadanoff n'est pas correcte : non seulement 14 des 16 configurations du bloc sont négligées mais en réalité les blocs de spin ont des interactions plus compliquées que les spins initiaux; les premiers voisins, mais aussi des voisins plus éloignés sont couplés et donc l'itération doit porter nécessairement sur un plus grand nombre de paramètres.

Pour construire de façon maintenant correcte cette transformation entre paramètres, Wilson a introduit le concept de la réduction du nombre de degrés de liberté. Partant de l'idée, déjà présente dans Landau, que les fluctuations de courte longueur d'onde de paramètre d'ordre sont négligeables (qui est également présente chez Kadanoff lorsqu'il néglige les fluctua- tions à l'intérieur d'un bloc) Wilson montre que l'on peut calculer la somme (7) sur toutes les distributions du paramètre d'ordre par un processus itératif :

-

La somme initiale porte, comme nous l'avons dit, sur toutes les amplitudes de la décomposition de Fourier du paramètre d'ordre

où (k) est borné par A - ^lla.

-

On effectue la somme sur toutes les composantes de courte longueur d'onde, c'est-à-dire de vecteur d'onde compris entre A et ;L1 où A est un nombre arbitraire donné inférieur à 1.

- On écrit alors 1'Hamiltonien qui couple les composantes de Fourier restantes k < AA.

On obtient ainsi une loi de transformation par

C7-8 E. BREZIN

changement de l'unité de longueur, des paramètres caractérisant le Hamiltonien :

a

a / l

X

XA = RA(X) . (10) C'est un point de vue légèrement différent qui va maintenant être développé.

Revenons au Hamiltonien (7) écrit en termes du paramètre d'ordre M :

On peut montrer par des considérations dimension- nelles simples que les couplages plus élevés M6, M 4 V M ~ , etc ..., ne jouent pas de rôle au voisinage de Tc. On a donc 3 paramètres pour décrire toutes les quantités physiques :

-

la distance t à Tc

- le couplage g

-

l'inverse A de la maille élémentaire a.

La région critique correspond à t petit (en unités données par A) et aussi, lorsqu'il s'agit par exemple de calculer des fonctions de corrélation à des distances grandes par rapport à a, ou bien en transformée de Fourier des vecteurs d'onde petits par rapport à A.

Par conséquent la région critique sera décrite par une limite où A est beaucoup plus grand que toutes les autres quantités (de même dimension) du problème.

Or la limite A + co de ce problème a été étudiée depuis longtemps, elle est donnée par la théorie de renormalisation qui a conduit au résultat suivant :

Lorsque d est inférieur ou égal à 4 dans la limite A

co la théorie est équivalente à une théorie à deux paramètres seulement. L'équivalence entre les deux théories consiste en :

(i) Un changement de paramètres t, 9,

t~ 9 ,

et la relation entre paramètres nus et renormalisés est calculable (en théorie des perturbations) :

(ii) Un changement de normalisation du paramètre d'ordre

M + M R = Z - 1 ' 2 M .

La théorie physique dans le problème que nous considérons est bien la théorie nue mais la théorie renormalisée est introduite pour pouvoir comprendre l'effet d'une transformation d'échelle :

En effet on peut faire une dilatation de la maille du réseau (ou une contraction de son inverse A)

en laissant les paramètres renormalisés tR et gR fixes.

Les paramètres initiaux t et g sont modifiés puisqu'ils dépendent de tR, g, et A mais la théorie renormalisée est invariante puisqu'elle ne dépend pas de A. Donc la théorie renormalisée est équivalente à la fois aux deux théories (t, g, A ) et (t(l), g(l), lA), qui sont donc elles-mêmes équivalentes.

Nous reconstruisons aussi l'équivalent du groupe de renormalisation (10) c'est-à-dire que nous mon- trons qu'un changement d'échelle induit une modi- fication des paramètres du Hamiltonien.

6.3 CONSÉQUENCES DE L'EXISTENCE

GROUPE DE

- Examinons maintenant les conséquences de ce groupe de transformation. Pre- nons pour fixer les idées la susceptibilité magnétique x(t, g, A). Des considérations ci-dessus découle la propriété de transformation d'échelle

où /Z est arbitraire et où l'évolution par dilatation de t(l) et g(l) est calculable (en théorie des perturbations) c'est ainsi que par exemple,

et les premières puissances du développement de B

en puissances de g sont connues.

Quel est l'intérêt de l'éq. (1 1) ? Pour le comprendre reprenons le résultat que nous avions obtenu précé- demment pour la dimension quatre en théorie des perturbations :

La difficulté du développement (13) vient nettement de,ce que, même si g est petit, au voisinage de t = O ce développement perturbatif n'est pas valable à cause

du Ln t/A2. Or, reprenons l'égalité (1 1) ; /Z y est arbitraire et nous allons choisir sa valeur pour que le transformé de Ln t/A2 qui est Ln t(l)/12 A2

FIG. 7. -Point fixe attracteur pour le comportement a longue

distance.

GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-9

reste fixé. Nous utilisons ainsi l'arbitraire de la trans- formation d'échelle pour sotiir de la région critique singulière. On peut se convaincre par un calcul simple que fixer t(Â)/A2 A2, alors que t(l)/A2 est très petit, impose à la valeur de A correspondante, de tendre vers zéro.

Evidemment le problème est de savoir ce qui arrive dans cette transformation à la constante de couplage g(Â). Si au fur et à mesure que nous nous éloignons de la région singulière g(Â) croît, nous avons bien du mal à tirer de l'éq. (11) des conséquences utilisables.

Par contre, si g(A) tend vers une constante, nous allons voir que l'éq. (11) est alors très intéressante.

Mentionnons la situation idéale de liberté asympto- tique où g(Â) décroît et tend vers zéro lorsqu'on s'éloigne de la région singulière; c'est une situation particulièrement agréable puisqu'elle supprime les problèmes liés aux singularités logarithmiques et nous permet cependant d'utiliser la théorie des per- turbations. Il existe effectivement un cas physiqùe où c'est cette situation qu'on rencontre ; nous y revien- drons plus tard.

Examinons donc I'évolution de la constante de couple en fonction du paramètre de dilatation

et supposons que la fonction P-du second membre se trouve s'annuler en croissant pour g = g*.

Nous voyons que :

(i) si g < g*, P(g), et donc dg/dÂ, est négatif;

donc g augmente lorsque  diminue-;

(ii) si g > g*, dg/& est positif et g diminue avec A.

Par conséquent, il y a toute une plage de valeurs initiales de g qui est attirée vers lepointfixe g* lorsque A tend vers O.

Reprenons, en continuant à supposer l'existence . d'un point fixe g*, l'éq. (1 1). Des considérations dimensionnelles élémentaires nous tirons que

Nous avons. supposé A choisi de manière que le rapport sans dimension t(Â)/Â2 A2 soit fixé par exemple à la valeur un. Par conséquent

Le second membre est donc une quantité fixe et universelle car il ne dépend pas de g mais de g*. Des considérations tout à fait semblables à celles que nous avons utilisées pour la discussion de g(A) permettraient de montrer que la condition t(A)/A2 A2 = 1 implique

où v et q ne dépendent que de g*.

Dans l'hypothèse donc où il y a un point fixe unique attracteur on obtient un comportement uni- versel

avec y = v(2 - q).

Par conséquent, nous sommes arrivés à comprendre ainsi le mécanisme qui engendre l'universalité et à montrer l'existence de lois d'échelle. On peut montrer par des arguments semblables que toutes les lois d'échelle statiques qui avaient été postulées par Widom-Kadanoff, etc.. . sont les conséquences simples de cette méthode du de renormalisation pourvu qu'il y ait bien un point fixe stable.

6 . 4 EXISTENCE D'UN

POUR d < 4 ;

DÉVELOPPEMENT

EN

- Commençons par quelques considérations dimensionnelles élémentaires. Puisque H/kT est sans dimension, cela implique que le para- mètre d'ordre en unité de longueur inverse a la dimension

et on tire aisément

1 d - 4

I g l = [ L - l .

Pour d = 4, g est donc sans dimension. Lorsqu'on fait une transformation d'échelle infinitésimale, il est facile de se convaincre qu'au premier ordre g n'est pas modifié et donc l'équation d'évolution de g se présente sous la forme

Un calcul élémentaire montre que b est positif;

on voit que la valeur g* = O correspond à un point fixe et pour  petit la résolution de l'équation diffé- rentielle entraîne que g tend vers zéro avec  :

Cela justifie d'ailleurs le fait que nous ayons pu négliger les termes de degré plus élevé que g2 dans l'équation d'évolution de g(A). Nous reconnaissons ici la situation de liberté asymptotique du comporte- ment à longue distance. Des calculs très simples montrent l'influence sur les quantités physiques (nous sommes toujours en dimension quatre) du compor- tement de g(A). C'est ainsi que l'on trouve que la susceptibilité se comporte comme

La théorie de Landau,

= xi1 t, est donc presque valable mais avec tout de même des déviations logarithmiques.

Pour d inférieur à quatre, les choses se compliquent

car g n'est plus sans dimension. C'est pourquoi

lorsqu'on fait une transformation d'échelle il y a

C7-10

E. BREZIN

une modification de g même à l'ordre le plus bas calculs en se plaçant donc près de 4 dimensions : et l'équation d'évolution de g se présente maintenant on pose d = 4 - e et on fait un développement en

sous la forme : série double dans la constante de couplage g et en

On trouve alors l'équation 1-= dg - ( 4 - d ) g + ^bg2 + ....

d i

1- dg _{d A} = - ~g + ^bg2 + b' &g2 + ^cg3 + .

L'origine est bien un point fixe, le second membre

s'y annule, mais il est répulsif, car la dérivée du second 11 y a donc bien un point fixe attracteur dont on peut membre à g = O est négative. S'il y a un point fixe construire le développement en série de puissances stable, il est donc en dehors de l'origine et en l'absence de

:

de petit paramètre il est très difficile de contrôler ce

qui se passe. g* =

+ ^O(&') .

On peut penser, bien qu'il n'en existe pas de démons- tration à l'heure actuelle, que ce point fixe existe bien encore à trois dimensions. On peut poursuivre cette idée plus loin et calculer, par un développement en

toutes les quantités critiques universelles de la

1 / théorie : exoosants. éauation d'état. etc.. .. ^{le résultat}

FIG. 8. - La fonction P

dimensions.

L'idée de K. Wilson et M. Fisher fut alors d'exploi- ter la simplicité du résultat pour d = 4 en se plaçant à des valeurs de d voisines de quatre. Donner à la dimension de l'espace des valeurs non entières est évidemment dépourvu de sens en général ; par exemple on ne peut pas parler d'un réseau à 3,9 dimensions.

Mais certains objets mathématiques bien définis de la théorie sont susceptibles d'être prolongés à des valeurs de d non entières (et même complexes). C'est le cas des intégrales qui apparaissent en théorie des perturbations. Dans le cas le plus simple on a par exemple une intégrale comme celle qui était apparue plus haut :

Nous définirons cette intégrale en nous plaçant en coordonnées polaires :

L'intégrale sur les angles sera prise égale à la surface de la sphère unité de l'espace à d dimensions dont l'expression peut être étendue à des valeurs non entières de d puisque

L'intégrale radiale restante définit une fonction ana- lytique de d pour d (en fait Red) comprise entre 2 et 4.

Généralisant cette définition on peut faire tous les

, L --

de ces calculs, si l'on prend par exemple l'exposant y, a été établi par Wilson jusqu'à l'ordre e2 :

qui est bien un résultat universel ne dépendant que de n et d.

A l'ordre O en

on retrouve comme on s'y attend le résultat de la théorie de Landau quel que soit n.

Si on prend, pour fixer les idées, les systèmes.de types Ising, nous devons faire

= n ⁼ 1 dans cette formule pour comparer au résultat expérimentàl y = 1,25.

Le premier ordre en

donne y(1) = 1,17 ; avec le second ordre inclus on arrive à l'excellente valeur 1,244'.

Il ne faut pas néanmoins pousser trop loin ce développement en e car l'ordre 3 a été calculé :

et pour

= n = 1 y(3) = 1,195. On s'écarte donc du résultat expérimental. Cela signifie vraisemblablement que le développement en

n'est pas convergent, et qu'il est au plus asymptotique. Néanmoins, aucun résultat mathématique n'est connu concernant la nature du développement en

et il se pourrait que nous soyons en présence d'une simple oscillation.

Le développement en

a été parfois considéré comme le seul résultat de cette théorie et son défaut de convergence a conduit certains à un septicisme complet concernant toute la théorie du groupe de renormalisation appliquée aux phénomènes critiques.

Nous pensons qu'il faut dégager les concepts de leur

application ; le cadre théorique qui a été placé va

bien plus loin que le développement en

Ii explique,

GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-11

rappelons-le, universalité et lois d'échelle et permet souvent d'établir des relations valables à tous les ordres en

et dont on peut raisonnablement espérer qu'elles seront encore exactes à trois dimensions.

Néanmoins en ce qui concerne trois dimensions certains calculs comme ceux des exposants ne peuvent être faits qu'en écrivant des équations de groupe de renormalisation approximatives et tout un art est à développer. C'est ainsi qu'on sait calculer les expo- sants à trois dimensions dans un développement en puissance de l/n mais les résultats numériques ne, sont guère intéressants. Des méthodes de réduction directe du nombre de degrés de liberté en gardant la structure discrète du réseau ont été grandement développées depuis trois ans et ont donné des résultats très encourageants.

7. Une expérience cruciale.

Afin de nous convaincre complètement que les idées mises en place sont correctes, une comparaison précise avec l'expérience est indispensable. Quélle est la situation la plus favorable pour tester efficacement les idées précédentes ?

- La théorie prévoit qu'au-dessus de quatre dihnsions la théorie de Landau reste valable;

mais, à supposer que des expériences numériques soient entreprises, une vérification de cette prédiction ne nous apprendrait rien sur le groupe de renorma- lisation lui-même car pour établir cette propriété des dimensions élevées il suffit d'une analyse dimen- sionnelle (voir ci-dessus § 5).

- En dessous de quatre dimensions la théorie repose pour sa comparaison avec l'expérience sur des approximations, comme le développement en Ë, qui ne sont pas toujours bien contrôlées comme nous l'avons vu.

- C'est finalement en restant exactement à quatre dimensions que le groupe de renormalisation permet les prédictions les plus précises. La théorie de Landau doit être corrigée par des puissances de logarithmes explicitement connues. Nous avons vu plus haut le résultat pour la susceptibilité magnétique. En ce qui concerne la chaleur spécifique il en est de même;

la théorie prévoit qu'au voisinage de Tc

A + / L o g ( T - Tc) 1n+2/n+8 ^{pour T > Tc}

c = { _{A - 1 Log(Tc - T) 1n+21n+8 pour T < Tc.}

Le rapport A + / A - est de plus universel, alors que A+ et A- ne le sont pas séparément, et sa valeur prévue est

C'est le comportement qui, à quatre dimensions, diffère le plus de celui de la théorie de Landau pour lequel la chaleur spécifique reste finie, mais est discontinue (Fig. 9).

Ces considérations seraient parfaitement acadé-

miques si Larkin et Kh'melnitskii n'avaient découvert en 1969 que les systèmes uniaxes (n = 1) avec inter- actions dipolaires très fortes devraient avoir à trois dimensions le comportement singulier décrit ci-dessus.

(Ce passage de quatre à trois dimensions vient de ce que nous avions supposé explicitement auparavant que les forces étaient de courte portée.) Des mesures viennent d'être effectuées sur un cristal ferromagné- tique uniaxe de LiTbF, dans lequel les forces dipo- laires sont importantes. La température de Curie est très basse .: Tc = 2,885 K.

~héorie de Landau Groupe de

renormalisation ( d = 4 ) FIG. 9. - La chaleur spécifique de la théorie de Landau et celle

donnée par le groupe de renormalisation.

L'ajustement des résultats expérimentaux à une forme en puissances de logarithme

a donné les résultats

Z = 0,34 & 0,03

dont l'accord avec les formules

dans le cas considéré où n = 1 est remarquable.

Nous arrêterons là la discussion des phénomènes critiques statiques. Une introduction beaucoup plus complète a été donnée par J. Winter et P. Pfeuty dans le colloque Phénomènes Critiques.

8. D'autres applications du groupe de renormali- sation. - Depuis ces dernières années plusieurs problèmes ont été résolus par des méthodes (parfois indirectement) tirées du groupe de renormalisation.

Ce paragraphe n'a pour but que d'en faire une liste rapide.. Des colloques spécialisés ont traité de ces sujets en détail.

8.1 PHÉNOMÈNES TRICRITIQUES (Se reporter 'à la

conférence du colloque Phénomènes Critiques de

Papoular). - Il existe des points où plusieurs lignes

critiques peuvent venir en coïncidence. Il y a des

exemples pour les systèmes magnétiques et l'exemple

le plus connu concerne les mélanges 3He-4He. En

C7-12 E. BREZIN

faisant varier la concentration en 3He on décrit une ligne de points critiques correspondant à une transi- tion superfluide du second ordre. Au-dessus d'un certain point tricritique Tt - C, la transition devient du premier ordre. Trois lignes critiques se rencontrent en ce point mais pour les voir il faut une variable supplémentaire conjuguée du paramètre d'ordre (et donc physiquement inaccessible) de sorte que deux d'entre elles sortent du plan (T, C). La théorie de Landau montre qu'il faut cette fois pousser le déve- loppement de l'énergie libre dans le paramètre d'ordre jusqu'à l'ordre 6

car au point tricritique a et b s'annulent.

Des considérations dimensionnelles semblables à celles qui ont été données au paragraphe 5 montrent que pour de tels systèmes la dimension caractéris- tique passe de quatre à trois. A trois dimensions le groupe de renormalisation prévoit donc des expo- sants classiques modifiés par des puissances expli- citement connues de logarithmes. Il n'a pas encore été possible de confirmer complètement ces prédic- tions par l'expérience.

FIG. 10. -Le point tricritique dans le plan (T, C) où C est la concentration en 3He. La ligne pleine est une ligne de points de transition du second ordre; la ligne pointillée correspond a des

transitions du premier ordre.

8.2 DYNAMIQUE

(Se reporter à la confé- rence donnée au colloque « Phénomènes Critiques D

par C. de Dominicis). -Au voisinage d'un point critique il y a également des singularités liées au comportement en fonction du temps. C'est ainsi qu'une perturbation n'est suivie que d'un retour à l'équilibre très lent. Des lois d'échelle dynamiques qui mettent en jeu à la fois vecteur d'onde et fréquence avaient été postulées. La description est moins simple qu'en ce qui concerne les phénomènes statiques;

les classes. d'universalité sont plus restreintes. II ne suffit plus en effet de se donner n et d; il faut de plus connaître Ies quantités conservées auxquelles sont associés des modes lents. Ainsi, un système magné- tique uniaxe diffère dynamiquement d'un fiuide où il faut tenir compte des lois de conservation de I'im- pulsion de l'énergie et de la masse au cours des colli- sions. Le groupe de renormalisation a été appliqué par différents auteurs à l'étude de ces phénomènes.

La dimension caractéristique au-delà de laquelle tout est simple n'est pas la même pour tous les sys- tèmes : elle reste quatre pour les fluides, l'hélium superfluide, un ferromagnétique uniaxe, etc.. . ; mais elle deviendrait égale à 6 pour un ferromagnétique de Heisenberg. Beaucoup de travaux restent à faire, mais le sujet est en bonne voie.

8 . 3 LE PROBLÈME DES POLYMÈRES

(OU

EN

SOLUTION); CHAÎNE

VOLUME

(Se reporter à la conférence du colloque « Phénomènes Critiques » de J. des Cloizeaux). - Le comporte- ment d'une longue chaîne dont les segments se repoussent a un caractère universel décrit là encore par des exposants. C'est ainsi que la distance quadra- tique moyenne entre les extrémités d'une chaîne de N maillons croît comme une puissance de N :

où v serait égal à si la chaîne était brownienne (sans répulsion). En réalité v est voisin de 0,6 à trois dimen- sions. Mathématiquement ce problème est équivalent à celui d'une marche au hasard sur un réseau avec interdiction de revenir en un point déjà visité. L'ana- logie entre ce problème et celui d'une transition ferromagnétique a été établie pour la première fois par de Gennes qui a montré l'équivalence entre la théorie d'un polymère isolé et celle d'un paramètre d'ordre à zéro composante ! L'analogie a été étendue récemment par des Cloizeaux : une solution de polymères correspond à un paramètre d'ordre, tou- jours à zéro composante, en présence d'un champ magnétique extérieur. Bien évidemment, il faut pré- ciser ce que I'on entend par un vecteur à zéro compo- sante : dans le cas présent, on peut faire tous les calculs en gardant le nombre de composantes n, comme paramètre arbitraire. Dans la limite où I'on fait tendre n vers zéro on supprime les dia- grammes de la théorie des perturbations qui contien- nent des boucles, de même qu'une chaîne avec volume exclu n'est pas autorisée à se recouper. Sarma a donné récemment une explication très simple de cette analogie : considérons d'abord un vecteur S à n composantes, de longueur fixée S2 ⁼ n, et dis- tribué uniformément. Il est facile de montrer que

lim ( eiks ) = 1 - k2/2

n+ O

ce qui implique que dans cette limite ( sa'> ^{= 1}

mais toute autre valeur moyenne de degré supérieur ou égal à deux en S est nulle :

( (Sel2 (S8)' ) = ( (Sa)4 ) = etc.. . ⁼ O .

Considérons un réseau, et en chaque site i un tel vecteur à zéro composante S i ; ces spins ont une interaction ferromagnétique

H = - J C Sisj

voisins

GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE

La fonction de corrélation G(r) entre un spin au point O et un spin au point r - s'obtient en faisant la moyenne angulaire sur tous les vecteurs du réseau

( S," S," e-PH ) G(r) =

( e-aH )

Si on développe l'exponentielle on trouve au numé- rateur des termes tels que

(s,"s,"( S . S ~ ) ~ ).

voisins

En vertu de la propriété ci-dessus les seuls termes non nuls de cette somme correspondent à chaque S;

répété zéro ou deux fois et il est facile de voir que l'on a

( ^{S," S;} ( ^{2 Si Sj)'} ) ⁼ nombre de chemins tracés

voisins

sur le réseau, joignant le

point O au point r e n p pas sans se recouper.

En effet une interaction du chemin avec lui-même correspondrait à'un opérateur S/ répété quatre. fois dont la moyenne est nulle. En traitant donc les fonc- tions de corrélation d'un modèle de spin avec interac- tions ferromagnétiques, on obtient dans la limite n = O, les fonctions génératrices du problème de volume exclu. Ce raisonnement peut se généraliser simplement en présence d'un champ extérieur.

Le développement en

fournit donc dans la limite n = O des valeurs pour les exposants ; ainsi

en bon accord (à condition là encore d'écarter les termes en c3) avec les valeurs admises à trois dimen- sions.

L'analogie ferromagnétique a permis à des Cloi- zeaux d'établir une relation d'échelle qui n'avait pas été reconnue jusque-là. Pour une solution de poly- mères où Cp est la concentration en chaînes et N le nombre moyen de maillons par chaîne, la pression osmotique s'écrit

Cette loi conduit à des comportements différents de ceux qui étaient prévus par la théorie classique (Edwards) et l'expérience semble être en bon accord avec ces nouvelles théories issues, indirectement, du groupe de renormalisation.

Notons enfin, qu'il a été suggéré récemment par des Cloizeaux que cette limite n = O pouvait également être appliquée à la description des singularités de la densité de niveaux d'électrons en mouvement dans un potentiel aléatoire.

On considère un réseau où chaque site peut être occupé, avec une probabilité p, ou vacant (probabilité 1 - p). On peut montrer qu'il existe une valeur critique p, au-delà de laquelle des amas infinis appa- raissent. Ainsi la taille moyenne des amas diverge lorsque p tend vers p, et pour p > p, une fraction finie des sites appartient à - un amas infini. Cette singularité peut être décrite également par des expo- sants mais on ne voit pas au premier abord de Hamil- tonien ou d'énergie libre dans ce problème. Physique- ment, il s'agit d'un modèle simplifié de la conductivité dans un système désordonné.

Récemment Kasteleyn et Fortuin ont montré que le problème correspondait à une limite, très semblable au n = O des polymères, du modèle de Potts à s états.

Il s'agit d'une généralisation du modèle d'Ising dans laquelle on suppose que chaque spin peut prendre s valeurs ; ainsi :

- pour s = 3, chaque spin peut occuper les som- mets d'un triangle équilatéral,

- pour s = 4, chaque spin peut occuper les som- mets d'un tétraèdre régulier, etc.. .

L'interaction est une somme de contributions associée aux paires de voisins. Selon que deux voisins sont, ou ne sont pas, dans deux états identiques, l'énergie d'interaction prendra la valeur El ou E,.

Pour s = 2 on retrouve 'le modèle d71sing habituel, mais là aussi on peut considérer un problème où s est pris comme paramètre arbitraire. Kasteleyn. et Fortuin ont montré que dans la limite s = 1, qui est tout aussi étrange que n = O puisque le paramètre d'ordre du modèle de Potts varie dans un espace à (s - 1) dimensions, on retrouve le problème de la percolation.

Le modèle de Potts peut alors être étudié par les méthodes du groupe de renormalisation. Lorsqu'on passe à la ,limite d'un modèle continu, on obtient des termes de couplage cubiques dans le paramètre d'ordre et on en déduit aisément que la dimension caractéiistique au-delà de laquelle les phénomènes sont classiques est d = 6 (résultat qui avait été conjecturé par G. Toulouse). En dessous de six dimensions, on trouve effectivement un point fixe, mais on e'st conduit ici à faire

= 3 dans le dévelop- pement en

! Les méthodes de réduction du nombre de degrés de liberté sont certainement préférables.

8.5 LE PROBLÈME DE KONDO (Se reporter à la conférence commune aux colloques Phénomènes Cri- tiques et Développements sur la Théorie des champs de P. Nozières). - Ce problème qui a suscité beau- coup de travaux depuis dix ans (voir notamment Anderson et Yuval), est lié à l'apparition d'anomalies à basse température de métaux non magnétiques contenant des impuretés magnétiques. Le modèle choisi par Kondo consistait simplement en un gaz d'électrons couplés à une impureté de spin S par 8 . 4 LA PERCOLATION. - Le problème de la percola- une interaction -de faible port& dépendait du spin.

tion a très récemment été abordé de manière analogue. Un calcul de perturbation simple révélait alors