Chapitre IV : Résultats et discussion
IV.3 Résultats
IV.3.3. Effet de champ magnétique
Dans la cette section, nous intéressons à la situation en présence du champ magnétique appliqué verticalement à la configuration étudiée en régime établie, donc on a résolut numériquement le système d’équations EDP figurant au deuxième chapitre, y compris l’équation du potentiel électrique (Equations II.6).
L’application d’un champ magnétique vertical est reconnue sur la stabilité des écoulements convectifs (Mahfoud et al.[20]). Quand un champ magnétique (axial) vertical est imposé, on observe quelques changements intéressants sur le mouvement du fluide et sur le transfert thermique, en cas d’écoulement turbulent, la présence du champ magnétique a comme conséquence la stabilisation de l’écoulement la tournant à laminaire et axisymétrique. En générale le champ magnétique supprime le mouvement du liquide et réduit le taux de transfert thermique . Les écoulements en MHD subissent en général un amortissement dès lors qu’on applique un champ magnétique. Celui-ci est plus important au centre que sur les parois de l’écoulement. Cela provoque l’apparition de fines couches où le gradient de vitesse est très élevé. Celles-ci sont appelées couches limites de Hartmann. Il a été trouver également qu'après que le champ magnétique dépasse une certaine valeur le type d'instabilité change, c.à.d. l’instabilité oscillante de l'écoulement (bifurcation de Hopf) est remplacée par une bifurcation stable axisymétrique ou stable asymétrique.
De même que dans la section précédente, L’écoulement primaire est représenté en utilisant les lignes de courant hydrodynamiques tracées à l’aide de la fonction de courant de Stokes Ψ, ainsi que quelques représentations des lignes méridiennes des isothermes.
Les résultats pour les diverses intensités du champ magnétique (Ha=0, 25, 50 et 75), et les différents cas du nombre de Rayleigh (Ra=103, 104, 105, et 106) sont présenté dans quatre
diagrammes de nombre de Nusselt (Fig. I-2). Dans le tableau (III-4) sont récapitulés les résultats quantitatifs de la présente étude numérique avec champ magnétique, qui sont les différentes valeurs de Nusselt moyen dans les quatre cas traités. Ces valeurs sont visualisées graphiquement dans le plan (Numoy-Ha) sous forme de courbes paramétriques aux différentes valeurs du nombre
de Rayleigh Ra (Fig. IV-11).
Pour voir l’effet du champ magnétique sur l’écoulement, on s’intéresse tous d’abord à la configuration avec Ra=104, nous avons observés que l’écoulement est caractérisé par deux grandes cellules et les dimensions des cellules se changent, en subissant un élargissement avec l'augmentation de Ha. En présence de champ magnétique Ha=0, le débit diminue avec
l'augmentation de Ha, Les valeurs de la fonction de courant sont Ψ=0,73, 0.26, 0.096 et 0.05 lorsque Ha=0, 25, 50 et 75 respectivement.
La température reste presque consente avec l'augmentation indique de Ha=25, 50 et 75 respectivement. La température varie linéairement dans la direction verticale ce que indique que le régime du transfert thermique est essentiellement conductif dans cette région. Les valeurs de la températures maximum sont θmax =0.2718, 0.2737, 0.2732 et 0.2729 lorsque Ha=0, 25, 50 et 75
respectevement.
En générale le champ magnétique supprime le mouvement du liquide et réduit le taux de transfert thermique, ce que traduire la figure (IV-6), qui présente Nusselt locale au paroi supérieur pour le cas de Ra=104, et Ha=0, 25, 50 et 75 respectivement. Nombre de Nusselt est un nombre adimensionnel utilisé pour caractériser les transferts thermiques entre un fluide et une paroi, appelé transfert convectif. On peut constater aisément que le transfert thermique est intense sous paroi supérieur à x=0.5 (au milieu) pour les quatre cas, provoqué par la recirculation méridienne. On obeserve que le nombre du Nusselt diminue avec l'augmentation de Ha. Si on fait la comparaison entre le cas Ha=0 et Ha=75 on voit bien que l’échange thermique à Ha=0 bien élevée au niveau du paroi superieur, contrairement le taux de transfert thermique est réduit à Ha=75, et les valeurs du nombre Nusselt pour les deux cas se rapprochent à coté de paroi latérale.
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Nu(y= 1) x Ha=0 Ha=25 Ha=50 Ha=75 Ra=104
Ψmax,Ha=0 = 0,73, Ψmax,Ha=25 =0.26 Ψmax,Ha=50 = 0.096 Ψmax,Ha=7=0.05
θmax,Ha=0 =0.2718, θmax,Ha=25 = 0.2737 θmax,Ha=50= 0.2732 θmax,Ha=75 =0.2729
Ha=25 Ha=50 Ha=75
Figure IV.5: Lignes de courant et isothermes pour différentes valeurs nombre de Hartmann.
Ra =104, --- Ha=0
Figure IV.6:Profil du nombre de Nusselt local le long des parois supérieures pour différentes nombre de Hartmann (Cu – Eau, Ra = 104, D = 0,4 et ∅ = 0,1).
Pour envisager l’effet du champ magnétique sur le transfert de chaleur on a testé dautre cas avec deux différentes intensité du champ magnétique, Ha=25, 50 et 75, dans le cas de Ra=105, Puisque le fluide est entouré d’un milieu totalement isolant et les lignes de courant électrique doivent nécessairement se refermer au sein du fluide. Les couches de Hartmann situées sous les parois inférieur et supérieur, dans les quelle se referment les lignes de courant électrique où l’équilibre axial est assuré par un équilibre entre les forces visqueuses et les forces électromagnétiques.
Nous avons observés dans ce cas que l’écoulement est caractérisé par deux grandes cellules et les dimensions des cellules se changent, en subissant un élargissement avec l'augmentation de Ha. En présence de champ magnétique Ha=0, le débit diminue avec l'augmentation de Ha, Les valeurs de la fonction de courant sont Ψmax= 7,76, 3.26, 1.22 et 0. 51 lorsque Ha=0, 25, 50 et 75 respectivement.
On observe une déviation importante des isothermes prés de la source chaude lorsque Ha=0 dans ce cas de Ra=105, indique que le régime du transfert thermique est essentiellement convectif dans cette région, où le fluide chaud est poussé vers le haut à partir sourse chaude . En augmentant le nombre de Hartmann à Ha=25, 50 et 75, respectivement on voit une diminition de la temperature. Les valeurs de la températures maximum sont θmax =0.2718, 0.2737 0.2732 et
0.2729 lorsque Ha=0, 25, 50 et 75 respectevement
La figure (IV-8) présente Nusselt locale au paroi supérieur pour le cas de Ra=105. On
obeserve que le nombre du Nusselt diminue progressivement avec l'augmentation de Ha avec un diminution plus rapide lorsque Ha=50. On peut remerqué que le transfert thermique est intense sous paroi supérieur à x=0.5 (au milieu) pour les quatre cas, provoqué par la recirculation méridienne. les valeur de nombre de nusselt sont plus grans par rapport à au cas Ra=104. La comparaison entre le cas Ha=0 et Ha=50 montre que l’échange thermique à Ha=0 bien élevée au niveau du paroi superieur, contrairement le taux de transfert thermique est réduit à Ha=50 et 75, et les valeurs du nombre Nusselt pour les deux cas se rapprochent à coté de paroi latérale.
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Nu(y= 1) x Ha=0 Ha=25 Ha=50 Ha=75 Ra=105
Ψmax,Ha=0 = 7,76, Ψmax,Ha=25 =3.26 Ψmax,Ha=50 = 1.22 Ψmax,Ha=75=0. 51
θmax,Ha=0 =0.18, θmax,Ha=25 = 0.222 θmax,Ha=50= 0.26 θmax,Ha=75 =0.27
Ha=25 Ha=50 Ha=75
Figure IV.7: Lignes de courant et isothermes pour différentes valeurs nombre de Hartmann.
L’écoulement sous l'effet de force de flottabilité est décrit dans le cas Ra=106 (Fig. IV-9).
On remarque aussi que les couches limites sont formées sur les deux parois supérieur et inferieur en raison de l’inhibition du mouvement vertical par l’effet de la force de flottabilité. Dans le cas de Ra=106 le fluide dans le volume indépendamment des parois tourne en bloc dans la zone de
circulation avec une vitesse intermédiaire. La convection domine le transfert de chaleur comme il est clairement montré dans les contours des isothermes, (Fig. IV-9) avec des déviations importante lorsque Ha=25, 50 et 75 respectivement.
Deux grandes cellules resserrées prés de parois caractérisent l'écoulement et débit diminue avec l'augmentation de Ha. Les lignes de courant et les isothermes dépendent fortement du nombre de Rayleigh. Les valeurs de la fonction de courant sont Ψmax= 18,9, 12.4, 7.35 et 4.96 lorsque Ha=0, 25, 50 et 75 respectivement. On observe une déviation importante des isothermes prés de la source chaude lorsque Ha=0 dans ce cas de Ra=106, indique que le régime du transfert thermique est essentiellement convectif dans cette région, où le fluide chaud est poussé vers le haut à partir source chaude. La températures maximum diminue lorsque en augmentant le nombre de Hartmann à Ha=25, 50 et 75, respectivement. Dans ce cas les valeurs de la température maximum sont θmax =0.11, 0.12, 0.14 et 0.16 lorsque Ha=0, 25, 50 et 75 respectivement.
La figure (IV-10) présente Nusselt locale à la paroi supérieure pour le cas de Ra=106, car le transfert de chaleur est analysé via les nombres de Nusselt et traduire le transfert convectif. On observe que le nombre du Nusselt augmente progressivement avec l'augmentation de Ha avec une augmentation lorsque Ha=50 et 75 au centre de cavité. On peut remarquer que le transfert thermique est tout à fait le contraire aux deux cas précédents c.à.d. Ra=104 et Ra=105 . Les valeurs de nombre de Nusselt sont plus grandes par rapport au cas Ra=104 et Ra=105. La comparaison entre le cas Ha=0 et Ha=50 montre que l’échange thermique à Ha=0 mois élevée au niveau de la paroi supérieur, contrairement le taux de transfert thermique est augmenté à Ha=50 et 75, et les valeurs du nombre Nusselt pour les deux cas se rapprochent à coté de paroi latérale.
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 Nu(y= 1) x Ha=75 Ha=50 Ha=25 Ha=0 Ra=106
Ψmax,Ha=0 = 18,9, Ψmax,Ha=25 =12.4 Ψmax,Ha=50 = 7.35 Ψmax,Ha=7=4.96
θmax,Ha=0 =0.11, θmax,Ha=25 = 0.12 θmax,Ha=50= 0.14 θmax,Ha=75 =0.16
Ha=25 Ha=50 Ha=75
Figure IV.9: Lignes de courant et isothermes pour différentes valeurs nombre de Hartmann.
Ra =106, --- Ha=0
Figure IV.10: Profil du nombre de Nusselt local le long des parois supérieures pour différentes nombre de Hartmann (Cu – Eau, Ra = 106, D = 0,4 et ∅ = 0,1).
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 Nu moy Ha Ra=104 Ra=105 Ra=106
Les résultats de nombre de nusselt moyene pour les diverses intensités du champ magnétique (Ha=0, 25, 50 et 75), et les différents cas du nombre de Rayliegh (Ra=104, 105 et 106) sont présenté dans le diagramme (Fig. IV-11).Dans le tableau (IV-1) sont récapitulés les résultats quantitatifs de la présente étude numérique avec champ magnétique, qui sont les différentes valeurs de Nusselt moyen dans les deux cas traités. Ces valeurs sont visualisées graphiquement dans le plan (Numoy-Ha) sous forme de courbes paramétriques aux différentes valeurs du nombre
de Rayliegh Ra.
La figure (IV.11) précédante l'effet de champ magnétique sur le nombre de Nusselt moyen. Aux nombres de Rayleigh Ra=104 et 105, alors que la source de chaleur se trouve au milieu de la paroi inférieure, la température maximale augmen1te et le nombre moyen de Nusselt correspondant diminue. C'est en raison de l'éloignement de la source de chaleur de la paroi froide. Au contraire, à des nombres de Rayleigh élevés (Ra= 106), la température maximum est faible par rapport au deux cas précédente (Ra=104 et 105). Le nombre de Nusselt moyen augmente avec l'augmentation de Ha et atteint son maximum à Ha= 50. Ce comportement peut être lié à l'écoulement sous l'effet de force de flottabilité qui est plus forts à ce nombre de Rayleigh.
Ha Ra=104 Ra=105 Ra=106
0 99909000 1.647077 1.784729
25 0.4857043 1.410737 1.90386
50 0.439746 0.8065047 1.941829
75 0.4277031 0.5671657 1.822493
Tableau (IV.1): Nusselt moyen versus Ha à divers nombres de Rayleigh
Figure IV.11: Variation de Nusselt moyen versus Ha à divers nombres de Rayleigh (B = 0,4 et
Conclusion
générale
Dans ce mémoire, on a présenté une étude numérique du transfert de chaleur par
convection naturelle dans une enceinte cylindrique remplie d’un fluide de base (eau) et d’un mélange d’eau et des nanoparticules Cu. La configuration géométrique du model physique est une enceinte cylindrique soumis à des températures déférentes verticalement et horizontalement.
Les simulations numériques sont effectuées pour différents nombres de Rayleigh (Ra=103,104, 105et106). Nous avons établis un model mathématique introduisant les transferts de
chaleurs dans les nanofluide en configuration de Rayleigh-Bénard, ce model repose sur l’approximation de Boussinesq.
La modélisation du problème, en 2D, a été menée en utilisant le code FLUENT, qui se base sur la méthode des volumes finis.
Les résultats présents dans ce travail nous permettent de tirer les conclusions suivantes :
Le transfert de chaleur augmente avec l’augmentation du nombre du Rayleigh.
Le nombre de Nusselt moyen diminue avec l’augmentation du champ magnétique pour Ra=105 et Ra=105, par contre augment lorsque Ra=106
La température maximum augmente avec Ha et le débit diminue avec l'augmentation de Ha
Comparaison entre le fluide de base et le nanofluide nous a permis de conclure que l’utilisation des nanofluide est recommandée si l’on désirait améliorer les performances thermiques au sein de l’enceinte.
L'application du champ magnétique l'écoulement de nano-fluides augmente le transfert de chaleur en convection naturelle d’une façon remarquable pour de nombres de Rayleigh élevés.
L'utilisation de champ magnétique pour l'amélioration de refroidissement et un sujet très vaste ouvert pour la recherche scientifique.
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