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Approche non-locale pour la prédiction de durée de vie
en fretting-fatigue
Guillaume Rousseau, Claudio Montebello, Yoann Guilhem, S. Pommier
To cite this version:
Guillaume Rousseau, Claudio Montebello, Yoann Guilhem, S. Pommier. Approche non-locale pour la prédiction de durée de vie en fretting-fatigue. 14e colloque national en calcul des structures, May 2019, Giens, France. �hal-02924218�
CSMA 2019
14ème Colloque National en Calcul des Structures 13-17 Mai 2019, Presqu’île de Giens (Var)
Approche non-locale pour la prédiction
de durée de vie en fretting-fatigue
G. Rousseau1,2, C. Montebello2, Y. Guilhem1, S. Pommier1
1Laboratoire de Mécanique et Technologie (LMT), ENS Paris–Saclay/CNRS/Université Paris–Saclay 2Safran Aircraft Engines, Villaroche
Résumé — Cette approche consiste à représenter le champ de vitesses, dans un repère attaché au front de contact, par un jeu de facteurs d’intensité, utilisés comme degrés de libertés non-locaux du problème, et de champs de référence, définissant la distribution spatiale du champ de vitesses autour du front de contact. Des critères utilisant ces facteurs d’intensité sont ensuite proposés pour prévoir la durée de vie en fatigue et ceux-ci sont comparés aux durées de vie observées expérimentalement.
Mots clés — Fretting-fatigue, Non-local, Durée de vie, Modèle réduit.
1
Introduction
Le fretting-fatigue est un phénomène complexe qui apparaît au niveau de la surface de contact de deux matériaux pressés l’un contre l’autre et soumis à des micro-déplacements. Dans cette configuration, des dommages peuvent apparaître au niveau de la frontière entre la zone en glissement partiel et la zone « collée », l’interface entre ces deux zones présentant une concentration de contraintes particulièrement sévère et subissant localement des états de contraintes multiraciaux, non-proportionnels et avec de forts gradients.
La prévision du risque d’amorçage de fissures et de la durée de vie des assemblages subissant des sollicitations de fretting-fatigue ne peut s’appuyer sur les modèles de fatigue usuels qui montrent leurs limites pour les problèmes présentant de forts gradients de contraintes.
Pour aborder ces difficultés, une approche incrémentale est proposée afin de pouvoir traiter l’effet des chargements multiaxiaux et variables en temps et en espace. Celle-ci est formulée dans un cadre non-local, construit sur-mesure pour traiter la situation d’un front de contact en glissement partiel.
Utiliser une approche non-locale permet de rationaliser les durées de vie expérimentales provenant d’essais de fretting-fatigue obtenus avec des contacts cylindre-plan, obtenues en utilisant des cylindres de rayon différents, et donc induisant des gradients différents avec les mêmes niveaux de contraintes en surface. Il devient alors possible d’utiliser les résultats obtenus en laboratoire sur une géométrie de contact donnée pour prévoir la durée de vie de composants industriels de géométries de contact diverses.
2
Modélisation du champ de vitesses
Une approche non-locale a été mise en place pour traiter les problèmes de fretting-fatigue. La modé-lisation proposée ci-dessous est une extension de la modémodé-lisation 2D mise en place par Montebello [1]. Cette approche s’appuie sur deux idées : (i) la similitude entre les champs mécaniques en bord de contact et ceux à l’extrémité d’une fissure [2, 3] lorsque la dimension de la zone de glissement partiel est négli-geable ; (ii) une description enrichie des champs en pointe de fissure basée sur des champs de référence qui a été utilisée pour modéliser le comportement élasto-plastique cyclique en utilisant un ensemble d’équations simples utilisant ces facteurs d’intensité comme variables non-locales [4, 5].
(a) Géométrie du contact III I II x’ y’ QII Ω r N QIII R’ R x y R vR'(t)=vR(t)+vR'/R(t) (b) Zone d’extraction
FIGURE1 – Modèle EF et zone d’intérêt
2.1 Approximation du champ de vitesses
En utilisant les travaux de Montebello [1], enrichis afin de prendre en compte les déplacements hors plan, le champ de vitesses proche du front de contact (Fig. 1b) peut s’approximer par :
v(P,t)R0 ' ˙II(t)φ
I(P) + ˙III(t)φII(P) + ˙IIII(t)φIII(P)
| {z }
ve
+ ˙IIIc(t)φcII(P) + ˙IIIIc (t)φcIII(P)
| {z }
vc
(1)
La partie élastique vepermet de modéliser le contact totalement adhérent. Les champs de référence
φ
I, φII et φIIIsont les champs résultants respectivement d’une variation de l’effort normal N, tangentiel
dans le plan QIIet tangentiel hors plan QIII. II, III, IIIIsont les facteurs d’intensité associés à ces champs
de référence et sont proportionnels aux chargements appliqués.
La partie complémentaire vcpermet de prendre en compte le frottement et le micro-glissement pré-sent selon les deux directions tangentielles. Les facteurs d’intensité IIIc, IIIIc et les champs de référence φcII, φc
III sont identifiés en utilisant la décomposition de Karhunen-Loeve [6] sur le champ résiduel (v− ve).
Cette fois-ci, ces facteurs d’intensité sont proportionnels à la taille de la zone en glissement partiel. Une fois les champs de référence identifiés pour une géométrie, les facteurs d’intensité s’obtiennent directement par projection du champ de vitesses issu d’une simulation EF sur les champs de référence (Eq. 2). ˙ I∗(t) = R Ωv· φ∗ R Ωφ∗· φ∗ (2) 2.2 Qualité de l’approximation
Pour déterminer la qualité de cette approximation (Eq. 1), les erreurs élastique (Eq. 3) et totale (Eq. 4) de l’approximation sont définies.
ξel= pR Ω(v− ve) 2 pR Ω(v) 2 (3) ξtot= pR Ω(v− ve− vc)2 pR Ω(v)2 (4) L’évolution de ces erreurs au cours d’un cycle de chargement non-proportionnel de type « carré » est tracée en figure 2.
Quand le champ de vitesses est approximé uniquement par la partie élastique, l’erreur ξel est faible
uniquement après chaque changement de direction de l’effort tangentiel (i.e. lorsque tout le contact est adhérent). Cependant, l’introduction du terme complémentaire dans l’approximation permet d’avoir une erreur ξtot faible durant tout le cycle.
0 2 4 6 0 5 10 15 Time Error -% Elastic error Total error Model error 0 2 4 6 −3 0 3 Time III IIII
FIGURE2 – Évolution des erreurs et du chargements lors d’un cycle non-proportionnel
2.2.1 Intérêt
Lorsque les quantités locales sont utilisées pour tracer des frontières d’amorçage, on s’aperçoit que les frontières dépendent de la géométrie (comme le rayon du cylindre en contact en figure 3a).
De la même façon, lorsqu’on rajoute un chargement de fatigue, le champ de contraintes dû à la fatigue va se superposer à celui créé par le contact et va modifier le gradient proche du front de contact. La figure 3b montre clairement que pour la même géométrie de contact et le même chargement, la durée de vie dépend de la force de fatigue appliquée.
0.75 1 1.25 1.5 1.75 0.75
1.25 1.75 2.25
Gross slip zone
qmax/pref p0 /p ref R=80mm R=40mm R=20mm x y p0 qmax p q c a 1/µ
(a) Fretting pur avec différents rayons de cour-bure [7] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 ·105 0.2 0.4 0.6 0.8 1 NCycles Q µP σmax F 200 MPa 350 MPa 400 MPa
(b) Fretting fatigue avec différentes forces de fa-tigue [8]
FIGURE3 – Frontières d’amorçage exprimées en termes de quantités locales
Le principal avantage de cette modélisation est de travailler avec l’ensemble du champ et non avec une quantité locale. L’effet du gradient lié au rayon du cylindre est pris en comptes dans les champs de référence, par conséquent, la frontière d’amorçage en termes de facteurs d’intensité est unique et ne dépend pas de la géométrie (Fig. 4a). De plus, lorsqu’on applique différentes forces de fatigue, les facteurs d’intensité prennent en compte la modification du gradient due à ces forces et la frontière devient unique (Fig. 4b).
3
Modèle incrémental
L’estimation des facteurs d’intensité complémentaires par projection du champ de vitesses (Eq. 2) nécessite un maillage très fin, car ces facteurs d’intensité permettent d’estimer la taille de la zone en glis-sement partiel. Afin de pouvoir utiliser cette modélisation sur des simulations industrielles comportant des maillages grossiers, un modèle de prédiction du glissement partiel a été mis en place. Le but étant de prédire Icen fonction de I avec une approche incrémentale afin d’être facilement utilisable avec des
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
Gross slip zone 1/eµ Imax II II R=80mm R=40mm R=20mm
(a) Fretting pur avec différents rayons de courbure
0 0.5 1 1.5 ·105 8 10 12 14
N
CyclesI
max II σmax F 200 MPa 350 MPa 400 MPa(b) Fretting fatigue avec différentes forces de fa-tigue
FIGURE4 – Frontières d’amorçage expérimentales exprimées en termes de quantités non-locales
chargements complexes (à amplitude variable, non-proportionnels).
Par analogie avec la plasticité, un modèle d’écrouissage cinématique bilinéaire avec une loi d’écou-lement normal a été choisi. Ce modèle permet d’estimer correctement l’évolution de Ic lors d’un cycle avec un chargement tangentiel proportionnel (Fig. 5).
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 ·10−4 −5 0 5 Ic II III Simulation Incremental model
FIGURE5 – Prédiction du glissement lors d’un cycle proportionnel avec amplitude variable Pour estimer plus précisément l’erreur du modèle, le champ de vitesses complémentaire prédit par le modèle (Eq. 5) et l’erreur associée (Eq. 6) sont définis.
vmodelc = ˙Icmodel II (t)φ c II(P) + ˙I cmodel III (t)φ c III (5) ξmodel= pR Ω(v− ve− v model c )2 pR Ω(v)2 (6) Lors d’un cycle non-proportionnel (Fig. 2), cette erreur est plus élevée qu’en utilisant le champ résiduel issu de la simulation EF mais reste à un niveau raisonnable.
4
Prédiction de la durée de vie
L’objectif de cette dernière partie est de déterminer les conditions d’amorçage de fissures en utilisant les facteurs d’intensité précédemment identifiés pour définir un critère et une propriété matériaux carac-térisant le seuil d’amorçage. Seulement deux critères seront testés, mais d’autres peuvent être formulés.
4.1 Critères
— Glissement total
Le premier critère est basé sur l’accumulation du micro-glissement dIIIc (la variable non-linéaire). C1∼
Z
t|dI c
II| (7)
— Énergie dissipée par frottement
Le second critère est basé sur l’énergie dissipée par frottement où IIIest proportionnel au
cisaille-ment et IIIc représente le micro-glissement au niveau du contact. C2∼
Z
t|III
dIIIc| (8)
4.2 Résultats
A partir des frontières uniques obtenues en figure 4, la valeur du seuil d’amorçage a été calculée à partir d’un point expérimental. Puis, le modèle incrémental a été utilisé pour retracer les frontières correspondantes à cette même valeur du seuil d’amorçage.
1 1.5 2 1 1.5 2 qmax/pref p0 /p ref Experiments Criterion1 Criterion2
(a) Fretting pur pour différents rayons de courbure
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 ·105 6 8 10 12 14 NCycles I max II Experiments Criterion1 Criterion2
(b) Fretting fatigue pour différentes forces de fa-tigue
FIGURE6 – Frontières d’amorçage prédites
L’effet du gradient lié à la géométrie (Fig. 6a) semble mieux pris en compte par le critère 2 . Pour les essais en fretting-fatigue (Fig. 6b), les deux critères donnent des résultats similaires. Cependant, les essais disponibles ne nous permettent pas de savoir exactement quel critère est le plus pertinent. Des essais complémentaires seront nécessaires pour discriminer l’un des critères.
5
Conclusion et perspectives
Une nouvelle approche non-locale pour prédire le champ de vitesses d’un problème soumis à du fretting-fatigue a été présentée. Une fois que les champs de référence sont identifiés pour une géométrie spécifique, il est possible de prédire le champ de vitesses proche du front de contact avec les facteurs d’intensité en utilisant le champ de vitesses à l’échelle macroscopique. Comme l’effet de la géométrie et du gradient est inclus dans les champs de référence, les critères et les lois basés sur les facteurs d’intensité sont indépendants de la géométrie. Par conséquent, ils peuvent être identifiés sur des essais en laboratoire et transférés facilement sur des géométries industrielles.
Actuellement, seuls les chargements tangentiels variables ont été étudiés. Pour pouvoir prendre en compte tous les types de chargements complexes, il faut aussi considérer les variations d’effort normal et par conséquent le déplacement du front de contact et donc de notre repère. L’implémentation dans notre modèle incrémental d’une loi reliant la variation du facteur d’intensité II(lié à l’effort normal) au
déplacement du front de contact et la formulation d’expressions analytiques pour l’ensemble des champs de référence permettra la prise en compte de ces chargements variables.
Références
[1] Claudio Montebello. Analysis of the stress gradient effect in Fretting-Fatigue through a description based on nonlocal intensity factors. Theses, Université Paris-Saclay, 2015.
[2] A.E. Giannakopoulos, T.C. Lindley, and S. Suresh. Aspects of equivalence between contact mechanics and fracture mechanics : theoretical connections and a life-prediction methodology for fretting-fatigue. Acta Ma-ter., 46(9) :2955–2968, 1998.
[3] D. A. Hills, A. Thaitirarot, J. R. Barber, and D. Dini. Correlation of fretting fatigue experimental results using an asymptotic approach. Int. J. Fatigue, 43 :62–75, 2012.
[4] S. Pommier and R. Hamam. Incremental model for fatigue crack growth based on a displacement partitioning hypothesis of mode I elastic-plastic displacement fields. Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct., 30(7) :582–598, 2007.
[5] S. Pommier, P. Lopez-Crespo, and P. Y. Decreuse. A multi-scale approach to condense the cyclic elastic-plastic behaviour of the crack tip region into an extended constitutive model. Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct., 32(11) :899–915, nov 2009.
[6] M. Loève. Probability Theory I, volume 45 of Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, New York, NY, 1977.
[7] R. Amargier, S. Fouvry, L. Chambon, C. Schwob, and C. Poupon. Stress gradient effect on crack initiation in fretting using a multiaxial fatigue framework. Int. J. Fatigue, 32(12) :1904–1912, 2010.
[8] J Meriaux. Etude expérimentale de modélisation de l’endommagement d’un contact aube disque de soufflante
