Repères et coordonnées dans le plan

Texte intégral

(1)Repères et coordonnées dans le plan Y. Moncheaux. Octobre 2018. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(2) Table des matières. 1. Repère et coordonnées (définitions). 2. Coordonnées du milieu d’un segment. 3. Distance entre deux points. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(3) Repère et coordonnées (définitions). I – Repère et coordonnées (définitions) D (O ; I, J) est un repère orthonormé si (OI) ⊥ (OJ) et si O OI = OJ = 1.. 2 1. J I. −3. −2. −1 O −1. 1. 2. 3. 4. −2 .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(4) Repère et coordonnées (définitions). Ne pas noter. O est appelé origine de ce repère.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(5) Repère et coordonnées (définitions). Ne pas noter Il existe d’autres sortes de repères :. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(6) Repère et coordonnées (définitions). Ne pas noter Il existe d’autres sortes de repères : repère quelconque (si O, I, J non alignés) :. 2. ×. ×. J × 1. 2. I ×. 1. O ×. ×. ×. −2. −1. −1. ×. −2. ×. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(7) Repère et coordonnées (définitions). Ne pas noter repère orthogonal (si (OI) ⊥ (OJ)) : 2 1. J I. −2. −1. O. 1. 2. −1 −2 −3 .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(8) Repère et coordonnées (définitions). D O P Dans un repère (O ; I, J), tout point P a un unique couple O. de coordonnées (xP ; yP ).. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(9) Repère et coordonnées (définitions). D O P Dans un repère (O ; I, J), tout point P a un unique couple O. de coordonnées (xP ; yP ). xP est l’abscisse de P et yP est l’ordonnée de P . y yP 2 1. P. J I. −4. −3. −2. −1 O −1. 1. x 2. 3. xP. 4. −2 .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(10) Repère et coordonnées (définitions). Questions rapides (ne pas noter). Coordonnées de A :. y. A. 2 Coordonnées de B :. C b. 1. b. J I. Coordonnées de C :. Coordonnées de D :. x. −3 −2 −1 O 1 −1 D. 2. b. 3. 4. B. −2. b. −3. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(11) Repère et coordonnées (définitions). Questions rapides (ne pas noter). Coordonnées de A : (4 ; 2). Coordonnées de B :. y. A. 2 C b. 1. b. J I. Coordonnées de C :. Coordonnées de D :. x. −3 −2 −1 O 1 −1 D. 2. b. 3. 4. B. −2. b. −3. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(12) Repère et coordonnées (définitions). Questions rapides (ne pas noter). Coordonnées de A : (4 ; 2). Coordonnées de B : (3 ; −2). Coordonnées de C :. Coordonnées de D :. y. A. 2 C b. 1. b. J I. x. −3 −2 −1 O 1 −1 D. 2. b. 3. 4. B. −2. b. −3. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(13) Repère et coordonnées (définitions). Questions rapides (ne pas noter). Coordonnées de A : (4 ; 2). Coordonnées de B : (3 ; −2). Coordonnées de C : (−2 ; 1). Coordonnées de D :. y. A. 2 C b. 1. b. J I. x. −3 −2 −1 O 1 −1 D. 2. b. 3. 4. B. −2. b. −3. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(14) Repère et coordonnées (définitions). Questions rapides (ne pas noter). Coordonnées de A : (4 ; 2). Coordonnées de B : (3 ; −2). Coordonnées de C : (−2 ; 1). Coordonnées de D :. y. A. 2 C b. 1. b. J I. x. −3 −2 −1 O 1 −1 D. 2. b. 3. 4. B. −2. b. −3. (0 ; −1).. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(15) Repère et coordonnées (définitions). Questions rapides (ne pas noter) y 2 1. C b. J I. −4. −3. −2 −1 O B −1. 1. x 2. 3. 4. b. −2 yB = xC = .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(16) Repère et coordonnées (définitions). Questions rapides (ne pas noter) y 2 1. C b. J I. −4. −3. −2 −1 O B −1. 1. x 2. 3. 4. b. −2 yB = − 1 xC = .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(17) Repère et coordonnées (définitions). Questions rapides (ne pas noter) y 2 1. C b. J I. −4. −3. −2 −1 O B −1. 1. x 2. 3. 4. b. −2 yB = − 1 xC = 3 .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(18) Repère et coordonnées (définitions). Partie exercices. Exercices 1 et 6 page 190. Exercice 24 page 192. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(19) Coordonnées du milieu d’un segment. Questions rapides (ne pas noter). Si A (−2 ; 7) et B (−3 ; −1) alors xA + xB = yA + yB =. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(20) Coordonnées du milieu d’un segment. Questions rapides (ne pas noter). Si A (−2 ; 7) et B (−3 ; −1) alors xA + xB = − 5 yA + yB =. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(21) Coordonnées du milieu d’un segment. Questions rapides (ne pas noter). Si A (−2 ; 7) et B (−3 ; −1) alors xA + xB = − 5 yA + yB = 6. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(22) Coordonnées du milieu d’un segment. II – Coordonnées du milieu d’un segment P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) deux points. O. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(23) Coordonnées du milieu d’un segment. II – Coordonnées du milieu d’un segment P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) deux points. O. yA. A b K b. yK yB. b. xA. xK. B. xB. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(24) Coordonnées du milieu d’un segment. II – Coordonnées du milieu d’un segment P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) deux points. O. yA. A b K b. yK yB. b. xA. xK. B. xB. K est le milieu du segment [AB] si et seulement si. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(25) Coordonnées du milieu d’un segment. II – Coordonnées du milieu d’un segment P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) deux points. O. yA. A b K b. yK yB. b. xA. xK. B. xB. K est le milieu du segment [AB] si et seulement si yA + yB xA + xB et yK = xK = . 2 2 .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(26) Coordonnées du milieu d’un segment. II – Coordonnées du milieu d’un segment P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) deux points. O. yA. A b K b. yK yB. b. xA. xK. B. xB. K est le milieu du segment [AB] si et seulement si yA + yB xA + xB et yK = xK = . 2 2 (on calcule la moyenne des x puis celle des y). .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(27) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 1 Si F (−3 ; 1) et G (5 ; 2) alors le milieu H de [F G] a pour coordonnées :. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(28) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 1 Si F (−3 ; 1) et G (5 ; 2) alors le milieu H de [F G] a pour coordonnées : xF + xG 2 −3 + 5 xH = = = = 1 et 2 2 2 yF + yG 1+2 3 = = yH = 2 2 2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(29) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 1 Si F (−3 ; 1) et G (5 ; 2) alors le milieu H de [F G] a pour coordonnées : xF + xG 2 −3 + 5 xH = = = = 1 et 2 2 2 yF + yG 1+2 3 = = yH = 2 2 (2 ) 3 donc H 1 ; . 2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(30) Coordonnées du milieu d’un segment. Questions rapides (ne pas noter). Soient A (5 ; 2), B (9 ; 7), C (−1 ; 3). Quelles sont les coordonnées du milieu de [AB] ? Soit K le milieu de [AB], alors : + + xK = = 2 2 et + + = yK = 2 2 ( ) donc K ; .. =. =. 2. =. =. 2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(31) Coordonnées du milieu d’un segment. Questions rapides (ne pas noter). Soient A (5 ; 2), B (9 ; 7), C (−1 ; 3). Quelles sont les coordonnées du milieu de [BC] ? Soit L le milieu de [BC], alors : + + xL = = 2 2 et + + = yL = 2 2 ( ) donc L ; .. =. =. 2. =. =. 2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(32) Coordonnées du milieu d’un segment. Ne pas noter. Applications : – calculer les coordonnées d’un milieu ! – prouver qu’un quadrilatère est un parallèlogramme ; – trouver les coordonnées du symétrique d’un point par rapport à un autre point.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(33) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 2 Soient, dans un repère (O ; I, J), les points : A (−2 ; 1), B (−1 ; 4), C (2 ; 1), D (1 ; −2). Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(34) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5).. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(35) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5). Calculer les coordonnées de U , symétrique de S par rapport à R.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(36) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5). Calculer les coordonnées de U , symétrique de S par rapport à R. Réponses. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(37) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5). Calculer les coordonnées de U , symétrique de S par rapport à R. Réponses U symétrique de S par rapport à R ⇐⇒ R est le milieu du segment [U S]. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(38) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5). Calculer les coordonnées de U , symétrique de S par rapport à R. Réponses U symétrique de S par  rapport à R ⇐⇒ R est le milieu du xU + xS    xR = 2 segment [U S] ⇐⇒ y + yS U    yR = 2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(39) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5). Calculer les coordonnées de U , symétrique de S par rapport à R. Réponses U symétrique de S par  rapport à R ⇐⇒ R est le milieu du xU + xS    xR = 2 segment [U S] ⇐⇒ y + yS ⇐⇒ U    yR = 2  xU + 3   −2 = 2   1 = yU + 5 2 .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(40) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5). Calculer les coordonnées de U , symétrique de S par rapport à R. Réponses U symétrique de S par  rapport à R ⇐⇒ R est le milieu du xU + xS    xR = 2 segment [U S] ⇐⇒ y + yS ⇐⇒ U    yR = 2  xU + 3  {  −2 = −4 = xU + 3 2 ⇐⇒ y + 5 2 = yU + 5   1= U 2 .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(41) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5). Calculer les coordonnées de U , symétrique de S par rapport à R. Réponses U symétrique de S par  rapport à R ⇐⇒ R est le milieu du xU + xS    xR = 2 segment [U S] ⇐⇒ y + yS ⇐⇒ U    yR = 2  xU + 3  { {  −2 = −4 = xU + 3 −7 = xU 2 ⇐⇒ ⇐⇒ y + 5 −3 = yU 2 = y + 5  U  1= U 2 .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(42) Coordonnées du milieu d’un segment. Exemple 3 Soient R (−2 ; 1) et S (3 ; 5). Calculer les coordonnées de U , symétrique de S par rapport à R. Réponses U symétrique de S par  rapport à R ⇐⇒ R est le milieu du xU + xS    xR = 2 segment [U S] ⇐⇒ y + yS ⇐⇒ U    yR = 2  xU + 3  { {  −2 = −4 = xU + 3 −7 = xU 2 ⇐⇒ ⇐⇒ y + 5 −3 = yU 2 = y + 5  U  1= U 2 donc U (−7 ; −3). .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(43) Coordonnées du milieu d’un segment. Partie exercices. Exercices 12, 13, 15 page 191.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(44) Distance entre deux points. III – Distance entre deux points. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(45) Distance entre deux points. Partie exercices. Exercices 2, 3, 5 et 7 page 185. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(46) Distance entre deux points. Questions rapides (ne pas noter). Si A (−2 ; 7), B (2 ; −4) et C (−3 ; −1) alors yC − yA = xA − xB =. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(47) Distance entre deux points. Questions rapides (ne pas noter). Si A (−2 ; 7), B (2 ; −4) et C (−3 ; −1) alors yC − yA = − 8 xA − xB =. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(48) Distance entre deux points. Questions rapides (ne pas noter). Si A (−2 ; 7), B (2 ; −4) et C (−3 ; −1) alors yC − yA = − 8 xA − xB = − 4. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(49) Distance entre deux points. Ne pas noter. Soient A (3 ; 4) et B (8 ; 2). On cherche la distance exacte entre A et B.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(50) Distance entre deux points. Ne pas noter. Soient A (3 ; 4) et B (8 ; 2). On cherche la distance exacte entre A et B. 4 2. b. A. B. b. 3. 8. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(51) Distance entre deux points. Ne pas noter. Soient A (3 ; 4) et B (8 ; 2). On cherche la distance exacte entre A et B. 4 2. b. A. B. b. 3. 8−3=5 8. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(52) Distance entre deux points. Ne pas noter. Soient A (3 ; 4) et B (8 ; 2). On cherche la distance exacte entre A et B. 4 b. B 4−2=2. 2. A. b. 3. 8−3=5 8. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(53) Distance entre deux points. Ne pas noter. Soient A (3 ; 4) et B (8 ; 2). On cherche la distance exacte entre A et B. 4 b. B 4−2=2. 2. A. b. 3. 8−3=5 8. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(54) Distance entre deux points. Ne pas noter. Soient A (3 ; 4) et B (8 ; 2). On cherche la distance exacte entre A et B. 4 2. AB =. √. 52 + 22 =. A. √. b. 29. B 4−2=2. b. 3. 8−3=5 8. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(55) Distance entre deux points. P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) dans un repère orthonormé. O. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(56) Distance entre deux points. P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) dans un repère orthonormé. O. yB yA. b. A. B. b. xA. xB. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(57) Distance entre deux points. P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) dans un repère orthonormé. O. yB yA. b. A. B. b. xA. xB − xA xB. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(58) Distance entre deux points. P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) dans un repère orthonormé. O. yB b. B yB − yA. yA. A. b. xA. xB − xA xB. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(59) Distance entre deux points. P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) dans un repère orthonormé. O. yB b. B yB − yA. yA. A. b. xA. xB − xA xB. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(60) Distance entre deux points. P Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) dans un repère orthonormé. O. yB. √ AB =. (xB − xA. yA. b. )2. + (yB − yA. A. B yB − yA. )2. b. xA. xB − xA xB. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(61) Distance entre deux points. Exemple 4 Soient M (−2 ; 4) et N (3 ; 2). Calculer la distance M N .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(62) Distance entre deux points. Exemple 4 Soient M (−2 ; 4) et N (3 ; 2). Calculer la distance M N . Réponses. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(63) Distance entre deux points. Exemple 4 Soient M (−2 ; 4) et N (3 ; 2). Calculer la distance M N . Réponses MN. =. √. (xN − xM )2 + (yN − yM )2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(64) Distance entre deux points. Exemple 4 Soient M (−2 ; 4) et N (3 ; 2). Calculer la distance M N . Réponses MN. √ = √(xN − xM )2 + (yN − yM )2 = (3 − (−2))2 + (2 − 4)2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(65) Distance entre deux points. Exemple 4 Soient M (−2 ; 4) et N (3 ; 2). Calculer la distance M N . Réponses MN. √ = √(xN − xM )2 + (yN − yM )2 = √(3 − (−2))2 + (2 − 4)2 = 52 + (−2)2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(66) Distance entre deux points. Exemple 4 Soient M (−2 ; 4) et N (3 ; 2). Calculer la distance M N . Réponses MN. √ = √(xN − xM )2 + (yN − yM )2 = √(3 − (−2))2 + (2 − 4)2 √ √ = 52 + (−2)2 = 25 + 4 = 29. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(67) Distance entre deux points. R L’unité de longueur est OI. O. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(68) Distance entre deux points. R L’unité de longueur est OI. O R On ne peut pas éliminer la racine avec les carrés, par exemple, O √ 32 + 42 ̸= 3 + 4.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(69) Distance entre deux points. R L’unité de longueur est OI. O R On ne peut pas éliminer la racine avec les carrés, par exemple, O √ 32 + 42 ̸= 3 + 4. R La valeur attendue comporte en général une racine carrée. O. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(70) Distance entre deux points. R L’unité de longueur est OI. O R On ne peut pas éliminer la racine avec les carrés, par exemple, O √ 32 + 42 ̸= 3 + 4. R La valeur attendue comporte en général une racine carrée. O R La formule ne fonctionne que dans un repère orthonormé. O. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(71) Distance entre deux points. R L’unité de longueur est OI. O R On ne peut pas éliminer la racine avec les carrés, par exemple, O √ 32 + 42 ̸= 3 + 4. R La valeur attendue comporte en général une racine carrée. O R La formule ne fonctionne que dans un repère orthonormé. O R La formule fonctionne aussi quand xB − xA et/ou yB − yA est O négative.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(72) Distance entre deux points. Questions rapides (ne pas noter). Soient A (5 ; 2), B (9 ; 7), C (−1 ; 3). Quelle est la distance AB ? √ AB = ( − )2 + ( √ = ( − )2 + ( √ ( )2 + ( )2 = √ √ + = =. −. )2. −. )2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(73) Distance entre deux points. Questions rapides (ne pas noter). Soient A (5 ; 2), B (9 ; 7), C (−1 ; 3). Quelle est la distance CB ? √ CB = ( − )2 + ( √ = ( − )2 + ( √ ( )2 + ( )2 = √ √ + = =. −. )2. −. )2. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(74) Distance entre deux points. Ne pas noter. Applications du calcul de distances :. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(75) Distance entre deux points. Ne pas noter. Applications du calcul de distances : prouver qu’un triangle est rectangle ou isocèle ou équilatéral ;. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(76) Distance entre deux points. Ne pas noter. Applications du calcul de distances : prouver qu’un triangle est rectangle ou isocèle ou équilatéral ; trouver une mesure d’un angle d’un triangle rectangle (trigonométrie) ;. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(77) Distance entre deux points. Ne pas noter. Applications du calcul de distances : prouver qu’un triangle est rectangle ou isocèle ou équilatéral ; trouver une mesure d’un angle d’un triangle rectangle (trigonométrie) ; prouver qu’un point est sur un cercle ;. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(78) Distance entre deux points. Ne pas noter. Applications du calcul de distances : prouver qu’un triangle est rectangle ou isocèle ou équilatéral ; trouver une mesure d’un angle d’un triangle rectangle (trigonométrie) ; prouver qu’un point est sur un cercle ; prouver qu’un point est sur une médiatrice ;. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(79) Distance entre deux points. Ne pas noter. Applications du calcul de distances : prouver qu’un triangle est rectangle ou isocèle ou équilatéral ; trouver une mesure d’un angle d’un triangle rectangle (trigonométrie) ; prouver qu’un point est sur un cercle ; prouver qu’un point est sur une médiatrice ; etc.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

(80) Distance entre deux points. Partie exercices. Exercices : 17 page 191 26 page 192 22 page 192 27 page 192. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. .. .. ..

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