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Sur les cycles d’hystérésis des céramiques au titanate de
baryum
G. Mesnard, L. Eyraud
To cite this version:
78 A
SUR LES CYCLES
D’HYSTÉRÉSIS
DESCÉRAMIQUES
AU TITANATE DE BARYUMPar G. MESNARD et L.
EYRAUD,
Institut de
Physique
Générale de l’Université de Lyon Sommaire. 2014 Oncomplète les résultats de l’article sur les « Propriétés
diélectriques
descéra-miques au titanate de baryum » en indiquant les éléments essentiels d’un calcul
théorique
plusrigoureux de la polarisation spontanée obtenue pour les diverses structures à partir des cycles d’hystérésis.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM SUPPLÉMENT AU No 6
PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME 17, JUIN 1956, PAGE
Nous avons, dans une
publication
récente[1],
étudié lescycles
d’hystérésis
descéramiques
ferro-électriques
au titanate debaryum
en fonction de latempérature
etenvisagé
notamment les varia-tions de lapolarisation
spontanée
Ps que l’onpeut
en déduire. Les calculs
correspondant
à Ps ont été faits en considérant que, pour unchamp électrique
suffisamment
élevé,
la direction p de lapolarisation
spontanée
prise
parchaque
cellule unité était laplus
voisine de celle duchamp,
parmi
les directionsprivilégiées possibles
(qui
sontréparties
statis-tiquement
à travers lacéramique).
On a admisque la direction p faisait avec celle du
champ
unangle
variable 0correspondant
à une distribution au hasard de p autour duchamp
à l’intérieur d’unangle
solide limité par la valeur maximapossible
Om
de 0. Cette
hypothèse simplifiait
les calculs etexpliquait
en gros les résultatsobtenus,
mais ladistribution ainsi
adoptée
pour p n’est passatis-faisante car elle favorise
trop
lesgrandes
valeursde 0 dont la
probabilité
est en faitplus
faible.Nous allons donner ci-dessous les éléments d’un calcul
plus rigoureux
de la valeur moyenne de cos 0.1)
Considérons d’abord le cas où le titanate a lastructure
tétragonale.
Parrapport
aux directionsFIG. 1.
privilégiées (perpendiculaires
entreelles) Ox,
Oy,
Oz,
la direction duchamp
E estrépartie
au hasardpour les diverses cellules unité. Prenons pour Oz la direction p et soit M le
point
où la directionOM,
du
champ
E rencontre lasphère
de rayon unité( fig.
1) ;
M se trouveplacé
au hasard dansl’un des huit
triangles
sphériques
de lasphère
tels que ADGayant
A pour sommet(D,
E et F sontles milieux des arcs de
grands
cerclesAB,
BC et CA de lasphère).
Ilsufht,
pour trouver la valeur moyenne de cos6,
de raisonner sur letriangle
ADG avec M au hasard dans cetriangle.
Soit cpl’angle
desplans
zOx etzOM ;
l’élément d’aire dutriangle
ADG estet l’on a pour moyenne de cos 0 :
Pour
chaque
valeurdes
entre 0 et 7r/4
on doitprendre
6 entre 0 et une valeur60
fonction de cp. On a:On trouve aisément :
L’intégration
conduit finalement à :2)
Pour le titanate à structuretrigonale,
il faut faire intervenir les 4 directionsprivilégiées joignant
le centre 0 de la cellule unité
cubique
aux sommets du cube.Représentons
cecube
enprenant
ladirec-tion p
(OA)
perpendiculaire
à la feuille(fig.
2) ;
A,
B, C, D, E,
Fet à
sont des sommets du cube(AB,
AD et AF sont desarêtes, AC,
AE et AG sontdes
diagonales
de faces ducube).
La direction OM duchamp
passe à l’intérieur dupolygone
79A
B’C’D’E’F’G’ joignant
les milieux deAB, AC, AD,
AE,
AF et AG. Il suffit de raisonner sur letriangle
AB’C’ pour trouver la valeur moyennede cos
0,
en considérantque-la
direction OM estFIG. 2.
répartie
au hasard dansl’angle
solide limité par letriangle
AB’C’. Onenvisage
pour cela sur lasphère
de rayon unité de centre 0 letriangle
sphérique
correspondant ab’c’ ;
soit cpl’angle
desplans
OAC’et
OAM ;
l’équation (1)
esttoujours
valable enl’appliquant
à cetriangle
ab’c’. On voitaisément
que y varie de 0 à -x/3
et on fait encore intervenir unangle 60 ;
les formules concernant lestriangles
sphériques
donnent la relationBV 1
L’intégration conduit
finalement à :3)
Pour le titanate à structureorthorhombique
(6
directionsprivilégiées),
considérons lepolyèdre
obtenu enjoignant
les milieux des arêtes de lacellule unité
cubique :
ilpossède
8 facesqui
sontdes
triangles équilatéraux
et 6 faces carrées( fig. 3).
Fie. 3.
Il
correspond
à ces faces sur lasphère
concentrique
de rayon unité destriangles
et desquadrilatères
sphériques.
On doit raisonner successivement surles
triangles
et lesquadrilatères
et faire intervenir lesprobabilités
pour que la direction duchamp
Edistribuée au hasard par
rapport
aupolyèdre
donneun
point
M situé à l’intérieur d’untriangle
ou d’unquadrilatère ;
la résolution destriangles
et desquadrilatères
sphériques
donnerespectivement
pour ces
probabilités
0,35
et0,65
environ.Pour trouver la moyenne de cos 0 dans le cas où M est à l’intérieur d’un
triangle
de lasphère
on doit subdiviser cetriangle
en 6triangles
comme on a subdivisé en1)
letriangle
sphérique
ABC ;
la formule(1)
estappliquée
à l’un de ces sixtriangles
comme en
1)
et l’on a iciDans le cas où M est à l’intérieur d’un
quadri-latère de la
sphère,
celui-ci est subdivisé en8
triangles
et l’onpeut
appliquer
la formule(1)
àl’un
d’eux,
la relation(5)
étant encore valable. Lesvaleurs moyennes de cos 0 obtenues dans les deux
cas sont
respectivement
Au total on a sensiblement
La
comparaison
des relations(3), (4)
et(6)
montre que Ps est leplus grand
pour la structureorthorhombique
et leplus petit
pour la structuretétragonale,
en accord avecl’expérience.
4)
Les calculs concernant lecycle d’hystérésis
sont
plus
compliqués
avec larépartition, nouvelle
des
polarisations
spontanées
des diverses cellules unité obtenue pour unchamp
électrique
très élevéd’après
cequi précède.
Précisons ce calculunique-ment dans le cas du titanate
tétragonal ;
lesnota-tions sont
les
mêmes que dans notrepublication
antérieure..
Pour une variation dE du
champ
.E(dirigé
en sens inverse duprécédent)
et enposant
la variation de
polarisation
devientavec
Le dénominateur de cette
expression
est la valeur del’intégrale figurant
en dénominateurdans
l’expression (1) ; l’intégration qui figure
ici au numérateur est seulement uneintégration
par80 A
avec ef 0 = 0 tant
que 0 est inférieur ou
égal
à 03C0 /4
et
pour 0 >
7r /4.
Il en résulte que l’on a :
Pour 0
03C0 /4
l’intégration
donneimmédia-tement :
Le
champ
coercitif est atteint pour une valeur de 0 inférieure à 7t/4
et l’on a :d’où
Le
champ
coercitif estplus
faible que dans notrecalcul
simplifié
car iciAPF,
est surtoutgrand
pourles faibles valeurs de 0 et
n’augmente
plus
que trèslentement
lorsqu’on
serapproche
de la valeur0 =
Om
zen
=EoV3)
amenant lasaturation,
cequi
nousrapproche
d’ailleurs descycles
expéri-mentaux.
Manuscrit reçu le 17 octobre 1955.
BIBLIOGRAPHIE
