CM1 Mathématiques : calcul L10. Diviser par un nombre à deux chiffres Mcal L10 Page 1 / 11

CORRECTION Programme

• Calcul posé: mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour la division.

• Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur.

• Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations.

Compétences travaillées

• Estimer un ordre de grandeur d’un quotient.

• Appliquer une technique opératoire.

• Résoudre des problèmes relevant de la division.

Remarque : Diviser par un nombre à deux chiffres est une nouveauté du CM1. Dans cette leçon, l’objectif est de découvrir l’une des techniques de la division euclidienne. Les procédures

personnelles sont à encourager.

Cherchons

Nina vient de terminer une maquette de vaisseau spatial.

Il lui a fallu 28 heures pour monter les 5 180 pièces.

Cherche le nombre de pièces que Nina a assemblées en moyenne en 1 heure Correction

 Le Laisser découvrir la situation de recherche et lui demander quelle opération permettra de la résoudre.

 L’écrire en ligne au tableau (5180 : 28) et lui demander si on peut la calculer ainsi. ➞ Non, elle est trop complexe, il faut la poser

 Poser l’opération au tableau.

Questionner:

➞ Le nombre de pièces assemblées en une heure sera-t-il compris entre 10 et 100 ou entre 100 et 1000?

Il a déjà vu la technique de la division à un chiffre, il sait évaluer le nombre de chiffres du quotient.

Au besoin, en rappeler l’intérêt et la technique:

➞ Pour évaluer le résultat de cette division, on doit connaitre le nombre de chiffres du quotient.

S’il est compris entre 0 et 10, le quotient aura un chiffre, s’il est compris entre 10 et 100, il aura 2 chiffres, etc.

 Lui demander d’encadrer ce quotient: 28 × 100 < 5180 < 28 × 1000

➞ Le quotient aura trois chiffres car il sera compris entre 100 et 1000.

Sur l’opération posée au tableau, placer un point par chiffre du quotient.

Laisser les élèves chercher le résultat par groupes de deux ou trois.

− Certains groupes vont passer par le répertoire multiplicatif de 28.

Pour construire plus rapidement cette table, proposer une aide: Le quotient étant compris entre 100 et 1000, on peut calculer rapidement 28 × 100, 28 × 200, et trouver un encadrement plus précis.

Puis, par tâtonnements, on peut s’approcher du multiple inférieur le plus proche: 28 × 180 = 5040…

(jusqu’à trouver 185 × 28).

− D’autres groupes vont essayer de reprendre la technique de la division simple. Dans ce cas, leur rappeler que l’on doit trouver le chiffre des centaines du quotient, donc qu’il faut diviser les centaines du dividende par 28 (51 : 28 = 1). Ils trouvent un reste auquel on ajoute les dizaines puis on divise les dizaines.

 Expliquer et argumenter collectivement les procédures au tableau: montrer que la seconde méthode utilise aussi le répertoire multiplicatif de 28.

Lire collectivement la leçon.

L10. Diviser par un nombre à deux chiffres On cherche à diviser 978 par 23.

 Avant de poser la division, on évalue le nombre de chiffres du quotient.

23 × 10 < 978 < 23 × 100

Le quotient sera compris entre 10 et 100 : il aura donc deux chiffres.

 Pour trouver le nombre de dizaines du quotient, on divise les dizaines du dividende par 23.

 On partage les dizaines :

On cherche le multiple de 23 le plus proche de 97.

23 × 4 = 92. Cela fait 4 dizaines au quotient.

97 - 92 = 5. Il reste 5 dizaines.

On vérifie que 5 < 23, on peut poursuivre

 Pour trouver le nombre d’unités, on abaisse les 8 unités du dividende.

Avec les 5 dizaines restantes, cela fait 58 unités. On divise ce nombre par 23.

 On partage les unités :

On cherche le multiple de 23 le plus proche de 58.

23 × 2 = 46. Cela fait 2 unités au quotient.

58 - 46 = 12. Il reste 12 unités.

On vérifie que 12 < 23.

 Attention ! Vérifier que : le reste soit toujours inférieur au diviseur. Ici 12 < 23 On vérifie la division : (quotient x diviseur) + reste = dividende

( 42 × 23 ) + 12 = 978 .

Difficultés éventuelles

L’acquisition d’une technique de la division posée est une question de temps: certains vont la maitriser très vite (sans même passer par la soustraction), d’autres auront toujours besoin des répertoires multiplicatifs. L’élève peut parvenir à trouver le résultat par une procédure personnelle, à condition qu’elle soit juste et pertinente

Diviser sans poser l’opération

 Exercice 1 : Utilise les multiples de 15 pour calculer.

a. 50 : 15 quotient =… reste = … b. 90 : 15 quotient =… reste = … c. 120 : 15 quotient =… reste = … d. 32 : 15 quotient =… reste = …

Correction

a. 60: 15 quotient = 4 reste = 0 b. 90: 15 quotient = 6 reste = 0 c. 120: 15 quotient = 8 reste = 0 d. 32: 15 quotient = 2 reste = 2

 Exercice 2 : Utilise les multiples de 25 pour calculer.

a. 100 : 25 quotient =… reste = … b. 60 : 25 quotient =… reste = … c. 120 : 25 quotient =… reste = …

Correction

a. 100: 25 quotient = 4 reste = 0 b. 60: 25 quotient = 2 reste = 10 c. 120: 25 quotient = 4 reste = 20

 Exercice 3 : Des enveloppes sont vendues par paquets de 50.

Combien de paquets fera-t-on avec :

200 enveloppes 300 enveloppes 500 enveloppes 550 enveloppes Correction

a. 200: 50 = 4 On fera 4 paquets avec 200 enveloppes.

b. 300: 50 = 6 On fera 6 paquets avec 300 enveloppes.

c. 500: 50 = 10 On fera 10 paquets avec 500 enveloppes.

d. 550: 50 = 11 On fera 11 paquets avec 550 enveloppes.

 Exercice 4 :

1 / Si Franck paye en 12 mois son canapé qui coûte 480€, combien paiera-t-il par mois ? 2/ Et s’il paye en 24 mois, combien paiera-t-il par mois ?

Correction

1 / Tu vas poser la division 480 : 12 Le nombre de chiffre au quotient est :

12x10 < 480 < 12x 100 donc 2 chiffres au quotient.

Pour t’aider tu peux écrire la table de 12 12x0 =0  0 12x1 =12

12x2 =24 12x3 =36

12x4 =48  48 12x5 =60

12x6=72 12x7 =84 12x8 =96 12x9 =108 12x10 =120

Dans 48, combien de fois 12 ? On cherche dans la table de multiplication par 12 où se situe 48.

12 × 4 = 48. Cela fait 4 dizaines au quotient.

Je dis 4 x 12 = 48 que je pose sous le 48, puis je calcule la soustraction :

48 - 48 = 0. Il reste 0 On vérifie que 0 < 12, on peut poursuivre

4 8 0 1 2 - 4 8 4

0 0

On descend le 0 de 480 que l’on place à côté du reste intermédiaire.

Dans 0, combien de fois 12 ? On cherche dans la table de multiplication par 12 où se situe 0.

12 × 0 = 0. Cela fait 0 unité au quotient.

Je dis 0 x 12 = 0 que je pose sous le 0, puis je calcule la soustraction : 0 - 0 = 0. Il reste 0

4 8 0 1 2 - 4 8 4 0

0 0 0 - 0 0

On vérifie que 0 < 12. La division est terminée. On dit qu’elle tombe juste parce que le reste est égal à zéro.

Frank paiera par mois 40 €

2 / Tu vas poser la division 480 : 24 Le nombre de chiffre au quotient est :

24x10 < 480 < 24x100 donc 2 chiffres au quotient.

Pour t’aider tu peux écrire la table de 24 24x0 =0  0 24x1 =24

24x2 =48  48 24x3 =72

24x4 =96 24x5 =120 24x6=144 24x7 =168 24x8 =192 24x9 =216 24x10 =240

Dans 48, combien de fois 24 ? On cherche dans la table de multiplication par 24 où se situe 48.

24 × 2 = 48. Cela fait 2 dizaines au quotient.

Je dis 2 x 24 = 48 que je pose sous le 48, puis je calcule la soustraction :

48 - 48 = 0. Il reste 0 On vérifie que 0 < 24, on peut poursuivre

4 8 0 2 4 - 4 8 2

0 0

On descend le 0 de 480 que l’on place à côté du reste intermédiaire.

Dans 0, combien de fois 24 ? On cherche dans la table de multiplication par 24 où se situe 0.

24 × 0 = 0. Cela fait 0 unité au quotient.

Je dis 0 x 24 = 0 que je pose sous le 0, puis je calcule la soustraction : 0 - 0 = 0. Il reste 0

4 8 0 2 4 - 4 8 2 0

0 0 0 - 0 0

On vérifie que 0 < 24. La division est terminée. On dit qu’elle tombe juste parce que le reste est égal à zéro.

Frank paiera par mois 20 €

Evaluer le nombre de chiffres du quotient

 Exercice 5 : Observe, recopie et complète.

Ex : 174 : 12  12 x 10 < 174 < 12 x 100  le quotient aura donc 2 chiffres.

a. 562 : 17  17 x 10 < 562 < 17 x 100  le quotient aura donc … chiffres

b. 3 745 : 26  26 x 100 < 3 745 < 26 x 1 000  le quotient aura donc … chiffres c. 6 521 : 63  63 x 100 < 6 521 < 63 x 1 000  le quotient aura donc … chiffres Correction

a. 562: 17 ➞ Le quotient aura 2 chiffres.

b. 3745: 26 ➞ Le quotient aura 3 chiffres.

c. 6521: 63 ➞ Le quotient aura 3 chiffres.

 Exercice 6 : Quentin a divisé 14 586 par 28 et il a trouvé un quotient égal à 52.

A-t-il raison ? Justifie ta réponse.

Correction

Avant de faire le calcul de la division on cherche le nombre de chiffre du quotient.

28x100 < 14586<28x1000  Il n’a pas raison car le quotient doit avoir 3 chiffres.

2800 28000

Poser la division

 Exercice 7 : Recopie et complète les divisions.

Correction

 Exercice 8 : Lucien a acheté un ordinateur à 954€. Il veut le payer en 18 mensualités.

Combien va-t-il payer par mois ? Correction

Tu vas poser la division 954 : 18 Le nombre de chiffre au quotient est :

18x10 < 954 < 18x100 donc 2 chiffres au quotient.

Pour t’aider tu peux écrire la table de 18

18x0 =0 18x1 =18 18x2 =36

18x3 =54  54 18x4 =72

18x5 =90  95 18x6=108

18x7 =126 18x8 =144 18x9 =162 18x10 =180

Dans 95, combien de fois 18 ? On cherche dans la table de multiplication par 18 où se situe 95.

18 × 5 = 90. Cela fait 5 dizaines au quotient.

Je dis 5 x 18 = 90 que je pose sous le 95, puis je calcule la soustraction :

95 - 90 = 5. Il reste 5 On vérifie que 5 < 18, on peut poursuivre

9 5 4 1 8 - 9 0 5

0 5

On descend le 4 de 954 que l’on place à côté du reste intermédiaire.

Dans 54, combien de fois 18 ? On cherche dans la table de

multiplication par 18 où se situe 54.

18 × 3 = 54. Cela fait 3 unités au quotient.

Je dis 3 x 18 = 54 que je pose sous le 54, puis je calcule la soustraction : 54 - 54 = 0. Il reste 0

9 5 4 1 8 - 9 0 5 3

0 5 4 - 5 4 0 0

On vérifie que 0 < 18. La division est terminée. On dit qu’elle tombe juste parce que le reste est égal à zéro.

Lucien va payer par mois 53 €

 Exercice 9 : Les 22 facteurs de la ville se partagent équitablement les 4 642 lettres à distribuer.

Combien chaque facteur emporte-t-il de lettres à distribuer ?

Correction Tu vas poser la division 4642 : 22 Le nombre de chiffre au quotient est : 22x100 < 4642 <

22x100 donc 3 chiffres au quotient.

Pour t’aider tu peux écrire la table de 18

22x0 =0

22x1 =22  22 22x2 =44  46 22x3 =66

22x4 =88 22x5 =110 22x6=132 22x7 =154 22x8 =176 22x9 =198 22x10 =220

Dans 46, combien de fois 22 ? On cherche dans la table de multiplication par 22 où se situe 46.

22 × 2 = 44. Cela fait 2 centaines au quotient.

Je dis 2 x 22 = 44 que je pose sous le 46, puis je calcule la soustraction :

46 - 44 = 2. Il reste 2 On vérifie que 2 < 22, on peut poursuivre.

4 6 4 2 2 2

- 4 4 2

0 2

On descend le 4 de 4642 que l’on place à côté du reste intermédiaire.

Dans 24, combien de fois 22 ? On cherche dans la table de

multiplication par 22où se situe 24.

22 × 1 = 22. Cela fait 1 dizaine au quotient.

Je dis 1 x 22 = 22 que je pose sous le 24, puis je calcule la soustraction : 24 - 22 = 2. Il reste 2

4 6 4 2 2 2 - 4 4 2 1

0 2 4 - 2 2 0 2

On vérifie que 0 < 22. on peut poursuivre.

On descend le 2 de 4642 que l’on place à côté du reste intermédiaire.

Dans 22, combien de fois 22 ?

On cherche dans la table de multiplication par 22 où se situe 22.

22 × 1 = 22. Cela fait 1 unité au quotient.

Je dis 1 x 22 = 22 que je pose sous le 22, puis je calcule la soustraction : 22 - 22 = 0. Il reste 0

4 6 4 2 2 2 - 4 4 2 1 1

0 2 4 - 2 2 0 2 2 - 2 2

0

On vérifie que 0 < 22. La division est terminée. On dit qu’elle tombe juste parce que le reste est égal à zéro.

Chaque facteur emporte 211 lettres à distribuer

 Exercice 10 : Un avion a parcouru la distance de 9 711 km entre Paris et Tokyo en 13h.

Calcule sa vitesse moyenne (nombre de km en 1 h).

Correction Tu vas poser la division 9711 : 13 Le nombre de chiffre au quotient est : 13x100 < 9711 <

13x1000 donc 3 chiffres au quotient.

Pour t’aider tu peux écrire la table de 11

11x0 =0 11x1 =11

11x2 =22  31 11x3 =33

11x4 =44 11x5 =55 11x6=66 11x7 =77

11x8 =88  91

 97

11x9 =99 11x10 =110

Dans 97, combien de fois 11 ? On cherche dans la table de multiplication par 11 où se situe 97.

11 × 8 = 88. Cela fait 8 centaines au quotient.

Je dis 8 x 11 = 88 que je pose sous le 97, puis je calcule la soustraction :

97 - 88 = 9. Il reste 9 On vérifie que 9 < 11, on peut poursuivre.

9 ¹7 1 1 1 1 - 8⁺¹ 8 8

0 9

On descend le 1 de 9711 que l’on place à côté du reste intermédiaire.

Dans 91, combien de fois 11 ? On cherche dans la table de

multiplication par 11 où se situe 91.

11 × 8 = 88. Cela fait 8 dizaines au quotient.

Je dis 8 x 11 = 88 que je pose sous le 91, puis je calcule la soustraction : 91 - 88 = 3. Il reste 3

9 ¹7 1 1 1 1 - 8⁺¹ 8 8 8

0 9 ¹1 - 8⁺¹ 8 0 13

On vérifie que 3 < 11. on peut poursuivre.

On descend le 1 de 9711 que l’on place à côté du reste intermédiaire.

Dans 31, combien de fois 11 ?

On cherche dans la table de multiplication par 11 où se situe 31.

11× 2 = 22. Cela fait 2 unités au quotient.

Je dis 2 x 11 = 22 que je pose sous le 31, puis je calcule la soustraction : 31 - 22 = 9. Il reste 9

9 ¹7 1 1 1 1 - 8⁺¹ 8 8 8 2

0 9 ¹1 - 8⁺¹ 8 0 13 ¹1 - 2⁺¹ 2

0 9

On vérifie que 9 < 11. La division est terminée. Il reste 9.

La vitesse moyenne de l’avion est de 882 km par heure.

 Exercice 11 : Reproduis et complète le tableau.

dividende diviseur quotient reste

2479 14

26 132 5

3428 54

38 104 26

Correction

dividende diviseur quotient reste

a 2476 14 176 12

b 3437 26 132 5

c 3428 54 63 26

d 3978 38 104 26

a : Il faut faire la division 2476 : 14 Le nombre de chiffre au quotient est : 14x100 < 2476

< 14x1000 donc 3 chiffres au quotient.

2476: 14 = 176 Reste 12.

2 4 7 6 1 4 - 1 4 1 7 6

1 0 7 - 9 8 0 9 6 - 8 4 1 2

b : comme

dividende = (quotient x diviseur) + reste on calcule d’abord la multiplication 132 x 26

1 1 1

1 3 2 x 2 6

1 1

7 9 2 + 2 6 4 0 3 4 3 2

On calcule

ensuite l’addition 3432 + 5 = 3437

c : Il faut faire la division 3428 : 54

Le nombre de chiffre au quotient est :

3 4 ¹2 8 5 4 - 3 2⁺¹ 4 6 3

0 1 8 8 - 1 6 2 0 2 6

1 3

1 0 4 x 3 8 8 3 2 + 3 1 2 0 3 9 5 2

d : comme

dividende = (quotient x diviseur) + reste on calcule d’abord la multiplication 104 x 38On calcule ensuite l’addition 3952 + 26 = 3978

54x10 < 3428 < 54x100 donc 2 chiffres au quotient.

On ne peut pas diviser 34 par 54, il faut donc prendre 342 pour diviser

3428: 54 = 63 Reste 26.

 Exercice 12 : Pose et effectue les divisions.

945 divisé par 25 3 740 divisé par 15

3 426 divisé par 15 6 432 divisé par 49

1 625 divisé par 67 6 432 divisé par 81

2 356 divisé par 22 9 538 divisé par 31

Correction

945 divisé par 25

Tu vas poser la division 945: 25 Le nombre de chiffre au quotient est :

25x10 < 945 < 25x100 donc 2 chiffres au quotient.

Pour t’aider tu peux écrire la table de 25

25x0 =0 25x1 =25 25x2 =50

25x3 =75  94 25x4 =100

25x5 =125 25x6=150

25x7 =175  195 25x8 =200

25x9 =225 25x10 =250

Dans 94, combien de fois 25 ? On cherche dans la table de multiplication par 25 où se situe 94.

25 × 3 = 75. Cela fait 3 dizaines au quotient.

Je dis 3 x 25 = 75 que je pose sous le 94, puis je calcule la soustraction :

94 - 75 = 19. Il reste 19 On vérifie que 19 < 25, on peut poursuivre

9 ¹4 5 2 5 - 7⁺¹ 5 3

1 9

On descend le 5 de 945 que l’on place à côté du reste intermédiaire.

Dans 195, combien de fois 25 ? On cherche dans la table de

multiplication par 25 où se situe 195.

25 × 7 = 175. Cela fait 7 unités au quotient.

Je dis 7 x 25 = 175 que je pose sous le 195, puis je calcule la

soustraction :

195 - 175 = 0. Il reste 0

9 ¹4 5 2 5 - 7⁺¹ 5 3 7

1 9 5 - 1 7 5 0 2 0

On vérifie que 20 < 25. La division est terminée.

945: 25 = 37, reste 20.

Correction

3 740 divisé par 15

Le nombre de chiffre au quotient est :

15x100 < 3740 <

15x1000 donc 3 chiffres au quotient.

2740: 15 = 249 Reste 5.

3 7 4 0 1 5 - 3 0 2 4 9

0 7 4 - 6 0 1 4 ¹0 - 1 3⁺¹ 5 0 0 5

vérification

dividende = (quotient x diviseur) + reste

on calcule d’abord la multiplication 249 x 15

1 2 4

2 4 9 x 1 5

1

1

2 4 5 + 2 4 9 0 3 7 3 5

On calcule ensuite l’addition 3735 + 5 = 3740

Correction

3 426 divisé par 15

Le nombre de chiffre au quotient est :

15x100 < 3426 <

15x1000 donc 3 chiffres au quotient.

3426: 15 = 228 Reste 6.

3 4 2 6 1 5 - 3 0 2 2 8

0 4 2 - 3 0 1 2 6 - 1 2 0 0 0 6

vérification

dividende = (quotient x diviseur) + reste

on calcule d’abord la multiplication 228 x 15

1 1 4

2 2 8 x 1 5

1

1

1 4 0 + 2 2 8 0 3 4 2 6

On calcule ensuite l’addition 3420 + 6 = 3740

Correction

6 432 divisé par 49

Le nombre de chiffre au quotient est :

49x100 < 6432 <

49x1000 donc 3 chiffres au quotient.

6432: 49 = 131 Reste 13.

6 ¹ 4 3 2 4 9

- 4⁺¹ 9 1 3 1

1 5 ¹3 - 1 4⁺¹ 7 0 0 6 ¹2 - 4⁺¹ 9 0 1 3

vérification

dividende = (quotient x diviseur) + reste

on calcule d’abord la multiplication 131 x 49

1

1 2

1 3 1 x 4 9

1

1

1 7 9 + 5 2 4 0 6 4 1 9

On calcule ensuite l’addition 6419 + 13

= 6432

1 625 divisé par 67

Le nombre de chiffre au quotient est : 67x10 < 1625

< 67x100 donc 2 chiffres au quotient.

1 6 ¹2 5 6 7 - 1 3⁺¹ 4 2 4

0 2 8 ¹5 - 2 6⁺¹ 8 0 1 7

1 1

2 2

6 7 x 2 4

1

2 6 8 + 1 3 4 0 1 5 0 8

vérification dividende =

(quotient x diviseur) + reste

on calcule d’abord la multiplication

67 x 24 On calcule

ensuite l’addition 1508 + 17 = 1625 On ne peut pas diviser 16 par 67, il faut

donc prendre 162 pour diviser par 67.

1625: 67 = 24, reste 17.

6 432 divisé par 81

Le nombre de chiffre au quotient est : 81x10 < 6432

< 81x100 donc 2 chiffres au quotient.

6 ¹4 ¹3 2 ^{8 1} - 5⁺¹ 6⁺¹ 7 7 9

0 7 6 ¹2 - 7 2⁺¹ 9 0 3 3

5 1 7

8 1 x 7 9

1

7 2 9 + 5 6 7 0 6 3 9 9

vérification dividende =

(quotient x diviseur) + reste

on calcule d’abord la multiplication

81 x 79 On calcule

ensuite l’addition 6399 + 33 = 6432 On ne peut pas diviser 64 par 81, il faut

donc prendre 643 pour diviser par 81.

6432: 81 = 79, reste 33.

Correction

2 356 divisé par 22

Le nombre de chiffre au quotient est :

22x100 < 2359 <

22x1000 donc 3 chiffres au quotient.

2356 : 22 = 107 Reste 2.

2 3 5 6 2 2 - 2 2 1 0 7

0 1 5 - 0 0 0 1 5 6 - 1 5 4 0 2

vérification

dividende = (quotient x diviseur) + reste

on calcule d’abord la multiplication 107 x 22

1 1

1 0 7 x 2 2 2 1 4 + 2 1 4 0 2 3 5 4

On calcule ensuite l’addition 2354 + 2 = 2356

Correction

9 538 divisé par 31

Le nombre de chiffre au quotient est :

31x100 < 9538 <

31x1000 donc 3 chiffres au quotient.

9538 : 31 = 307 Reste 21.

9 5 3 8 3 1 - 9 3 3 0 7

0 2 3 - 0 0 0 2 3 8 - 2 1 7 0 2 1

vérification

dividende = (quotient x diviseur) + reste

on calcule d’abord la multiplication 307 x 31

2

3 0 7 x 3 1 3 0 7 + 9 2 1 0 9 5 1 7

On calcule ensuite l’addition 9517 + 21

= 9538