EFFET DE LONGUEUR SUR L'EVALUATION DE L'AMORTISSEMENT STRUCTURAL POUR UNE POUTRE STRATIFIÉE AMORTIE

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3^ème Conférence Internationale sur

le Soudage, le CND et l’Industrie des Matériaux et Alliages (IC-WNDT-MI’12) Oran du 26 au 28 Novembre 2012, http://www.csc.dz/ic-wndt-mi12/index.php 101

EFFET DE LONGUEUR SUR L'EVALUATION DE L'AMORTISSEMENT STRUCTURAL POUR UNE POUTRE STRATIFIÉE AMORTIE

Djamel Bensahal ¹, Mohamed Nadir Amrane ² et Mounir Kharoubi ³

1: Département de Génie Mécanique, UMKB Biskra, bensahaldjamel@yahoo.fr 2: Département de Génie Mécanique, UMKB Biskra, mnamrane@yahoo.com 3:Département de Génie Mécanique, Université 8 Mai Guelma, mounirkharoubi@yahoo.fr

Résumé :

Cette étude est consacrée à l’analyse modale d une poutre en matériau composite stratifiée. Ce matériau a subit une traction cyclique avec différents taux de chargements (endommagés). Les essais expérimentaux sont effectués en flexion encastrée d’une extrémité et libre de l’autre. L’analyse numérique est effectue par la méthode des éléments finis en utilisant l’élément poutre lors de la modélisation. L’amortissement structural des différentes poutres est évalué à partir des énergies de déformations calculées par la méthode des éléments finis. L’augmentation du niveau de chargement entraîne une augmentation du taux d’endommagement du matériau, diminuant ainsi sa rigidité et donc ses fréquences propres d’où l’importance de l’étude vibratoire linéaire.

Mots clés : vibration linéaire, éléments finis, chargement cyclique, longueur, fréquence propre, amortissement.

1 Introduction

L’étude expérimentale du comportement vibratoire consiste à mesurer les caractéristiques modales d’une structure (fréquences et déformées propres, amortissements modaux) représentatives de son comportement dynamique. Ces mesures renseignent sur l’état réel de la structure et permettent une meilleure maîtrise du problème de contrôle des vibrations. Elles servent à valider les modèles de comportement utilisés pour les calculs de prédiction et pour l’analyse des informations contenues dans ces mesures (techniques de caractérisation, de détection et de suivi de l’évolution des défauts et endommagements). Des travaux concernant l’analyse de l’amortissement des matériaux composites ont été menés par Adams et Bacon [1] sur des composites stratifiés en vibration libre-libre. Ces travaux ont été renforcés par l’analyse de Ni et Adams, d’autres travaux sur des composites à fibre de verre par Berthelot et Sefrani [2] et Berthelot [3] en se basant sur la méthode de Ritz, des travaux expérimentaux sur l’endommagement par J.Degrieck et Wim Van Paepegem [4].

Dans cette étude, nous proposons une analyse des premières fréquences propres pour les différentes longueurs des poutres composites étudiées, ainsi l’évolution de l’amortissement des composites stratifié toute en utilisant la méthode des éléments finis. Le calcul de l’amortissement est basé sur une procédure énergétique permettant d’évaluer la participation de l’énergie dissipée.

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2 Matériau et essais

Ce matériau composite est extracté des travaux expérimentaux réalisés par Kharoubi Mounir [5]. Ces poutres en matériaux composites sont fabriquées par moulage sous vide au laboratoire d’acoustique de l’université de Maine, Le Mans, France. Ils sont formés par un empilement de huit couches, le renfort est un verre unidirectionnel de masse surfacique 300 (g/m2), de résine époxyde SR1500/SD2505.Les différentes couches sont stratifiées et imprégnées à températures ambiantes, placées sous vide à dépression de 30 Kpa pendant huit heurs entre le moule et le contre moule suivi d’une polymérisation de huit heurs à 80°C dans un four électrique. Le type de matériau étudié est donné par le tableau 1.

Tableau 1 – Type de matériau composite étudié.

Désignation du matériau Séquence d'empilement

U [(0)]8

L’étude expérimentale en flexion est menée sur des poutres de largeur b = 20 e-3 m, de longueur L = 0.2 m et d’épaisseur h = 2.3 e-3 m. Le module d’élasticité longitudinal à la rupture pour le matériau étudié est donné par le tableau 2.

Tableau 2 – Module d’élasticité longitudinale et charge maximale a la rupture.

Matériau Module d’elasticité longitudinal (GPa)

Charge maximale à la rupture (kN)

U 21.08 35.165

On fait subir à ce matériau une traction cyclique à différents taux de chargement (50 % et 90 %) de la charge maximale. Ce matériau subit des endommagements qui se manifestent par la perte de rigidité (diminution du module d’élasticité). Cette décroissance de rigidité est tirée des courbes de comportement mécanique du matériau obtenu expérimentalement [5]. L’analyse modale expérimentale des vibrations avec excitation par impact présente l’avantage d’être assez simple à mettre en œuvre.

La figure 1 montre le principe d’essais et le système d’acquisition utilisé pour étudier les vibrations des poutres en configuration encastré d’une extrémité et libre de l’autre.La structure est excitée en un point à l’aide d’un marteau d’impact et la réponse est détectée en un autre point de la structure à l’aide d’un vibromètre laser polytec. Ce vibromètre est constitué d’une tête optique OFV302 R associé à un contrôleur OFV 3000. Les signaux d’excitation de la poutre et du vibromètre laser sont ensuite numérisés et traités par un analyseur dynamique de signaux.

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Figure 1 : Principe d’essais [3].

3 Analyse par éléments finis

Les vibrations en flexion des poutres sont analysées par la méthode des éléments finis, en utilisant la matrice de rigidité et la matrice masse de l’élément poutre [6] à 2 degrés de libertés par nœud (figure 2):

Figure 2 : Elément poutre en flexion à quatre degrés de libertés.

Les matrices de masse et de rigidité globales sont obtenues en utilisant une technique qui s’appelle assemblage par méthode de matrice de passage :

B K B M

B K B K

des T G



 (1)

Où B est la matrice Booléenne, Kdes et Mdes sont des matrices désassemblées, elles contiennent uniquement les matrices de rigidités et de masses élémentaires.

   

^^







 _N

e 1 e

des 0 K

0

K K (2)

(4)

   

^^







 _N

e 1 e

des 0 M

0

M M (3)

4 Résolution du problème aux valeurs propres

Deux cas se présentent: Cas où la structure est non endommagée [KG] et Cas où la structure est endommagée [KG

D].

L’équation du mouvement (oscillations libres non amorties):

0 ) t ( kq ) t ( q

m^^   (4)

Soit l’équation (4) écrite sous forme matricielle :

 

^M ^q ^

  

^K ^q ^⁰







^^

(5)

Avec q : le vecteur des degrés de liberté. La solution générale de l’équation (5) est :

   

q  q0 eⁱ^^t (6) En injectant l’équation (6) dans l’équation (5) :

       

0 2

0 M q

q

K  (7)

Le déterminant de l’équation (7) doit être nul :

   



^K ^M



⁰

det ²  (8)

La plupart des méthodes consistent à écrire la relation (7) sous la forme suivante :

  

^H ^X 

 

^X (9) Où [H] est une matrice symétrique définie positive, il est clair que si on écrit directement l’équation (7) sous la forme :

    

0 2

 

0

1 1 q

q M

K ^

 (10)

Où [K]^-1 est l’inverse de la matrice [K], la propriété de symétrie n’est pas toujours conservée. Par conséquent, il est nécessaire d’écrire la matrice [K] en utilisant la décomposition de Cholesky [7]:

    

^K ^ ^L ^L^T (11) Où l’exposant T désigne la transposée de la matrice [L] qui est une matrice triangulaire inférieure. Grâce à cette décomposition, l’équation (7) s’écrit:

(5)

       

0 2

  

0 T

1 1 L q

q L L M

L ^



 (12)

En posant:

      

^H ^ ^L^¹ ^M ^L^^T (13)

 

X 

  

L q0 (14)

2

1

   (15)

On se ramène à un problème de la forme de l’équation (9), où [H] est symétrique.

5 Résultats

Tableau 3 – Fréquences obtenues analytiquement et par le modèle pour différentes longueurs.

La diminution de fréquence pour les différentes longueurs des quatre poutres étudiées pour différents taux de chargements, montre bien la perte de rigidité [8].

6 Evaluation numérique de l’amortissement

Le calcul des facteurs de perte des énergies modales pour les trois premiers modes propres de vibrations de la structure est accompli par l’évaluation du rapport des énergies des déformations élastiques

Longueur de la poutre

Solution analytique

(Hz)

Fréquences calculées par le modèle en fonction du niveau de

chargement (Hz)

0% 50% 90%

L= 200 mm

21.668 20.671 20.62 20.568

195.02 198.42 197.93 197.43

541.71 525.84 524.52 523.2

L= 180 mm

26.751 25.52 25.456 25.392

240.75 244.56 244.35 243.74

668.58 649.18 647.56 645.93

L= 160 mm 33.857 32.299 32.218 32.137

304.71 310.03 309.26 308.48

846.42 821.62 819.56 817.5

L= 140 mm

44.221 42.187 42.081 41.975

397.99 404.94 403.93 402.91

1105.5 1073.10 1070.50 1067.8

(6)

le Soudage, le CND et l’Industrie des Matériaux et Alliages (IC-WNDT-MI’12) Oran du 26 au 28 Novembre 2012, http://www.csc.dz/ic-wndt-mi12/index.php 106 respectivement endommagées et non endommagées [9]et [10]. L’énergie de déformation modale de la poutre pour le cas non endommagé est donnée par :

    

_n ^T _G _n

n K

2

U 1   (16)

Avec [KG] : matrice de rigidité (cas non endommagé) et [Øn] : Vecteur propre (cas non endommagé).

L’énergie de déformation modale de la poutre à un stade d’endommagement fixe est donnée par :

    ^

nD

^

D

G T nD

nD K

2

U  1   (17)

Avec [KG

D] et [ØnD] : matrice de rigidité et vecteur propre à un stade d’endommagement fixe.

Le coefficient d’amortissement [9] pour différents stades d’endommagement est donnée par :

n nD n n

n

U U U U

U 



 

 (18)

Où Un et UnD: énergie de déformation modale cas non endommagé et cas endommagé. Dans le cas ou le taux est de 50 % de chargement, La figure 3 montre une légère augmentation de l’amortissement pour les premières fréquences et devient faible pour la longueur L = 140 mm, tandis que pour la deuxième et troisième fréquence, on observe une diminution de l’amortissement lorsque la longueur diminue,

Dans le cas ou le taux est de 90 % de chargement, la figure 4 montre une augmentation de l’amortissement pour la première et la deuxième fréquence lorsque la longueur diminue à l’exception pour L= 140 mm qui connaît une très légère augmentation toute en restant inférieure aux valeurs d’amortissement précédentes et connaît une décroissance légère pour la troisième fréquence pour L=200mm, L=180 mm et L=160 mm.

Figure 3 : Variation de l’amortissement en fonction de la fréquence obtenue pour : (a) 50 % du taux de chargement et 90 % du taux de chargement.

U 50 % de chargement

0,496 0,497 0,498 0,499 0,500 0,501 0,502

0 200 400 600 800 1000

Frequence (Hz) Amortissement Structural (%)

L=200 mm L=180 mm L=160 mm L=140 mm

U 90% de chargement

0,997 0,998 0,999 1 1,001 1,002 1,003 1,004

0 200 400 600 800 1000

Fréquence(Hz) Amortissement Structural (%)

L=200 mm L=180 mm L=160 mm L=140 mm

(a) (b)

(7)

7 Conclusion

L’analyse par éléments finis des poutres stratifiées en flexion a été étudiée dans le cas d’une extrémité encastrée et l’autre libre. Nous observons une bonne approximation entre les fréquences trouvées analytiquement avec celles obtenues par le modèle établit pour 0% de chargement. On remarque une légère augmentation de l’amortissement pour les premières fréquences et devient faible pour la longueur L = 140 mm, tandis que pour la deuxième et troisième fréquence, on observe une diminution de l’amortissement lorsque la longueur diminue pour un taux de 50 % de chargement.

On observe une augmentation de l’amortissement pour le premier et la deuxième fréquence lorsque la longueur diminue à l’exception pour L= 140 mm qui connaît une très légère augmentation toute en restant inférieure aux valeurs d’amortissement précédentes et connaît une décroissance légère pour la troisième fréquence pour L=200mm, L=180 mm et L=160 mm pour un taux de 90 % de chargement. Cette diminution de fréquences, peut être utilisé comme un signe ou outil de contrôle pour l’endommagement des matériaux composites.

Références

[1] Adams RD, Bacon DGC, “Effect of fibre orientation and laminate geometry on the dynamic properties of CFRD”, Journal of Composite Material, vol.7, pp. 402-428, 1973.

[2] Berthelot J.M., Sefrani Y., “Damping analysis of unidirectional glass and Kevlar fibre composites”, Composites Science and technology, 64 pp. 1261-1278, 2004.

[3] Berthelot J.M., “Dynamic of composite materials and structures”, pp.144-180, 2008.

[4] Degrieck J., Wim Van Paepegem, “Fatigue damage modeling of fibre reinforced composite materials: review”, Applied mechanics reviews, 54 (4), pp. 279-300, 2001.

[5] Kharoubi Mounir, “Etude du comportement mécanique de matériaux composites sous chargement cyclique et dynamique”, thèse de doctorat, université 08 mai, Guelma, 2009.

[6] François Frey et Jaroslav Jirousek, “Analyse des structures et milieux continues, méthode des éléments finis 6”, Presses polytechniques et universitaires Romandes, pp. 253-259, 2001.

[7] Patrick Paultre, “Dynamique des structures”, édition Lavoisier, pp. 506-508,2005.

[8] Tamboura S., Sidhom H., Lieurade H.P., “ Matériau composite à fibres de carbone et matrice époxy (T300-5208), étude du mécanisme d’endommagement cyclique ”, Edition SIRPE, pp. 15-20, 1996.

[9] Amrane M.N., Sidoroff F., “Residual modal energy evaluating of fatigue damaged composite structure”, ISSN 1392-1207, MECHANIKA, 17(1), pp. 45-49, 2011.

[10] Belhadef Khemissi, “Prédiction de l’endommagement de fatigue et dynamique des structures endommageables ”, mémoire de magister, université 08 mai, Guelma, 2006.

[11] El Mahi A., Assarar M., Sefrani Y., Berthelot J.M., “Damping analysis of orthotropic materials and laminates”, composites B: Engineering, 39 (7-8), pp. 1069-1076, 2008.