Etude de transfert de chaleur de nanofluide dans une cavité carreé sous champ magnetique

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Akli Mohand Oulhadj (Bouira)

Faculté des Sciences et des Sciences Appliquées Département de Génie Mécanique

PROJET DE FIN D’ETUDES

Présenté pour l’obtention du Diplôme de Master

par

Boutal walid

Et

Addou mohammed

THEME

Spécialité : Mécanique Energétique

Soutenu le /10/2020 devant le jury composé

Université de Bouira Examinatrice Université de Bouira Examinateur Université de Bouira Examinateur Dr. Mahfoud Université de Bouira Promoteur

Etude de transfert de chaleur de nanofluide dans une cavité

carreé sous champ magnetique

Remerciement

En premier lieu on remercie le bon DIEU, pour nous avoir donné la force et la patience pour accomplir ce modeste travail.

On tient à exprimer nos profondes reconnaissances et nos sincères remerciements à notre encadreur Mr. MAHFOUD Brahim de nous avoir fait confiance, pour sa disponibilité et son suivi constant de ce travail.

On tient à remercier Monsieur ………. pour avoir accepté d’évaluer ce travail, et qui nous fait l’honneur d’accepter la présidence du jury.

Nous voulons exprimer nos remerciements aux membres de jury, Monsieur ……….. , MA à l’Université BOUIRA

Monsieur ………... , MA à l’Université BOUIRA.

Nos profonds respects et Nos vifs remerciements les plus distingués à nos enseignants du département de Génie Mécanique de l’Université BOUIRA.

Finalement, nous tenons à remercier chaleureusement tous ceux qui ont contribué de près ou de loin pour accomplir ce travail.

Dédicaces

Nous dédions cet humble et modeste travail avec grand

amour, sincérité et fierté :

A nos chers parents, sources de tendresse, de noblesse et

D’affectation

A nos chers professeurs en témoignage de la fraternité avec,

Nos souhaite de bonheur de santé et de succès.

Et à tous les membres de nos familles surtout ma

grande mére dahnan masouda (souda ali)

A tous nos amis, le staff administratif et pédagogique du

département de Génie mécanique de Bouira.

Et à tout qui compulse ce modeste travail.

صخلم

يف يعيبطلا يرارحلا لمحلا ةاكاحم متي ءاعو نان لئاسب ءولمم عبرم و -عئام ( يساحنلا ءاملا ) لأا لئاسلا يقنلا ءاملا ربتعيو ، يساس عم Pr = 6.2 و (Cu) ةتباث ةرارح ةجرد اهل يولعلا رادجلاو ةيسأرلا ناردجلا .يسيطانغملا لاجملا تحت ةيونانلا تاميسجلا وه لا ردصم دجوي ثيح يلفسلا رادجلا ىلع ةرارح ءاعولل مادختسا متي .ًايرارح لوزعملا ةقيرط جحلا و م ةيهتنملا لاداعملا لحل ت عئاملا ةكرح يف ةمكحتملا ةيمزراوخ مادختساب SIMPLE لثم ةفلتخم تاملعمل ددع Ra يليار , Rayleigh ( 3 01 , 4 01 , 5 01 و 6 01 ،( ةرارحلا ردصم لوطو ) 3 . 1 L ، 1.0 L ا ترهظأ .) نان لئاسب مادختساب ديربتلا ماظن يف اًنسحت جئاتنل و ؤي . رث ىوصقلا ةرارحلا ةجردو ةرارحلا لاقتنا لدعم ىلع ةرارحلا ردصم لوطو يسيطانغملا لاجملا

Résumé

La convection naturelle est simulée dans une cavité carrée rempli de nanofluide Cu-eau, l'eau pure est considérée comme le fluide de base avec Pr = 6,2 et (Cu) est la nanoparticule sous champ magnétique. Les parois verticales et le paroi supérieure ont une température constante où la source de chaleur est située sur la paroi inférieure du cavité qui est isolée thermiquement. Une approche de volumes finis est utilisée pour résoudre les équations gouvernantes à l'aide de l'algorithme SIMPLE pour différents paramètres tels que le nombre de Rayleigh (103_{, 10}4_{, 10}5 _et

106_{), et la longueur de la source de chaleur (0.3 L, 0.7 L ). Les résultats ont montré une}

amélioration du système de refroidissement en utilisant un nanofluide, lorsque le régime de conduction est assisté. Le champ magnétique et la longueur de la source de chaleur affectent le taux de transfert de chaleur et la température maximale

Abstract

Natural convection is simulated in a square cavity filled with Cu-water nanofluid, pure water is considered as the base fluid with Pr = 6.2 and (Cu) is the nanoparticle under magnetic field. The vertical walls and the top wall have a constant temperature where the heat source is located on the bottom wall of the cavity which is thermally insulated. A finite volume approach is used to solve the governing equations using the SIMPLE algorithm for different parameters such as the Rayleigh number (103, 104, 105 and 106), and the length of the heat source (0 , 3 L, 0.7 L). The results showed an enhancement in cooling system by using a nanofluid, when conduction regime is assisted. The magnetic field and the length of the heat source affect the rate of heat transfer and the maximum temperature

Sommaire

Remerciements ………..…… I Dédicace ………...…... II Résumé ………..…. III Abstract ………..……… III Liste des figures ……… VII Liste des tableaux ……….………... VIII Nomenclature ………. IX

Introduction générale ……….………...

01

Chapitre I : Généralité et revue bibliographique

I.1 Généralités ……… 04

I.2 Revue bibliographique ……….……...…………. 04

I.3 Les définitions : convection ……….………. 06

I.3.1.Convection naturelle ………..……. 06

I.3.2. Convection forcée ……….…….. 07

I.4. Les nano-fluides ……….………….……. 07

I.4.1. Préparation de nano-fluide ……….. 08

I.4.2. Types de nanoparticule ……….. 10

I.4.3. Les avantages et les inconvénients du nano-fluide ………. 11

I.4.4. Domaine d’applications des nano-fluides ……… 12

Chapitre II : Géométries-modèles mathématique

II.1 Introduction ………. 15

II.2 Description de la forme géométrique choisie………. 15

II.3 Hypothèses simplificatrices ………. 16

II.4 Equations de transport bidimensionnelles ……… 17 II.5 Les conditions initiales et aux limites ……… 19

II-6. Les propriétés du nano-fluide ………..………… 22

II.6.1 La Masse volumique(ρ) ……… 22

II.6.2 La chaleur spécifique (cp) ……… 22

II.6.3 L’expansion thermique(β) ………..……….. 23

Conclusion……….. 25

Chapitre III : Méthode Numérique

III.1 : Notion générale sur la méthode des volumes finis ……… 27

III.2. Etapes de résolution par la méthode des volumes finis………. 29

III.2.1 Maillage ……….……….. 29

III.2.2.Discrétisation ……….………. 30

III.3. Détails numériques utilises dans ce travail ……… 33

III.3.1.choix de maillage ……… 33

III.3.2. :FLUENT ………...………. 33

III.4. Conclusion ………. 35

Chapitre IV : Résultats et discussion ……….……….………….

IV. 1 Choix du maillage ………. 37

IV.2.Validation du code………. 38

IV.3 Résultats ………. 41

IV.3.1.L’écoulement sans champ magnétique ……… 41

IV.3.2 Effet d’augmentation la langueur de la source chaude ……….……….. 43

IV.3.3. Effet de champ magnétique ……….…………. 44

Conclusion générale ………..……

53

Bibliographie

Liste des figures

Figure I.1 : Schéma du phénomène de transfert de chaleur par convection naturel et convection

force……… 07

Figure II.1 : Géométrie………. 16 Figure II-2 :Schématisation des conditions aux limites du problème adimensionnel…. 20

Figure III-1 : Schéma du volume de contrôle dans le cas bidimensionnel……..………. 29 Figure III.2 : Organigramme de l'algorithme SIMPLE………. 32 Figure IV-1: Indépendance du maillage pour le Profil de la température, y = 0.5……….. 38

Figure IV.2: Comparaison des isothermes et des contours de la fonction de courant….. 39 Figure IV.3: Lignes de courant et isothermes relatives pour différentes valeurs du nombre de Rayleigh. Pr = 6.2, D= 0.5m et B=0.4m. ( - nf, --- f )………. 42 Figure IV.4: Lignes de courant et isothermes pour différentes valeurs de l’étendue de la source

de chaleur. Ra =106, ∅ = 0, --- f ………. 43 Figure IV.5: Lignes de courant et isothermes pour différentes valeurs nombre de

Hartmann. Ra =104, --- Ha=0……….. 46 Figure IV.7: Lignes de courant et isothermes pour différentes valeurs nombre de

Hartmann Ra =105, - - - Ha=0………. 46 Figure IV.9: Lignes de courant et isothermes pour différentes valeurs nombre de

Hartmann. Ra =106, --- Ha=0……… 48 Figure IV.10: Profil du nombre de Nusselt local le long des parois supérieures pour différentes nombre de Hartmann (Cu – Eau, Ra = 106_{, D = 0,4 et ∅ = 0,1)……….. 50}

Figure IV.11: Variation de Nusselt moyen versus Ha à divers nombres de Rayleigh (B

Liste des tableaux

Tableau I.1 : Conductivité thermique de divers fluides de base et matériaux à 20°C …. 08 Tableau II.1 : Propriétés thermo physiques de l’eau et des nano-fluides ……… 15 Tableau III.1 : schéma de discrétisions………...… 34 Tableau III.2 : les valeurs de sous relaxation………...… 34 Tableau IV.1 : Les propriétés de l’eau et le nano-fluide (Cu-eau) pour ∅=0.1………..… 40 Tableau IV.2 : Les propriétés de nano-fluide (Cu-eau) pour ∅=0.05………...… 40 Tableau IV.3 : Les propriétés de nano-fluide (Cu-eau) pour ∅=0.2……….… 40 Tableau (IV.1): Nusselt moyen versus Ha à divers nombres de Rayleigh……….. 51

b : longueur de la source de chaleur [m].

B : longueur adimensionnelle de la source de chaleur (b/L). d : la distance entre la source de chaleur et la parois gauche [m].

D : la distance adimensionnelle entre la source de chaleur et ma paroi gauche (d/L). Tc : Température [K]. Ts : température de la source [K]. T ͚ : Température de l’entourage [K]. L : longueur de la cavité [m]. Pr : Nombre de Prandlt. pr = 𝜐 α . Nu : nombre de Nusselt. Nu = h L_k f . Ra : Nombre de Rayleigh. Ra = g βL3(Th−Tc) να .

B : longueur de la source de chaleur [m]. g: Accélération de pesanteur [m. s-2].

h : coefficient d’échange convectif [W/m2.K]. p : pression [Nm-2].

𝑝 : pression modifiée [Nm-2_].

t: Temps [s].

P

C : Chaleur spécifique à pression constante [J.kg-1.K-1]. V : volume [m3].

m: la masse [kg].

q״ : la quantité de chaleur de la source par unité de surface [W/m²]. SФ : Terme source.

U, V : les composants adimensionnelle de vitesse (uL/αf , vL/αf ).

x, y : Coordonné cartésienne [m].

X, Y : coordonnées adimensionnelle (x/L ; y/L). ∆x : variation de x. [m].

∆y : variation de y [m].

Symboles grecs :

α : Diffusivité thermique [m2_.s-1_].

β: Coefficient d’expansion thermique à pression constante [K-1_].

μ : Viscosité dynamique [kg. m-1_.s-1_].

ν : Viscosité cinématique [m2_.s-1_].

ρ : Masse volumique [kg. m-3_]

ψ: Fonction de courant adimensionnelle. ∆T : la différance de température. θ : Température adimensionnelle. Ω : verticité adimensionnelle. ∅ : fraction volumique. Φ : variable dépendante.

Les indices :

nf :nano-fluide. p : particule. f : fluide de base. c : chaude. max: maximale. Rouge : nano-fluide.

Orange : chaude. Bleu : Froid. i : suivant la direction x. j : suivant la direction y. n : indice d’itérations. * : valeur estimée.

Introduction

générale

Un transfert thermique est un transfert d'énergie microscopique désordonnée ou le corps le plus chaud cède de l'énergie sous forme de chaleur au corps le plus froid. Bien qu’il se manifeste sous divers formes (rayonnement, conduction et convection). Dans le cas des fluides caloporteurs, un des premiers paramètres à prendre en compte afin d'évaluer le potentiel d'échange de chaleur est la conductivité thermique. Or, les fluides les plus employés tels que l'eau, l'huile ou l'éthylène-glycol (EG) ne disposent que d'une conductivité thermique faible par rapport à celle des solides cristallins. Avec les nanofluides, l'idée est alors d'insérer, au sein du fluide de base, des nanoparticules afin d'augmenter la conductivité thermique effective du mélange. Ce terme nanofluide a été introduit par Choi Nanofluides pour les applications thermiques[1] et reste couramment utilisé pour désigner ce type de suspensions. Leurs propriétés thermiques étonnantes en ont fait l’objet d’intenses investigations durant la dernière. Cette amélioration du transfert de chaleur fait donc des nanofluides une nouvelle technologie prometteuse dans le cadre des transferts thermiques, permettant d’améliorer les performances de divers échangeurs de chaleurs. Il est aussi constaté qu’un champ magnétique vertical fournit l’effet le plus fort de stabilisation.

Dans cette étude, on s’intéressera particulièrement a l’étude de transfert de chaleur dans une enceinte carré rempli de nanofluide chauffe par une source de chaleur qui se trouve en bas et sous l'effet sous champ magnétique vertical.La méthode des volumes finis est utilisées pour la discrétisation et la résolution des équations d’énergies par un logiciel de simulation numérique ANSYS WORKBENCH.

Organisation du mémoire :

Ce mémoire est structuré comme suit :

 Le premier chapitre est consacré à la présentation d’une revue bibliographique ainsi la théorie des principaux travaux publiés dans le domaine de transfert thermique des nano-fluides.

 Apres ce chapitre introductif a la problématique du sujet, les modèles mathématiques de la conductivité thermique, la viscosité dynamique et la chaleur spécifique avec la formulation mathématique du problème et les équations gouvernantes ainsi que les conditions aux limites associées constituent le contenu du deuxième chapitre.

 Le troisième chapitre est consacré à la présentation de la méthode des volumes finis, sa mise en œuvre pour la discrétisation des équations du problème ainsi que le choix du maillage adéquat.

 On rassemble dans le chapitre quatre la validation des resultats ainsi que les principaux résultats numériques de cette étude. Les commentaires, interprétations et analyses des divers résultats de cette étude paramétrique sont également présentés.

 Enfin, une conclusion générale, qui résume les principaux résultats obtenus, est donnée à la fin de ce mémoire.

Chapitre I

Généralétés Et Revue

Bibliographique

Dans ce premier chapitre nous présentons : une généralité et l’historique sur la convection naturelle et aussi sur les nano-fluides en général. A la fin de ce chapitre quelque définitions.

I.1 Généralités

Les nanoparticules, également appelées particules ultrafines (PUF), sont des molécules dont la taille varie entre 1 et 100 nanomètres (1nm=10-9m =0,000000001m).Elles sont donc plus grandes que des atomes et plus petites qu’une cellule.

I.2. Revue bibliographique

Le transfert de chaleur peut jouer un rôle important dans divers processus industriels. L’efficacité de tels processus est souvent limitée par les propriétés thermo-physiques des fluides utilisés. Le transfert de chaleur par convection naturelle est une situation que l’on peut rencontrer dans de nombreuses applications. La climatisation dans les habitats, le séchage de certains produits agro-alimentaires, la technologie solaire et la sûreté des réacteurs nucléaires, le refroidissement de composants électroniques sont quelques exemples[2].

Cheikh et autres [3] a étudié la convection naturelle dans une enceinte carrée passionnée de dessous et s'est refroidi de ci-dessus pour un grand choix d'états de frontière thermiques au-dessus et aux parois latérales. Ils ont effectué leur simulation pour deux longueurs différentes de la source de chaleur et des divers nombres de Rayleigh.

Dans ce cas la température maximale de la source de chaleur n’a pas changé de manière importante il diminue rapidement avec le nombre de Rayleigh pour un régime dominé par convection. Les augmentations de la conduction thermique efficace sont importantes en améliorant le transfert de chaleur.

Plusieurs recherches en matière de transfert de chaleur ont été menées au cours des précédentes décennies au développement des nouvelles techniques d’améliorations des performances de transfert par l’utilisation des additifs métalliques ou non métalliques aux fluides de base pour augmenter leur conductivité thermique[4].

Afin de prédire la conductivité thermique de nano-fluides, de nombreux modèles théoriques ont été développés récemment. Cependant, il existe toujours une controverse sur l’interprétation de l’amélioration de la conductivité thermique des nano-fluides. Ainsi, aucun des modèles théoriques développé ne peut complètement expliquer l’amélioration de conductivité thermique dans les nano-fluides. D’autre part, certains chercheurs ont rapporté des données expérimentales de la conductivité thermique qui est compatible avec les prédictions des modèles classiques (comme le modèle de Hamilton et Crosser [5]). Pour les travaux de recherche portant

sur le transfert de chaleur et les propriétés des nanofluides, il faut se référer aux études d’Eastman et al. [6], Maïga et al. [7] et Wang et Mujumdar [8].

C’est en 1959 que le prix Nobel de physique Robert Feynmann a exposé pour la première fois la démarche des nanosciences. Il proposait de construire des machines de taille réduite capables, à leur tour, de fabriquer d’autres machines encore plus petites, ceci jusqu’à obtenir des outils capables de manipuler individuellement atomes et molécules. Nanosciences et nanotechnologie permettent de concrétiser cette vision, dans un environnement où les lois physiques ne sont plus les mêmes qu’à notre échelle. Dès la fin des années 90 des progrès importants en chimie, Choi et ses collèges furent les premiers à introduire le concept de nano-fluide au laboratoire national d’Argonne de l’université de Chicago [9]. Ont permis de synthétiser des particules de taille nanométrique, qui, dispersées dans un liquide porteur, constituent des nano-fluides. Leur synthèse répond au besoin d’améliorer les propriétés thermiques en y insérant une phase solide de conductivité thermique très élevée.

C’est au niveau nanométrique de la matière du milieu convectif que les récents travaux ont été concentrés.

Les nano-fluides sont alors l’un des fruits d’une telle richesse. Dotés de propriétés physico-chimiques particulières et intéressantes, telles que leur importante conductivité thermique, les nano-fluides offrent un coefficient de transfert thermique imbattable par les autres caloporteurs. Les études menées dans cette nouvelle direction ont fourni une riche bibliographie, mais très variée : bien qu’en majorité ils sont assez positifs.

Khanafer et al. [10] ont étudié numériquement la convection naturelle d’un nano-fluide confiné dans une enceinte différentiellement chauffée. Les résultats ont montré que le transfert de chaleur augmente avec l’augmentation de la fraction volumique des nanoparticules.

Jou et Tzeng [11] ont adopté le modèle de Khanafer pour mener une étude numérique de la convection naturelle des nano-fluides dans une enceinte rectangulaire. Ils ont démontré que l’augmentation de la fraction volumique améliore le transfert thermique.

Une étude numérique de la convection naturelle dans les enceintes rectangulaires partiellement chauffées a été effectuée par Oztop et Abu- Nada [12].

Différent types de nanoparticules ont été testés. Il a été constaté que la position de la source de chaleur affecte les champs thermiques et dynamiques et l’amélioration du transfert de chaleur est très importante lorsque l’enceinte présente un faible rapport de forme. Malgré l’abondance des travaux dans le domaine de la convection naturelle des nano-fluides, la plupart de ces travaux se sont limités aux cas de cavités sans partition et très peu de recherches ont été faites en utilisant les nano-fluides dans des cavités partitionnées. Parmi

Wen et al. [15] ont adopté une procédure expérimentale similaire dans un tube circulaire chauffé uniformément, mais avec des nanoparticules de trioxyde d’aluminium (Al2 O3) de 27-56 nm de diamètre. L’utilisation du nano-fluide a augmenté significativement le coefficient de transfert de chaleur en régime laminaire.

Heris et al. [16] ont examiné des nanoparticules d’oxyde de cuivre (Cu) et de trioxyde d’aluminium (Al2O3), dispersés à différentes concentrations dans l’eau .L’ensemble constituant un nano-fluide est testé en écoulement convectif laminaire dans un tube circulaire horizontal maintenu à température constante, Les résultats expérimentaux ont montré que l’augmentation du coefficient de transfert convectif est plus important pour le mélange (eau/Al2O3) que celui du mélange (eau/Cu) et ceci est plus significatif pour les grandes concentrations volumiques en nanoparticules, et pour un optimum compris entre 2.5 et 3 %

Behzadmehr et al [17] ont étudié la convection forcée turbulente dans un tube circulaire, utilisant de l’eau à 1% de nanoparticules cuivre (Cu) Ils ont démontré que l’augmentation du nombre de Reynolds engendré la croissance de la valeur du nombre de Nusselt.

Apurba et al. [18] ont étudié l’effet du nano-fluide sur un écoulement en régime laminaire dans une conduite rectangulaire horizontale bidimensionnelle chauffé à deux extrémités haut et bas, Ils ont démontré que l’augmentation du nombre de Reynolds et de la fraction volumique améliore le transfert thermique.

Oztop et al. [19] ont étudié l’effet d’employer différents nano-fluides sur la distribution du champ des températures dans une enceinte remplie d’un mélange d’eau et de nano-fluide. Ils 0ont démontré que l’augmentation de la valeur du nombre de Rayleigh, la taille de réchauffeur et la fraction volumique des nano-fluides améliorent le transfert thermique.

I.3 Les définitions : convection

I.3.1. Convection naturelle

La convection naturelle est un phénomène de la mécanique des fluides, qui se produit lorsqu'une zone change de température et qu'elle se déplace alors verticalement sous l'effet de la poussée d'Archimède. Le changement de température d'un fluide influe en effet sur sa masse volumique, qui se trouve modifiée par rapport à la masse volumique du fluide environnant. De tels déplacement s'appellent des mouvements de convection. Ils sont à l'origine de certains phénomènes océanographiques (courants marins), météorologiques (orages), géologiques (remontées de magma) par exemple.

I.3.2. Convection forcée

La convection forcée est provoquée par une circulation artificielle (pompe, turbine) d'un fluide. Le transfert est plus rapide que dans le cas de convection naturelle. Voici quelques exemples de convection forcée dans des appareillages : chauffage central avec accélérateur, chauffages électriques avec soufflerie, chauffe-eau solaire et four à convection de cuisinière. Le corps humain a son propre système de convection forcée, la circulation sanguine.

Dans un environnement à microgravité comme dans l'espace, la convection naturelle n'est pas possible puisque la poussée d'Archimède s'exerce par la différence de force gravitationnelle sur des volumes de densités différentes. Ainsi la circulation de la chaleur doit être forcée dans une capsule spatiale. Une flamme aurait également de la difficulté à exister car les gaz de combustion resteraient près de la flamme, la coupant de l'apport d'oxygène. Il faut pour l'entretenir une circulation forcée pour éloigner ces gaz et amener l'oxygène

Figure I.1 : Schéma du phénomène de transfert de chaleur par convection naturel et convection forcé

I.4. Les nano-fluides

L'utilisation de nano fluide en tant que fluide caloporteur est un nouveau domaine qui est encore en phase de recherche. Nous avons présenté dans ce chapitre introductif les différents nano fluide utilisés au cours de cette décennie, leur propriété physiques et leur application dans de nombreux problème En effet, les fluides de base souvent utilisés dans les applications de refroidissement ou de chauffage ont des conductivités thermiques très faibles (Tableau I.1) qui limitent leur capacité de transfert de chaleur. L’idée est alors d’insérer au sein des liquides de base des nanoparticules de conductivité très élevée, afin d’augmenter la conductivité thermique effective du mélange et ainsi améliorer ces performances thermiques. Les liquides de base généralement utilisés dans la préparation des nano-fluides sont ceux d'usage commun dans les applications de transfert de chaleur tels que l’eau, l’éthylène glycol, l’huile de moteur etc… ; Les

nanoparticules peuvent être à base de métaux, d’oxydes, de carbures, de nitrures ou de carbone. [20]

Élément Conductivité thermique k(W/m.k)

Eau 0.599

Eau 50% eau + 50% éthylène glycol 0.41 Ethylène glycol 0.25 huile de moteur 0.14 Nanotube de carbone 3000-6000 Diamant 1000-2600

Cuivre (métal pur) 401

Nickel (métal pur) 237

Silicone (non métallique) 148

Alumine (Al2O3) 40

Tableau I.1 : Conductivité thermique de divers fluides de base et matériaux à 20°C [20]. I.4.1. Préparation de nano-fluide :

Il y a deux méthodes principales pour obtenir un nano fluides

 En une étape : vaporisation d’un matériau solide sous vide, puis condensation directe de sa vapeur dans le liquide.

En deux étapes : d’abord la fabrication d’une nano poudre sèche, puis mélange et dispersion de celle-ci dans le liquide.

Les procédés de fabrication sont de nature physique ou chimique. Ils font l’objet de beaucoup de recherche pour améliorer le cout de production qui reste parfois élevé vu les difficultés de mise en œuvre et pour obtenir des particules de taille voulue .Chaque méthode a ses inconvénients et certaines ne sont pas aptes à produire de grandes quantités de nanoparticules pour une production de masse vu les contraintes inhérentes au procédés, notamment les méthodes en une étape.

a.Méthode physique

La méthode la plus simple consiste à subdiviser un matériau jusqu'à l’échelle nanométrique. Toutefois, cette méthode présente d’importances limitations car elle ne permet pas un contrôle précis des distributions de taille. Afin d’obtenir un meilleur contrôle de la taille et de la morphologie, on peut utiliser d’autre méthodes physiques plus sophistiquées comme :

 La pulvérisation d’un matériau cible, par exemple à l’aide d’un plasma (pulvérisation cathodique), ou d’un faisceau laser intense (ablation laser).Sakuma and Ishii [21]

 Le chauffage à très haute températures (évaporation thermique) d’un matériau de manière à ce que les atomes qui le constituent évaporent. Ensuite un refroidissement adéquat de ces vapeurs permet une agglomération en nanoparticules, Singh et Al [22].

En général, les méthodes physiques nécessitent un matériel couteux pour un rendement en nanoparticules souvent très limité. Les nanoparticules ainsi synthétisées sont la plupart du temps déposées ou liées à un substrat.

b. Méthode chimique

 Aujourd’hui un grand nombre de méthodes de synthèse par voie chimique sont disponible et présente l’avantage d’être en général simple à mettre en œuvre et d’être souvent quantitatives et peu couteuses. Ces méthodes permettent d’obtenir des particules avec une distribution de tailles relative étroite et de morphologies variées. Comme dans le cas de la voie physique, les nanoparticules peuvent être synthétisées sous deux formes : libres à l’état de poudre relativement facile à disperser dans un liquide ou un gel hôte, ou enrobées dans une matrice solide ou polymère.

 Nous citons ici les méthodes chimiques les plus couramment utilisées :

 Décomposition des précurseurs organométalliques

 L’utilisation des précurseurs organométalliques permet d’élaborer différents systèmes de nanoparticules. Le procédé repose sur la décomposition, dans un solvant organique judicieusement choisi, d’un composé organométallique dans lequel le métal est généralement à bas degré d’oxydation. Ceci permet d’éviter l’emploie de réducteurs chimiques puissant qui engendrent souvent des impuretés qui s’absorbent à la surfaces des particules et sont difficiles à éliminer. La décomposition est réalisée par élimination des ligands de coordination. Cette élimination se fait en général par chauffage D.K.Lee et Al [23].

 Voie radio lytique

 Le principe de la synthèse radio lytique des nanoparticules consiste à réduire des ions métalliques en solution au moyen d’espèces produites (en général des électrons) par radiolyse. Dans de telles solutions, les ions métalliques en solutions sont en concentration suffisamment faible pour qu’il n’y ait pas d’effet direct des rayonnements sur ces ions. La synthèse peut donc se décrire en deux parties (la radiolyse du solvant, et ces réactions et réductions des ions métalliques par les espèces produites par radiolyse suivies par la coalescence des atomes produits).R.Benoit et Al [24].

 Les méthodes chimiques ont souvent un rendement bien supérieur à celui des méthodes physiques.

 Donc les principaux moyens des deux méthodes peuvent être :

 Le mécano synthèses (broyage à haute énergie)

 La précipitation chimique (réduction des sels métalliques par exemple)

 Les dépôts chimiques ou physiques en phase vapeur (CVD ou PVD)

 Les dépôts chimiques en phase vapeur assistés par plasma (PECVD)

 La condensation de vapeur par détente brutale dans les tuyères supersonique

 La pulvérisation cathodique radiofréquence

 La sublimation par ablation laser (vaporisation d’un échantillon par impulsion laser)

 La pyrolyse laser (interaction entre un faisceau laser continu et un flux de réactifs)

 La désintégration d’électrodes submergées par passage d’étincelles (comme pour un usinage par électroérosion)

 Donc comme conclusion, la fabrication des nanoparticules est une industrie nécessitant une technologie très précise, vu la taille et les différents formes exigées par les expérimentateurs pour avoir plus d’études de cas, et la nécessite de certains traitements chimiques de surface pour les maintenir en suspension.

 La préparation des nano fluides doit tenir compte surtout d’une suspension stable et durable et une agglomération minime des nanoparticules, et doit assurer qu’elles n’entrent pas en échange chimique avec le fluide de base.

I.4.2. Types de nanoparticule

La production de nouveaux nanomatériaux (nanoparticules) constitue un champ de recherche en pleine expansion, aussi seules les nanoparticules les plus couramment utilisées dans les applications liées aux transferts thermiques sont ici brièvement mentionnées.

D’une manière générale, les nanoparticules peuvent être classées selon leur forme en deux grandes catégories :

1. Les nanoparticules sphériques pour lesquelles plusieurs types de matériaux peuvent être utilisés pour leur fabrication. Ces nanoparticules sphériques peuvent ainsi être à base de métaux (cuivre Cu, fer Fe, or Au, argent Ag…) ou d’oxydes de cuivre (oxyde d’aluminium Al2O3, oxyde de cuivre CuO, oxyde de titane TiO2…).

2. Les nanotubes (les nanotubes de carbone NTC, les nanotubes de titane TiO2, Nanotube de silicium…).

I.4.3. Les avantages et les inconvénients du nano-fluide

Les avantages des nano-fluides [23]

 L’avantage de l’emploi des nano fluides en tant que fluides caloporteurs dépend fortement d’un compromis entre l’augmentation de la conductivité thermique (déterminant dans l’intensification des transferts thermique convectifs) et l’augmentation de la viscosité (déterminant dans l’augmentation indésirable de la puissance de pompage). Les futures recherches devront donc être dirigées vers la sélection de matériaux, de forme et de taille de nanoparticules qui augmenteraient la conductivité thermique du mélange avec une augmentation modérée de la viscosité.

 Une grande surface de transfert de chaleur entre les particules et les fluides.

 Particules réduites de colmatage par rapport aux conventionnelles boues, favorisant ainsi la miniaturisation du système.

 Propriétés ajustables, dont la conductivité thermique et la mouillabilité de la surface, en faisant varier les concentrations de [articule en fonction des différentes applications.

Les inconvénients des nano-fluides [23]

 le manque de l’accord des résultats obtenus par différents chercheurs.

 le manque de compréhension théorique des mécanismes responsables de changements des propriétés.

 mauvaise caractérisation des suspensions.

 stabilité des nanoparticules dispersion.

 chute de pression accrue et la puissance de pompage.

 viscosité supérieur, chaleur spécifique Basse.

 Le coût élevé des nano-fluides.

I.4.4. Domaine d’applications des nano-fluides

 Les nano-fluides peuvent être employés pour améliorer le transfert de chaleur et l’efficacité énergétique dans plusieurs systèmes thermiques. Dans cette section, quelques exemples d’applications :

a. Refroidissement des systèmes thermiques

Le mélange d’éthylène-glycol et l’eau, sont utilisés comme liquide de refroidissement dans les moteurs des véhicules .L’addition des nanoparticules dans ces liquides améliore le taux de refroidissement. Ce point est étudié par plusieurs groupes de chercheurs, Tzeng et Col [42] ont dispersé les nanoparticules AL2O3 et CuO dans l’huile de refroidissement de moteur de t

b. Refroidissement des systèmes électroniques

Dans les circuits intègres, les nano-fluides ont été considérés comme fluides de refroidissement pour cela plusieurs études ont été effectuées. Tsai et al [26] ont employé un nano-fluide à base d’eau pour refroidir une unité centrale de traitement dans un ordinateur.

c. Refroidissement des systèmes militaires

Les exemples des applications militaires incluent le refroidissement de l’électronique de puissance et les armes d’énergie dirigée. Ces derniers impliquent des flux thermiques très élevés (q>500 à 1000 W/cm2) où les nano-fluides ont montrés leur efficacité pour refroidir ces systèmes, et aussi les autres systèmes militaires y compris les véhicules militaires, les sous-marins et les diodes lasers a haut puissance.

d. Refroidissement des systèmes spatiaux

Pour les applications dans l’espace. You et al [27] et Vassallo et al [28] ont effectué des étudies pour montrer que la présence des nanoparticules dans le fluide de refroidissement en électronique générale joue un rôle très important dans les applications de l’espace où la densité de puissance est très élevée

e. Refroidissement des systèmes nucléaires

L’institut de technologie de Massachusetts a réservé un centre interdisciplinaire uniquement pour la nouvelle nanotechnologie (nano-fluide) dans l’industrie de l’énergie nucléaire. Actuellement, ils évaluent l’impact potentiel de l’utilisation des nano-fluides sur la sûreté neutronique de la performance économique des systèmes nucléaires.

f. La biomédecine

Les nano-fluides et les nanoparticules ont beaucoup d’applications en biomédicale. Par exemple, pour éviter quelques effets secondaires des méthodes traditionnelles de traitement de

cancer, les nanoparticules à base de fer ont été employées comme transporteur des drogues. Aussi pour une chirurgie plus sûr en produisant le refroidissement efficace autour de la région chirurgicale, Jordan et al [29] .

Chapitre II

Géométries-Modèles

Mathématiques

II.1. Introduction

L’étude d’un phénomène physique passe par la formulation des lois sous forme d’équations mathématiques reliant les différentes variables intervenant dans le déroulement du phénomène. En général, ces équations sont : l’équation de continuité qui traduit le principe de conservation de masse, les équations de Navier-Stokes qui traduisent le principe de conservation de la quantité de mouvement et l’équation de l’énergie qui représente le principe de conservation de l’énergie. La description d’un problème donné passe aussi par la définition d’un certain nombre de conditions aux frontières et si le processus est stationnaire par des conditions initiales.

II.2 Description de la forme géométrique choisie:

On se propose, comme schématisé à travers la figure (II.1), d’étudier le phénomène de convection naturelle induit par une source de chaleur, placée au milieu, à droite et à gauche d’une cavité carrée de la paroi inférieure qui est thermiquement isolée, remplie entièrement de nano-fluide (l’eau+Cu). Les autres murs (top, droite et gauche) sont maintenus à une température locale froide Tc.

Enfin, toutes les propriétés physiques du fluide caloporteur sont supposées pour être newtoniens, à l’exception de la masse volumique dans le terme de poussée, qui suit l’approximation de Boussinesq.

Les propriétés thermo physiques de l’eau et des nanoparticules sont données dans le tableau (II.1). ρ (Kg m-3_{) Cp (J Kg}-1 _K-1_{) K (W m}-1 _K-1_{) β*10}5_(K-1₎ Eau 997.1 4179 0.613 21 Cuivre(Cu) 8933 385 401 1.67 Silver (Ag) 10.500 235 429 1.89 Alumina(Al2O3) 3970 765 40 0.85 Titanium (TiO2) 4250 686.2 8.9538 0.9

L L Tc Tc g f y q’ d x

Figure II.1 :Géometrie II.3 Hypothèses simplificatrices

Pour simplifier la résolution du problème physique, des hypothèses simplificatrices sont introduites au niveau de la modélisation. Nous nous limitons donc aux hypothèses couramment retenues dans les études de la convection naturelle qui est les suivantes:

- Le fluide est newtonien et incompressible.

- Le régime d’écoulement est considéré comme étant laminaire. - le transfert de chaleur par rayonnement est négligeable.

- La dissipation visqueuse et le terme de pression dans l’équation de la chaleur sont négligeables.

- L’approximation de Boussinesq est valide : elle consiste à considérer que les variations de la masse volumique sont négligeables aux niveaux de tous les termes des équations de quantité de mouvement (ρ0 = ρ), sauf au niveau du terme de gravité.

Tc

Nano-fluide

B

La variation der en fonction de la température est donnée comme suit :

ρ= ρ₀[1 − β(T − T₀ )] (II.1) Avec :

T0 température de référence, β est le coefficient d’expansion thermique à pression constante,

ρ0 est la masse volumique du fluide à T0.

II.4 Equations de transport bidimensionnelles

On applique les mêmes hypothèses de simplification que l’état précédente. Les études expérimentales des écoulements sont souvent effectuées sur des modèles et les résultats sont montrés dans une forme sans dimensions, permettant ainsi des mesures échelonnées vers les conditions réelles des écoulements. La même approche peut être aussi entreprise dans des études numériques. Les équations gouvernantes peuvent être transformées à la forme sans dimensions en employant la normalisation appropriée.

Les équations du modèle mathématique sous forme adimensionnelles régissant l’écoulement, s’écrivent comme suit :

 Equation de Continuité

∂u ∂X+

∂v

∂Y = 0 (II.3)

 Equation de quantité de mouvement U𝜕𝑢_𝜕𝑋+ 𝑉∂u_𝜕𝑌= 1 ρ_nf [− 𝜕𝑃 𝜕𝑋+ 𝜇𝑛𝑓 ( 𝜕2𝑢 𝜕𝑋2+ 𝜕2u 𝜕𝑌2)] U𝜕𝑣_𝜕𝑋+ 𝑉∂v_𝜕𝑌= 1 ρ_nf [− 𝜕𝑃 𝜕𝑋+ 𝜇𝑛𝑓 ( 𝜕2_𝑣 𝜕𝑋2+ 𝜕2_v 𝜕𝑌2) + (ρβ)nfg(T − Tc)] + σ ρnf𝐁 𝟐_{(−u) (II.4)}  Equation de l’énergie u𝜕𝑇_𝜕𝑋+ 𝑣∂T_𝜕𝑌= αnf[𝜕 2_𝑇 𝜕𝑋2+ 𝜕2_T 𝜕𝑌2] (II.5)

 Equation du potentiel électrique

Cette équation est introduite au système d’équations gouvernant, lors de la présence du champ magnétique axial pour compléter ce système vis-à-vis l’apparition d’une nouvelle force de volume (Force de Lorentz), dont les composantes sont les termes fLr , fLz , fL ajoutés aux équations de

En supposant que la conductivité électrique  du fluide est isotrope, la loi d'Ohm sera: E j     (II.6)

Où j est la densité volumique de courant et E le champ électrique local. Suivons dans son mouvement un élément fluide; dans un repère absolu, la dernière équation s’écrit :

) (E V B j        (II.7)

Où V=uex+vey désigne le vecteur vitesse dans le plan méridien et B=Bey (axial): le vecteur du

champ magnétique, tandis que ex , ey sont les vecteurs unitaires respectivement des directions

horizontal et axiale dans le repère absolu.

Aussi puisque, le courant électrique est conservé :



        E E Rot 0 (II.8) Et divj 0 (II.9)

C.-à-d.: le courant électrique dérive d’un potentiel électrique.

En substituant les équations (II.8) et (II.9) dans l’équation (II.7), on obtient :

0 ) (   



  V B div(VB) (II.10)

Et explicitement en coordonnées cylindriques, l’équation du potentiel électrique  s’écrit :

 Champ magnétique axial

 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟(𝑟 𝜕Φ 𝜕𝑟) + 𝜕2Φ 𝜕𝑧2 = 0 (II.11)

Les composantes de la force EM fLr , fLz , fL

𝑓′_𝐿𝑥 = −𝜎𝑢𝐵2 _(II.12a)

𝑓′𝐿𝑦 = 0 (II.12b)

Ces formules sont exprimées en termes de quantités dimensionnelles.

 Equation de ligne de courant

En introduisant les variables adimensionnelles suivantes X =x_𝐿 , 𝑌 =y_𝐿 , U =uL αf, V = vL αf , P = 𝑝L2 ρ_nfαf2 (II.14) Pr= υf αf , Ra = g βL3∆T αfυf , θ= T−Tc ∆T , ∆T = qʺL 𝑘𝑓 0       Y V X U _(II.15)                        2 2 2 2 Y U X U X P Y U V X U U f nf nf    +_𝑅𝑎𝑃𝑟𝐻𝑎2(𝑭𝑳𝒙) (II.16)                            Pr 2 2 2 2 Ra Y V X V Y P Y V V X V U f nf nf f nf nf       _(II.17)                        2 2 2 2 Y X Y V X U f nf   _(II.18) 𝐅_𝐋𝐱= −𝐔

II.5 Les conditions initiales et aux limites

La résolution du système d’équations obtenu précédemment nécessite l’incorporation des conditions initiales et aux limites pour chaque variable dépendante le fluide est au repos et sa température adimensionnelle est nulle dans toute la cavité.

Les conditions de température sont connues sur les parois.

La température adimensionnelle de la paroi gauche, droite et top est constante.

La partie chaude au milieu de la paroi inférieure soumise à une température adimensionnelle. La condition d’adiabatique est adoptée pour la paroi inférieure.

Tous les parois sont isolé électriquement. U = V = 0 et θ = 0 ,𝜕Φ 𝜕𝑥 = 0 pour X = 0 et 0 ≤ Y ≤ 1 (II.a) U = V = 0 et θ = 0, ,𝜕Φ 𝜕𝑥 = 0pour X = 1 et 0 ≤ Y ≤ 1 (II.b) U = V = 0 et _∂Y∂θ = 0, ,𝜕Φ 𝜕𝑦 = pour Y = 0 et 0 ≤ X ≤ (D − 0.5B) (II.c) U = V = 0 et _∂y∂θ= − kf knf , , 𝜕Φ 𝜕𝑦 = 0 pour Y = 0 et (D − 0.5B) ≤ X ≤ (D + 0.5B) (II.e) U = V = 0 et ∂θ ∂Y= 0, , 𝜕Φ 𝜕𝑦 = 0 pour Y = 0 et (D + 0.5B) ≤ X ≤ 1 (II.f) U = V = 0 et θ = 0,𝜕Φ 𝜕𝑦 = 0 pour Y = 1 et 0 ≤ X ≤ 1 (II.g)

Figure II-2 :Schématisation des conditions aux limites du problème adimensionnel

- La viscosité cinématique : peut être calculée a partir : υ=𝜇

𝜌 (II.14)

Avec 𝝁 : la viscosité dynamique 𝝆: La masse volumique

- La diffusivité thermique :du nanofluide est : α_nf =_(ρ𝐶𝑘𝑛𝑓

𝑝 )𝑛𝑓 (II.15)

- Le Nombre de Prandlt

Qui est le rapport de la viscosité cinématique 𝛖_𝐧𝐟 et la diffusivité thermique 𝛂_𝐧𝐟, il

caractérise l’importance relative des effets thermiques et visqueux, Ce nombre porte le nom de Ludwig Prandtl, physicien allemand, Le nombre de Prandtl est donc le rapport de deux grandeurs ayant les mêmes dimensions, soient m2_/s

U=0 V=0 θ=0 𝜕Φ 𝜕𝑥 = 0 U=0 V=0 θ=0 𝜕Φ 𝜕𝑥 = 0 U=V= θ = 0, ,𝜕Φ 𝜕𝑦 = 0 U = V = 0,∂θ ∂y= 0 𝜕Φ 𝜕𝑦 𝑞′ ₌ ∂θ ∂y= − k_f k_nf U = V = 0, ∂θ ∂y= 0 𝜕Φ 𝜕𝑦

Le nombre de Prandtl compare la rapidité des phénomènes thermiques et des phénomènes hydrodynamiques dans un fluide. Un nombre de Prandtl élevé indique que le profil de température dans le fluide sera fortement influencé par le profil de vitesse. Un nombre de Prandtl faible indique que la conduction thermique est tellement rapide que le profil de vitesse a peu d'effet sur le profil de température. Est donnée d’après par l’expression :

Pr =

υnf

αnf

(II.16)

- Nombre de Rayleigh Ra = g βL3(Th−Tc)

να = Gr ∗ Pr (II.17)

- Gradient de température dans le champ de gravite (direction y)

Le nombre de Rayleigh est directement lié à la convection. La convection a lieu lorsque la poussée d’Archimède (due à la hausse de température) crée le mouvement du fluide. Cependant, il faut que cette force d’Archimède soit assez grande pour contrer les forces visqueuses qui s’opposent au mouvement de la particule. De plus, si l’équilibre thermique est atteint, il n’y a plus de force d’Archimède. La capacité d’une particule d’entrer en équilibre avec son environnement plus ou moins rapidement dépend de sa diffusivité thermique (α) Ra nous donne le rapport entre le temps pour que la chaleur diffuse et celui pour que la particule entre en mouvement.

- Gradient de température dans une direction différente de la gravite

Dans ce cas, il y a convection naturelle quelque soit la valeur de Ra parce que les particules de fluide n’ont pas à lutter contre la force de gravité pour se déplacer.

- Le nombre de Nusselt

Est un nombre adimensionnel utilisé dans les opérations de transfert thermique. Il représente le rapport entre le transfert thermique convectif et le transfert thermique conductif à travers une interface (souvent fluide/solide). Si la conduction est le principal mode de transfert, alors le nombre de Nusselt sera de l'ordre de l'unité. le transfert thermique s'effectuera principalement par déplacement du fluide et aura pour conséquence de faire tendre le nombre de Nusselt vers l’ifini.

On le définit de la manière suivante : Nu = h L_k

Ou L est la hauteur de la cavité et k est la conductivité thermique du fluide. h est le coefficient d’échange convectif, tel que h :

h =_T q״

S−TC (II.19)

II-6. Les propriétés du nano-fluide

Les propriétés thermophysiques des fluides de base sont profondément modifiées par l’ajout des nanoparticules. Sont calculées par les formules suivantes [31]:

La fraction volumique

La fraction volumique est la propriété la plus important pour le nano-fluide, puisque les calcules des touts les autres propriétés se basés sur la fraction volumique du nano-fluide. Et on peut défini la fraction volumique comme le volume de solide ou particule (nanoparticules) sur le volume total (nanoparticules+fluide de base). La valeur de la fraction volumique est varie entre 0 (fluide de base pure) et 1. La fraction volumique est donnée par la relation suivante et notée ∅. ∅ =_{volume totale du nanofluide}volume particule = _Vp+VfVp (II.20) VP : volume de solide (nanoparticule).

Vf : volume de fluide de base pure.

II.6.1 La Masse volumique(ρ)

Pour calculer la masse volumique d’un nano-fluide que nous supposerons parfaitement homogène (bonne dispersion des nanoparticules dans le fluide) en fonction de la fraction volumique ∅ à une température T donnée, nous revenons à la définition de la masse volumique de ce mélange.

ρ_nf = (m_V) nf =mf+mp

Vf+Vp =

ρ_f Vf+ ρp Vp

Vf+Vp (II.21)

La masse volumique d’un nano-fluide pour une température de référence donnée est calculé par :

ρ_nf = (1 − ∅ )𝜌_𝑓+ ∅ 𝜌_𝑝 (II.22) II.6.2 La chaleur spécifique (cp)

La capacité calorifique du nano-fluide est donnée d’après (Abu-Nadu [32], Khanafer et al. [33]) par l’expression:

(ρCp)_nf = (1 − ∅ )(𝜌𝐶𝑝)_𝑓+ ∅(𝜌𝐶𝑝)_𝑝 (II.23) (Cp)nf : la chaleur spécifique du nanofluide.

(Cp)f : la chaleur spécifique du fluide de base.

(Cp)p : la chaleur spécifique de la particule.

II.6.3 L’expansion thermique(β)

Pour l’expansion thermique du nano-fluide sont modélisée par :

(ρβ)_nf = (1 − ∅ )(ρβ)_f+ ∅(ρβ)_p (II.24) Il existe plusieurs modèles proposés dans la littérature pour la modélisation de la viscosité dynamique et de la conductivité thermique des nano-fluides. Dans ce qui suit, nous allons présenter quelques modèles parmi les plus utilisés.

II.6.4 La viscosité dynamique(μ)

La viscosité peut être définie comme étant une propriété d’un fluide pour qu’il résiste aux déformations lorsqu’il est mis en mouvement .On peut donc parler de la viscosité comme étant une mesure du frottement interne d’un fluide. Un liquide très visqueux est un liquide qui présente un frottement interne élevé.

La dispersion des nanoparticules dans un liquide a un effet sur la viscosité dynamique de ce dernier. La viscosité obtenue devient la viscosité dynamique du nano-fluide qui peut être influencé énormément par la qualité de la dispersion de la nanoparticule dans le fluide de base et de la température, cette viscosité dynamique peut être calculée à partir de la viscosité dynamique du fluide de base et la fraction volumique du nano-fluide.

Différentes formules théoriques peuvent être utilisées pour la détermination de la viscosité dynamique des particules en suspension dans un fluide. Il est important de mentionner que presque toutes les relations existantes sont dérivées du travail fondamental d’Einstein

D’Einstein(1906) [34] qui a déterminé l’énergie dissipée autour d’une seule particule dans

un fluide en associant son énergie avec le travail réalisé pour la faire avancer relativement au fluide. À partir de ce résultat, il a déterminé l’expression qui permet d’obtenir la viscosité d’un fluide comportant des particules en suspension pour ∅<1% :

Pour la viscosité du nano-fluide nous avons repris la relation donnée par Brinkman(1952) [35] qui a proposé une relation similaire à celle d’Einstein mais valable dans une gamme de fraction volumique allant jusqu’à 4%. Son expression est la suivante est :

μ_nf = μf

(1−∅)2.5 (II.26)

Ces relations n’intègrent pas les effets du mouvement Brownien ni ceux de la taille des particules.

En prenant en compte l’effet de l’interaction hydrodynamique entre deux particules sphériques.

Batchelor [36] a montré que la viscosité n’est pas seulement une fonction linéaire de la fraction

volumique des particules, comme l’indique la relation d’Einstein mais une fonction non linéaire de celle-ci avec la présence d’un terme en ∅𝟐 _:

μ_nf = μ_f(1 + 2.5∅ + 6.5∅2+ ⋯ ) (II.27) II.6.5 La conductivité thermique(k)

La conductivité thermique généralement est une propriété importante, principalement dans notre étude parce qu’elle joue un rôle très important dans le phénomène de transfert de chaleur elle peut indiquer clairement l’efficacité du transfert de chaleur du fluide ou du solide, la conductivité dépends de la température.

En plus de sa variation en fonction de la température, la conductivité thermique du nano-fluide varie en fonction de la fraction volumique aussi, la conductivité thermique d’un nano-fluide est calculé selon les modèles suivant :

Maxwell(1873) [30] [37]: a été l’un des premiers à étudier analytiquement la conductivité

thermique de nano-fluide Knf est donnée par l’expression suivante

knf = kf [ (k_(kp +2kf )−2∅(k f−kp )

p +2kf )+∅(k f−kp )] (II.28)

L’effet de la taille et la forme des particules n’a pas été prise en compte dans l’analyse de cette équation.

Et la plupart des auteurs se servent de l'équation de Maxwell pour calculer la conductivité

Hamilton et Crosser(1962) [38] ont proposé une amélioration du modèle de Maxwell afin

de tenir compte des formes des particules. Pour ce faire, ils ont introduit un facteur géométrique appelé sphéricité ∅ faisant référence à la géométrie sphérique pour prendre en compte cette diversité de forme. Ce coefficient∅, est définit comme le rapport de la surface d’une sphère ayant

un volume égal à celui de la particule à la surface de la particule. La relation obtenue est donnée par :

k_nf = k_f [ kp +(n−1)kf −(n−1)∅(k f−kp )

kp +(n−1)kf +∅(k f−kp ) ] (II.29)

Avec : n est un facteur de forme empirique qui est défini comme n =_∅3 n = 3 pour les particules sphériques et n = 6 pour les particules cylindriques. Pour (∅ =1) (particules sphériques).

Le modèle propose par Bruggeman[39] semble mieux approximer certains résultats expérimentaux compare aux autres modèles pour le cas des nanoparticules sphériques avec aucune limitation concernant les concentrations des nanoparticules. k_nf = 1₄[(3∅ − 1)k_p + (2 − 3∅)k_f + kf 4 √∆ (II.30) Avec : ∆= [(3∅ − 1)2₍kp kf ) 2 + (2 − 3∅)2_{+ 2(2 + 9∅ − 9∅}2₎kp kf ]

Une autre expression pour calculer la conductivité thermique a été introduite par Yu et

Choi [40].Ils ont proposé de modéliser les nano-fluides comme un liquide de base et des particules

solides sépares par une couche nanométrique, cette couche agit comme un pont thermique entre le fluide et les nanoparticules. De plus, ils ont suppose que la conductivité thermique de la couche nanométrique soit plus grande que la conductivité thermique de liquide.

knf = kf [ kp +2kf +2(kp −kf )(1+δ) 3_∅ kp +2kf −(kp −kf )(1+δ)3∅] (II.31) Avec : k_nf = 0.5473 + 2.14x10−3t − 9.6737x10−6t2 Avec : δ= 0.1 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté le modèle physique considéré et les équations qui régissent le phénomène étudiée. En suite, nous avons spécifié les conditions aux limites de toute la frontière du ce domaine.

Dans le chapitre suivant, nous traitent les équations étude dans ce chapitre avec des méthodes numériques à travers le logiciel Fluent.

Chapitre III

Certaines problèmes continue peuvent parfois être remplacés par un problème discret dont la solution est connue pour approcher celle du problème continue, ce procédé est appelé discrétisation.

Dans le présent chapitre nous allons utiliser la méthode des volumes finis comme méthode de discrétisation cette dernière consiste à intégrer les équations aux dérivées partielles sur des volumes entourant chaque point du maillage. La résolution du système d’équation nous permet de déterminer les champs de toutes les variables du problème considéré.

Dans le domaine de thermique, de la mécanique de fluides et de la combustion, les phénomènes physiques sont décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP) fortement couplées et non linéaires. En général, Ces équations n’admettent pas des solutions analytiques sauf dans des cas très simplifiés. Mais, une solution numérique peut être possible en transformant ces équations différentielles en systèmes d'équations algébriques linéaires par une méthode de discrétisation avant de résoudre ce système par des méthodes directes ou par itérations. Il existe plusieurs méthodes de discrétisation sont utilisées actuellement on peut citer à titre d’exemple :

 la méthode des différences finis.  la méthode des éléments finis.  la méthode de volume fini.

Pour résoudre le système d’équations presenté dans le chapitre précédent, nous choisi la procédure des volumes finis développée par Patankar [41]. Et modifiée par Versteeg Malalasekera [42]. Cette technique a été utilisée avec succès par plusieurs chercheurs. Elle est basée sur une approche de type volume de contrôle qui reste simple a comprendre et a importer physiquement sa qualité principale est la réduction des instabilités numériques des schémas aux grandes valeurs du nombre de Rayleigh.

III.1 : Notion générale sur la méthode des volumes finis :

L’application de la méthode des volumes finis pour la résolution d’un problème suit les étapes suivantes

-Bien définir le domaine d’étude et diviser ce domaine de calcul en un nombre fini et discret de volumes de contrôle dont la somme soit égale exactement au volume du domaine de calcul. On dit qu’on génère un maillage.

-Discrétisation des différentes équations régissant le phénomène. A la fin on obtient un système d’équations algébriques

-Résoudre le système algébrique final par une méthode de résolution (méthode itérative où directe).

L’avantage de cette méthode par rapport aux autres méthodes numériques est qu’elle est conservative ; bref, tout ce qui sort d’un volume de contrôle entre dans un autre.

Pour expliciter l’application de cette méthode, on considère l’équation générale de transport qui s’écrit pour une propriété Φ, comme suit :

∂ρΦ

∂t + div (ρΦu) = div (ΓФ gradФ) + SФ (III.1)

En d’autres termes

(variation de Φ dans un _{élément de fluide} ) + (_{⏟ l′élémentde fluide}flux net de )

terme convectif

= (variation de Φdue_{⏟ à la diffusion} )

terme diffusif

+ (variation de Φdue_{⏟ aux sources} )

terme source

Tel que :

𝛤Ф : le coefficient de diffusion.

SФ: le terme source.

La résolution de l’équation par la méthode des volumes finis, réside essentiellement dans l’intégration de celle-ci sur un volume de contrôle :

III.2. Etapes de résolution par la méthode des volumes finis

III.2.1 Maillage

Le domaine de calcul est divisé en une série de sous domaines appelés volumes de contrôle. Ces volumes de contrôle enveloppent tout le domaine de calcul, de telle façon que la somme de leurs volumes soit égale exactement au volume du domaine de calcule.

Figure III-1 : Schéma du volume de contrôle dans le cas bidimensionnel.

Les variables dépendantes sont stockées dans des points discrets appelés nœuds (points d’intersection des lignes du maillage) voir figure. (III-1). Les nœuds sont numérotés de 1 à Ni, suivant x le nœud (i, j) est appelé P, il est entouré par les nœuds E (Est), N (Nord), W (West) et S (Sud). À chaque nœud est associé un volume fini (fig. III-1), les faces du volume sont situées au milieu entre les nœuds, la surface de VC consiste en quatre plans, notés par des lettres minuscules correspondant à leur direction e, w, n et

s

(Exemple : la face w est au milieu entre les nœuds W et P).

Les incréments de distance Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑥𝑒 , Δ𝑦𝑛, Δ𝑥𝑤, Δ𝑦𝑠 sont définis sur la (fig. III-1). Les

scalairesϕ (pression 𝑃, température T) sont stockés au nœud central. Les composantes de vitesse 𝑢 et 𝑣 sont stockées dans des nœuds décalés. L’emploi de tels maillages entrelacés permet le calcule des gradients de pression dans les équations de quantité de mouvement, sans interpolation des pressions et le calcul des flux convectifs dans les équations sans interpolations des vitesses.

III.2.2.Discrétisation

Schémas employés dans la partie Fluent

 pression (Schéma standard)

Les valeurs de la pression sont stockées aux centres des cellules. Pour obtenir les valeurs des pressions aux faces, nécessaires pour la résolution de l’équation de continuité, FLUENT propose plusieurs schémas d’interpolation tel que le schéma standard.

L’interpolation s’effectue en utilisant les coefficients de l’équation de quantité de mouvement, Cette procédure fonctionne bien pour des petites variations de la pression entre les centres des cellules.

Devant les problèmes de diffusion numérique, des schémas numériques plus précis ont été testés comme celui-ci qui s’appuie sur les deux mailles amont.

Le principal problème que nous rencontrons dans la discrétisation des termes de convection est le calcul des valeurs de la propriété transportée Φ sur les faces du volume de contrôle et son flux convectif à travers ces limites.

Afin d’obtenir les équations discrétisées pour la diffusion et le terme source nous avons introduit la différentiation centrée. Il semble évident d’essayer d’utiliser cette technique pour les termes convectifs.

Malheureusement, le phénomène de diffusion influence la distribution de la propagation de la propriété et de ses gradients dans toutes les directions, alors que la convection ne montre son influence que dans le sens de l’écoulement.

 Couplage vitesse pression

Les équations des composantes de quantités de mouvement sont couplées par la pression qui agit par les composantes de son gradient, or nous ne disposons pas d’équation propre à cette variable.

L’idée de Patankar et Spalding consiste à utiliser l’équation de continuité pour obtenir le champ de pression, car si le bon champ de pression est pris en compte dans le traitement des équations des quantités de mouvement, alors les vitesses obtenues vérifient l’équation de continuité. Donc cette dernière apparaît comme une contrainte à vérifier par le champ de pression. Trois algorithmes sont considérés par FLUENT pour diriger la liaison vitesse-pression:

 SIMPLE: «Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations» : le plus robuste.

 SIMPLEC : «Semi Implicit Méthod for Pression-linked Equation Consistent» : il donne une convergence plus rapide pour les problèmes simples.

 PISO: « Pressure Implicit Solution by Split Operator»: il est utile pour des problèmes des écoulements instables.

L’algorithme choisit dans notre étude est l’algorithme SIMPLE. A l’initialisation du calcul, un champ de pression fixé a priori est introduit dans l’équation de bilan de la quantité de mouvement, permettant de calculer un premier champ de vitesse. La combinaison des équations de bilan de masse et de quantité de mouvement permet ensuite de corriger ces premiers champs de pression et de vitesse. Les autres équations de transports sont ensuite résolues et le champ de pression corrigé est utilisé pour initialiser le calcul à l’itération suivante. Cette succession d’opération est répétée jusqu’à ce que les critères de convergences soient atteints.

 Algorithme simple

La discrétisation d’une équation de transport diffusion sur un volume de contrôle par la méthode des volumes finis fait intervenir les valeurs des vitesses aux interfaces des volumes (Ue,

Uw, Us,Un). Il est donc intéressant de calculer ces vitesses directement sur les interfaces (sans

avoir à effectuer d’interpolations). D’autre part, la discrétisation de l’équation de continuité et du gradient de pression avec l’utilisation d’une interpolation linéaire peut induire des erreurs importantes du fait qu’une répartition de pression ou de vitesse en "damier" est vue comme un champ uniforme. Pour contourner ces difficultés on préfère utiliser des grilles décalées "staggeredgrid". Une grille principale est construite sur laquelle on calcule la pression, la température et la concentration. Deux grilles décalées vers la droite et vers le haut respectivement sont utilisées pour le calcul des vitesses horizontale et verticale.

L’algorithme SIMPLE, acronyme pour « Semi-Implicit Method for Pressure Linked-Equations» permet de résoudre le système d’équations discrétisées. Cet algorithme stipule l’existence d’une relation entre les vitesses corrigées et les pressions corrigées, en vue de vérifier l’équation de conservation de la masse.