Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2020-2021 Mathématiques
Devoir sur table n
◦3 du jeudi 8 octobre
Durée : 4 heures
Toute calculatrice interdite
Instructions générales : Les candidats sont priés
• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien trois pages ;
• de traiter les deux problèmesdans l’ordre qui leur convient le mieux, à condition de respecter scrupuleusement la numérotation des problèmes et questions ;
• si possible traiter les problèmes sur des copies différentes.
Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Remarque importante :
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Bon courage !
Problème 1 — un opérateur sur l’espace des applications continues
On désigne par E0 le R-espace vectoriel des applications continues de [a, b] dans R, où a et b sont donnés avec a < b, muni de la norme :
kfk = sup|f| = sup
t∈[a,b]
|f(t)|.
On désigne parE1 le sous-espace deE0des applications de classeC1 sur[a, b].
Pour toutf ∈E0, on désigne parL(f)la primitive de f qui vérifie Z b
a
L(f)(t)dt= 0.
1. Montrer queL est bien défini et déterminer une expression deL(f)pour toutf dansE0. 2. Démontrer queLconstitue un endomorphisme deE0.
3. Déterminer le noyau Ker (L)deL.
4. Démontrer que l’image de Lest incluse dansE1.
La restriction àE1 de cet endomorphismeLdéfinit-elle un automorphisme deE1 (justifier avec précision) ? Considérons désormais un élémentf ∈E0 fixé.
5. Démontrer l’égalité L(f)(t) = 1 b−a
Z b
a
Z t
x
f(u) du
dxpour touttdans[a, b].
6. Démontrer l’existence de deux réels xi etxsdans[a, b] tels que, pour touttdans[a, b]: L(f)(xi) ≤ L(f)(t) ≤ L(f)(xs).
7. Calculer la borne supérieureαde Z b
a
|x−t|dtlorsquexdécrit[a, b].
En déduire que kL(f)k ≤ b−a
2 kfk. L’endomorphismeLest-il continu ? Justifier la réponse.
8. SoitP0= 1(polynôme constant de valeur1).
CalculerL(P0)ainsi que|||L|||= supkL(f)k lorsquef décrit la boule unité fermée deE0 définie par kfk ≤1.
Problème 2 — trois opérateurs sur l’espace des suites périodiques
Ce problème est consacré à l’étude de suites complexes périodiques. Par définition, une suite complexeU = (un)n∈N est périodique si et seulement s’il existe un entier naturelp, différent de0, tel que, pour tout entier natureln, l’égalité
un+p = un
a lieu. L’entierpest appelé une période de la suiteU. SoitP l’ensemble de ces suites.
La première partie définit les applications linéairesL, D, θ et le sous-espace vectorielP0 de l’espace vectorielP.
Cette partie étudie les noyaux et les espaces images de ces applications. La deuxième partie s’intéresse à leur continuité.
Première partie
Désignons parBl’ensemble des suites complexesV = (vn)n∈N bornées. Admettons queB soit un espace vectoriel complexe et que l’application deBdansR,V 7→ kVk∞= sup
n≥0
|vn|, soit une norme.
Première propriétés de l’ensembleP des suites complexes périodiques.
1. Désignons par T(U)l’ensemble des périodes d’une suite complexe périodiqueU. Démontrer l’existence d’une plus petite période p0.
Caractériser l’ensembleT(U).M. Cochet : en clair démontrer queT(U) =p0N∗. 2. Déterminer les ensemblesT(Ω) etT(C)relatifs aux deux suites définies ci-dessous :
Ω = (ωn)n∈N, pour toutn, ωn = 1 ; C = (cn)n∈N, pour toutn, cn = <(in+1).
3. Démontrer que l’ensembleP des suites complexes périodiques est un sous-espace vectoriel de l’espaceB.
4. Cet espace vectorielP est-il de dimension finie ?
Étant donnés une suiteU deP et deux entiers naturelspetn, désignons parA(U, p, n)le nombre complexe défini par la relation :
A(U, p, n) = 1 p
p−1
X
k=0
un+k.
Décomposition de P en somme directe.
5. Démontrer que pour une suite U donnée deP, le nombre complexe A(U, p, n)ne dépend ni de l’entier naturel n, ni de la période pdeU (pappartient àT(U)).
Pour une suiteU donnée deP, soitL(U)la valeur commune de ces nombres complexesA(U, p, n); désignons parLla forme linéaire : U7→L(U).
6. CalculerL(Ω)etL(C); Ωet C sont les suites définies à la question 2.
7. Soit P0 le noyau de la forme linéaire L. Soit P1 le sous-espace vectoriel engendré par la suite Ω définie à la question 2.
Démontrer que l’espace vectoriel P est égal à la somme directe des deux sous-espaces vectoriels P0 et P1 : P =P0⊕ P1.
Étude d’un endomorphisme D0 de P0.
À tout élémentU = (un)n∈N deP, associons la suiteU0= (u0n)n∈N, définie par la relation : pour tout entier natureln, u0n = un+1−un.
8. Démontrer que, pour toutU deP, la suiteU0 appartient àP. SoitDl’application :U 7→U0. Établir queD est un endomorphisme deP.
9. Déterminer les imagesD(Ω)et D(C)des suites définies à la question 2.
2
10. Quel est le noyau de l’endomorphismeD?
11. Démontrer que l’image de l’endomorphismeD estP0.
12. Démontrer que le sous-espace vectorielP0est stable parDet que la restriction deDàP0est un automorphisme, qui est notéD0.
13. Question bonus.
Déterminer toutes les valeurs propres de cet automorphisme D0deP0; préciser des éléments deP0 qui sont des vecteurs propres associés à ces valeurs propres.
Étude d’une application linéaire de P0 dans P.
À tout élémentU = (un)n∈N deP, associons la suiteU∗= (u∗n)n∈N, définie par la relation : pour tout entier natureln, u∗n =
n
X
k=0
uk.
14. Démontrer que l’applicationθ:U 7→U∗est une application linéaire deP0dansP. 15. Déterminer le noyau de cette application linéaireθ.
Démontrer également queIm (θ)est constitué des suitesV ∈ Ptelles que, si p∈ T(V), alorsvp−1= 0.
Deuxième partie
D’après les résultats admis et la question 2, le couple(P,k · k∞) est un espace vectoriel normé. Le sous-espace vectoriel P0 deP est muni de la même norme.
L’objet de cette partie est d’étudier la continuité des applications linéairesL,D etθ.
On admet que siT est une application lipschitzienne d’un espace vectoriel normé(E,k · kE)dans un espace vectoriel normé(F,k · kF), sa norme est définie par la relation :
kTk = sup
x∈E
kT(x)kF kxkE .
16. Démontrer que la forme linéaire L est lipschitzienne. Déterminer sa norme. Le sous-espace vectoriel P0 est-il fermé dans P?
17. Cette application linéaireDdeP dans lui-même est-elle lipschitzienne ? Déterminer éventuellement sa norme.
18. L’application linéaireθ deP0 dansP est-elle lipschitzienne ?
Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2020-2021 Mathématiques
Devoir sur table n
◦3 du jeudi 8 octobre — éléments de correction
Problème 1 — un opérateur sur l’espace des fonctions continues
première partie (sur trois) de ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE 2001
1. L’applicationL(f)est une primitive de la fonction continuef, elle est donc définie et continue sur[a, b](elle est même de classeC1).
De plus, d’après le théorème fondamental du calcul intégral, il existe une constanteCtelle que pour toutt∈[a, b]: L(f)(t) =
Z t
a
f(u) du+C. En d’autres termes L(f)est bien défini etL(f)∈E0 . La relation
Z b
a
L(f)(t)dt= 0permet de déterminerC=− 1 b−a
Z b
a
Z x
a
f(u)du
dx. D’où
L(f)(t) = Z t
a
f(u) du− 1 b−a
Z b
a
Z x
a
f(u) du
dx .
2. • On montre facilement que f 7→
Z t
a
f(u) du− 1 b−a
Z b
a
Z x
a
f(u) du
dxest une application linéaire.
• Dans la question 1, nous avons constaté queLétait à valeurs dansE0. Finalement Lest bien un endomorphisme deE0 .
3. Soitf ∈KerL, alorsL(f) = 0. En dérivant, on obtientf = 0.
Par conséquent KerL={0}.
4. La fonctionf étant continue, sa primitiveL(f)est de classeC1. En d’autres termes Im (L)⊂E1 .
L’endomorphismeL|E1 :E1→E1,f 7→L(f)n’est pas surjectif. En effet une fonctiongdeE1(espace d’arrivée) n’est pas toujours d’intégrale nulle sur [a, b]. Par exemple g = 1 (fonction constante de valeur1) est dans E1 mais il n’existe pas de f dansE1telle queL(f) =g.
Par conséquent la restriction deLà E1n’est pas un automorphisme de E1 . 5. Reprenons la formule trouvée à la question 1 :
L(f)(t) = Z t
a
f(u) du− 1 b−a
Z b
a
Z x
a
f(u) du
dx
= 1
b−a Z b
a
Z t
a
f(u) du
dx− 1 b−a
Z b
a
Z x
a
f(u) du
dx
= 1
b−a Z b
a
Z t
x
f(u) du
dx.
Il s’ensuit que L(f)(t) = 1 b−a
Z b
a
Z t
x
f(u) du
dx.
6. La fonctionL(f)est continue sur le segment[a, b]. Par conséquent elle est bornée et atteint sa borne inférieure en un pointxi∈[a, b]et sa borne supérieure en un pointxs∈[a, b]. Ainsi :
pour toutt∈[a, b], L(f)(xi)≤L(f)(t)≤L(f)(xs).
1
7. Sans détour :
Z b
a
|x−t|dt = Z x
a
(x−t)dt+ Z b
x
(t−x)dt = x2−(a+b)x+a2+b2 2 . L’étude des variations de la fonctionx7→x2−(a+b)x+a2+b2
2 , laissée à la sagacité du lecteur, permet de montrer que sa borne supérieure est (b−a)2
2 (et qu’elle est atteinte ena+b
2 ). Finalement sup
t∈[a,b]
Z b
a
|t−x|dt= (b−a)2
2 .
Encore un calcul :
|L(f)(t)| =
1 b−a
Z b
a
Z t
x
f(u) du
dx
≤ 1
b−a Z b
a
Z t
x
f(u) du
dx (inégalité de la moyenne)
≤ 1
b−a Z b
a
Z t
x
|f(u)|du
dx (inégalité de la moyenne)
≤ 1
b−a Z b
a
Z t
x
kfkdu
dx (croissance de l’intégrale)
≤ kfk b−a
Z b
a
|x−t|dx (c’est une égalité, en fait)
≤ b−a
2 kfk (début de la question).
Donc comme attendu |L(f)(t)| ≤ b−a 2 kfk .
Par caractérisation des applications linéaires continues : Lest continue surE0 . 8. Nous avonsL(P0)(t) =t+C avec
Z b
a
(t+C)dt= 0, doncL(P0)(t) =t−a+b
2 et kL(P0)k= b−a 2 . De la relation kL(f)k ≤ b−a
2 kfk, on déduit|||L||| ≤ b−a 2 . De la relation kL(P0)k= b−a
2 , on déduit|||L||| ≥ b−a 2 . Finalement |||L|||= b−a
2 .
Problème 2 — trois opérateurs sur l’espace des suites périodiques
partie 1 et moitié de partie 3 de Mines 1995 filières M et P’
1. L’ensemble T(U) ={p >0/∀n∈N, up+n =un} est une partie non-vide deN. Elle admet donc un minimum : p0= MinT(U)existe .
Démontrons queT(U) =p0N∗ par double inclusion :
• Soitp∈p0N∗, c’est-à-direp=kp0. Alors pour tout n∈N:
un+p = un+kp0 = un+(k−1)p0+p0 = un+(k−1)p0 = un
par récurrence immédiate. Ainsip∈ T(U).
• Soit p∈ T(U)une période de U. Par division euclidienne de pparp0 il vient p=p0k+ravec 0≤r < p0. Pour tout n, nous avonsun+p =un+p0k+r =un+r ce qui prouve un =un+r. Or r /∈ T(U) puisque r < p0, doncr= 0. Ceci prouve quep=p0k d’oùp∈p0N∗.
Ainsi comme attendu T(U) =p0N∗ .
2. Pour la suite constanteΩde valeur1, il est clair que n’importe quel entier non nul est une période : T(Ω) =N∗ . Soit n∈N, alorsC= (cn)n = <(in+1)
n = (0,−1,0,1,0, . . .). Puisque i4 = 1, on en déduit que 4∈ T(C)et p0|4. Mais c1=−16= 1 =c3doncp06= 2 etp06= 1. Finalement p0= 4 etT(C) = 4N∗ .
3. • Tout d’abord P n’est pas vide, puisqueΩ∈ P.
• Si U = (un)n∈ P alors pour toutn, |un| ≤max{|u0|, . . . ,|up−1|}doncU ∈ B. AinsiP ⊂ B.
• Soit U et V dans P et p, q, des périodes respectives. Soit également λ, µ dans R. En posant r = pq ∈ T(U)∩ T(V)il vientλun+r+µvn+r=λun+µvn doncrest une période pour(λun+µvn)n. AinsiλU+µV est dans P.
Ceci finit d’achever de démontrer que P est un sous-espace vectoriel deB .
4. Pour tout p ∈ P (nombre premier), définissons une suitep-périodiqueEp par : Ep(0) = 1, puis Ep(n) = 0si n∈[[1, p−1]]. Démontrons que la famille(Ep)p∈P est libre.
Supposons que
r
X
k=1
λkEpk= 0(suite nulle) pour des réelsλk et des nombres premierspk. Il vient par définition :
∀n∈N,
r
X
k=1
λkEpk(n) = 0.
En particulier en évaluant en pi (pour uni ∈ [[1, r]]), nous obtenons λi = 0. Ceci prouve que tous les λi sont nuls, et donc que la famille est bien libre.
La famille (Ep)p∈P étant libre et infinie dansP, on en déduit que P est de dimension infinie . 5. • Indépendance par rapport à n.
Effectuons la division euclidienne denparp:n=pq+r avecr∈[[0, p−1]]. Sans détour : A(U, p, n) = 1
p
p−1
X
k=0
upq+r+k = 1 p
p−1
X
k=0
ur+k
= 1 p
p−r−1
X
k=0
ur+k+1 p
p−1
X
k=p−r
ur+k
= 1 p
p−1
X
i=r
ui+1 p
r−1
X
j=0
up+j (i=r+k etj=r+k−p)
= 1 p
p−1
X
i=r
ui+1 p
r−1
X
j=0
uj
= 1 p
p−1
X
i=0
ui = 1 p
p−1
X
i=0
u0+i = A(U, p,0).
3
• Indépendance par rapport à p.
Soit p0 la plus petite période, de sorte que p = p0q. Par conséquent, en groupant notre somme (finie) par paquets de qtermes :
A(U, p, n) = 1 p
p−1
X
k=0
un+p = 1 p
q−1
X
i=0 p0−1
X
r=0
un+ip0+r
= 1
p0q
q−1
X
i=0
p0A(U, p0, n+ip0)
= 1 q
q−1
X
i=0
A(U, p0, n) (indépendance par rapport àn)
= A(U, p0, n).
6. D’une part L(Ω) = 1. D’autre partL(C) = 1
4(c0+c1+c2+c3) = 1
4(0 + (−1) + 0 + 1)d’où L(C) = 0.
7. • Soit U ∈ P0∩ P1. Il existe λ∈ Rtel queU =λΩ. En outre0 =L(U) =L(λΩ) = λL(Ω) =λ, d’oùU = 0.
AinsiP0∩ P1={0}.
• SoitU ∈ P. On pose alors
U = (U−L(U)Ω) +L(U)Ω
avecL(U)Ω∈ P1 et(U−L(U)Ω)∈ P0 puisqueL(U−L(U)Ω) =L(U)−L(U)L(Ω) = 0.
Finalement P =P0⊕ P1 .
8. SoitU ∈ Petpune période deU. Pour toutn, il vientu0n+p=un+p+1−un+p=un+1−un=u0n. Par conséquent U0 est périodique : U0 ∈ P.
Nous venons ainsi de démontrer que l’applicationD:U 7→U0 définie surP est à valeurs dans P. Il nous reste à démontrer qu’elle est linéaire. Soit U etV dansP etλetµdansR. Pour toutn:
D(λU+µV)(n) = (λU+µV)(n+ 1)−(λU+µV)(n) = λ(un+1−un) +µ(vn+1−vn) = λD(U)(n) +µD(V)(n).
Par conséquentD(λU+µV) =λD(U) +µD(V)etD est bien linéaire.
Il s’ensuit que D est un endomorphisme deP .
9. • D’une part on a trivialement D(Ω) = 0 (la suite nulle).
• D’autre part, pourC= (0,−1,0,1,0,−1,0,1, . . .)(période minimal4) nous avons D(C) = (−1,1,1,−1, . . .) (la période divise4, donc est égale à4).
10. Sans détour : D(U) = 0 ⇐⇒ ∀n, un+1 =un. AinsiKer (D)est constitué des suites constantes. En d’autres termes : Ker (D) = Vect(Ω) =P1.
11. • Soit U0 = D(U) un élément de Im (D). Nous avons déjà vu que si p est une période de U alors p est une période deU0. Soit un telp. Par télescopage :
L(U0) = 1 p
p−1
X
k=0
un+1−un = 1
p(up−u0) = 0.
En d’autres termes Im (D)⊂ P0.
• Au brouillon, on obtient en additionnant les égalitésvk =uk+1−ukpourk∈[[0, n−1]]l’égalité
n−1
X
k=0
vk=un−u0: ceci nous guide pour déterminer un antécédent àV parD.
SoitV ∈ P0. Posonsu0= 0etun =
n−1
X
k=0
vkpour toutn≥1. Bien sûr nous avonsvn =un+1−un, ce qui prouve queV =D(U). Il reste à vérifier queU est bien dansP. Soitpune période deV. Déjàup=
p−1
X
k=0
vk =pL(V) = 0.
Ensuite, pour toutn≥1 : un+p =
n+p−1
X
k=0
vk =
n−1
X
k=0
vk+
n+p−1
X
k=n
vk = un+pA(V, n, p) = un,
ce qui permet d’affirmer queU est bien dansP. Nous venons donc de démontrer que P0⊂Im (D).
12. Bien sûr D(P0) ⊂ Im (D). Or d’après la question précédente Im (D) = P0, d’où D(P0)⊂ P0 . En d’autres termes D0=D|P0 est un endomorphisme deP0.
Par ailleursKer (D0) = Ker (D)∩ P0=P1∩ P0 d’après la question 10. En outreP0 etP1 sont supplémentaires d’après la question 7. Par conséquent Ker (D0) ={0} c’est-à-direD0 est injectif.
Pour la surjectivité, c’est une autre paire de manches ! Il faut déterminer un antécédent de V dansP0 (et pas seulement dans P). Moralement, pensons au fait qu’à la question 11 nous avions fixé arbitrairement u0 à 0; en choisissant astucieusement la valeur de u0, on devrait réussir à trouver unU tel queL(U) = 0. Allez, c’est parti ! On a par construction deU :vk =uk+1−uk pour toutk, etu0 libre. En additionnant ces égalités pour k∈[[0, n]], nous obtenons :
∀n∈N, un = u0+
n−1
X
k=0
vk. (1)
(Valable pourn= 0, car une somme sur l’ensemble vide est nulle.) Nous avons vu que sipest une période deV alorspest une période deU. On additionne les égalités (1) pourn∈[[0, p−1]] :
pL(U) =
p−1
X
n=0
un = pu0+
p−1
X
n=0 n−1
X
k=0
vk
= pu0+
p−1
X
k=0 p−1
X
n=k+1
vk (faire un dessin !)
= pu0+
p−1
X
k=0
(p−1−k)vk
= pu0+ (p−1)
p−1
X
k=0
vk−
p−1
X
k=0
kvk
= pu0−
p−1
X
k=0
kvk (carL(V) = 0).
Il faut et suffit de prendre
u0 = 1 p
p−1
X
k=0
kvk ,
et bien sûrun =
n−1
X
k=0
vk pour toutn≥1, pour que l’antécédentU deV soit dansP0. Ceci nous donne l’existence et l’unicité deU dansP0 tel queD(U) =V.
Il s’ensuit que D0=D|P0 :P0→ P0 est un automorphisme .
5
13. FixonsU ∈ P0. Remarquons que :
D(U) =λU ⇐⇒ ∀n, un+1−un =λun
= ∀n, un+1= (1 +λ)un
= ∀n, un = (1 +λ)nu0. Trois cas se présentent :
• Si u0 est nul, alorsun est nul pour tout n: absurde car un vecteur propre n’est jamais nul.
• Si λ=−1 alorsun= 0pour toutn≥1; cette suite n’est périodique que siu0= 0, encore absurde.
• On peut donc oublier ces deux cas pathologiques (u0 = 0 et λ = −1). La condition U ∈ P (périodique) équivaut à :∃p >0,(λ+ 1)p= 1. En d’autres termesλ+ 1est une racinep-ième de l’unité. Dans ce cas on a, pour λ+ 16= 1 :
L(U) = 1 p
p−1
X
k=0
u0(λ+ 1)k = 1
p×1−(λ+ 1)p 1−(λ+ 1) = 0 et la suite est bien dans P0.
Si λ+ 1 = 1 alorsU est constante, donc L(U) = u0, et cette quantité est nulle si et seulement si U = 0 : absurde.
En conclusion :
Sp(D0) = n
−1 +ei2kπp / p∈N∗, k∈[[1, p−1]]o
et Eλ(D0) = Vect
(λ+ 1)n
n
.
14. L’application θ est linéaire , par linéarité de la somme. SoitU ∈ P0 (U périodique etL(U) = 0), prouvons que U∗ est dansP. Fixonsp∈ T(U)une période deU. Pour toutn∈N:
u∗n+p =
n+p
X
k=0
uk =
n
X
k=0
uk+
n+p
X
k=n+1
uk = u∗n+pA(U, p, n+ 1) = u∗n
donc θ(U)∈ P . Ainsiθest bien linéaire deP0dansP.
15. Remarquons que u∗0 =u0 et un = u∗n−u∗n−1 pour tout n≥1. On en déduit que si U∗ = 0alors U = 0. Par conséquent Ker (θ) ={0}.
DéterminonsIm (θ)par double inclusion.
• SoitV =θ(U)∈Im (θ)avecU ∈ P0, etpune période deU. Il vient vp−1 =
p−1
X
k=0
uk = pA(U, p,0) = 0.
• Soit V dans P, de période pet telle quevp−1 = 0. Posons u0=v0 puis, pour tout n≥1 : un =vn−vn−1. Prouvons queθ(U) =V etU ∈ P0.
D’une part, on a par télescopage
n
X
k=0
uk =u0+
n
X
k=1
vk−vk−1=un pour toutn.
D’autre part, pourp∈ T(V):
u0+p = up = vp−vp−1 = vp = v0 = u0,
∀n≥1, un+p = vn+p−vn+p−1 = vn−vn−1 = un. Ceci achève de prouver queU ∈ P etV =θ(U).
On a bien Im (V)est l’ensemble des suites périodiques telles que sip∈ T(V), alorsvp−1= 0 .
16. • SoitU ∈ P etp∈ T(U). Par définition
|L(U)| = 1 p
p−1
X
k=0
un+k
≤ 1 p
p−1
X
k=0
|uk| ≤ 1 p
p−1
X
k=0
kUk∞ = kUk∞.
En d’autres termes |L(U)≤ kUk∞ et L: (P,k · k)→(R,| · |)est1-lipschitzienne .
• Déjà
kLk = sup
U6=0
|L(U)|
kUk∞ ≤ 1 d’après ce qu’on vient de démontrer. Ensuite
|L(Ω)|
kΩk = 1
1 = 1≤sup
U6=0
|L(U)|
kUk∞ et le sup est atteint.
Par conséquent kLk= 1 .
• Remarquons que P0=L−1({0R})est l’image réciproque du fermé{0} par l’application (lipschitzienne donc) continueL. Il s’ensuit que P0 est fermé dansP .
17. SoitU = (un)n ∈ Pet U0 =D(U) = (u0n)n. Il vient :
∀n∈N, |D(U)n| = |un+1−un| ≤ |un+1|+|un| ≤ 2kUk∞. Par conséquentkD(U)k∞≤2kUk∞. Ceci permet d’affirmer que
D: (P,k · k∞)→(P,k · k∞)est2-lipschitzienne . En outrekDk= sup
U6=0
kD(U)k∞ kUk∞ ≤2.
Par ailleurs pourV = (−1)n
n nous avons kVk∞= 1 etD(V) = (−2,2,−2,2, . . .)donckD(V)k∞= 2, ce qui prouve quekDk= sup
U6=0
kD(U)k∞
kUk∞ ≥ kD(V)k∞ kVk∞ = 2.
Par conséquent kDk= 2.
18. Il semble illusoire de trouver une constante K telle que
n
X
k=0
uk
≤ KkUk∞ pour toute U dansP0 et toutn.
Construisons un contre-exemple.
Fixons q∈N∗ et définissonsZq comme étant une suite2q-périodique avec :z0=· · ·=zq−1= +1etzq =· · ·= z2q−1=−1. Nous avonsA(Zq,2q,0) = 1
q(1 +· · ·+ 1−1− · · · −1) = 0doncZq ∈ P0. De pluskZqk∞= 1. Par contre, en notantZq = (zn)n etθ(Zq) = (zn0)n, on azn0 =
n
X
k=0
zndonc en particulierzq0 =q×1 + 1×(−1) =q−1 et ainsi
Zq0
∞≥q−1.
Le quotient Zq0
∞
kZqk∞ est minoré par q−1, donc ne peut pas être majoré par une constante. Il s’ensuit que θn’est pas lipschitzienne .
7
